% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% The Project Gutenberg EBook of L'Équation de Fredholm, by               %
% Horace Bryon Heywood and Maurice Fréchet                                %
%                                                                         %
% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
%                                                                         %
%                                                                         %
% Title: L'Équation de Fredholm                                           %
%        Et ses applications a la physique mathématique                   %
%                                                                         %
% Author: Horace Bryon Heywood                                            %
%         Maurice Fréchet                                                 %
%                                                                         %
% Release Date: July 22, 2010 [EBook #33229]                              %
% Most recently updated: June 11, 2021                         %
%                                                                         %
% Language: French                                                        %
%                                                                         %
% Character set encoding: UTF-8                                           %
%                                                                         %
% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK L'ÉQUATION DE FREDHOLM ***    %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\def\ebook{33229}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%                                                                  %%
%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% babel:    French language features. Required.                    %%
%%                                                                  %%
%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
%%                                                                  %%
%% textcomp: Better ditto marks. Optional.                          %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%% mathrsfs: AMS Script fonts. Optional.                            %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%% array:    Enhanced tabular features. Required.                   %%
%%                                                                  %%
%% indentfirst: Optional.                                           %%
%% textcase: Apply \MakeUppercase (et al.) only to text, not math.  %%
%%           Required.                                              %%
%%                                                                  %%
%% footmisc: Extended footnote capabilities. Required.              %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required.   %%
%% wrapfig:  Illustrations surrounded by text. Required.            %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Minor spelling and punctuation corrections are marked with     %%
%%   \DPtypo{original}{corrected}. Other changes are [** TN: noted] %%
%%   in the file.                                                   %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behaviors may be controlled with a boolean flag. %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (false by default):                                %%
%%   Compile a screen-optimized PDF file (one-sided layout, blue    %%
%%   hyperlinks). Set to true for print-optimized file (two-sided   %%
%%   layout, black hyperlinks).                                     %%
%%                                                                  %%
%%   NormalizePunctuation (true by default):                        %%
%%   Uniformize punctuation in lists and at ends of equations; see  %%
%%   \DPchg and \Add macros.                                        %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 196 (if ForPrinting set to false)                     %%
%% PDF page size: 6 x 8in (non-standard)                            %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% Three PDF diagrams, five PDF glyphs.                             %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * Eleven overfull hboxes. (Some displays extend into the margin.)%%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% May, 2010: adhere (Andrew D. Hwang)                              %%
%%              texlive2007, GNU/Linux                              %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x3                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% July 2010: pglatex.                                              %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 33229-t.tex ..... THREE times                         %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding

\usepackage[french]{babel}    % the language

\usepackage{calc}[2005/08/06]

\IfFileExists{textcomp.sty}{%    %% For ditto marks
\usepackage{textcomp}[2005/09/27]%
}{}


\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\IfFileExists{mathrsfs.sty}{%
  \usepackage{mathrsfs}
  \newcommand{\R}{\mathscr{R}}%
}{% else
  \newcommand{\R}{\mathcal{R}}%
}

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{array}[2005/08/23]   %% extended array/tabular features

\IfFileExists{indentfirst.sty}{%
\usepackage{indentfirst}[1995/11/23]
}{}
\usepackage{textcase}[2004/10/07]

                                 %% extended footnote capabilities
\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17]

\usepackage{graphicx}[1999/02/16]%% For a diagram,
\usepackage{wrapfig}[2003/01/31] %% wrapping text around it,

% for running heads; no package date available
\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%             Conditional compilation switches            %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%        Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Letterpaper                          Cropped pages
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
\newboolean{ForPrinting}

%% UNCOMMENT the next line for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text %%
%\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Normalize punctuation?
\newboolean{NormalizePunctuation}
% COMMENT the next line to revert to the book's punctuation
\setboolean{NormalizePunctuation}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par le
  Département des Mathématiques, Université de Glasgow.
  \bigskip

  Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
  l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le
  fichier \LaTeX\ source contient des notes de ces corrections.
}
\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon
  \bigskip

  Ce fichier est optimisé pour être lu sur un écran, mais peut être
  aisément reformaté pour être imprimer. Veuillez consulter le
  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
}

%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon
    \bigskip

    Ce fichier est optimisé pour imprimer, mais peut être aisément
    reformaté pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
  }
}{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
  \setlength{\paperheight}{11in}%
  \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{%
  \setlength{\paperwidth}{6in}%
  \setlength{\paperheight}{8in}%
  \raggedbottom
  \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Laura Wisewell,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               University of Glasgow Department of Mathematics},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
  bookmarks=true,      % default value
  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%% Re-crop, squash screen-formatted version, omit blank verso pages
\ifthenelse{\not\boolean{ForPrinting}}{%
  \hypersetup{pdfpagescrop= 0 30 406 566}%
  \raggedbottom%
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}{}% Else do nothing

% Set title, author here to avoid numerous hyperref warnings from accents
\hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook:%
    L'\texorpdfstring{Équation}{Equation} de Fredholm},
  pdfauthor={H. B. Heywood, M. \texorpdfstring{Fréchet}{Frechet}}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}


%%%% Cross-referencing %%%%
\newcommand{\Pg}[1]{\pageref*{page:#1}}
\newcommand{\PgRange}[2]{%
  \ifthenelse{\equal{\pageref{page:#1}}{\pageref{page:#2}}}{%
    page \Pg{#1}%
  }{%
    pages \Pg{#1}--\Pg{#2}%
  }%
}%

% Page separators
\newcommand{\DPPageSep}[2]{%
  \ifthenelse{\not\equal{#2}{}}{%
    \phantomsection\label{page:#2}}{}%
}%

\newcommand{\Figref}[2][fig.]{\hyperref[fig:#2]{#1~#2}}%
\newcommand{\Fig}[1]{\phantomsection\label{fig:#1}}


%%%% Misc. Formatting %%%%
%% Surround footnote markers with upright parentheses
\makeatletter
\renewcommand\@makefnmark%
  {\mbox{\small\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}

\renewcommand\@makefntext[1]%
  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1}
\makeatother

\newcommand{\Pagelabel}[1]{%
  \phantomsection\label{#1}%
}
% Sometimes multiple footnotes markers refer to the same text.
% Add an explanatory remark when the markers lie on different pages;
% the wording is taken from the footnote on 088.png.
\newcommand{\provisionalfootnote}[2]{%
  \ifthenelse{\not\equal{\pageref{#1}}{\pageref{#2}}}{%
    \footnote{Voir la note de la page précédente.}%
  }{%
    \addtocounter{footnote}{-1}\footnotemark%
  }%
}

%% Graphics
\newcommand{\Input}[2][4in]{%
  \includegraphics[width=#1]{./images/#2.pdf}%
}

%% Titles and running heads
\newcommand{\CtrHeading}[1]{%
  {\footnotesize\scshape\MakeTextLowercase{#1}}%
}

\newcommand{\SetPageNumbers}{%
  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
    \fancyhead[RO,LE]{\thepage}% End of ForPrinting
  }{%
    \fancyhead[R]{\thepage}%
  }%
}

\newcommand{\SetRunningHeads}[1]{%
  \fancyhead[CO]{\CtrHeading{#1}}%
  \fancyhead[CE]{\CtrHeading{L'Équation de Fredholm}}%
}

%% Special heading for Introduction
\newcommand{\IntroHeading}{%
  \begin{center}
    \large\textbf{L'ÉQUATION DE FREDHOLM} \\
    \makebox[\linewidth][s]{%
      \normalsize ET SES APPLICATIONS A LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE} \\[6pt]
    \hrule
  \end{center}
  \vspace{36pt}
}

%% Common initialization for Chapter-like units
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%% Bibliography
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%%%% Sectioning: Chapter, Preface, Section... %%%%
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%% Introduction, Bibliography, Table of Contents
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    \setlength{\headheight}{15pt}% ** Initialize here
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    \SetRunningHeads{#1}%
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% Print special heading above "Introduction"
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  }%
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%% Smaller text offset by vertical space
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{\bigskip\par\normalfont\upshape\normalsize}

% Small section titles in the ToC are significant
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%%%% Misc. semantic and convenience macros %%%%
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%% Upright capital letters in math mode
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%% Equation tags
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%% Restyling
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% instances in this file are marked with the \Seg macro.
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% Green's function
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\newcommand{\DPnote}[1]{}%   Comments.

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% To facilitate alignment; sets #3 in a box of width #2, aligned at #1
% Examples: \PadTo{feet per sec.}{\Ditto}, \PadTo[l]{The value is}{2.}
\newlength{\TmpLen}
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% wide as Size, with optional alignment (a = c, l, or r).
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% Long ellipses, for \Atop environments
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% For aligned equation groups
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    \rule{\linewidth-1in}{0pt} \\[-12pt]
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  \end{array}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\pagestyle{empty}
\pagenumbering{alph}
\phantomsection
\pdfbookmark[-1]{Matière Préliminaire}{Front}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Boilerplate}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of L'Équation de Fredholm, by 
Horace Bryon Heywood and Maurice Fréchet

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: L'Équation de Fredholm
       Et ses applications a la physique mathématique

Author: Horace Bryon Heywood
        Maurice Fréchet

Release Date: July 22, 2010 [EBook #33229]
Most recently updated: June 11, 2021

Language: French

Character set encoding: UTF-8     

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK L'ÉQUATION DE FREDHOLM ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage


%%%% Credits and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Andrew D. Hwang, Laura Wisewell, and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
original copy of this book was generously made available
for scanning by the Department of Mathematics at the
University of Glasgow.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
\small
\pdfbookmark[0]{Note sur la Transcription}{Note sur la Transcription}
\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}%

\raggedright
\TransNoteText
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\frontmatter

\pagenumbering{Roman}
\pagestyle{empty}

\DPPageSep{001.png}{}%

\begin{center}
\null\vfill
\setlength{\TmpLen}{24pt}%[** Explicit size]
\Large \textbf{L'ÉQUATION DE FREDHOLM} \\[\TmpLen]
\normalsize ET SES APPLICATIONS A LA \\[\TmpLen]
\makebox[0pt][c]{\LARGE\bfseries PHYSIQUE MATHÉMATIQUE}
\vfill
\end{center}
\cleardoublepage
\DPPageSep{002.png}{}%
%[Blank Page]
\DPPageSep{003.png}{}%
\begin{center}
\setlength{\TmpLen}{36pt}%[** Explicit size]
\Large \textbf{L'ÉQUATION DE FREDHOLM} \\[\TmpLen]
\normalsize ET SES APPLICATIONS A LA \\[\TmpLen]
\LARGE \textbf{PHYSIQUE MATHÉMATIQUE} \\[\TmpLen]
\scriptsize PAR MM. \\[0.5\TmpLen]
\begin{minipage}[b]{0.5\linewidth}
\centering\normalsize\bfseries\sffamily H. B. HEYWOOD \\[0.125\TmpLen]
\tiny\normalfont PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LONDRES \\[0.125\TmpLen]
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE PARIS
\end{minipage}%
\rule{0.5pt}{32pt}%
\begin{minipage}[b]{0.5\linewidth}
\centering\normalsize\bfseries\sffamily M. FRÉCHET \\[0.125\TmpLen]
\tiny\normalfont PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES \\[0.125\TmpLen]
DE POITIERS
\end{minipage}\\[0.5\TmpLen]
\scriptsize AVEC UNE PRÉFACE ET UNE NOTE \\[0.25\TmpLen]
DE \\[0.125\TmpLen]
\normalsize\textbf{M. JACQUES HADAMARD} \\[0.125\TmpLen]
\tiny PROFESSEUR AU COLLÈGE DE FRANCE

\vfill
\tb
\vfill

\large PARIS \\[0.25\TmpLen]
\normalsize LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE A. HERMANN \& FILS \\[0.25\TmpLen]
\scriptsize LIBRAIRES DE S. M. LE ROI DE SUÈDE \\[0.25\TmpLen]
6, RUE DE LA SORBONNE, 6. \\[0.25\TmpLen]
\rule{1em}{0.5pt} \\[0.25\TmpLen]
\normalsize 1912
\end{center}
\cleardoublepage
\DPPageSep{004.png}{}%
%[Blank Page]
\DPPageSep{005.png}{V}%

\pagestyle{fancy}
\stretchyspace

\OtherChapter{Préface}

La théorie des équations intégrales, née d'hier, est d'ores et
déjà classique. Elle a fait son entrée dans plusieurs de nos
enseignements. Nul doute que --- peut-être à la faveur de nouveaux
perfectionnements --- elle ne s'impose bientôt à la pratique
courante du calcul. C'est une fortune rare parmi les doctrines
mathématiques, si souvent destinées à rester des objets
de musée.

Ce sort exceptionnel est, cependant, à notre avis, conforme à
la logique.

A mesure que, en Analyse, problèmes et méthodes tendent à
perdre leur caractère formel et à dépasser le cercle des cas
d'intégrabilité proprement dits, il semble bien que l'intégration
et non plus la différentiation, doive apparaître comme l'élément
simple --- comme l'outil le plus usuel, parce que le plus puissant
et le plus maniable --- du calcul infinitésimal. L'intervention des
équations intégrales dans l'étude des problèmes de la Physique
mathématique est, au fond, une phase de cette évolution.

Il nous paraît souhaitable que celle-ci ait, dès à présent, sa
répercussion sur l'enseignement. En tout cas, la belle méthode
que l'on doit à M.~Fredholm, marque un tel progrès qu'il
importe de la rendre accessible non plus seulement aux futurs
docteurs et à ceux qui poursuivront les examens d'ordre élevé,
mais à tous ceux qui, à quelque degré que ce soit, étudient les
mathématiques supérieures.
\DPPageSep{006.png}{VI}%

Une telle nécessité a été ressentie un peu partout, et, à
l'étranger, d'excellents exposés, --- tels que l'élégant traité de
M.~Böcher, pour n'en citer qu'un --- ont été consacrés à la
méthode qui nous occupe.

MM. Heywood et Fréchet, en abordant à leur tour le même
sujet, ont visé à être clairs, élémentaires et pratiques. Ils ont
retenu de la théorie tout ce qui a déjà acquis sa forme définitive
et pratiquement utilisable, et se sont bornés à cet ensemble,
déjà singulièrement fécond à lui seul et suffisant dans tous les
cas usuels. Ils n'ont pas séparé cette théorie des applications
qui en sont la raison d'être et l'origine même, et qu'ils ont
passées en revue avec grand soin. Grâce à l'{\oe}uvre ainsi conçue,
nos étudiants pourront, tout en restant sûrs de ne pas être
entraînés dans des difficultés inutiles, posséder aisément le
nouvel instrument analytique.

Ils devront ce résultat à une collaboration internationale à
laquelle on ne saurait trop applaudir. M.~Heywood a été, il y a
quelques années, notre hôte et l'auditeur assidu de nos cours
parisiens. Il s'en est souvenu en prêtant cette fois son concours
à un de nos jeunes mathématiciens dont le nom et le talent sont
déjà assez connus pour que nous n'ayons pas à le présenter au
lecteur, en vue d'une {\oe}uvre qui sera bonne et utile. C'est là
une heureuse initiative: puisse-t-elle trouver de nombreux
imitateurs!

\begin{flushright}
Jacques HADAMARD.\hspace*{3em}\null
\end{flushright}

\ctb
\DPPageSep{007.png}{1}%

\mainmatter
\phantomsection
\pdfbookmark[-1]{Matière Principale}{Main}

%[** Heading printed by the \OtherChapter macro]
% L'ÉQUATION DE FREDHOLM
% ET SES APPLICATIONS A LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE

\OtherChapter{Introduction}

\Paragraph{1.}{\textbf{Caractère des questions traitées dans ce livre.}} --- Les
méthodes que nous allons développer s'appliquent surtout
aux problèmes de Physique mathématique qui concernent les
équations aux dérivées partielles du type elliptique (voir plus loin
\no \textbf{1}, p.~\Pg{14}), dont le plus connu est le problème de Dirichlet
(\no \textbf{4}, p.~\Pg{17}).

Dans la plupart des cas déjà étudiés, les problèmes en question
se ramènent à une \emph{équation de Fredholm}, c'est-à-dire à une équation
de la forme
\[
\SSqTag{(1)}
\phi(s) - \lambda \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s)
\]
où $K(s,t)$\footnotemark,
\footnotetext{On appelle cette fonction~$K$ le \emph{noyau}.}%
$f(s)$ sont des fonctions connues. On cherche une fonction,
$\phi(s)$, qui satisfasse à cette équation. Le paramètre~$\lambda$ est introduit
pour faciliter la discussion. Nous considérerons avec~\Eq{(1)}
l'équation \emph{associée}
\[
\Tag{(2)}
\psi(s) - \lambda \int_a^b K(t,s)\, \psi(t)\, dt = f(s).
\]

Le Deuxième Chapitre sera consacré à la résolution de cette
question, qui est effectuée par plusieurs méthodes distinctes donnant
$\phi(s)$ sous des formes différentes.

La première méthode, celle d'itération, due à Neumann et Volterra,
nous donne une série entière en~$\lambda$, dont les coefficients sont
des fonctions de~$s$. Elle est valable pour les valeurs de~$\lambda$ plus
petites en module qu'un certain nombre fixe.
\DPPageSep{008.png}{2}%

La seconde méthode, celle de Fredholm, donne pour~$\phi(s)$ le
rapport de deux fonctions entières en~$\lambda$, c'est-à-dire une fonction
méromorphe (voir p.~\Pg{5}) de~$\lambda$. Ces fonctions sont obtenues sous
la forme de séries entières dont les rayons de convergence sont
\emph{infinis}. Le numérateur du rapport a pour coefficients des puissances
de~$\lambda$, des fonctions de $s$ qui résultent de l'intégration de certains
déterminants. Le dénominateur est indépendant de~$s$. La solution
ainsi déterminée est \emph{unique}. Il y a une difficulté pour les valeurs
de~$\lambda$ qui sont pôles de cette fonction méromorphe; la méthode
montre que dans ce cas une solution n'existe pas en général, mais
la méthode donne la solution dans les cas exceptionnels où elle
existe.

Enfin une application convenable de la méthode --- développée
surtout par Hilbert et Schmidt --- donne la solution cherchée sous
une troisième forme, celle d'une série de \emph{fonctions fondamentales}.
Ces fonctions sont dans les cas ordinaires les solutions de l'équation
\emph{homogène}
\[
\phi(s) - \lambda \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = 0.
\]

Cette équation n'est satisfaite en général que par
\[
\phi(s) \equiv 0,
\]
mais il existe une suite de nombres --- \emph{constantes caractéristiques}
(ou \emph{nombres fondamentaux}\footnotemark)
\footnotetext{D'après M.~\bsc{Goursat}.}
\[
\lambda_1,\quad \lambda_2,\quad \dots\quad \lambda_n,\quad \dots
\]
pour chacun desquels cette équation a une solution finie, soit,
\[
\phi_1(s),\quad \phi_2(s),\quad \dots\quad \phi_n(s),\quad \dots.
\]
Ce sont les \emph{fonctions fondamentales}. La solution de l'équation~\Eq{(1)}
s'obtient alors sous la forme d'une série
\[
\phi(s) = \sum a_n\, \phi_n(s).
\]
\DPPageSep{009.png}{3}%
Cette méthode a été appliquée jusqu'ici surtout dans le cas où
$K(s,t)$~est une fonction symétrique de $s$,~$t$.
\[
K(s,t) \equiv K(t,s);
\]
(dans ce cas les deux équations \emph{associées} coïncident)\footnote
  {Voir la note~B, p.~\Pg{146} pour le cas général.}.

Il faut remarquer qu'il n'y a rien de nouveau dans la notion de
fonction fondamentale, qui a eu son origine avec les séries trigonométriques
de Fourier, et qui a occupé presque tous les grands
géomètres qui ont depuis étudié la Physique. Notamment M.~Poincaré,
à qui est dû le terme \emph{fonction fondamentale}, a publié plusieurs
mémoires profonds, dans lesquels il a traité des questions
de la théorie du potentiel au moyen de ces fonctions.

M.~Hilbert\footnote
  {\textit{Nachrichten\ldots\ zu Göttingen}, 1904, \no \textbf{1}.}
a appelé l'équation~\Eq{(1)}, une \emph{équation intégrale de
seconde espèce}, en réservant la désignation: \emph{équation intégrale de
première espèce}\footnote
  {La théorie de ces équations est beaucoup moins simple que celle des
  équations de deuxième espèce. En opérant comme au \no \textbf{6}, \Secundo, p.~43, on
  verrait facilement que même dans le cas simple où le noyau est de la forme
  $\sum\limits_{q=1}^{q=p} \alpha_q(s)\beta_q(t)$, l'équation de première espèce n'a pas, en général, de solution.}
pour l'équation
\[
\Tag{(3)}
\int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s).
\]
L'équation
\[
\Tag{(4)}
h(s)\, \phi(s) + \lambda \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s)
\]
qui se ramène immédiatement à~\Eq{(1)} quand $h(s)$~n'a pas de zéros
dans l'intervalle d'intégration, est dite \emph{de troisième espèce}\footnote
  {D.~\bsc{Hilbert}, \textit{Nachrichten\ldots\ zu Göttingen}, 1906; E.~\bsc{Picard}, \textit{Comptes
  Rendus}, 28~fév.~1910.}
dans
le cas contraire.

Nous ne nous occuperons pas en général de ces deux dernières
équations.
\DPPageSep{010.png}{4}%

\Paragraph{2.}{} --- Le but principal de ce livre est d'exposer cette théorie au
point de vue des applications physiques. Nous avons pour cette
raison énoncé au Premier Chapitre un certain nombre de problèmes
de Physique qui conduisent à une équation de Fredholm. Ces problèmes
reviennent en général à chercher une fonction analytique à
l'intérieur d'un domaine fermé, qui satisfait à une équation aux
dérivées partielles, et qui se réduit à une suite de valeurs données
à la frontière de ce domaine.

Dans le Troisième Chapitre nous appliquerons à la résolution
de ces problèmes les résultats du Deuxième Chapitre.

\Paragraph{3.}{\textbf{Cas de plusieurs variables.}} --- L'équation~\Eq{(1)} définit une
fonction~$\phi(s)$ qui dépend d'une seule variable~$s$: l'extension au cas
de plusieurs variables est immédiate, et il n'y a aucune modification
à faire dans les démonstrations pourvu qu'on astreigne la
frontière de ce domaine d'intégration à des conditions de régularité
convenables. En prenant par exemple le cas de deux variables, on a
\[
\phi(s_1,s_2)
  - \lambda \iint_{(D)} K(s_1,s_2;t_1,t_2)\, \phi(t_1,t_2)\, d(t_1, t_2)
  = f(s_1,s_2).
\]
L'intégration s'étend à un domaine~$(D)$ dont un point est déterminé
par les coordonnées~$(t_1,t_2)$: $(D)$~est aussi le domaine où
sont définies les fonctions $\phi(s_1,s_2)$,~$f(s_1,s_2)$. Il nous arrivera pour
abréger de dire que $\phi(s_1,s_2)$,~$f(s_1,s_2)$ sont deux fonctions du
point~$M$ dont les coordonnées sont~$(s_1,s_2)$, et que $K(s_1,s_2;t_1,t_2)$~est
une fonction des deux points $M(s_1,s_2)$,~$P(t_1,t_2)$: on écrira l'équation
sous la forme\Pagelabel{page:ref4}
\[
\SqTag{\DPtypo{(1)'}{(1')}}
\phi(M) - \lambda \int_{(D)} K(M,P)\, \phi(P)\, d\omega_P = f(M)
\]
où $d\omega_P$~désigne un élément d'aire de~$(D)$. Dans cette formule pour
simplifier l'écriture nous convenons que le signe~$\int$ désigne cette
fois une intégration double.
\DPPageSep{011.png}{5}%

\begin{Remark}
\Paragraph{4.}{\textbf{Cas réel et cas complexe\protect\footnotemark.}} --- Nous ne nous occuperons pas
des variables complexes; mais nous pouvons faire les remarques suivantes.
\footnotetext{On pourra sans inconvénient laisser de côté lors d'une première lecture
  tous les paragraphes imprimés en petit texte.}

La méthode d'itération et la méthode de Fredholm s'appliquent au
cas général où les fonctions $K(s,t)$,~$f(s)$ et le chemin d'intégration sont
complexes.

La méthode et les résultats de Hilbert et de Schmidt ne s'appliquent
pas toujours à ce cas général.

Lorsque les fonctions~$K(s,t)$,~$f(s)$ sont réelles, et le chemin d'intégration
réel, la solution et les fonctions fondamentales sont réelles. Les
constantes caractéristiques sont réelles dans le cas \textit{symétrique}, mais
elles ne sont pas réelles en général.
\end{Remark}

Dans la suite de l'Introduction nous énonçons quelques définitions
et propositions qui seront utiles plus tard.


\Subsection{Rappel de quelques définitions}

\Paragraph{5.}{} --- On dit qu'une fonction d'une ou de plusieurs variables
$x, y, \ldots$ est \emph{holomorphe près du point} $(x_0, y_0, \ldots)$, lorsqu'au voisinage
de ce point on peut la représenter sous forme d'une série
uniformément et absolument convergente de puissances entières
croissantes de $x-x_0, y-y_0, \ldots$. Si la série reste absolument
convergente quels que soient $x, y, \ldots$, on dira que la fonction est
entière.

Lorsqu'une fonction est holomorphe près de tout point intérieur
à un domaine~$D$, on dit qu'elle est holomorphe dans~$D$. Si la
fonction, sans être holomorphe dans~$D$, peut être considérée
comme le quotient~$\dfrac{f_1}{f_2}$ de deux fonctions holomorphes dans~$D$, on
dit qu'elle est \emph{méromorphe dans~$D$}. Une fonction méromorphe
d'une variable~$\lambda$ est en général infinie pour certaines valeurs de~$\lambda$
appelées \emph{pôles} de la fonction. On démontre que les points représentatifs
\DPPageSep{012.png}{6}%
de ces pôles sont en nombre fini dans toute aire bornée
du plan complexe. Leurs valeurs sont racines du dénominateur~$f_2$
et près de l'une quelconque d'entre elles, $\lambda'$, on peut écrire la
fonction sous la forme
\[
\Tag{(5)}
f(\lambda)
  = \frac{A_r}{(\lambda - \lambda')^r} + \ldots
  + \frac{A_1}{\lambda-\lambda'} + \phi(\lambda)
\]
où les~$A$ sont des constantes et où $\phi(\lambda)$~est une fonction holomorphe
près de~$\lambda'$. La fraction rationnelle~$f-\phi$ est appelée la
\emph{partie principale} de~$f$.

\Paragraph{5\bis.}{\textbf{Théorème.}} --- Soient $f(s,t)$,~$g(s,t)$ deux fonctions bornées
et intégrables dans le carré~$C$: $a \le (s,t) \le b$, et qui sont continues
dans~$C$ sauf peut-être en certains points disposés de façon qu'il
n'y en ait jamais qu'un nombre fini ayant même abscisse~$s$ ou
même ordonnée~$t$. (Pour abréger, nous dirons d'une fonction qui
possède toutes ces propriétés qu'elle est \emph{continue presque partout}
dans~$C$). Je dis que la fonction
\[
\Tag{(6)}
F(s,t) = \int_a^b f(s,\tau)\, g(\tau,t)\, d\tau
\]
est une fonction continue dans~$C$.

Il suffit de prouver que, quel que soit le point~$(s,t)$ fixe dans~$C$,
à tout nombre~$\epsilon > 0$, on peut faire correspondre un nombre~$\eta$
tel que les inégalités
\[
|s - s'| < \eta,\qquad |t - t'| < \eta
\]
entraînent dans~$C$
\[
\bigl|F(s',t') - F(s,t)\bigr| \le \epsilon.
\]

Or s'il n'en était pas ainsi, on pourrait trouver un nombre~$\epsilon > 0$
tel que quel que soit~$n$, il existe des valeurs~$s_n$,~$t_n$ dans~$(a, b)$ pour
lesquelles
\[
|s - s_n| < \frac{1}{n},\quad
|t - t_n| < \frac{1}{n},\quad
\bigl|F(s_n,t_n) - F(s,t)\bigr| > \epsilon.
\]
\DPPageSep{013.png}{7}%

Mais
\begin{align*}
F(s_n,t_n) - F(s,t)
  &= \int_a^b f(s_n,\tau) \bigl[g(\tau,t_n) - g(\tau,t)\bigr]\, d\tau \\
  &+ \int_a^b g(\tau,t) \bigl[f(s_n,\tau) - f(s,\tau)\bigr]\, d\tau.
\end{align*}

Soient maintenant $M$,~$N$ les bornes supérieures de $f$~et de~$g$, on
aura
\begin{align*}
\Tag{(7)}
\bigl|F(s_n,t_n) - F(s,t)\bigr|
  &\le M \int_a^b \bigl|g(\tau,t_n) - g(\tau,t)\bigr|\, d\tau \\
  &+   N \int_a^b \bigl|f(s_n,\tau) - f(s,\tau)\bigr|\, d\tau.
\end{align*}

Considérons le coefficient de~$M$; il n'y a qu'un nombre fini~$q$ de
points de discontinuité d'ordonnée~$t$; soient~$\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_q$ leurs
abscisses. En dehors des intervalles $\left( \tau_i ± \dfrac{\epsilon}{16MNq} \right)$, la fonction~$g$
est continue sur la droite d'ordonnée~$t$ par rapport à l'ensemble de
ses deux variables et par conséquent uniformément continue. On
peut donc prendre~$r$ indépendant de~$\tau$ et assez grand pour que
\[
\bigl|g(\tau,t_n) - g(\tau,t)\bigr| < \frac{\epsilon}{4M(b - a)}
\]
quand~$n> r$, si $\tau$~n'est intérieur à aucun des intervalles précédents.

Il en résulte que la partie de la première intégrale de~\Eq{(7)} relative
aux intervalles $\left( \tau_i ± \dfrac{\epsilon}{16MNq} \right)$ est inférieure à:
\[
\frac{\epsilon}{8MNq} × 2N × q = \frac{\epsilon}{4M}
\]
et la partie restante inférieure à
\[
\frac{\epsilon}{4M(b - a)} × (b - a) = \frac{\epsilon}{4M}.
\]

D'où
\[
M \int_a^b \bigl|g(\tau,t_n) - g(\tau,t)\bigr|\, d\tau
  \le M \frac{\epsilon}{4M} + M \frac{\epsilon}{4M}
  = \frac{\epsilon}{2}
\]
\DPPageSep{014.png}{8}%
pour~$n > r$. On aurait de même pour le second terme de~\Eq{(7)}
une inégalité analogue pour~$n > r'$. Donc pour $n > r + r'$
\[
\bigl|F(s_n,t_n) - F(s,t)\bigr|
  \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}
  = \epsilon
\]
contrairement à l'hypothèse.


\Subsection{Fonctions orthogonales}

\Paragraph{6.}{\textit{Inégalité de Schwarz.}} --- Soient $f(s)$~et~$\phi(s)$ deux fonctions
continues dans l'intervalle~$(a,b)$ et~$\lambda$~un paramètre numérique,
on a évidemment:
\begin{gather*}
0 \le \int_a^b \bigl[f(s) + \lambda\phi(s)\bigr]^2\, ds \\
  = \int_a^b \bigl[f(s)\bigr]^2\, ds
  + 2\lambda \int_a^b f(s)\, \phi(s)\, ds
  + \lambda^2 \int_a^b \bigl[\phi(s)\bigr]^2\, ds.
\end{gather*}

En écrivant que le dernier membre est un trinôme en~$\lambda$ jamais
négatif, on obtient l'inégalité de Schwarz
\[
\SqTag{(8)}
\left[ \int_a^b f(s)\, \phi(s)\, ds \right]^2
  \le \int_a^b \bigl[f(s)\bigr]^2\, ds × \int_a^b \bigl[\phi(s)\bigr]^2\, ds.
\]

On obtient de la même manière
\[%[** TN: Not breaking; squeeze double integrals to fit equation tag.]
\SqTag{\DPtypo{(8)'}{(8')}}
\left[ \int_a^b\! \int_a^b F(s,t)\, \Phi (s,t)\, ds\, dt\right]^2
  \le \int_a^b\! \int_a^b \bigl[F(s,t)\bigr]^2\, ds\, dt
    × \int_a^b\! \int_a^b \bigl[\Phi(s,t)\bigr]^2\, ds\, dt.
\]

\Paragraph{7.}{\textit{Fonctions orthogonales.}} --- On dit que deux fonctions continues
$f(s)$,~$\phi(s)$ sont \textit{orthogonales} dans un intervalle~$(a,b)$ si l'on a
\[
\int_a^b f(s)\, \phi(s)\, ds = 0.
\]
\DPPageSep{015.png}{9}%

Elles sont \emph{normales} si
\[
\int_a^b \bigl[f(s)\bigr]^2\, ds = 1 = \int_a^b \bigl[\phi(s)\bigr]^2\, ds.
\]

Il est facile de voir que si des fonctions continues
\[
\phi_1(s),\ \phi_2(s),\ \ldots,\ \phi_q(s),\ \ldots
\]
sont normales et orthogonales\footnotemark,
\footnotetext{Comme exemple d'un tel système, on peut prendre: \\
  $\ds\phi_1(s) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\
  \phi_2(s) = \frac{\cos s}{\sqrt{\pi}},\
  \phi_3(s) = \frac{\sin s}{\sqrt{\pi}},\ \ldots,
  \phi_{2n}(s) = \frac{\cos ns}{\sqrt{\pi}},\
  \phi_{2n+1}(s) = \frac{\sin ns}{\sqrt{\pi}},\ \ldots$,
  avec $a = 0$, $b = 2\pi $.}%
ces fonctions sont linéairement
indépendantes. Autrement dit, une identité de la forme
\[
c_1\, \phi_1(s) + \ldots + c_q\, \phi_q(s) + \ldots \equiv 0,
\]
où les~$c$ sont des constantes et où le premier membre est, soit une
somme d'un nombre limité de termes, soit une série uniformément
convergente, n'est possible que si ces constantes sont toutes
nulles. En effet, en multipliant par~$\phi_i(s)$ et intégrant, on a
\begin{align*}
0 &= c_1 \int_a^b \phi_1(s)\, \phi_i(s)\, ds + \ldots
   + c_i \int_a^b \bigl[\phi_i(s)\bigr]^2\, ds + \ldots \\
  &+ c_q \int_a^b \phi_q(s)\, \phi_i(s)\, ds + \ldots = c_i,
\end{align*}
pour $i = 1, 2, \ldots, q,\ldots$.

\Paragraph{8.}{\textit{Normalisation.}} --- \DPtypo{Etant}{Étant} donné un système de fonctions continues
dans~$(a,b)$ et non identiquement nulles
\[
f_1(s),\ f_2(s),\ \ldots,\ f_n(s),\ \ldots
\]
en nombre fini ou non, on peut toujours \emph{normaliser} ce système,
c'est-à-dire trouver un système de fonctions continues dans~$(a,b)$
\[
\phi_1(s),\ \phi_2(s),\ \ldots
\]
\DPPageSep{016.png}{10}%
qui sont normales et orthogonales et telles que toute combinaison
linéaire des~$f(s)$ est une combinaison linéaire des~$\phi(s)$ et inversement.

En effet, supprimons de la suite des~$f$, celles qui sont une combinaison
linéaire des précédentes et nous serons ramenés au cas où
les fonctions~$f$ sont linéairement indépendantes quand on en considère
un nombre fini quelconque.

Supposons alors démontré qu'on peut trouver $p$~combinaisons
linéaires de $f_1, f_2, \ldots, f_p$, soient $\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_p$, qui sont normales et
orthogonales entre elles. Ce sera aussi vrai quand on remplace~$p$
par~$p + 1$. En effet, formons
\[
\Tag{(9)}
\phi_{p+1} \equiv c_1\, \phi_1 + \ldots + c_p\, \phi_p + c_{p+1}\, f_{p+1}
\]
ce sera une combinaison linéaire des~$f$. Elle sera orthogonale à
$\phi_1, \ldots, \phi_p$ si l'on a
\[
0 = \int_a^b \phi_{p+1}(s)\, \phi_k(s)\, ds
  = c_k + c_{p+1} \int_a^b f_{p+1}(s)\, \phi_k(s)\, ds, \quad (k = 1, \ldots, p).
\]

D'où
\[
\phi_{p+1} \equiv c_{p+1}
  \bigl[f_{p+1} - \sum^p_1 \phi_k(s) \int_a^b f_{p+1}(s)\, \phi_k(s)\, ds\bigr].
\]

Le crochet n'est pas identiquement nul, sans quoi $f_{p+1}$~serait
une combinaison linéaire de $\phi_1, \ldots, \phi_p$ et par suite de $f_1, f_2, \ldots, f_p$
ce qui serait contraire à l'hypothèse. Alors, on pourra évidemment
choisir~$c_{p+1}$ de façon que $\phi_{p+1}$~soit normale, ce qui démontre notre
remarque. Or celle-ci admise pour $p$~fonctions est vraie pour une;
elle est donc générale. Le théorème est alors démontré, car les
fonctions orthogonales et normales $\phi_1, \phi_2, \ldots$ sont nécessairement
indépendantes, et, non seulement elles sont bien des combinaisons
linéaires des~$f$, mais d'après~\Eq{(9)}, les~$f$ sont aussi des combinaisons
linéaires des~$\phi$. De plus nous voyons que si les~$f$ sont linéairement
\DPtypo{indépendants}{indépendantes}, le nombre des~$\phi$ sera égal à celui des~$f$, en particulier
s'il y a une infinité de fonctions~$f$, il y aura une infinité de
fonctions~$\phi$.
\DPPageSep{017.png}{11}%

\Paragraph{9.}{\textit{Constantes de Fourier généralisées.}} --- Considérons un système
\emph{normé}, c'est-à-dire un système de fonctions normales et orthogonales
entre elles
\[
\phi_1(s),\ \phi_2(s),\ \phi_3(s),\ \ldots\Add{.}
\]

Il est facile de voir qu'une fonction~$F(s)$ qui peut être considérée
comme une combinaison linéaire d'un nombre fini ou non de fonctions
de ce système ne peut être exprimée ainsi de plus d'une façon.
D'une manière précise si la série
\[
d_1\, \phi_1(s) + d_2\, \phi_2(s) + \ldots + d_n\, \phi_n(s) + \ldots
\]
est composée d'un nombre fini de termes ou converge uniformément,
les coefficients supposés constants~$d_1, d_2, \ldots$ sont bien
déterminés par la somme~$F(s)$ de cette série. En effet, en multipliant
par~$\phi_n(s)$ et intégrant, on aura
\[
d_n = \int_a^b F(s)\, \phi_n(s)\, ds.
\]

Par analogie avec ce qui se passe dans les développements trigonométriques,
nous nommerons les~$d_n$, les constantes de Fourier de~$F(s)$
relativement au système des~$\phi_n$.

\Paragraph{10.}{\textit{Inégalité de Bessel.}} --- Soit $F(s)$ une fonction continue dans~$(a,b)$
et
\[
\phi_1,\ \phi_2,\ \ldots
\]
un système de fonctions continues normales et orthogonales dans~$(a,b)$.
Posons
\[
\SqTag{(10)}
\alpha_p = \int_a^b F(s)\, \phi_p(s)\, ds.
\]

On aura
\begin{align*}
\int_a^b \Big[ F(s) &- \sum \alpha_p\, \phi_p(s) \Big]^2 ds
   = \int_a^b \bigl[F(s)\bigr]^2\, ds
  - 2\sum \alpha_p \int_a^b F(s)\, \phi_p(s)\, ds \\
  &+ \sum \alpha_p^2 \int_a^b \phi_p^2(s)\, ds
  + 2\sum \alpha_p\alpha_r \int_a^b \phi_p(s)\, \phi_r(s)\, ds \\
  &= \int_a^b \bigl[F(s)\bigr]^2\, ds - \sum \alpha_p^2.
\end{align*}
\DPPageSep{018.png}{12}%

D'où une formule importante
\[
\sum \alpha_p^2
  = \int_a^b \bigl[F(s)\bigr]^2 ds
  - \int_a^b \bigl[F(s) - \sum \alpha_p\, \phi_p(s)\bigr]^2 ds.
\]

En particulier on a l'inégalité de Bessel
\[
\SqTag{(11)}
\sum \alpha_p^2 \le \int_a^b \bigl[F(s)\bigr]^2\, ds,
\]
où les~$\alpha_p$ sont les constantes de Fourier~\Eq{(10)} de~$F(s)$ relativement
aux~$\phi(s)$.

Il en résulte que si les~$\phi_p$ sont en nombre infini, la série~$\ds\sum_{p=1}^{p=\infty} \alpha_p^2$
sera convergente et inférieure ou égale à~$\smash[t]{\ds\int_a^b \bigl[F(s)\bigr]^2\, ds}$.

\Paragraph{11.}{} --- On peut en tirer avec M.~Schmidt la conséquence suivante.

Les constantes de Fourier d'une fonction continue de deux variables~$H(s, t)$
où l'on considère~$t$ comme constant, sont des fonctions
de~$t$:~$\beta_p(t)$. Je dis que si~$H(s, t)$ est une fonction symétrique,
la série
\[
\sum \alpha_p\, \beta_p(t)
  \equiv \sum\int_a^b F(s)\, \phi_p(s)\, ds \int_a^b H(s,t)\, \phi_p(s)\, ds
\]
est absolument et uniformément convergente quand $t$~varie dans~$(a, b)$.
En effet, on a
\[
J = \sum_{p=n}^{p=n+m} \bigl[\alpha_p\, \beta_p(t)\bigr]
  = \int_a^b \left[ \sum_{p=n}^{p=n+m} \alpha_p\, \phi_p(s) \right]
             \left[ \sum_{p=n}^{p=n+m} \beta_p(t)\, \phi_p(s) \right] ds
\]
puisque les~$\phi$ forment un système normé. D'après les inégalités de
Schwarz et de Bessel, appliquées au dernier membre, on a
\[
J^2 \le \left[ \sum_{p=n}^{p=n+m} \alpha_p^2 \right]
        × \int_a^b \bigl[H(s, t)\bigr]^2\, ds.
\]
\DPPageSep{019.png}{13}%

Mais la fonction~$H(s,t)$ étant continue, la seconde intégrale a
un maximum~$M$ lorsque $t$~varie dans~$(a,b)$. On a donc:
\[
\sum_{p=n}^{p=n+m} \bigl|\alpha_p\, \beta_p(t)\bigr|
  \le |J|
  \le \sqrt{M\sum_{p=n}^{p=\infty}\alpha_p^2}.
\]

Comme la série~$\sum \alpha_p^2$ est convergente, le second membre (et par
conséquent le premier membre) peut être rendu aussi petit que
l'on veut, en prenant~$n$ assez grand et~$m$ quelconque, de sorte que
la proposition est démontrée (voir la note~\footnotemark[1], p.~\Pg{93}).

\ctb
\DPPageSep{020.png}{14}%


\Chapter{Chapitre Premier}{Problèmes se Ramenant A L'Équation de~Fredholm}

\Section{I.}{Problèmes de potentiel}

\Paragraph{1.}{\textbf{Fonctions harmoniques\protect\footnotemark.}} --- On dit qu'une équation
\footnotetext{\bsc{Hadamard}, \textit{Propagation des Ondes}, ch.~I.}%
linéaire aux dérivées partielles du second ordre\footnotemark\addtocounter{footnote}{-1}
\[
\sum_{i,k} a_{ik}\, \frac{\partial^2V}{\partial x_i\partial x_k}
  + \sum_i a_i\, \frac{\partial V}{\partial x_i} + lV
  = f(x_1, x_2, \ldots\Add{,} x_n)
\]
appartient au type \emph{elliptique}, ou encore, est à \emph{caractéristiques}\footnote
  {\bsc{Hadamard}, \textit{Ibid.}\ Chap.~VII, §~3.}
imaginaires, si la forme quadratique
\[
\sum_{i,k} a_{ik} X_i X_k
\]
(obtenue en remplaçant, dans les termes du second ordre, chaque
dérivée $\dfrac{\partial^2V}{\partial x_i\partial x_k}$ par un produit de deux indéterminées~$X_i$,~$X_k$) est
\emph{définie}, c'est-à-dire se compose d'autant de carrés indépendants et
tous de même signe qu'il y a de variables.

La plus simple et la plus connue des équations du type elliptique
est l'équation de \emph{Laplace} ou \emph{équation des potentiels}.
\[
\Tag{(1)}
\frac{\partial^2V}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2V}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0 \quad \text{ou} \quad \Delta V = 0
\]
\DPPageSep{021.png}{15}%

On appelle \emph{fonction harmonique dans un domaine}~$D$ à trois
dimensions toute solution de cette équation analytique\footnote
  {Il suffit de supposer l'existence de~$V$ et de ses dérivées premières et secondes.}
dans le
domaine~$D$.

Dans le cas où $D$~est illimité, il faut de plus que le rapport de~$V$
à~$\dfrac{1}{R}$, $R$~étant la distance de l'origine, reste inférieur en module à
un nombre donné $\Big($ainsi que le rapport de chacune des dérivées
partielles $\dfrac{\partial V}{\partial x}$, $\dfrac{\partial V}{\partial y}$, $\dfrac{\partial V}{\partial z}$ à $\dfrac{1}{R^2}\Big)$.

\Paragraph{2.}{\textbf{Potentiel.}} --- Les fonctions suivantes sont harmoniques en
dehors des masses attirantes:

\Primo\ Le potentiel d'une distribution spatiale
\[
\SSqTag{(2)}
V(M) = \iiint \frac{\rho(P)}{r}\, dx\, dy\, dz.
\]

\Secundo\ Le potentiel d'une simple couche étalée sur une surface~$S$,
\[
\SSqTag{(3)}
U(M) = \iint \frac{\rho(P)}{r}\, dS.
\]

\Tertio\ Le potentiel d'une double couche,
\[
\SSqTag{(4)}
W(M) = \iint \rho(P) \left[\frac{d}{dn} \left( \frac{1}{r} \right) \right]dS
  = \iint \rho(P)\, \frac{\cos \phi}{r^2}\, dS
\]
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \Fig{1}
    \Input[2in]{021a}
  \end{center}
\end{figure}%
\DPPageSep{022.png}{16}%
où $M$~désigne le point dont on considère le potentiel,~$P$, un point
attaché à un élément de masse, $r = \Seg{MP}$ et où $\phi$~est l'angle de~$\Seg{PM}$
et de la normale à la surface~$S$ au point~$P$, dirigée vers l'intérieur
(\Figref{1}).

On suppose que~$S$ a partout un plan tangent unique; la masse attirante
est supposée être située à une distance finie de l'origine. La densité~$\rho$
est une fonction finie et intégrable: elle peut être discontinue.

A l'intérieur des masses attirantes, on a la formule de Poisson
\[
\Tag{(2\bis)}
\Delta V = -4 \pi\, \rho.
\]

\Paragraph{3.}{\textbf{Continuité du potentiel.}}---Dans ces conditions:

\Primo\ Le potentiel d'une distribution spatiale est partout continu,
ainsi que sa dérivée première. Sa dérivée seconde a en général des
discontinuités aux points où $\rho$~est discontinu.

\Secundo\ Le potentiel d'une simple couche est continu et nul à l'infini.
Sa dérivée première (continue ailleurs) a des discontinuités sur la
surface~$S$, sur laquelle les équations suivantes sont satisfaites,
\begin{align*}
\SSqTag[2]{(5)}
\frac{1}{2} \left(\frac{\partial V}{\partial n_e}
                - \frac{\partial V}{\partial n_i}\right)
  &=  2 \pi \rho(M), \\
\Tag{(6)}
\frac{1}{2} \left(\frac{\partial V}{\partial n_e}
                + \frac{\partial V}{\partial n_i}\right)
  &=  \int_S \rho(P)\, \frac{\cos \psi}{r^2}\, d\sigma.
\end{align*}

Ici l'indice~$e$ signifie que~$\dfrac{\partial V}{\partial n_e}$ est la limite du rapport~$\dfrac{V_Q - V_M}{\Seg{MQ}}$
lorsqu'en partant d'un point~$Q$ sur la normale, extérieur à la surface,
on s'approche du point~$M$ de la surface le long de la normale.
L'indice~$i$ signifie qu'on prend la même limite lorsque le point~$Q$
est intérieur à la surface. Le signe~$\int$ désigne une intégrale double
étendue à la surface~$S$, dont $d\sigma$~est l'élément d'aire. $\psi$~est l'angle
de~$\Seg{MP}$ et de la normale à~$M$.

\Tertio\ Le potentiel d'une double couche (continu ailleurs) a des discontinuités
sur la surface~$S$. Il est nul à l'infini et satisfait aux
équations suivantes:
\begin{align*}
\SSqTag[2]{(7)}
\frac{1}{2} (W_i - W_e) &= 2 \pi\, \rho(M), \\
\Tag{(8)}
\frac{1}{2} (W_i + W_e) &= \int_S \rho(P)\, \frac{\cos\phi}{r^2}\, dS.
\end{align*}
\DPPageSep{023.png}{17}%

\Paragraph{4.}{\textbf{Problèmes relatifs aux fonctions harmoniques.}} --- Le
problème de déterminer une fonction~$V$ harmonique dans un domaine~$D$
extérieur ou intérieur à une surface~$S$ et satisfaisant à
diverses conditions sur la surface~$S$ de ce domaine a une importance
capitale.

Il est nommé suivant les différents cas:

\Primo\ \textit{Problème de Dirichlet.}\ --- On impose à la fonction~$V$ cherchée
la condition d'être égale sur~$S$ à une fonction donnée sur~$S$
\[
\Tag{(9)}
V_S = f(M).
\]

\Secundo\ \textit{Problème de Neumann.}\ --- On donne sur~$S$ non plus les valeurs
de~$V$ mais celle de~$\dfrac{\partial V}{\partial n}$
\[
\Tag{(10)}
\frac{\partial V}{\partial n_S} = g(M).
\]

\Tertio\ \textit{Problème de la chaleur.}\ --- L'expression~$\dfrac{\partial V}{\partial n} + pV$ est donnée
sur~$S$, $p$~étant une fonction donnée de~$M$
\[
\Tag{(11)}
\frac{\partial V}{\partial n_S} + p(M)\, V_S = h(M).
\]

La condition
\[
q\, \frac{\partial V}{\partial n}  + p\, V = h(M)
\]
se ramène à la précédente tant que~$q \ne 0$.

Le mot «problème mixte» s'applique à un problème qu'on
rencontre en particulier en Hydrodynamique et correspond à
$q = 0$~sur une partie de la surface, et $p = 0$~sur l'autre\footnotemark.
\footnotetext{\bsc{Hadamard}, \textit{Propagation des ondes}.}

A chacune de ces conditions correspondent deux problèmes distincts --- intérieur
et extérieur.

\Paragraph{5.}{\textbf{Problèmes généralisés.}} --- Sont presque aussi importants
que les précédents, les problèmes qui consistent à trouver non une
fonction harmonique, c'est-à-dire une solution analytique de
\[
\Delta V = 0
\]
\DPPageSep{024.png}{18}%
mais une solution analytique de
\[
\Tag{(12)}
\Delta V = \phi(M)
\]
satisfaisant à l'une des conditions \Primo, \Secundo, \Tertio\ sur une surface~$S$.

Ces problèmes se ramènent aux précédents. Cherchons, en effet,
une solution~$V$ de
\[
\Delta V = \phi(x, y, z)
\]
dans un domaine~$D$, qui, sur la frontière~$S$ de ce domaine, satisfait
à la condition
\[
V = f(M).
\]

Pour cela il suffit de trouver deux fonctions $V_1$~et~$V_2$ telles
qu'on ait
\begin{align*}
\text{\textit{dans}}\ D
  &\left\{\begin{aligned}
      \Delta V_1 &= \phi(x, y, z) \\
      \Delta V_2 &= 0
    \end{aligned}\right.\\
\text{et \textit{sur}}\ S &: V_2 = f(M) - V_1(M).
\end{align*}

La solution sera
\[
V = V_1 + V_2.
\]

Or, grâce à la formule de Poisson~\Eq{(2\bis)}, on a tout de suite une
solution en~$V_1$
\[
V_1 = -\frac{1}{4\pi} \int_D  \phi(P)\, \frac{1}{r}\, d\omega_P
\]
où~$r = \Seg{MP}$. (Dans le cas du problème plan, on remplacerait~$\dfrac{1}{r}$
par~$\log r$).

Et la recherche de~$V_2$ revient au problème de Dirichlet.

Les deux autres problèmes correspondant au problème de
Neumann, au problème de la chaleur et au problème mixte se traitent
d'une manière analogue.

\Paragraph{6.}{\textbf{Problèmes de physique mathématique correspondant
aux précédents.}} \Subparagraph{\Primo}{\textit{Attraction newtonienne et électrostatique.}} ---
Chacun des cas du \no \textbf{4} correspond à un problème de ces théories.
On peut mentionner\footnote
  {\bsc{O.~D. Chwolson}, \textit{Traité de Physique} (traduit par \bsc{Davaux}), 1910, Paris. Tome~IV,
  \textit{Champ électrique constant}, p.~129.}
celui de trouver le potentiel à l'extérieur ou
\DPPageSep{025.png}{19}%
à l'intérieur d'un conducteur sur lequel s'étale une charge donnée.
Le problème revient à chercher une fonction harmonique dans~$D$
et égale sur sa frontière à une constante donnée.

Le cas où il y a plusieurs conducteurs auxquels on communique
différentes charges se réduit au cas précédent. On peut en effet
considérer les différents conducteurs comme une seule surface
multiconnexe.

On peut mentionner aussi le problème des marées\footnote
  {\bsc{Darwin}, \textit{Philos.\ Trans.}, 1879, pp.~447,~539; 1880~(II), p.~713; 1881~(II),
  p.~491; 1887, p.~379.}.
On considère
la terre comme une sphère dont certaines parties, correspondant
aux mers, sont conductrices. Cette sphère est placée dans un champ
qui est produit par les attractions des astres, et par la rotation de
la terre elle-même (force centrifuge). La densité électrique sur la
sphère correspond à la hauteur des marées\footnote
  {\bsc{Poincaré}, \textit{Journal de Mathématiques}, 1897.}.

\Subparagraph{\Secundo}{\textit{Magnétisme.}} --- La fonction~$V$ peut également être un potentiel
magnétique, et l'on peut traiter le problème de l'aimantation par
influence\footnote
  {\bsc{Mascart} et \bsc{Joubert}, \textit{Electricité et Magnétisme}, t.~I, §~270.}.
La Physique nous donne une relation entre la force
magnétique extérieure et intérieure sur la surface du corps aimanté
\[
(1 + 4\pi k)\, \frac{\partial V}{\DPtypo{n_i\partial}{\partial n_i}}
             - \frac{\partial V}{\partial n_e} = \text{fonction donnée},
\]
$k$~étant le coefficient d'aimantation.

Ce problème diffère un peu des problèmes des \nos \textbf{4}~et~\textbf{5}, nous
verrons dans le \no \textbf{9} qu'on le résout de la même manière.

\Subparagraph{\Tertio}{\textit{L'hydrodynamique.}} --- La fonction~$V$ est maintenant le potentiel
permanent des vitesses\footnote
  {\bsc{Appell}, \textit{Traité de Mécanique}, t.~III, p.~325,~327.}.
Le problème du mouvement
irrotationnel d'un liquide dans un vase fermé immobile que ce
liquide est supposé remplir exactement correspond à la condition
\[
\frac{\partial V}{\partial n} = 0.
\]

Si les parois du vase se déplacent (le vase restant toujours complètement
plein), on a
\[
\frac{\partial V}{\partial n} = \text{fonction donnée}.
\]
\DPPageSep{026.png}{20}%

Le mouvement des parois est assujetti à la condition que le volume
du liquide reste constant, de sorte qu'on a
\[
\int_S \frac{dV}{dn}\, dS = 0.
\]

On obtiendrait un problème différent, cas particulier du problème
de Dirichlet, en supposant que la direction de la vitesse en
chaque point d'une surface fermée est normale à cette surface.
Celle-ci devant être alors une surface de niveau, cela revient à se
donner
\[
V = \text{constante sur la surface}.
\]

Si enfin on a affaire à un liquide présentant une surface libre,
on doit déterminer~$V$ en se donnant ses valeurs sur \emph{une partie} d'une
surface et celles de~$\dfrac{\partial V}{\partial n}$ sur l'\emph{autre partie}. Ce cas se ramène donc
au problème mixte.

\Subparagraph{\Quarto}{\textit{Elastostatique.}} --- Considérons le cas d'une petite déformation\Pagelabel{page:ref20}
d'un corps de forme donnée, et supposons que cette déformation
dérive d'un potentiel~$V$\footnotemark. On a
\footnotetext{Soit\DPnote{** TN: [sic], though arguably Soient} $(x, y, z)$, $(x + \xi, y + \eta, z + \zeta)$ les coordonnées d'un point~$P$ du
  corps \emph{avant} et \emph{après} la déformation due à l'action des forces de masse et des
  forces de surface. Notre hypothèse s'exprime par les relations:
  \[
  \xi   = \frac{\partial V}{\partial x},\quad
  \eta  = \frac{\partial V}{\partial y},\quad
  \zeta = \frac{\partial V}{\partial z}.
  \]

  La dilatation~$\theta$ est le rapport de l'accroissement de volume au volume primitif:
  on~a:
  \[
  \theta
  = \frac{\partial\xi}{\partial x}
  + \frac{\partial\eta}{\partial y}
  + \frac{\partial\zeta}{\partial z} = \Delta V.
  \]

  \bsc{V.~Appell}, \textit{Traité de Mécanique}, t.~III, p.~805.}
\[
\Delta V = \theta
\]
où $\theta$~est la dilatation. Si des forces données agissent sur la surface
on connaîtra~$\dfrac{\partial V}{\partial n}$. La fonction~$\theta(x, y, z)$ sera donnée par la force
de masse. On a donc un cas du problème généralisé. Par contre,
le problème est notablement plus difficile lorsqu'on ne fait pas sur
la solution l'hypothèse précédente.
\DPPageSep{027.png}{21}%

\Subparagraph{\Cinqo}{\textit{Théorie de la chaleur.}} --- Le problème d'un corps en équilibre
de température avec rayonnement\footnote
  {\bsc{Boussinesq}, \textit{Théorie analytique de la Chaleur}, t.~II. --- \bsc{Chwolson}, \textit{loc.\ cit.},
  t.~III, p.~303 et~331.}
nous donne le problème
du \no \textbf{4} avec la condition
\[
kV - \frac{\partial V}{\partial n_i} = \text{fonction donnée}.
\]

C'est la loi de Newton.

\Paragraph{7.}{} --- Relativement à chacun des problèmes des \nos \textbf{5}~et~\textbf{6} se
posent deux questions préliminaires. Est-ce qu'une solution existe?
Si elle existe, est\DPtypo{ }{-}elle unique? La méthode donne une réponse très
nette à chacune de ces questions.

Il faut remarquer que la Physique résout ces questions dans les
cas cités au \no \textbf{6}. Il est physiquement évident que les divers équilibres
proposés seront réalisés, et qu'ils ne seront réalisés que
d'une seule manière. Mais cette réponse ne suffit pas au point de
vue mathématique et nous aurons à la compléter. Pour cela, il
nous sera souvent commode d'utiliser la notion de fonction de
Green.

\Paragraph{8.}{\textbf{Fonction de Green.}} --- Soient~$M$,~$P$ deux points du domaine~$D$:
envisageons la fonction des deux points, $\dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{\Seg{MP}}$\footnotemark.
\footnotetext{Dans tout ce numéro, on devra remplacer~$\dfrac{1}{r}$ par~$\log \dfrac{1}{r}$ pour obtenir le\Pagelabel{page:ref21}
  cas du plan; il faudra en outre remplacer~$4\pi$ par~$2\pi$ dans la formule~\Eq{(13)}.}

Considérée comme fonction de~$P$, elle est analytique en tout
point sauf en~$M$, et si~$M$ n'est pas sur la surface~$S$, elle prend des
valeurs déterminées en tout point de cette surface.

Imaginons qu'on puisse construire une fonction~$\varpi$ harmonique
dans le domaine~$D$ (limité par~$S$ et intérieur ou extérieur à~$S$) et
prenant sur la surface~$S$ les valeurs $\dfrac{1}{\Seg{MP}} = \dfrac{1}{r_S}$, $M$~étant pour le moment
un point fixe. Ceci revient à la solution d'un problème de
Dirichlet de l'espèce indiquée au \no \textbf{4}, p.~\Pg{17}.

La fonction harmonique de~$P$
\[
\frac{1}{r} - \varpi = \Gscr (M, P)
\]
\DPPageSep{028.png}{22}%
qui s'annule sur~$S$ et qui a une singularité au point~$M$ s'appelle
\emph{fonction de Green relative à~$D$}.

Elle est symétrique en $M$~et~$P$, c'est-à-dire que
\[
\Gscr(M, P) = \Gscr(P, M).
\]

Dans le cas où $M$~et~$P$ se trouvent à la fois sur la surface, la
fonction~$\Gscr$ s'annule également, pourvu que les deux points ne
coïncident pas.

On démontre d'ailleurs qu'une fois connue la fonction de Green
la résolution du problème de Dirichlet s'ensuivrait. Mais nous
n'utiliserons pas ce fait.

Au contraire, nous nous servirons d'une autre propriété remarquable
exprimée par la formule
\[
\SSqTag{(13)}
\Delta \int_D f(P)\, \Gscr(M, P)\, d\omega_P = -4\pi f(M),
\]
dans laquelle $f(M)$~est une fonction finie quelconque ayant des
dérivées-premières et où le signe~$\int$ désigne une intégration triple
effectuée dans le domaine~$D$ dont l'élément de volume est~$d\omega_P$.

Pour démontrer cette relation, on écrit le premier membre sous
la forme
\[
\Delta \int_D \frac{1}{r}\, f(P)\, d\omega_P
  - \Delta \int_D \varpi(M, P) · f(P)\, d\omega_P.
\]

La seconde expression s'évanouit, puisque $\varpi$~est harmonique.

La première intégrale est le potentiel d'une distribution de
matière de densité~$f(P)$.

Donc le premier membre de~\Eq{(13)} est bien égal à
\[
-4\pi\, f(M)
\]
à cause de l'équation de Poisson~\Eq{(2\bis)}, p.~\Pg{16}, à laquelle satisfait la
première intégrale, pourvu que $f(M)$~possède des dérivées premières
\[
\frac{\partial f}{\partial x},\quad
\frac{\partial f}{\partial y},\quad
\frac{\partial f}{\partial z}.
\]
\DPPageSep{029.png}{23}%

Enfin nous établirons aussi la propriété suivante:

L'intégrale
\[
\Tag{(14)}
\int_D f(P)\, \Gscr(M, P)\, d\omega_P
\]
s'annule lorsque $M$~s'approche de la surface.

En effet, tous les éléments de cette intégrale s'annulent sauf
celui qui contient le point~$M$.

Prenons un point~$A$ sur la surface (\Figref{2}) et autour de~$A$ décrivons
deux sphères~$c_1$,~$c_2$ de rayons~$r_1$,~$r_2$.
Considérons la partie de l'intégrale qui
s'étend à l'espace~$\Sigma$ entre ces deux
sphères et la surface~$S$\footnotemark.
\footnotetext{Nous avons substitué dans la \Figref[figure]{2}, «contour et aire renfermés» à
  «surface et volume renfermés».}

Soit~$M$ un point situé à une distance
de~$A$ plus petite que~$\dfrac{r_1}{2}$.

La fonction harmonique~$\varpi$ n'a ni
maximum ni minimum, et elle est
%[** TN: Move down two paragraphs]
\begin{wrapfigure}[10]{r}{1.75in}
  \Fig{2}
  \Input[1.75in]{029a}
\end{wrapfigure}
égale à~$\dfrac{1}{r}$ sur~$S$; par suite elle reste comprise
entre le maximum et le minimum de~$\dfrac{1}{r}$ sur la surface. Elle
est donc positive.

D'autre part $\Gscr = \dfrac{1}{r} - \varpi$ est une fonction de~$P$ harmonique, sauf
au point~$M$, qui s'annule sur~$S$, et qui est sûrement positive au voisinage
de~$M$. En traçant autour de~$M$ une sphère très petite, on voit
qu'entre cette sphère et~$S$, $\Gscr$~a un maximum positif sur cette sphère
et un minimum nul sur~$S$. Par conséquent, $\Gscr$ est positive partout,
et, puisque $\varpi > 0$, elle est en module plus petite que~$\dfrac{1}{r}$. Si $K$~est
le maximum de~$f(P)$ dans~$D$, on a donc:
\[
\Tag{(15)}
\left| \int_{\epsilon} f(P)\, \Gscr(M, P)\, d\omega_P \right|
  < K \int_{\epsilon} \frac{1}{r}\, d\omega_P,
\]
$\epsilon$~étant une partie quelconque de~$D$.
\DPPageSep{030.png}{24}%

Il faut démontrer que l'intégrale~\Eq{(14)} tend vers zéro quand le
point~$M$ s'approche d'un point~$A$ du bord. Choisissons d'abord un
petit nombre positif~$\epsilon$. Nous allons démontrer qu'on peut prendre
le point~$M$ assez près de~$A$ (\Figref{2}) pour que l'intégrale~\Eq{(14)} soit plus
petite que~$\epsilon$.

Autour de~$A$ décrivons une petite sphère~$c_1$ de rayon~$\rho$. Soit~$M$
à l'intérieur de cette sphère. Nous pouvons choisir le rayon~$\rho$
tel que l'intégrale~$\ds\int\frac{1}{r}\, d\omega_P$ étendue à l'intérieur d'une sphère~$c_2$
de centre~$M$ et de rayon~$2\rho$ soit plus petite que~$\dfrac{\epsilon}{2}$, $r$~étant la distance
entre le point~$P$ et le centre. En effet cette dernière intégrale est
égale à
\[
\int_0^{2\rho} \frac{1}{r} · 4\pi r^2\, dr = 8 \pi \rho^2.
\]

Remarquons que $\rho$~étant ainsi choisi et fixé, la sphère fixe~$c_1$
reste tout entière comprise dans la sphère variable~$c_2$, si $M$~est à
l'intérieur de la sphère fixe~$c_1$ décrite autour de~$A$. L'intégrale~\Eq{(15)}
relative à la partie~$\epsilon$ du domaine~$D$ à l'intérieur de cette
sphère fixe~$c_1$ sera donc plus petite que~$\dfrac{\epsilon}{2}$. Les éléments de l'intégrale~\Eq{(15)}
extérieurs à la sphère~$c_1$ sont finis et ils tendent vers
zéro lorsque $M$~s'approche du bord, $c_1$~restant fixe. Donc on peut
rendre le reste de l'intégrale~\Eq{(11)} plus petit que~$\dfrac{\epsilon}{2}$ en faisant tendre
$M$~vers~$A$.

Donc on peut rendre l'intégrale~\Eq{(11)} plus petite que $\dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$.

Nous venons de traiter un cas de la fonction de Green, dont
l'existence dépend de la résolution du problème intérieur de
Dirichlet. Il y a aussi à considérer la fonction de Green relative à
l'extérieur d'une surface, et ensuite des fonctions analogues pour
les conditions
\[
\frac{\partial\Gscr}{\partial n} = 0
\]
sur la surface et
\[
\frac{\partial \Gscr}{\partial n} + p(M)\, \Gscr = 0
\]
\DPPageSep{031.png}{25}%
sur la surface pour les cas extérieur et intérieur. Pour approfondir
cette question nous avons besoin des résultats du Deuxième
Chapitre. Nous reconnaîtrons (\no \textbf{14}, p.~\Pg{121}) à l'aide de ces résultats
que des fonctions de Green satisfaisant à ces conditions
n'existent pas dans \textit{tous} les cas. Dans les numéros suivants (\no \textbf{13},
p.~\Pg{29}) nous indiquerons l'emploi de certaines de ces fonctions de
Green.

\Paragraph{9.}{\textbf{La mise en équation.}} --- Nous allons maintenant montrer
comment à une exception près (§~\Quarto, p.~\Pg{ref20}) les problèmes précédents
se ramènent aisément à des équations de Fredholm, c'est-à-dire de
la forme~\Eq{\DPtypo{(1)'}{(1')}}, p.~\Pg{4}. Envisageons d'abord le problème \Primo\ du \no \textbf{4},
c'est-à-dire le problème de Dirichlet. Nous le remplacerons par
un problème plus général:

Trouver une fonction~$V$ harmonique dans tout l'espace (sauf sur
la surface~$S$) et qui sur la surface~$S$ satisfait à la condition
\[
\Tag{(16)}
V_i + \mu V_e = \mu f(M),
\]
où $\mu$~est un paramètre arbitraire.

Pour~$\mu = 0$, nous avons le problème intérieur; pour~$\mu = \infty$,
le problème extérieur.

Remarquons maintenant que, étant donnée une distribution de
matière, une intégration suffit pour déterminer son potentiel. Donc
si nous pouvons déterminer une distribution dont le potentiel satisfait
à notre condition, le problème sera résolu. Nous chercherons
\emph{une double couche\footnotemark de densité~$\rho$ étalée sur~$S$ et dont le potentiel~$W$~{\upshape($= V$)}
satisfait à la condition~\Eq{(16)}}.
\footnotetext{On pourrait se demander pourquoi nous choisissons une \emph{double couche}.
  C'est que cette espèce de distribution nous permet d'appliquer la méthode de
  Fredholm. En représentant~$V$ par un potentiel de simple couche, on serait
  conduit à une équation de première espèce (voir \no \textbf{1}, p.~\Pg{3}).}

Les équations \Eq{(7)}~et~\Eq{(8)} sont maintenant satisfaites. Et si nous
substituons dans l'équation~\Eq{(16)} les expressions de~$V_i$~($= W_i$) et
de~$V_e$~($= W_e$) tirées de \Eq{(7)}~et~\Eq{(8)} nous aurons une équation renfermant
la densité~$\rho$ cherchée.
\[
\Tag{(17)}
2\pi\, \rho(M) + \lambda \int \rho(P)\, \frac{\cos \phi}{r^2}\, dS = f_1(M)
\]
\DPPageSep{032.png}{26}%
où
\[
\lambda = \frac{1+\mu}{1-\mu},\quad f_1(M) = \frac{\mu}{1-\mu}\, f(M).
\]

C'est une équation de Fredholm (\no \textbf{1}, p.~\Pg{1}) dont le \emph{noyau}
(note~\footnotemark[1], p.~\Pg{1}) est~$-\dfrac{\cos \phi}{2\pi r^2}$, fonction des deux points $P$,~$M$. Si
nous pouvons résoudre cette équation, nous aurons une densité~$\rho$
qui nous conduira immédiatement à la solution du problème posé.

Les valeurs $\lambda = 1$ et $\lambda = -1$ du paramètre correspondent aux
cas \emph{intérieur} et \emph{extérieur} respectivement.

%<tb>

Le problème \Secundo, celui de Neumann, se traite d'une manière
analogue.

Nous le remplaçons par le problème plus général où on a la
condition
\[
\Tag{(18)}
\mu\, \frac{\partial V}{\partial n_i}
    + \frac{\partial V}{\partial n_e}
  = \mu\, g(M).
\]

Cherchons une \emph{simple couche~$\rho$ étalée sur~$S$ et dont le potentiel
satisfasse à cette condition}. En nous servant des équations \Eq{(5)}~et~\Eq{(6)}
nous trouvons que $\rho$~doit satisfaire à l'équation de Fredholm
suivante
\[
\SSqTag{(19)}
2\pi\, \rho(M) + \lambda \int \rho(P)\, \frac{\cos \psi}{r^2}\, dS = f_1(M),
\]
où
\[
f_1(M) = \frac{\mu}{1-\mu}\, g(M)
\]
et $\lambda$~a la même expression qu'avant.

Le noyau est maintenant $-\dfrac{\cos \psi}{2\pi r^2}$: et l'on voit que l'équation~\Eq{(19)}
est \emph{associée} (p.~\Pg{1}) à l'équation~\Eq{(17)}.

Les valeurs $\lambda = 1$ et $\lambda = -1$ du paramètre correspondent aux
cas \emph{extérieur} et \emph{intérieur} respectivement.

%<tb>

Nous arrivons maintenant à \Tertio, le problème de la chaleur. Cherchons
une simple couche dont le potentiel remplit la condition~\Eq{(11)}.
\DPPageSep{033.png}{27}%

En employant les équations \Eq{(3)},~\Eq{(5)} et~\Eq{(6)} nous avons l'équation
intégrale
\[
\SSqTag{(19\bis)}
2\pi\, \rho(M)
  - \lambda \int \rho(P)\left[\frac{\cos\psi}{r^2} + \frac{p(M)}{r}\right]dS
  = h_1(M),
\]
où $h_1 = - \lambda h$ et $\lambda = +1, -1$, selon que nous sommes dans le
cas intérieur ou le cas extérieur.

[L'équation~(19\bis) correspond à la condition
\[
  \frac{1}{2} (1+\lambda)\, \frac{\partial V}{\partial n_i}
+ \frac{1}{2} (\lambda-1)\, \frac{\partial V}{\partial n_e}
+ \lambda\, \rho(M)\, V(M) = \lambda h(M)\DPtypo{].}{.]}
\]

Cette méthode ne s'applique d'ailleurs pas au cas où la quantité
appelée plus haut~$q$ (\no \textbf{4}, p.~\Pg{17}) s'annule et par conséquent pas
non plus au problème mixte.

\Paragraph{10.}{\textbf{Cas de deux dimensions.}} --- Tout ce qui précède s'applique
au cas de deux dimensions mot pour mot, si l'on substitue
$\log \dfrac{1}{r}$ à~$\dfrac{1}{r}$. Les problèmes qu'on se propose sont identiques, et ils
conduisent à des équations fonctionnelles analogues. On forme de
la même façon les fonctions de Green pour un contour plan.


\Section{II.}{Problèmes relatifs à l'équation $\Delta V = R(x,y,z)V$
et à des équations analogues}

\Paragraph{11.}{\textbf{Les problèmes envisagés.}} --- Nous nous occuperons dans
cet article des problèmes qui consistent à trouver une solution
de l'équation (également elliptique)
\[
\SSqTag{(20)}
\Delta V = R(x,y,z)V
\]
ou bien de l'équation plus générale
\[
\SSqTag{(21)}
\Delta V = R(x,y,z)V + R_1(x,y,z)
\]
où $R(x,y,z)$,~$R_1(x,y,z)$ sont des fonctions finies, ayant des dérivées
premières ($R$~gardant toujours le même signe), cette solution
\DPPageSep{034.png}{28}%
étant assujettie à l'une des trois conditions de Neumann, de
Dirichlet, de la chaleur, indiquées dans le \no \textbf{4}.

La résolution de ces problèmes nous permettra (\no \textbf{19}, Ch.~III,
p.~\Pg{129}) de traiter une autre catégorie de questions, celles qui consistent
à trouver une solution de
\[
\SSqTag{(22)}
\Delta V = R(x,y,z)\, \frac{\partial V}{\partial t}
\]
ou bien de
\[
\SSqTag{(23)}
\Delta V = R(x,y,z)\, \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}
\]
satisfaisant à l'une des conditions précédentes sur la surface, et
satisfaisant à des conditions initiales.

Enfin nous montrerons (\no \textbf{24}, p.~\Pg{139}) que la même méthode
s'applique à l'équation générale elliptique à deux variables indépendantes
\[
\SSqTag{}
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} +
a\, \frac{\partial V}{\partial x} +
b\, \frac{\partial V}{\partial y} + c V = f
\]
où $a$,~$b$, $c$,~$f$ sont des fonctions données de~$x$,~$y$ (c'est-à-dire de~$M$).

\Paragraph{12.}{\textbf{Problèmes de Physique correspondants.}} \Primo\ \textit{Acoustique}\footnotemark.\
--- Problème des ondes sonores. La fonction~$V$ est le potentiel
des vitesses: elle satisfait à l'équation~\Eq{(23)}. La constante~$R$
dépend de la densité et du coefficient d'élasticité du gaz. Donner
la vitesse normale autour de la surface revient à donner~$\dfrac{\partial V}{\partial n}$. Supposer
que la vitesse est normale revient à se donner~$V$.
\footnotetext{Lord \bsc{Rayleigh}.\ --- \textit{Theory of Sound.} Vol.~II,
  \nos 241--244 et \no 374;
  \bsc{O.~D. Chwolson.}\ --- \textit{Traité de Physique} (traduit par E.~Davaux). \textit{Acoustique},
  p.~103; \bsc{A.~Winkelmann.} --- \textit{Handbuch der Physik.} Bd.~I, p.~206, Bd.~II, p.~146;
  \bsc{M.~Boussinesq.}\ --- \textit{Théorie analytique de la Chaleur}, t.~I, p.~47.}

%[** Check footnote numbers if text block size changes]
\Secundo\ \textit{Elasticité}\addtocounter{footnote}{-1}\footnotemark.\ --- Pour le problème des petites vibrations d'un
corps élastique, on a les mêmes équations que dans le \Primo. La fonction~$V$
est la dilatation.

\Tertio\ \textit{Chaleur}\footnotemark.\ --- Pour le problème du refroidissement d'un
\DPPageSep{035.png}{29}%
corps, nous avons l'équation~\Eq{(22)} où $V$~représente la température.
La fonction~$R$ est le rapport de la chaleur spécifique au coefficient
de conductibilité. Si la température à la surface est connue, nous
avons
\[
V = \text{fonction donnée sur la surface}.
\]
\footnotetext{\bsc{Boussinesq.}\ --- \textit{Loc.\ cit.}, t.~II, p.~3 et p.~64 (suite); \bsc{Kirchoff.} --- \textit{Theorie der Wärme},
  §~6; \bsc{A.~Winkelmann.}---\textit{Loc.\ cit.}, Bd.~III, p.~440.}%

Si on donne le flux, nous avons
\[
\frac{\partial V}{\partial n} = \text{fonction donnée sur la surface}.
\]

S'il y a de la radiation, nous avons
\[
R\, \frac{\partial V}{\partial n} - V = \text{fonction donnée sur la surface}
\]
d'après la loi de Newton, où $R$~est fonction des points de la surface.

\Paragraph{13.}{\textbf{Mise en équation.}} --- Considérons d'abord l'équation~\Eq{(20)}
et soit $\Gscr(M, P)$~la fonction de Green correspondant à la condition
\[
\Tag{(24)}
V = 0 \qquad\text{sur la surface}.
\]

Si l'on a
\[
\SqTag{(25)}
V(M) = - \frac{1}{4\pi} \int_D \Gscr(M,P)\, R(P) V(P)\, d\omega_P
\]
il est évident d'après la formule~\Eq{(13)}, p.~\Pg{22}, que $V$~satisfera à l'équation~\Eq{(20)}
et réciproquement. En tenant compte des résultats du
\no \textbf{8}, on voit que $V$~satisfera également à la condition~\Eq{(24)}. Donc
la question revient à résoudre l'équation fonctionnelle \emph{homogène}~\Eq{(25)}.

Nous avons une méthode analogue pour les solutions correspondant
aux conditions
%[** TN: Split equations for separate numbering]
\[
\Tag{(26)}
\frac{\partial V}{\partial n} = 0
\]
et
\[
\Tag{(27)}
\frac{\partial V}{\partial n} + p(M)\, V = 0.
\]

Considérons ensuite la condition
\[
\Tag{(9)}
V = \text{fonction donnée} = f(M) \qquad \text{sur la surface}.
\]
\DPPageSep{036.png}{30}%

Soit~$v(M)$ une fonction harmonique qui satisfait à la condition~\Eq{(9)}.
On voit que $V$~est la solution de l'équation fonctionnelle non-homogène
\[
\SSqTag{(28)}
V(M) = \frac{-1}{4\pi} \int_D \Gscr(M,P)\, R(P)\, V(P)\, d\omega_P + v(M).
\]

Et de même pour les conditions
\begin{align*}
\Tag{(13)}
\frac{\partial V}{\partial n} &= g(M) \\
\Tag{(14)}
\frac{\partial V}{\partial n} + p(M)V &= h(M).
\end{align*}

Les solutions de~\Eq{(21)} correspondant aux diverses conditions
satisferont à l'équation
\[
\SSqTag{(29)}
V(M) = \frac{-1}{4\pi}
  \int_D \Gscr(M,P)\, \bigl[R(P)\, V(P) + R_1(P)\bigr]\, d\omega_P + v(M).
\]

\Paragraph{14.}{}---Arrivons maintenant aux équations \Eq{(22)}~et~\Eq{(23)} qui renferment
la nouvelle variable~$t$. Ce sont --- contrairement aux premières --- des
équations du type \emph{hyperbolique} ou \emph{parabolique} et
les problèmes correspondants ne sont pas entièrement analogues
à ceux du numéro précédent: ils en diffèrent par l'intervention
des données initiales (pour $t = 0$); mais ils s'en rapprochent par
les données aux limites (c'est-à-dire sur la frontière du domaine en
$x$,~$y$,~$z$).

Nous les résoudrons par un artifice qui fait intervenir au lieu des
équations hyperboliques ou paraboliques~\Eq{(22)},~\Eq{(23)}, l'équation~\Eq{(20)}
laquelle est du type elliptique. Les solutions s'exprimeront sous
forme de séries que nous démontrerons plus tard (\no \textbf{19}, Ch.~III,
p.~\Pg{132}) être uniformément et absolument convergentes.

Substituons dans~\Eq{(22)}\quad $V_1 = e^{-\lambda t}\, \phi(x,y,z)$;\quad il vient
\[
\Tag{(20\bis)}
\Delta\phi = -\lambda\, R(x,y,z)\phi.
\]

Donc $V_1$~sera une solution de~\Eq{(22)}, si l'on prend pour~$\phi$ une
solution de~(20\bis) qui est de la forme~\Eq{(20)}.
\DPPageSep{037.png}{31}%

Prenons d'abord le cas où la fonction~$V$ doit satisfaire à la condition
\[
V = 0
\]
sur la surface et cherchons une fonction~$\phi$, solution de~(20\bis) satisfaisant
à
\[
\phi = 0
\]
sur la surface.

Nous venons de voir que ceci revient à résoudre une équation
homogène~\Eq{(25)} --- où l'on remplacerait~$R$ par~$-\lambda R$.\ --- Nous démontrerons
plus tard qu'il existe une solution seulement pour une
suite infinie de valeurs de~$\lambda$
\[
\lambda_1,\ \lambda_2,\ \ldots\Add{,}\ \lambda_n,\ \ldots
\]
qui sont toutes réelles et positives. Nous appelons ces quantités,
\emph{constantes caractéristiques}\footnote
  {D'après \bsc{M.~Poincaré}.}
et nous écrivons les solutions correspondantes,
\[
\phi_1,\ \phi_2,\ \ldots\Add{,}\ \phi_n\Add{,}\ \ldots
\]
que nous appelons \emph{fonctions fondamentales}\addtocounter{footnote}{-1}\footnotemark. Donc nous aurons
la solution suivante de~\Eq{(22)}, qui satisfait à~\Eq{(24)}
\[
\Tag{(30)}
V = \sum_1^\infty A_n\, e^{-\DPtypo{\lambda}{\lambda_n} t}\, \phi_n(x,y,z)
\]
où les~$A_n$ sont des constantes arbitraires, qui doivent être telles
que la série~\Eq{(30)} soit absolument et uniformément convergente, si
les données sont continues. Enfin il faut que $V$~se réduise à une
fonction donnée~$\alpha(x, y, z)$ pour $t = 0$. C'est-à-dire, il faut que
$A_1, A_2\Add{,} \ldots\Add{,} A_n\Add{,} \ldots$ soient choisies de façon que
\[
\Tag{(31)}
\alpha(x,y,z) = \sum_1^\infty A_n\, \phi_n(x,y,z).
\]

Nous démontrerons que ce développement est toujours possible,
et qu'on peut déterminer les coefficients d'une manière unique
analogue à la manière de calculer les coefficients de Fourier.
\DPPageSep{038.png}{32}%

Remarquons qu'il est nécessaire que la fonction~$\alpha(x, y, z)$ satisfasse
à la condition
\[
\alpha(x, y, z) = 0
\]
sur la surface.

Au point de vue physique, il est important de considérer le cas
où cette condition n'est pas remplie. C'est par exemple le cas du
refroidissement d'un corps dont la distribution thermique est quelconque
et qu'on plonge dans de l'eau glacée. On prend dans ce
cas pour~$\alpha$ une fonction qui est égale à la température initiale
dans le domaine \emph{ouvert}~$D$, mais qui prend la valeur zéro sur la
surface. La théorie n'est pas encore approfondie dans les cas discontinus,
mais nous pouvons prévoir par analogie avec ce qui se
passe pour la série de Fourier, que la série~\Eq{(31)} sera encore valable
et qu'elle sera non-uniformément convergente sur la surface. Et
dans ce cas nous savons par un théorème de Cauchy que $V$~sera
analytique (donc continue) pour $t > 0$, de sorte que la série~\Eq{(31)}
sera toujours uniformément convergente.

En somme tous ces résultats sont admis par les physiciens depuis
longtemps.

Nous avons des résultats tout à fait analogues pour les conditions
\Eq{(26)}~et~\Eq{(27)}.

Nous considérons maintenant la condition
\[
\Tag{(9)}
V = f(M)
\]
sur la surface.

Soit~$v$ une fonction harmonique qui satisfait à~\Eq{(9)}. La fonction
$\alpha(M) - v(M)$ s'annule sur la surface. Trouvons par la méthode
précédente une fonction~$V_1$, satisfaisant à~\Eq{(22)}, s'annulant sur la
surface, et se réduisant à $\alpha - v$ pour $t = 0$.

On voit tout de suite que
\[
V = V_1 + v
\]
est une fonction satisfaisant à~\Eq{(22)}, se réduisant à~$f(M)$ sur la surface
et à~$\alpha(M)$ pour $t = 0$.

Il est nécessaire évidemment que $\alpha(M)$ satisfasse à la condition~\Eq{(9)},
mais pour le cas discontinu les remarques précédentes s'appliquent.
\DPPageSep{039.png}{33}%

Pour démontrer que la solution est unique, supposons qu'il
existe deux solutions distinctes $V_1$~et~$V_2$. La fonction
\[
V_1 - V_2 = u
\]

\Primo\ Satisfait à l'équation
\[
\Tag{(32)}
\Delta u = R(M)\, \frac{\partial u}{\partial t}.
\]

\Secundo\ Se réduit à zéro sur~$S$.

\Tertio\ Se réduit à zéro pour $t = 0$.

Multiplions l'équation~\Eq{(32)} par~$u$ et intégrons-la
\[
\int_D u\,\Delta u\, d\omega_P
  = \int_D R(P)\, u\, \frac{\partial u}{\partial t}\, d\omega_P
  = \frac{1}{2}\, \frac{\partial}{\partial t} \int_D R(P)\, u^2\, d\omega_P
\]
puisque $R$~n'est pas fonction de~$t$.

D'où, moyennant la formule de Green rappelée au \no \textbf{4}, p.~\Pg{109}
\[
-\int_D\left\{
  \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2
+ \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2
+ \left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\right\} d\omega_P
  = \frac{1}{2}\, \frac{\partial}{\partial t} \int_D R(P)\, u^2\, d\omega_P.
\]

En intégrant la dernière équation par rapport à~$t$, il vient
\[
\int_D R(P)\, u^2\, d\omega_P = -F(t),
\]
où $F(t)$~est une fonction qui ne peut pas être négative et qui se
réduit à zéro pour $t = 0$, puisque $u$~se réduit à zéro pour $t = 0$
et que $R$~est une fonction positive.

Donc $u$~est identiquement nul.

Cette méthode pour établir que la solution est unique s'applique
à tous les problèmes relatifs à l'équation~\Eq{(22)}. Son application ne
présente pas de difficulté et nous nous bornerons à donner le cas
précédent\footnotemark.
\footnotetext{\bsc{H.-B. Heywood}, \textit{Thèse}, p.~84.}

%<tb>

Nous avons enfin à traiter l'équation~\Eq{(23)}. Si nous y substituons
\[
V =  \phi(x,y,z)
  × \left.\begin{aligned}\cos \\ \sin\end{aligned} \right\} \lambda t
\]
\DPPageSep{040.png}{34}%
nous aurons
\[
\Tag{(33)}
\Delta\phi = -\lambda^2\, R(x,y,z)\, \phi.
\]

Dans ce cas nous pourrons démontrer (\no \textbf{23}, p.~\Pg{138}) qu'il
existe un système de valeurs de~$\lambda^2$
\[
\lambda_1^2,\ \lambda_2^2,\ \ldots\Add{,}\ \lambda_n^2\Add{,}\ \ldots
\]
qui sont toutes réelles et positives et un système de solutions correspondantes
de~\Eq{(33)}
\[
\phi_1,\ \phi_2\Add{,}\ \ldots\Add{,}\ \phi_n\Add{,}\ \ldots\Add{.}
\]

La solution pour les différents cas se fait d'une manière un peu
différente mais analogue à la précédente (voir le troisième Chapitre).

La résolution de l'équation générale elliptique dépend d'une
fonction de Green; et elle est semblable à celle de l'équation~\Eq{(21)}:
nous la réservons.

\ctb
\DPPageSep{041.png}{35}%


\Chapter{Chapitre II}{L'Équation de Fredholm}

\Paragraph{1.}{} --- Nous avons dans ce qui précède appris à ramener les problèmes
 dont nous nous sommes occupés à l'équation de Fredholm
qui s'écrit sous la forme
\[
\Tag{(1)}
\phi(s)- \int_a^b K(s, t)\, \phi(t)\, dt = f(s)
\]
ou dans le cas de domaines à plusieurs dimensions sous la forme~\Eq{\DPtypo{(1)'}{(1')}}
du \no \textbf{3}, p.~\Pg{4}
\[
\Tag{\DPtypo{(1)'}{(1')}}
\phi(M) - \int_{(D)} K(M, P)\, \phi(P)\, d\omega_P = f(M).
\]

Nous ne ferons, au moins jusqu'à nouvel ordre, aucune distinction
entre ces deux équations et leur appliquerons le même mode
de calcul, le même signe~$\int$ représentant simplement dans la seconde
d'entre elles une intégrale multiple.

Dans chacun de ces cas la fonction~$\phi$ est à déterminer tandis
que $f$,~$K$ sont des fonctions données, toutes ces fonctions étant
bien entendu supposées intégrables.

Nous indiquerons plusieurs méthodes pour résoudre l'équation~\Eq{(1)}.


\Section{I.}{Méthode d'itération}

\Paragraph{2.}{} --- Le premier procédé dont on ait disposé est \DPtypo{dù}{dû} à Liouville\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Journal de Liouville}, t.~II, p.~24, 1837.}%
Il n'est autre, lorsqu'on l'applique au problème de
\DPPageSep{042.png}{36}%
Dirichlet, que celui qui est bien connu sous le nom de \emph{méthode de
Neumann}\footnotemark\Pagelabel{fn1}.
\footnotetext{Voir \textit{Untersuchungen über das Logarithmische und Newtonsche Potential}.}%
Neumann lui-même démontre la légitimité des opérations
pour les frontières convexes et non «biétoilées»\Pagelabel{fn2}\provisionalfootnote{fn1}{fn2}. En
écrivant l'équation~\Eq{(1)}, sous la forme
\[
\Tag{(2)}
\phi(s) = \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt + f(s)
\]
on est amené à rapprocher cette équation fonctionnelle de l'équation
ordinaire:
\[
\phi = F(\phi)
\]
où $\phi$~est un \emph{nombre} inconnu et $F(\phi)$~une fonction connue de~$\phi$.

On sait que sous certaines conditions de continuité\footnote
  {Il suffit que $F(\phi)$ possède une dérivée~$F'\phi$ et que l'on ait $|F'\phi| < k$,
  nombre fixe~$<1$.}
on
obtient la solution de cette équation en «réitérant» indéfiniment
la fonction~$F$. C'est-à-dire que les nombres
\[
\phi_1 = F(\phi_0),\
\phi_2 = F(\phi_1),\ \ldots\Add{,}\
\phi_n = F(\phi_{n-1})\Add{,}\ \ldots
\]
où $\phi_0$~est arbitraire sont des valeurs approchées qui tendent vers la
racine de l'équation.

Une méthode analogue peut s'appliquer à l'équation~\Eq{(2)}.

Remarquons d'abord que s'il existe une solution~$\phi(s)$ continue
et si $K(s, t)$ est continue presque partout (\no \textbf{5\bis}, p.~\Pg{6}), la fonction~$f(s)$
devra être aussi continue. Nous supposerons donc que
$f(s)$~est continue.

Substituons à~$\phi(t)$ dans le second membre de~\Eq{(2)} la valeur que
donnerait l'équation si une fonction continue arbitrairement choisie~$\phi_0(s)$
en était solution; on obtient
\[
\Tag{(3)}
\phi_1(s) = \int_a^b K(s, t)\, \phi_0(t)\, dt + f(s).
\]

Opérons de même en remplaçant~$\phi_0$ par~$\phi_1$ et ainsi de suite, on
aura une suite de fonctions
\[
\phi_0(s),\
\phi_1(s),\ \ldots\Add{,}\
\phi_n(s),\ \ldots
\]
\DPPageSep{043.png}{37}%
telles que:
\[
\Tag{(4)}
\phi_n (s) = \int_a^b K(s,t)\, \phi_{n-1}(t)\, dt + f(s).
\]

Si moyennant certaines hypothèses sur les données, nous pouvons
montrer que $\phi_n(s)$~converge absolument et uniformément
vers une fonction limite~$\phi(s)$, lorsque $n$~\DPtypo{croit}{croît} indéfiniment, on
voit que la formule~\Eq{(4)} deviendra à la limite la formule~\Eq{(2)}, c'est-à-dire
que la fonction limite~$\phi(s)$ sera une solution de l'équation
de Fredholm dont les fonctions~$\phi_n(s)$ seront des valeurs aussi approchées
que l'on veut.

Or on a d'après \Eq{(3)},~\Eq{(4)}:
\begin{multline*}
\Tag{\DPtypo{(4)'}{(4')}}
\phi_{n+1} (s)
  = f(s) + \int_a^b K(s,t)\, f(t)\, dt
  + \int_a^b K(s,t) \int_a^b K(t,t_1)\, f(t_1)\, dt_1\, dt + \ldots \\
  + \int_a^b K(s,t) \int_a^b K(t,t_1) \ldots \int_a^b
    K(t_{n-2},t_{n-1})\, f(t_{n-1})\, dt_{n-1}\, dt_{n-2} \ldots dt_1\, dt + R_{n+1}
\end{multline*}
avec
\[
R_{n+1} = \int_a^b K(s,t) \int_a^b K(t,t_1) \ldots \int_a^b
  K(t_{n-1},t_n)\, \phi_0(t_n)\, dt_n\, dt_{n-1} \ldots dt_1\, dt.
\]

Nous avons supposé que $K(s, t)$~est bornée dans son champ
de variation. Soit~$M$, la borne supérieure de sa valeur absolue;
soient aussi $P$,~$N$ les bornes supérieures de $|\phi_0(s)|$~et~$|f(s)|$
dans~$(a, b)$, on aura:
\[
|R_n| < \bigl[M(b - a)\bigr]^n P.
\]
D'autre part, on observe que $\phi_n$~représente la somme de~$R_n$ et
des $n$~premiers termes d'une série dont le terme général est, en
valeur absolue, inférieur à
\[
\bigl[M(b - a)\bigr]^n N.
\]
Dans le cas où l'on a
\[
M\, (b-a) < 1,
\]
on voit que cette série est uniformément et absolument convergente
dans~$(a, b)$ et que $R_n$~tend vers zéro avec~$\dfrac{1}{n}$.
\DPPageSep{044.png}{38}%

Cette série étant indépendante de~$\phi_0(s)$, on voit que la limite~$\phi(s)$
de~$\phi_n(s)$ est indépendante de la fonction~$\phi_0(s)$ dont on est parti.
On voit aussi d'après les formules~\Eq{(3)},~\Eq{(4)} que~$\phi_0(s)$, étant supposée
continue, $\phi_n(s)$~sera aussi continue et par suite aussi sa
limite uniforme~$\phi(s)$. Ayant ainsi obtenu une solution continue~$\phi(s)$
de l'équation de Fredholm, il est facile de voir que dans nos
hypothèses actuelles il ne peut y en avoir d'autres. En effet supposons
que $\psi(s)$~soit une nouvelle solution continue de~\Eq{(2)}. En
prenant pour~$\phi_0(s)$ la fonction~$\psi(s)$, il est manifeste que tous les
$\phi_n(s)$~seront identiques à~$\psi(s)$. Par suite leur limite~$\phi(s)$ (indépendante
du choix de~$\phi_0$)  sera aussi égale à~$\psi(s)$.

Ainsi \emph{lorsque la borne supérieure~$M$ de $| K(s, t) |$ est inférieure à
$\dfrac{1}{b-a}$ l'équation de Fredholm admet une seule solution continue~$\phi(s)$
qui est donnée par la série absolument et uniformément convergente}\DPtypo{.}{:}
\[
%[** TN: Need ad hoc vertical alignment of margin squiggle]
\Tag{\llap{\smash{\raisebox{-28pt}{\Input[6pt]{bar72}}}\quad}(5)}%
\left\{
\begin{aligned}%[** TN: Re-formatting]
\phi(s) &= f(s) + \int_a^b K(s,t)\, f(t)\, dt + \ldots \\
&+ \int_a^b K(s,t) \int_a^b K(t,t_1) \ldots \int_a^b
  K(t_{n-1},t_n)\, dt_n\, dt_{n-1} \ldots\, dt_1\, dt + \ldots\Add{.}
\end{aligned}\right.
\]

Si au lieu de l'équation telle que nous venons de la traiter, on
avait pris (comme dans l'Introduction, p.~1) l'équation
\[
\Tag{(1\bis)}
\phi(s) - \lambda \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s)
\]
qui contient le paramètre~$\lambda$, ce qui revient à changer~$K(s, t)$ en
$\lambda K(s, t)$, la solution aurait été évidemment
\[
\MTag{\DPtypo{(5)'}{(5')}}
\left\{
\begin{aligned}%[** TN: Re-formatting]
\phi(s) &= f(s) + \lambda \int_a^b K(s,t)\, f(t)\, dt + \ldots \\
&+ \lambda^n \int_a^b K(s,t) \int_a^b K(t,t_1) \ldots \int_a^b
  K(t_{n-1},t_n)\, dt_n\, dt_{n-1} \ldots\, dt_1\, dt + \ldots\Add{.}
\end{aligned}\right.
\]

De là résulte que la présente méthode consiste au fond à développer
la solution suivant les puissances croissantes de~$\lambda$.
\DPPageSep{045.png}{39}%

\Paragraph{3.}{\textbf{Les noyaux réitérés.}} --- On écrit souvent cette série en
introduisant les «noyaux réitérés». On appelle ainsi (et nous
désignerons par les symboles $K_1, K_2, \ldots\Add{,} K_n, \ldots$), les noyaux successifs
définis par les relations
\[
\Tag{(6)}
K_1(s,t) = K(s\Add{,} t), \ldots\
K_n(s,t) = \int_a^b K(s,\tau)\, K_{n-1}(\tau,t)\, d\tau, \ldots\Add{.}
\]

Moyennant cette notation, les formules \Eq{(3)},~\Eq{(4)}, deviennent par
un simple changement dans l'ordre d'intégration
\[
\Tag{(7)}
\phi_{n+1}(s) = f(s) + \int_a^b K_1(s,t)\, f(t)\, dt + \ldots
  + \int_a^b K_n(s,t)\, f(t)\, dt + R_{n+1}
\]
avec
\[
R_{n+1} = \int_a^b K_{n+1}(s,t)\, \phi_0(t)\, dt.
\]

D'ailleurs, si l'on a encore $M\, (b-a) < 1$, la série
\[
\SqTag{(8)}
-k(s, t) = K_1(s, t) + K_2(s, t) + \ldots + K_n(s, t) + \ldots
\]
est aussi absolument et uniformément convergente de sorte que la
solution de l'équation de Fredholm peut s'écrire
\[
\SqTag{(9)}
\phi(s) = f(s) - \int_a^b k(s,t)\, f(t)\, dt.
\]

\Paragraph{4.}{} --- Nous allons démontrer une propriété caractéristique de la
fonction~$k(s, t)$.

Pour cela, observons d'abord que l'on a évidemment
\[
\Tag{(10)}
K_n(s,t) = \int_a^b \ldots \int_a^b
  K(s,t_1)\, K(t_1,t_2) \ldots K(t_{n-1},t)\, dt_{n-1} \ldots dt_1.
\]

D'où l'on tire immédiatement par de simples changements dans
l'ordre d'intégration, \emph{la formule remarquable}
\[
\Tag{(11)}
K_{n+p}(s,t) = \int_a^b K_n(s,\tau)\, K_p(\tau,t)\, d\tau.
\]
\DPPageSep{046.png}{40}%

Alors on aura d'après~\Eq{(8)}
\begin{multline*}
-k(s,t) - K(s,t)
  = K_2(s,t) + K_3(s,t) + \ldots + K_n(s,t) + \ldots \\
\begin{aligned}
  &= \int_a^b K_1(s,\tau)\, K_1(\tau,t)\, d\tau + \ldots
   + \int_a^b K_{n-1}(s,\tau)\, K_1(\tau,t)\, d\tau + \ldots \\
  &= \int_a^b K_1(s,\tau)\, K_1(\tau,t)\, d\tau + \ldots
   + \int_a^b K_1(s,\tau)\, K_{n-1}(\tau,t)\, d\tau + \ldots
\end{aligned}
\end{multline*}
d'où les deux formes:
\begin{align*}%[** TN: Re-formatting]
-k(s,t) - K(s,t)
  &= \int_a^b \bigl[K_1(s,\tau) + \ldots + K_{n-1}(s,\tau) + \ldots\bigr]\,
     K_1(\tau,t)\, d\tau \\
  &= \int_a^b K_1(s,\tau)\,
    \bigl[K_1(\tau,t) + \ldots + K_{n-1}(\tau,t) + \ldots\bigr]\, d\tau.
\end{align*}

On obtient ainsi la formule caractéristique suivante
\[
\Tag{(12)}
K(s,t) + k(s,t)
  = \int_a^b k(s,\tau)\, K(\tau,t)\, d\tau
  = \int_a^b K(s,\tau)\, k(\tau,t)\, d\tau.
\]

\Paragraph{5.}{\textbf{Fonctions réciproques.}} --- La formule~\Eq{(12)} est démontrée
pour $M\, (b-a) < 1$. Mais elle a un sens même en dehors de
ce cas. Alors étant donnée la fonction~$K(s, t)$, nous appellerons
\emph{réciproque} de~$K(s,t)$, une fonction~$k(s, t)$ bornée et intégrable, telle
que l'on ait:
\[
\SqTag{(13)}
K(s,t) + k(s,t)
  = \int_a^b k(s,\tau)\, K(\tau,t)\, d\tau
  = \int_a^b K(s,\tau)\, k(\tau,t)\, d\tau.
\]

M.~Volterra a montré que, connaissant une fonction réciproque~$k(s,t)$
de~$K(s,t)$, on peut toujours trouver une solution continue de
l'équation de Fredholm~\Eq{(1)}. Soit, en effet, $u(s)$~une telle solution,
on aura
\[
\Tag{(14)}
u(t) = f(t) + \int_a^b K(t,t_1)\, u(t_1)\, dt_1.
\]
En multipliant par~$k(s,t)$ et intégrant, on aura
\[
\int_a^b k(s,t)\, u(t)\, dt
  = \int_a^b k(s,t)\, f(t)\, dt
  + \int_a^b \int_a^b k(s,t)\, K(t,t_1)\, u(t_1)\, dt_1\, dt
\]
\DPPageSep{047.png}{41}%
égal d'après~\Eq{(13)} à
\[
\int_a^b k(s,t)\, f(t)\, dt
  + \int_a^b \bigl[K(s,t_1) + k(s,t_1)\bigr]\, u(t_1)\, dt_1.
\]

On a donc
\[
0 = \int_a^b k(s,t)\, f(t)\, dt + \int_a^b K(s,t_1)\, u(t_1)\, dt_1
\]
de sorte que~\Eq{(14)}, où l'on a remplacé~$t$ par~$s$, devient:
\[
\Tag{(15)}
u(s) = f(s) - \int_a^b k(s,t)\, f(t)\, dt.
\]

S'il y a une solution continue elle est donc unique et donnée
par cette formule. D'ailleurs pour prouver qu'il y a bien une solution
continue, il suffit de montrer que le second membre de~\Eq{(15)}
satisfait bien à l'équation de Fredholm. En effet, si nous posons
\[
\Tag{(16)}
v(s) = f(s) - \int_a^b k(s,t)\, f(t)\, dt
\]
la fonction donnée~$f(s)$ peut être considérée comme une solution
continue d'une nouvelle équation de Fredholm, l'équation~\Eq{(16)},
dont le noyau~$k(s,t)$ a pour fonction réciproque~$K(s,t)$. Alors, d'après
ce qui précède, $f(t)$~est donnée par la formule~\Eq{(15)}, où on substitue
$v(s)$, $K(s,t)$, $f(s)$ à $f(s)$, $k(s,t)$, $u(s)$ respectivement; ce qui
donne
\[
f(s) = v(s) - \int_a^b K(s,t)\, v(t)\, dt
\]
c'est-à-dire que $v(t)$~est bien solution de l'équation de Fredholm
donnée \Eq{(1)}.

D'ailleurs le même raisonnement appliqué à la formule~\Eq{(13)}
considérée comme équation intégrale en~$k(s,t)$ prouve que si une
fonction réciproque existe, elle est unique\Add{.}

\Paragraph{5\bis.}{} --- On peut considérer le second membre de~\Eq{(1)} comme le
résultat d'une \emph{opération fonctionnelle} effectuée sur~$\phi$, ceci signifiant
qu'on en peut calculer la valeur lorsque $\phi$~est donnée. Représentons
\DPPageSep{048.png}{42}%
cette opération par le symbole $f = S_\phi$. L'équation~\Eq{(9)} exprime
alors que l'opération qui transforme~$f(s)$ en
\[
f(s) - \int_a^b k(s, t)\, f(t)\, dt
\]
est l'inverse de~$S$, c'est-à-dire qu'elle fournit~$\phi$ lorsque $f$~est \DPtypo{donné}{donnée}.
On peut la désigner par~$S^{-1}$ et on a identiquement $S^{-1}\, S_\phi = \phi$.

\begin{Remark}
\Paragraph{6.}{\textbf{La généralisation de Schmidt.}} --- Nous avons vu que l'on peut
former une \emph{fonction réciproque} du noyau et par suite résoudre l'équation
de Fredholm quand la borne supérieure de~$|K(s, t)|$ est inférieure
à~$\smash[b]{\dfrac{1}{b - a}}$. M.~Schmidt a considérablement étendu ce résultat.

\Primo\ Il a d'abord montré qu'\emph{on peut appliquer la méthode d'itération
lorsque l'on a}
\[
\Tag{(17)}
\int_a^b \int_a^b \bigl[K(s,t)\bigr]^2\, ds\, dt < \mu < 1,
\]
$\mu$~désignant une quantité numérique déterminée. Cette inégalité a lieu
quand $|K|$~a une borne supérieure plus petite que~$\dfrac{1}{b - a}$, mais aussi
dans des cas plus généraux.

Cette démonstration est fondée sur la formule~\Eq{(11)} et sur l'inégalité
de Schwarz~\Eq{(8)}, page~\Pg{8}, d'où l'on tire
\[
\Tag{(18)}
[K_{n+1} (s,t)]^2
  \le \int_a^b \bigl[K_n (s,r)\bigr]^2\, dr ·
      \int_a^b \bigl[K(r,t)\bigr]^2\, dr,
\]
et par suite
\[
\MTag{(19)}
\int_a^b\int_a^b \bigl[K_{n+1} (s,t)\bigr]^2\, ds\, dt
  \le \int_a^b\int_a^b \bigl[K_n (s,r)\bigr]^2\, dr\, ds ·
      \int_a^b\int_a^b \bigl[K(r,t)\bigr]^2\, dr\, dt.
\]

On déduit facilement de \Eq{(19)}
\[
\Tag{(20)}
\int_a^b\int_a^b \bigl[K_n (s,t)\bigr]^2\, ds\, dt
  \le \left[\int_a^b\int_a^b \bigl[K(s,t)\bigr]^2\, ds\, dt\right]^n.
\]

Or on tire de~\Eq{(11)}
\[
K_n (s,t)
  = \int_a^b\int_a^b K(s,r_1)\, K_{n-2} (r_1,r_2)\, K(r_2,t)\, dr_1\, dr_2,
\]
et en se servant de l'inégalité de Schwarz~\Eq{(8)}, page~\Pg{8}, formée comme~\Eq{(8)},
mais avec des intégrales doubles, on aura
{\footnotesize%
\[
\bigl[K_n (s,t)\bigr]^2
  \le \int_a^b\int_a^b \bigl[K_{n-2} (r_1, r_2)\bigr]^2\, dr_1\, dr_2 ·
      \int_a^b\int_a^b \bigl[K(s,r_1)\bigr]^2 \bigl[K(r_2,t)\bigr]^2\, dr_1\, dr_2.
\]}%
\DPPageSep{049.png}{43}%

En combinant avec~\Eq{(20)}, on a donc
{\footnotesize%
\[
\bigl|K_n(s,t)\bigr| \le
   \left\{\int_a^b\int_a^b \bigl[K(s,t)\bigr]^2\, ds\, dt \right\}^{\tfrac{n-2}{2}}
 · \left[\int_a^b \bigl[K(s,r_1)\bigr]^2\, dr_1
      · \int_a^b \bigl[K(r_2,t)\bigr]^2\, dr_2\DPtypo{.}{}\right]^{\tfrac{1}{2}}\Add{.}
\]}

En utilisant maintenant l'hypothèse~\Eq{(17)}, on voit que les termes de
la série~\Eq{(8)} sont à partir du troisième rang inférieurs en valeurs absolues
à ceux de la série convergente
\[
\left[\int_a^b \bigl[K(s,r)\bigr]^2\, dr
   · \int_a^b \bigl[K(r,t)\bigr]^2\, dr \right]^{\tfrac{1}{2}}
 · \bigl[\sqrt{\mu} + (\sqrt{\mu})^2 + (\sqrt{\mu})^3 + \ldots
  + (\sqrt{\mu})^n + \ldots\bigr].
\]

Alors la série \Eq{(8)} est absolument et uniformément convergente, sa
somme~$-k$ donne la fonction réciproque~$k$, et par suite on peut écrire
la solution unique~\Eq{(9)}.

\Secundo\ D'autre part, \emph{il est facile de résoudre directement l'équation de
Fredholm dans le cas où son noyau est de la forme $\ds\sum_{q=1}^{q=p} \alpha_q(s)\, \beta_q(t)$}.

Pour faciliter la discussion, nous le supposerons multiplié par un
facteur numérique arbitraire~$\lambda$. Considérons donc l'équation
\[
\Tag{(21)}
\phi(s) - \lambda \int_a^b \phi(t)
  \biggl[\sum_{1}^{p} \alpha_q(s)\, \beta_q(t) \biggr] dt = f(s).
\]

On voit tout de suite quelle est la forme de la solution en écrivant
l'équation sous la forme:
\[
\Tag{(22)}
\phi(s) = f(s) + \lambda \sum^p_1 \alpha_q(s)
  \left[\int_a^b \beta_q(t)\, \phi(t)\, dt \right],
\]
c'est-à-dire
\[
\Tag{(23)}
\phi(s) = f(s) - \lambda \sum^p_1 a_q\, \alpha_q(s),
\]
où les~$a_q$ sont des constantes à déterminer. On les calculera par la
méthode des coefficients indéterminés en substituant \Eq{(23)}~dans~\Eq{(21)} ce
qui donne
\[
\Tag{(24)}
\sum^p_1 \alpha_q(s)
  \left\{ \lambda \sum_{r=1}^{r=p}
    a_r \int_a^b \alpha_r(t)\, \beta_q(t)\, dt - a_q
      - \int_a^b \beta_q(t)\, f(t)\, dt \right\} = 0,
\]
de sorte qu'on obtiendra une solution du problème en déterminant
\DPPageSep{050.png}{44}%
les constantes~$a_r$ par les équations linéaires
\begin{gather*}
\Tag{(25)}
\sum_{r=1}^{r=p}
  a_r \left[\lambda \int_a^b \alpha_r(t)\, \beta_q(t)\, dt \right] - a_q
  = \int_a^b \beta_q(t)\, f(t)\, dt, \\
(q = 1, 2, \ldots, p).
\end{gather*}

Si nous posons
\[
A_{r,q} = \int_a^b \alpha_r(t)\, \beta_q(t)\, dt,
\]
on voit que le déterminant des coefficients de ces équations sera un
polynôme en~$\lambda$ de degré~$p$ au plus
\[
\Tag{(26)}
\left|
  \begin{array}{@{\,}*{4}{l}@{\,}}
    \lambda A_{11} - 1 & \lambda A_{12}     & \ldots & \lambda A_{1p} \\
    \lambda A_{21}     & \lambda A_{22} - 1 & \ldots & \lambda A_{2p} \\
    \hdotsfor[6]{4} \\
    \lambda A_{p1}     & \lambda A_{p2}     & \ldots & \lambda A_{pp} - 1
  \end{array} \right|\Add{.}
\]

Ce polynôme n'est certainement pas identiquement nul puisque, pour
$\lambda = 0$, il est égal à~$(-1)^p$. On pourra donc résoudre les équations
linéaires quand $\lambda$ a une valeur quelconque autre que les racines (en
nombre au plus égal à~$p$) du déterminant.

Et, si nous supposons que les fonctions~$\alpha_p(s)$ sont linéairement indépendantes,
nous voyons même que les équations~\Eq{(24)} ne peuvent avoir
lieu que si les équations linéaires~\Eq{(25)} sont vérifiées.

En résumé si les fonctions~$\alpha_q(s)$ sont linéairement indépendantes
l'équation fonctionnelle~\Eq{(21)} admet une solution unique~$\phi(s)$ que nous
savons déterminer complètement sous la forme~\Eq{(23)} et ceci pour toute
valeur de~$\lambda$ sauf peut-être pour $p$~valeurs de~$\lambda$ au plus, racines du déterminant.

Nous remarquerons que ces racines ne dépendent que du noyau,
nous les retrouverons plus tard dans le cas général (p.~\Pg{54}) sous le nom
de constantes caractéristiques.

\Tertio\ Revenons maintenant à la méthode de Schmidt qui résulte de la
combinaison de \Primo~et~\Secundo.

Ici encore nous faciliterons la discussion en supposant que le noyau
possède en facteur une constante arbitraire~$\lambda$. Le noyau étant désigné
par~$\lambda K(s,t)$, où $K$~est une fonction continue quelconque, on voit que la
condition~\Eq{(17)} ne sera vérifiée que pour des valeurs de~$|\lambda|$ inférieures
à une certaine quantité finie. Pour résoudre l'équation pour les autres
valeurs de~$\lambda$, nous montrerons d'abord qu'on peut toujours trouver des
fonctions continues~$\alpha_q(s)$ linéairement indépendantes et des fonctions
continues~$\beta_q(t)$ en nombre égal de façon que l'expression
\[
\int_a^b\int_a^b
  \left[K(s,t) - \sum_{q=1}^{q=p} \alpha_q(s)\, \beta_q(t) \right]^2 ds\, dt,
\]
soit aussi petite que l'on veut.
\DPPageSep{051.png}{45}%

Le noyau étant uniformément continu dans le domaine $\begin{array}{c}a<s<b\\a<t<b\end{array}$,
on peut trouver un entier~$p$ tel que deux valeurs de~$K(s,t)$ prises en
deux points à une distance inférieure à~$\dfrac{2(b - a)}{p}$, ne puissent différer
de plus de~$\delta$. Divisons maintenant l'intervalle~$(a,b)$ en $p$~intervalles
égaux $i_1, i_2, \ldots, i_p$ et appelons leurs milieux $s_1, s_2, \ldots, s_p$.

Nous prendrons pour les $\beta_q (t)$ les fonctions
\[
\beta_q(t) = K(s_q,t).
\]

Pour définir~$\alpha_q (s)$, nous construirons une fonction~$a_q(s)$ égale à~$1$
dans l'intervalle~$i_q$ et à~$0$ en dehors de~$i_q$; puis pour la rendre continue,
nous modifierons légèrement ici la construction de Schmidt.
Appelons~$i_q'$ un intervalle de longueur~$\dfrac{2(b - a)}{p^2}$ et ayant pour milieu
l'extrémité commune à $i_q$~et~$i_{q+1}$; nous prendrons $\alpha_q (s) = a_q (s)$, sauf
dans les intervalles $i_{q-1}'$~et~$i_q'$ où nous prendrons pour~$\alpha_q (s)$ une
fonction linéaire de la valeur~$0$ à la valeur~$1$ ou inversement.

Alors quand $s$~est dans~$i_q$ sans être dans~$i_{q-1}'$ ni dans~$i_q'$, on a:
\[
\bigl|K(s,t) - \sum_1^p \alpha_q(s)\, \beta_q(t)\bigr|
  = \bigl|K(s,t) - K(s_q,t)\bigr| \le \delta.
\]

Quand $s$~est dans~$i_q'$, on a:
\[
\bigl|K(s,t) - \sum_1^p \alpha_q(s)\, \beta_q(t)\bigr|
   = \bigl|K(s,t) - \alpha_q(s)\, K(s_q,t) - \alpha_{q+1}(s)\, K(s_{q+1},t)\bigr|,
\]
et comme on voit facilement que dans~$i_q'$ on a $\alpha_q(s) + \alpha_{q+1}(s) = 1$, la
quantité précédente sera égale à
\begin{gather*}%[** TN: Broken at inequality sign]
\bigl|\alpha_q(s) \bigl[K(s,t) - K(s_q,t)\bigr]
  + \alpha_{q+1}(s) \bigl[K(s,t) - K(s_{q+1},t)\bigr]\bigr| \\
  < \bigl|K(s,t) - K(s_q,t)\bigr| + \bigl|K(s,t) - K(s_{q+1},t)\bigr|
  \le 2\delta.
\end{gather*}

Ainsi, on a en tout cas,
\[
\int_a^b\int_a^b
  \left[ K(s,t) - \sum_{q=1}^{q=p} \alpha_q(s)\, \beta_q(t) \right]^2 ds\, dt
  \le 4 \delta^2 (b - a)^2,
\]
et en faisant croître~$p$ nous pourrons rendre le second membre aussi
petit que l'on veut.

\Quarto\ Ceci étant, soit l'équation de Fredholm donnée:
\[
\Tag{(27)}
\phi(s) - \lambda \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s),
\]
\DPPageSep{052.png}{46}%
choisissons les fonctions $\alpha$,~$\beta$, de façon qu'on ait par exemple
\[
\Tag{(28)}
\lambda^2 \int_a^b\int_a^b
  \left[K(s,t) - \sum_1^p \alpha_q(s)\, \beta_q(t)\right]^2 ds\, dt
  < \frac{1}{2}.
\]

Ecrivons alors~\Eq{(27)} sous la forme
\[
\Tag{(29)}
\phi(s) - \lambda \int_a^b H(s,t)\, \phi(t)\, dt = f_1(s),
\]
en posant
\[
\Tag{(30)}
\left\{
\begin{aligned}
H(s,t) &= \left[K(s,t) - \sum_1^p \alpha_q(s)\, \beta_q(t) \right], \\
f_1(s) &= f(s) + \lambda \sum_1^p
          \int_a^b \alpha_q(s)\, \beta_q(t)\, \phi(t)\, dt.
\end{aligned}
\right.
\]

Alors d'après \Primo~et~\Eq{(28)} il existera une fonction~$h(s,t,\lambda)$ réciproque
du noyau~$\lambda H(s,t)$ et l'équation de Fredholm~\Eq{(29)} admettra une seule
solution continue
\[
\phi(s) = f_1(s) - \int_a^b h(s,t,\lambda)\, f_1(t)\, dt.
\]

Si nous y remplaçons~$f_1$ par son expression~\Eq{(30)}, nous voyons que
l'équation~\Eq{(27)} est équivalente à l'équation
\begin{align*}
\phi(s) = f(s)
  &+ \lambda \sum_1^p \int_a^b \alpha_q(s)\, \beta_q(t)\, \phi(t)\, dt
   - \int_a^b h(s,t,\lambda)\, f(t)\, dt \\
  &- \lambda \sum_1^p \int_a^b \int_a^b
     h(s,r,\lambda)\, \alpha_q(r)\, \beta_q(t)\, \phi(t)\, dr\, dt,
\end{align*}
qui peut s'écrire:
\[
\Tag{(32)}%[** TN: Original contains no (31)]
\phi(s) - \lambda \int_a^b \sum_1^p
  \bigl[f_q(s,\lambda)\, \beta_q(t)\, \phi(t)\bigr]\, dt = F(s),
\]
en posant
\begin{align*}
F(s) &= f(s) - \int_a^b h(s,t,\lambda)\, f(t)\, dt, \\
f_q(s,\lambda) &= \alpha_q(s) - \int_a^b h(s,r,\lambda)\, \alpha_q(r)\, dr.
\end{align*}

Alors on est ramené à une équation de Fredholm~\Eq{(32)} de la forme~\Eq{(21)}
déjà examinée. La seule différence, c'est que le déterminant~\Eq{(26)}
n'est plus un \DPtypo{polynòme}{polynôme} en~$\lambda$, les fonctions~$f_q$ dépendant déjà elles-mêmes
\DPPageSep{053.png}{47}%
de~$\lambda$. Mais il est encore égal à~$(-1)^p$ pour~$\lambda = 0$ et par suite
non identiquement nul.

Ainsi \emph{lorsque le noyau~$\lambda K(s,t)$ est un noyau continu quelconque et
lorsque $\lambda$~n'est pas égal à certaines valeurs exceptionnelles \emph{(racines du
déterminant mentionné)} l'équation de Fredholm a une solution continue
unique}.

\Cinqo\ Le cas où la fonction inconnue dépend de plusieurs variables tel
qu'il a été indiqué au \no \textbf{3}, p.~\Pg{4}, se traite par la même méthode.
\end{Remark}

\Paragraph{7.}{\textbf{\DPtypo{Equation}{Équation} de Volterra.}} --- On appelle \emph{équation de Volterra}
l'équation
\[
\SqTag{(33)}
\phi(s) - \int_a^s K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s)
\]
qui dérive de~\Eq{(1)} en remplaçant la limite supérieure fixe~$b$, par la
limite variable~$s$.

\emph{Cette équation est un cas particulier de l'équation~\Eq{(1)}}, mais la
convergence des séries obtenues est plus favorable. Ces séries sont
uniformément convergentes toutes les fois que $K(s,t)$~est borné
et intégrable.

On peut, en effet, identifier l'équation~\Eq{(33)} avec l'équation~\Eq{(1)}
en prenant dans l'équation~\Eq{(1)} à la place de~$K(s,t)$ une fonction
qui est égale à~$K(s,t)$ tant que $t \le s$, mais qui s'évanouit pour $t>s$.
La solution s'exprime par la série --- analogue à la série~\Eq{(5)},
p.~\Pg{38}~---
\[
\MTag{(34)}
\left\{
\begin{aligned}%[** TN: Using explicit \kerns to squeeze out space]
&\phi(s) = f(s) + \int_a^s K(s,t)\, f(t)\, dt
  + \int_a^s\int_a^{s_1} K(s,s_1)\, K(s_1,t)\, f(t)\, ds_1\, dt + \ldots  \\
 &+ \int_a^s\int_a^{s_1} \kern-8pt\ldots\kern-2pt \int_a^{s_{n-1}}\kern-6pt
    K(s,s_1)\, K(s_1,s_2)\, K(s_2,s_3) \ldots K(s_{n-1},t)\, f(t)\, ds_1\, ds_2 \ldots dt + \ldots  \\
 &\qquad= %[** TN: Not breaking]
  f(s) + \int_a^s \bigl[K(s,t) + K_2 (s,t) + K_3 (s,t) + \ldots
  + K_{n+1} (s,t) + \ldots\bigr]\, f(t)\, dt,
\end{aligned}\right.
\]
où
\[
K_n (s,t)
  = \int_a^s\int_a^{s_1} \ldots \int_a^{s_{n-1}}
      K(s,s_1)\, K(s_1,s_2) \ldots K(s_{n-1},t)\, ds_1\, ds_2 \ldots ds_{n-1}.
\]
\DPPageSep{054.png}{48}%

Soit~$M$ la borne supérieure de la valeur absolue de~$K$. On a
\begin{align*}
\bigl|K\phantom{_2}(s,t)\bigr| &\le M  \\
\bigl|K_2(s,t)\bigr| &= \left|\int_a^s K(s,s_1)\, K(s_1,t)\, ds_1\right|  \\
  &\le \int_a^s M^2\, ds_1 = M^2(s-a)  \\
\bigl|K_3(s,t)\bigr| &= \left|\int_a^s K(s,s_1)\, K_2(s_1,t)\, ds_1\right|  \\
  &\le \int_a^s M^3(s-a)\, ds = M^3\, \frac{(s-a)^2}{1 · 2}
\end{align*}
et en général
\[
\bigl|K_n(s,t)\bigr| \le M^n\, \frac{(s-a)^{n-1}}{(n-1)!}.
\]

Donc la série
\[
\Tag{(35)}
K(s,t) + K_2(s,t) + K_3(s,t) + \ldots + K_n(s,t) + \ldots
\]
est comparable avec
\[
M + M^2(s-a) + M^3\, \frac{(s-a)^2}{2!} + \ldots
  + M^n\, \frac{(s-a)^{n-1}}{(n-1)!} + \ldots
\]
de sorte que la série~\Eq{(35)} est toujours uniformément et absolument
convergente, et la solution~\Eq{(34)} est toujours valable.

M.~Volterra a beaucoup étendu ce résultat, il a traité d'une manière
analogue l'équation de \emph{première espèce}
\[
\int_a^s K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s)
\]
et il en a fait des applications. Nous renvoyons le lecteur à son
mémoire dans les \textit{Annali di Matematica}, 1906.
\DPPageSep{055.png}{49}%


\Section{II.}{Méthode de Fredholm}

\Paragraph{8.}{} --- La méthode de Fredholm pour résoudre l'équation intégrale
\[
\Tag{(1)}
\phi(s) - \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s)
\]
consiste à étendre au cas des équations fonctionnelles le procédé
de résolution des équations du premier degré à une infinité d'inconnues.

Sa méthode sera développée un peu plus loin sous forme synthétique,
mais elle paraîtrait tout à fait artificielle si nous ne montrions
auparavant comment on y est conduit par un passage à la
limite.

Divisons l'intervalle~$(a,b)$ en intervalles partiels par les points
\[
s_0 = a,\
s_1 = a +  \delta,\
s_2 = a + 2\delta,\ \ldots,\
s_n = a + n\delta = b,\quad \left(\delta = \frac{b-a}{n}\right)
\]
et prenons d'abord comme inconnues non pas la fonction~$\phi(s)$,
mais ses valeurs
\[
x_p = \phi(s_p) \qquad (p=0, 1, \ldots, n).
\]

On aura d'après~\Eq{(1)}
\[
\Tag{(36)}
x_p - \int_a^b K(s_p,t)\, \phi(t)\, dt = f(s_p),
\]
ou, d'après la définition de l'intégrale
\[
x_p - \lim_{n=\infty}
  \left\{\delta \sum_{q=1}^{q=n} x_q K(s_p,s_q)\right\} = f(s_p).
\]

La méthode consiste alors à considérer comme valeurs approchées
des~$x_p$ les solutions des équations linéaires:
\begin{gather*}
\Tag{(36\bis)}
x_p - \delta \sum_{q=1}^{q=n} x_q K(s_p,s_q) = f(s_p)  \\
(p = 0, 1, 2, \ldots, n).
\end{gather*}
\DPPageSep{056.png}{50}%

On voit alors que l'existence de la solution dépend de la valeur
du déterminant des coefficients des~$x_p$
\begin{align*}
D_n &= \left|
\begin{array}{@{\,}*{4}{r}@{\,}}
   1-\delta K(s_1, s_1) &{}-\delta K(s_1, s_2) &\ldots&{}-\delta K(s_1, s_n) \\
  {}-\delta K(s_2, s_1) & 1-\delta K(s_2, s_2) &\ldots&{}-\delta K(s_2, s_n) \\
    \hdotsfor[6]{4} \\
  {}-\delta K(s_n, s_1) &{}-\delta K(s_n, s_2) &\ldots& 1-\delta K(s_n, s_n)
\end{array}\right|  \\
  &= 1 - \delta \sum_{p=1}^{p=n} K(s_p, s_p)  \\
  &+ \frac{1}{2!} \delta^2 \sum \left|
    \begin{array}{@{\,}ll@{\,}}
      K(s_p,s_p) & K(s_p,s_q) \\
      K(s_q,s_p) & K(s_q,s_q)
    \end{array}\right|
  + \ldots + \DPtypo{(-1)^{n\delta n}}{(-1)^n\, \delta^n}
  \left|\begin{array}{@{\,}lcl@{\,}}
      K(s_1,s_1) & \ldots & K(s_1,s_n) \\
      \hdotsfor[6]{3} \\
      K(s_n,s_1) & \ldots & K(s_n,s_n)
    \end{array}\right|.
\end{align*}

Si on fait croître $n$~indéfiniment, on voit que chacun des termes
de cette somme a une limite déterminée. De sorte que $D_n$~tend, au
moins formellement vers la série
\[
D = 1 - \int_a^b K(\tau,\tau)\, d\tau
  + \frac{1}{2!} \int_a^b \int_a^b
      \left|\begin{array}{@{\,}ll@{\,}}
        K(\tau_1,\tau_1) & K(\tau_1,\tau_2) \\
        K(\tau_2,\tau_1) & K(\tau_2,\tau_2)
      \end{array}\right| d\tau_1\, d\tau_2 + \ldots\Add{.}
\]

Il y aurait lieu ensuite de voir aussi ce que deviennent les formules
de Cramer, de rechercher ce qui se passe quand~$D = 0$ et
surtout de rendre la méthode rigoureuse. C'est ce qui a été fait par
M.~Hilbert\footnote
  {\textit{Götting.\ Nachrichten}, 1904.}
qui retrouve ainsi les formules que nous allons établir
par la méthode synthétique de Fredholm.

Nous nous contenterons cependant d'avoir montré, au moins sur
l'exemple de la série~$D$, que certains développements compliqués
introduits \textit{a~priori} dans la méthode de Fredholm (\no \textbf{10}, formules
\Eq{(40)},~\Eq{(41)},~\ldots) ne sont pas construits de toutes pièces, mais qu'au
contraire leur considération s'impose quand on s'inspire du
passage à la limite.

\Paragraph{9.}{\textit{Théorème de M.~Hadamard}}\footnotemark.\ --- Pour étudier la convergence
\footnotetext{\textit{Bull.\ des Sc.\ Math.} M.~Muir, en réponse à Lord Kelvin (qui possédait
  dès 1885, l'énoncé de la proposition en question), lui avait communiqué, en
  1886, un raisonnement qui démontrait cette proposition ou du moins la rendait
  très vraisemblable. Ce raisonnement a été publié en 1901 dans les \textit{Reprints}
  de l'\textit{Educational Times}. (Voir aussi l'article récent de l'auteur dans les \textit{Trans.\
  of the Royal Soc.\ of South Africa}, t.~II, \Ord{2}{me}~partie) (Note de M.~Hadamard).}%
de~$D$, il serait utile de connaître le maximum de la valeur
\DPPageSep{057.png}{51}%
absolue des déterminants qui y figurent. M.~Fredholm s'est servi
dans ce but d'un théorème de M.~Hadamard. Nous nous contenterons
de démontrer ce théorème dans le cas d'un déterminant
à termes réels\footnote
  {La démonstration ne serait d'ailleurs guère plus compliquée dans le cas
  des termes imaginaires.}
\[
\Delta = \left|\begin{array}{@{\,}*{4}{c}@{\,}}
    a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
    \hdotsfor[6]{4} \\
    a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
  \end{array}\right|.
\]
Il s'agit de prouver que l'on a:
\[
\MTag{(37)}%[** TN: Not breaking]
\Delta^2 \le
(a_{11}^2 + a_{12}^2 + \ldots + a_{1n}^2)
(a_{21}^2 + a_{22}^2 + \ldots + a_{2n}^2) \ldots
(a_{n1}^2 + a_{n2}^2 + \ldots + a_{nn}^2).
\]
Pour cela, posons
\[
\delta_p^2 = a_{p1}^2 + a_{p2}^2 + \ldots + a_{pn}^2 \qquad (p=1, 2 \ldots n)
\]
et cherchons la borne supérieure de~$\Delta^2$ lorsque les~$a_{p,q}$ varient de
façon que les~$\delta_p^2$ gardent des valeurs arbitraires données. Il est
manifeste que~$\Delta^2$ est une fonction continue et dérivable par rapport
aux~$a_{p,q}$ qui eux-mêmes restent bornés quand les~$\delta_p^2$ sont fixes.
Donc~$\Delta^2$ atteint un maximum~$\Delta_0^2$ donné par les règles du calcul
différentiel.

On aura ainsi:
\[
0 = d\Delta_0
  = \frac{\partial \Delta_0}{\partial a_{p1}}\, da_{p1}
  + \frac{\partial \Delta_0}{\partial a_{p2}}\, da_{p2} + \ldots
  + \frac{\partial \Delta_0}{\partial a_{pn}}\, da_{pn}
\]
pour toutes les variations telles que $\delta_p^2 = \text{constante}$, c'est-à-dire
telles que
\[
\frac{1}{2}\, d\delta_p^2
  = a_{p1}\, da_{p1}
  + a_{p2}\, da_{p2} + \ldots
  + a_{pn}\, da_{pn} = 0.
\]

On a donc
\[
\frac{\partial \Delta_0}{\partial a_{pq}}
  = \lambda_p a_{pq} \qquad (p = 1, 2, \ldots, n)
\]
où les~$\lambda_p$ sont des constantes convenables.
\DPPageSep{058.png}{52}%

D'ailleurs $\dfrac{\partial \Delta_0}{\partial a_{pq}}$ est, comme on sait, égal au coefficient~$A_{pq}$ de~$a_{pq}$
dans le développement de~$\Delta_0$. D'où:
\[
A_{pq} = \lambda_p a_{pq} \qquad (p = 1, 2, \ldots, n)
\]
et
\[
\Delta_0 = A_{p1} a_{p1} + \ldots + A_{pn} a_{pn} = \lambda_p \delta_p^2,
\]
ce qui donne
\[
A_{pq} = \frac{\Delta_0}{\delta_p^2}\, a_{pq}.
\]

Alors le déterminant des~$A_{pq}$ (c'est-à-dire le déterminant adjoint
de~$\Delta_0$, égal comme on sait à~$\Delta_0^{n-1}$) sera évidemment égal au déterminant~$\Delta_0$
des~$a_{pq}$ multiplié par
\[
\frac{\Delta_0^n}{\delta_1^2\, \delta_2^2\, \ldots\, \delta_n^2}.
\]

D'où:
\[
\Delta_0^{n-1} = \frac{\Delta_0^n}{\delta_1^2\, \ldots\, \delta_n^2}\, \Delta_0,
\]
avec $|\Delta| \le \Delta_0$.

D'où enfin l'inégalité annoncée $\Delta^2 \le \delta_1^2 \ldots \delta_n^2$.

En particulier, si $M$~est un nombre supérieur ou égal à chacune
des valeurs absolues de tous les termes de~$\Delta$, on aura $\delta_p^2 \le nM^2$,
d'où
\[
\SqTag{(38)}
|\Delta| \le \sqrt{n^n} M^n\footnotemark.
\]
\footnotetext{M.~Kneser a fait connaître récemment une démonstration intéressante de
  ce même théorème (\textit{Die Integralgleichung}, \textit{Vieweg}, 1911, p.~227). Une démonstration
  analogue a été donnée en même temps par M.~\DPtypo{Tommasio}{Tommaso} Boggio,
  \textit{Bull.\ des Sc.\ Math.}, 1911. Elle consiste à réduire la proposition au cas (où
  elle devient évidente) où tous les termes d'un côté de la diagonale principale
  sont nuls. On y arrive en opérant une même substitution orthogonale sur
  chacune des lignes du déterminant~$\Delta$.}%

\Paragraph{10.}{} --- Nous sommes maintenant en mesure de développer la
méthode de Fredholm.

Pour faciliter la discussion nous introduirons comme précédemment
\DPPageSep{059.png}{53}%
(\no \textbf{2}) un paramètre numérique arbitraire~$\lambda$ et nous nous proposerons
de résoudre l'équation
\[
\SqTag{(1\bis)}
\phi(s) - \lambda \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s),
\]
où $f(s)$~est continue dans~$(a,b)$ et où $K(s,t)$~est une fonction continue
presque partout (\no \textbf{5\bis}, p.~\Pg{6}).

\DPtypo{Guidé}{Guidés} par la méthode de passage à la limite dont nous avons
donné une idée plus haut (\no \textbf{8}), nous envisagerons les deux séries
\begin{align*}
\SSqTag[2]{(40)}%[** TN: Original contains no (39)]
D\left(\Atop{s}{t} \lambda\right)
  &= K(s,t) - \lambda \int_a^b K\left(\Atop{s,s_1}{t,s_1}\right) ds_1
   + \ldots  \\
  &+ \frac{(-\lambda)^n}{n!} \int_a^b \ldots \int_a^b
     K\left(\Atop{s,s_1,s_2,\ldots,s_n}{t,s_1,s_2,\ldots,s_n}\right) ds_1\, ds_2 \ldots ds_n + \ldots \\
%
\SSqTag[2]{(41)}
D(\lambda)
  &= 1 - \lambda \int_a^b K(s_1,s_1)\, ds_1 + \ldots \\
  &+ \frac{(-\lambda)^n}{n!} \int_a^b \ldots \int_a^b
  K\left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_n}{s_1,s_2,\ldots,s_n}\right) ds_1 \ldots ds_n + \ldots
\end{align*}
avec
\[
\SqTag{(42)}
K\left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_n}{t_1,t_2,\ldots,t_n}\right)
  \equiv \left|\begin{array}{@{\,}*{4}{l}@{\,}}
    K(s_1,t_1) & K(s_1,t_2) & \ldots & K(s_1,t_n) \\
    \hdotsfor[6]{4} \\
    K(s_n,t_1) & K(s_n,t_2) & \ldots & K(s_n,t_n)
  \end{array}\right|.
\]

[La quantité~$D(\lambda)$ est dite le \emph{déterminant} du noyau~$K(s,t)$\DPtypo{].}{.]}

Puisque $|K(s,t)|$~a une borne supérieure finie~$M$ dans son
champ de variation, ces deux séries seront convergentes quel que
soit~$\lambda$. En effet d'après le théorème de M.~Hadamard, on a
\[
\left|K\left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_n}{t_1,t_2,\ldots,t_n}\right)\right|
  < \sqrt{n^n}\, M^n,
\]
quand les variables restent dans~$(a,b)$. Donc les termes de~$D\left(\ds\Atop{s}{t} \lambda\right)$
et de~$D(\lambda)$ restent en valeurs absolues respectivement inférieurs à
ceux de
\begin{align*}
&M + 2|\lambda|\, (b-a)\, M^2 + \ldots
   + \frac{|\lambda|^n}{n!}\, \sqrt{(n+1)^{n+1}}\, (b-a)^n\, M^{n+1} + \ldots\Add{,}  \\
&1 +  |\lambda|\, M\, (b-a) + \ldots
   + \frac{|\lambda|^n}{n!}\, \sqrt{n^n}\, \bigl[M\, (b-a)\bigr]^n + \ldots\Add{.}
\end{align*}
\DPPageSep{060.png}{54}%

Le rapport d'un terme au précédent est pour la première série
de la forme
\[
|\lambda| \sqrt{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}\,
  \frac{\sqrt{n+1}}{n}\, (b-a)\, M
\]
et pour la seconde
\[
|\lambda| \sqrt{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}\,
  \frac{1}{\sqrt{n+1}}\, (b-a)\, M;
\]
dans les deux cas il tend vers zéro quel que soit~$\lambda$. Ainsi les deux
séries représentent deux fonctions \emph{entières} de~$\lambda$.

Les zéros de la fonction~$D(\lambda)$ sont déterminés par la fonction
$K(s,t)$ seule. On les appelle les \emph{constantes caractéristiques du
noyau $K(s,t)$}. On sait (\no \textbf{5}, p.~\Pg{6}) qu'elles sont \emph{isolées} les unes
des autres. Lorsque $\lambda$~n'est pas égal à une constante caractéristique,
le quotient
\[
\SSqTag{(43)}
K(s, t, \lambda) = \frac{D\left(\ds\Atop{s}{t}\, \lambda\right)}{D(\lambda)}
\]
représente une fonction de $s$,~$t$ bien déterminée. Quand $\lambda$~varie,
c'est une fonction méromorphe de~$\lambda$ qu'on appelle la \emph{résolvante} du
noyau~$K(s,t)$.

\Paragraph{11.}{} --- Nous allons maintenant chercher à montrer que la fonction
\emph{$k(s,t) = -\lambda K(s, t, \lambda)$ est la fonction réciproque \emph{(\no \textbf{5}, p.~\Pg{40})} de
$\lambda K(s, t)$ lorsque $\lambda$~n'est pas une constante caractéristique}. Ce sera
suffisant pour prouver que dans ce cas, l'équation de Fredholm
a une solution continue unique donnée par la formule~\Eq{(9)}, p.~\Pg{39}.

Étudions d'abord le genre de discontinuité de $D\left(\ds\Atop{s}{t}\, \lambda\right)$ par rapport
aux $s$~et~$t$. On a en développant~\Eq{(42)} par rapport à la première
ligne
\[
K\left(\Atop{s, s_1, s_2, \ldots, s_n}{t, s_1, s_2, \ldots, s_n}\right)
  = K(s,t)\, K\left(\Atop{s_1, s_2, \ldots, s_n}{s_1, s_2, \ldots, s_n}\right)
  + \Delta_n
\]
avec
\[
\Delta_n
  = \Delta\left(\Atop{s, s_1\Add{,} \ldots\Add{,} s_n}
                     {t, s_1\Add{,} \ldots\Add{,} s_n}\right)
  = \left|\begin{array}{@{\,}*{5}{l}@{\,}}
  0         &K(s,\ s_1)  &K(s,\ s_2)  &\ldots &K(s,\ s_n) \\
  K(s_1, t) &K(s_1, s_1) &K(\DPtypo{s_2}{s_1}, s_2) &\ldots &K(s_1, s_n)  \\
  \hdotsfor[6]{5} \\
  K(s_n, t) &K(s_n, s_1) &K(s_n, s_2) &\ldots &K(s_n, s_n)
\end{array}\right|\Add{.}
\]
\DPPageSep{061.png}{55}%

En portant cette expression dans la formule~\Eq{(40)}, on a
\[
\Tag{(44)}
D\left(\ds\Atop{s}{t}\, \lambda\right)
  = D(\lambda)\, K(s, t) + R(s, t, \lambda)
\]
avec
\[
R(s, t, \lambda)
  = - \lambda \int_a^b \Delta_1\, ds_1 + \ldots
  + \frac{(-\lambda)^n}{n!} \int_a^b \ldots \int_a^b
    \Delta_n\, ds_1 \ldots ds_n + \ldots\Add{.}
\]

En développant~$\Delta_n$ par rapport à la première ligne, on voit que
le terme général de~$R$ est une somme de termes de la forme~\Eq{(6)}
considérée dans l'Introduction, p.~\Pg{6}, puisque $K(s, t)$~est convergente
presque partout; donc $R$~est une somme de termes continus.
Et comme la série~$R$ est aussi uniformément convergente on voit
qu'en définitive~$R(s, t, \lambda)$ est une fonction continue quand $s$,~$t$
varient dans $a$,~$b$.

Dès lors, la formule~\Eq{(44)} montre que \emph{$D\left(\ds\Atop{s}{t}\, \lambda\right)$~est une fonction
qui a les mêmes points de discontinuité que~$K(s, t)$}.

D'autre part on a:
\begin{multline*}%[** TN: Re-breaking]
\int_a^b \ldots \int_a^b \Delta_n\, ds_1 \ldots ds_n
  = \sum_{p=1}^{p=n} \int_a^b \ldots \int_a^b (-1)^p\, K(s, s_p) × {} \\
\left|\begin{array}{@{\,}*{7}{l}@{\,}}
 K(s_1,t)&K(s_1,s_1) &\ldots&K(s_1,s_{p-1})&K(s_1,s_{p+1}) &\ldots&K(s_1,s_n) \\
 \hdotsfor[6]{7} \\
 K(s_p,t)&K(s_p,s_1) &\ldots&K(s_p,s_{p-1})&K(s_p,s_{p+1}) &\ldots&K(s_p,s_n) \\
 \hdotsfor[6]{7} \\
 K(s_n,t)&K(s_n,s_1) &\ldots&K(s_n,s_{p-1})&K(s_n,s_{p+1}) &\ldots&K(s_n,s_n)
\end{array}\right| ds_1 \ldots ds_n  \\
= -\sum_{p=1}^{p=n} \int_a^b \ldots \int_a^b K(s, s_p) × {} \\
\left|\begin{array}{@{\,}*{7}{l}@{\,}}
 K(s_p,t)&K(s_p,s_1) &\ldots&K(s_p,s_{p-1})&K(s_p,s_{p+1}) &\ldots&K(s_p,s_n) \\
 K(s_1,t)&K(s_1,s_1) &\ldots&K(s_1,s_{p-1})&K(s_1,s_{p+1}) &\ldots&K(s_1,s_n) \\
\hdotsfor[6]{7} \\
 K(s_n,t)& \hdotsfor[6]{5}  &K(s_n,s_n)
\end{array}\right| ds_1 \ldots ds_n
\end{multline*}
\DPPageSep{062.png}{56}%
en remontant la \Ord{$p$}{\textit{ième}}~ligne jusqu'à la première place. Si ensuite on
remplace $s_p, s_{p+1}, \ldots\Add{,} s_n$, par $\tau, s_p, \ldots\Add{,} s_{n-1}$ ce qui ne change rien
dans la valeur de l'intégrale, on voit que le signe~$\sum$ porte sur~$n$
intégrales égales à
\begin{multline*}
\int_a^b \ldots \int_a^b K(s,\tau)
\left|\begin{array}{@{\,}*{4}{@{\;}l@{\;}}@{\,}}
K(\tau,\ t) &K(\tau,\ s_1) &\ldots &K(\tau,\ s_{n-1})  \\
K(s_1,\ t)  &K(s_1,\  s_1) &\ldots &K(s_1,\ s_{n-1})   \\
\hdotsfor[6]{4} \\
K(s_{n-1}, t)&K(s_{n-1}, s_1)&\ldots &K(s_{n-1}, s_{n-1})
\end{array}\right| d\tau\, ds_1 \ldots ds_{n-1}  \\
\begin{aligned}
  &= \int_a^b \ldots \int_a^b K(s,\tau)\, K(\tau,t)\,
   K\left(\Atop{s_1, \ldots, s_{n-1}}{s_1, \ldots, s_{n-1}}\right)
   d\tau\, ds_1 \ldots ds_{n-1}  \\
  &+ \int_a^b \ldots \int_a^b K(s,\tau)\,
   \Delta\left(\Atop{\tau, s_1, \ldots, s_{n-1}}{t, s_1, \ldots, s_{n-1}}\right)
   d\tau\, ds_1 \ldots ds_{n-1}
\end{aligned}
\end{multline*}

En sorte que
\begin{multline*}%[** TN: Re-breaking]
R(s, t, \lambda) =  \\
- \int_a^b K(s, \tau)\, K(\tau, t)\, d\tau
  × \sum_{n=1}^{n=\infty} \frac{(-\lambda)^n}{n!}
  × n \int_a^b \ldots \int_a^b
    K\left(\Atop{s_1\Add{,} \ldots\Add{,} s_{n-1}}
                {s_1\Add{,} \ldots\Add{,} s_{n-1}}\right)
    ds_1 \ldots ds_{n-1}  \\
%
- \int_a^b K(s, \tau) \left\{\sum_{n=1}^{n=\infty} \frac{(-\lambda)^n}{n!}\, n
  \int_a^b \ldots \int_a^b
    \Delta\left(\Atop{\tau, s_1\Add{,} \ldots\Add{,} s_{n-1}}
                     {t, s_1\Add{,} \ldots\Add{,} s_{n-1}}\right)
    ds_1 \ldots ds_{n-1} \right\} d\tau \\
%
  = \left[\int_a^b K(s,\tau)\, K(\tau, t)\, d\tau \right]
  × \lambda D(\lambda)
  + \int_a^b K(s,\tau) · \lambda · R(\tau,t,\lambda)\, d\tau.
\end{multline*}

D'où
\[
R(s, t, \lambda) = \lambda \int_a^b K(s, \tau)\,
  \bigl\{ K(\tau, t)\, D(\lambda) + R(\tau, t, \lambda)\bigr\}\, d\tau.
\]

En tenant compte de~\Eq{(44)} on a enfin
\[
D\left(\Atop{s}{t}\, \lambda\right) - D(\lambda)\, K(s, t)
  = \lambda \int_a^b K(s, \tau)\, D\left(\Atop{\tau}{t}\, \lambda\right) d\tau.
\]

En procédant avec les colonnes des déterminants comme nous
avons fait avec les lignes, on obtiendrait de la même manière pour
valeur du second membre
\[
\lambda \int_a^b D\left(\Atop{s}{\tau}\, \lambda\right) K(\tau, t)\, d\tau.
\]
\DPPageSep{063.png}{57}%

On a ainsi l'identité fondamentale
\begin{align*}
\SSqTag[2]{(45)}
D \left(\Atop{s}{t}\, \lambda \right) - D(\lambda)\, K(s, t)
  &= \lambda \int_a^b K(s, \tau)\, D \left(\Atop{\tau}{t}\, \lambda\right) d\tau \\
  &= \lambda \int_a^b D \left(\Atop{s}{\tau}\, \lambda\right) K(\tau, t)\, d\tau.
\end{align*}

En particulier si $\lambda$~n'est pas une constante caractéristique,
$D(\lambda)$~n'est pas nul, la formule~\Eq{(43)} a un sens et on a
\begin{align*}
\SSqTag[2]{(46)}
K(s, t, \lambda) - K(s, t)
  &= \lambda \int_a^b K(s,\tau)\, K(\tau, t, \lambda)\, d\tau \\
  &= \lambda \int_a^b K(s,\tau,\lambda)\, K(\tau,t)\, d\tau
\end{align*}
qu'on peut écrire sous la forme
\begin{align*}
k(s, t) + \bigl[ \lambda K(s, t) \bigr]
  &= \int_a^b \bigl[ \lambda K(s, \tau) \bigr]\, k(\tau, t)\, d\tau \\
  &= \int_a^b k(s, \tau) \bigl[ \lambda K(\tau, t) \bigr]\, d\tau
\end{align*}
ce qui démontre la proposition.

%[** TN: Boldface emphasis]
En résumé nous voyons que (d'après un raisonnement déjà employé
au \no \textbf{5}, p.~\Pg{40}) \textbf{l'équation de Fredholm~\Eq{(1\bis)} où $K(s, t)$~est
une fonction continue presque partout} (\no \textbf{5}, p.~\Pg{6}), \textbf{où $f(s)$~est une
fonction continue et où $\lambda$~n'est pas une constante caractéristique}
(\no \textbf{10}, p.~\Pg{54}), \textbf{admet une solution continue unique donnée par
\[
\SSqTag{(47)}
\phi(s) = f(s) + \lambda \int_a^b K(s, t, \lambda)\, f(t)\, dt,
\]
où $K(s,t,\lambda)$ est une fonction méromorphe de~$\lambda$ donnée par les formules
\DPtypo{(43}{\Eq{(43)}}, \Eq{(40)},~\Eq{(41)}}.

\Paragraph{12.}{} --- On voit l'avantage de la méthode précédente sur la
méthode d'itération: c'est que celle-ci ne réussissait que si, $M$~étant
la borne supérieure de~$|K(s, t)|$, on avait (\no \textbf{2}, p.~\Pg{37})
\[
|\lambda|\, M\, (b-a) < 1
\]
\DPPageSep{064.png}{58}%
c'est-à-dire
\[
|\lambda| < \frac{1}{M\, (b-a)}.
\]

Il est vrai qu'on peut traiter les autres cas au moyen de la
généralisation de Schmidt que nous avons exposée plus haut, p.~\Pg{42}.
Mais celle-ci ne fournit pas une formule générale unique comme
la précédente et ne mène pas à une discussion aussi simple. Elle
ne fournit pas une expression \emph{explicite} du résultat, dans laquelle
chaque terme soit directement donné par une expression analytique
connue, ce qui est en général très important au point de
vue des calculs théoriques.

Au point de vue du calcul numérique, au contraire, ceci constitue
plutôt un \emph{désavantage} de la méthode de Fredholm, puisque
le calcul d'un terme ne sert en rien pour celui des suivants.

Mais ce désavantage est compensé par un avantage essentiel,
celui d'une \emph{convergence très rapide}, lequel est précisément en
rapport avec ce fait que nos séries actuelles ont en~$\lambda$, un rayon de
convergence infini et les premières \Eq{(5)},~\Eq{(5')} un rayon de convergence
fini. Les séries \Eq{(40)},~\Eq{(41)} convergent à la façon des développements
de fonctions entières, c'est-à-dire comme des progressions
géométriques à raison \emph{infiniment petite} à partir d'un rang assez
élevé. Dans beaucoup de cas, les deux ou trois premiers termes
suffiront, dans chacune d'elles, dès que $\lambda$~ne sera pas trop grand.

La série~\Eq{(5')} représente, comme nous l'avons remarqué, le dével\-oppe\-ment
de~$\phi(s)$ suivant les puissances de~$\lambda$, c'est-à-dire le quotient
des deux séries \Eq{(40)},~\Eq{(41)}. Son rayon de convergence est égal
au module du premier pôle (en~$\lambda$) de~$\phi(s)$, c'est-à-dire (voir plus
loin, \no \textbf{19}) du premier zéro~$\lambda_1$ de~$D(\lambda)$. Elle converge comme
une progression géométrique de raison~$\left|\dfrac{\lambda}{\lambda_1}\right|$; par conséquent, comme
une progression de raison~$\dfrac{1}{|\lambda_1|}$, s'il s'agit de la série~\Eq{(5)}.

Il faut enfin remarquer que, si l'on doit calculer \emph{les constantes
caractéristiques}\footnote
  {Les constantes en question sont évidemment (voir plus loin, \no \textbf{19}) les
  pôles de $K(s, t, \lambda)$.}
(\no \textbf{10})---ce qui est indispensable dans les
applications mentionnées au Chapitre~I, --- on ne peut employer
\DPPageSep{065.png}{59}%
notre première méthode qu'avec la généralisation de Schmidt, et
même en prenant l'entier~$p$ du \no \textbf{6} d'autant plus grand qu'on
veut calculer des constantes~$\lambda_n$ d'indice plus élevé.

\Paragraph{13.}{\textit{Noyaux infinis.}} --- Nous n'avons pas encore considéré le
cas où le noyau $\lambda K(s,t)$ tout en restant intégrable deviendrait
infini en certains points. Fredholm a aussi indiqué pour ce cas
une méthode qui revient à substituer à l'équation donnée une
équation équivalente où le noyau est fini.

Revenons en effet à la formule~\Eq{(7)}, p.~\Pg{39}, en y remplaçant
$\phi_0(t)$~par une solution~$\phi(s)$ de l'équation~\Eq{(1\bis)}; alors $\phi_1 \equiv \phi_2 \equiv \ldots
\phi_{n+1} \equiv \phi$ et nous aurons en remplaçant~$n$ par~$n-1$ et $K(s,t)$ par
$\lambda K(s,t)$
\[
\Tag{(48)}
\phi(s) - \lambda^n \int_a^b K_n(s, t)\, \phi(t)\, dt = f_n(s)
\]
où $f_n(s)$~est une fonction continue connue
\[
\Tag{(49)}
f_n(s) \equiv f(s)
  + \lambda      \int_a^b K_1(s,t)\, f(t)\, dt + \ldots
  + \lambda^{n-1} \int_a^b K_{n-1}(s,t)\, f(t)\, dt.
\]

On voit que $\phi(s)$~est une solution de l'équation de Fredholm~\Eq{(48)}
où $\lambda K$,~$f$ sont remplacés par $\lambda^nK_n$,~$f_n$. Inversement, soit~$\phi(s)$
une solution de l'équation~\Eq{(48)}. Si dans les relations \Eq{(3)},~\Eq{(4)}, on
remplace~$\phi_0$ par~$\phi$, ($K$~étant toujours changé en~$\lambda K$), $\phi_n$~sera aussi
égal à~$\phi$. Il suffit alors d'ajouter membre à membre les $n$~premières
de ces équations \Eq{(3)},~\Eq{(4)} pour constater que la fonction
\[
\Psi = \frac{\phi_0 + \phi_1 + \ldots + \phi_{n-1}}{n}
\]
est une solution de~\Eq{(1\bis)}. C'est d'ailleurs aussi évidemment une solution
de~\Eq{(48)} comme~$\phi$, donc~$\Psi = \phi$ et~$\phi$ est bien une solution de~\Eq{(1\bis)}.
Les équations \Eq{(1\bis)}~et~\Eq{(48)} sont donc équivalentes.

[En vue des applications numériques, il y a lieu d'observer que
l'on obtient la transformée en~$\lambda^n$ de l'équation $D(\lambda) = 0$ relative
au noyau~$K(s,t)$ en égalant à zéro le «déterminant» du noyau~$n$
fois réitéré~$K_n(s,t)$\DPtypo{].}{.]}

Or, il arrive dans un grand nombre d'applications que le
noyau~$K(s,t)$ étant infini en certains points, on peut trouver une
\DPPageSep{066.png}{60}%
valeur de~$n$ pour laquelle le noyau réitéré~$K_n$ est borné. On sera
donc ramené au cas précédent.

\Paragraph{14.}{} --- La discussion des cas --- qui se rencontrent fréquemment
en Physique---où cette condition se trouve réalisée sera, contrairement
à ce qui avait lieu dans tout ce qui précède, différente
suivant le nombre des variables.

Soit d'abord une intégrale simple. \emph{Nous supposerons que $K(s,t)$
n'est infini que pour $s = t$ et comme $\dfrac{1}{|s-t|^\alpha}$}; pour que~$K$
soit intégrable, il faut d'ailleurs que~$\alpha$ qui est~$> 0$, soit~$< 1$. Pour
préciser, supposons
\[
K(s,t) = \frac{H(s, t)}{|s-t|^\alpha}
\]
où $H(s,t)$~est une fonction bornée intégrable. On a
\[
K_2(s,t) = \int_a^b K(s, \tau)\, K(\tau, t)\, d\tau.
\]

Si $M$~est la borne supérieure de~$|H(s, t)|$, on aura:
\[
|K_2(s, t)|
  \le M^2 \int_a^b \frac{1}{|s-\tau|^\alpha}\, \frac{1}{|\tau-t|^\alpha}\, d\tau.
\]

Or posons
\[
\tau = sy + t(1-y),
\]
l'intégrale deviendra
\[
|s-t|^{1-2\alpha} \int_{\tfrac{a-t}{s-t}}^{\tfrac{b-t}{s-t}}
  \frac{dy}{|y|^\alpha\, |1-y|^\alpha}.
\]
Donc:
\[
|K_2(s,t)| < M^2 \int_{-\infty}^{+\infty}
  \frac{dy}{|y|^\alpha\, |1-y|^\alpha} × |s-t|^{1-2\alpha}
  = P_2 |s-t|^{1-2\alpha}
\]
où $P_2$~est un nombre positif fixe.

De même, comme on a
\[
K_3(s, t) = \int_a^b K_2(s, \tau)\, K(\tau, t)\, d\tau
\]
\DPPageSep{067.png}{61}%
on aura
\[
|K_3(s, \tau)| < P_3 |s-t|^{2-3\alpha}
\]
et en général
\[
|K_n(s, t)| < P_n |s-t|^{n-1-n\alpha}.
\]

Soit alors $n$~le premier entier supérieur à $\dfrac{1}{1-\alpha}$~($> 1$); on aura
\[
n - 1 - n\alpha > 0.
\]

Donc $P_n|s-t|^{n-1-n\alpha}$ sera borné (et~$\le P_n(b-a)^{n-1-n\alpha}$).

De sorte que le noyau de l'équation~\Eq{(48)} sera fini.

En particulier, si~$\alpha < \dfrac{1}{2}$, il suffira de prendre~$n = 2$.

\Paragraph{15.}{} --- Dans ce même cas $\alpha < \dfrac{1}{2}$, M.~Hilbert a donné un
moyen élégant de traiter \emph{directement} l'équation~\Eq{(1\bis)} en modifiant
la méthode de Fredholm pour le cas d'un noyau fini.

Il s'agit de tourner la difficulté provenant de ce que les termes
des diagonales principales des déterminants
\[
K\left(\Atop{s, s_1, \ldots, s_n}{t, s_1, \ldots, s_n}\right)
\]
sont infinis sauf le premier comme étant égaux à
\[
K(s_1, s_1), \ldots\Add{,} K(s_n, s_n).
\]

Pour cela, M.~Hilbert remplace la fonction donnée $K(s, t)$ par
une fonction $K_0(s, t)$ égale partout à~$K(s, t)$ sauf pour $s = t$ où
l'on prend $K_0(s, s) = 0$. Il est manifeste que la nouvelle équation
intégrale obtenue sera entièrement équivalente à la première,
car une intégrale simple ne change pas de valeur si l'on change la
valeur de la fonction à intégrer en un seul point.

En opérant ainsi, les nouvelles expressions de $D\left(\ds\Atop{s}{t}\, \lambda\right)$ et de~$D(\lambda)$
ne contiendront que des termes finis. Il reste à montrer que quoique
$K_0(s, t)$ ne soit pas bornée, ces deux séries sont convergentes.

En effet, considérons par exemple ce que devient
\[
K \left(\Atop{s_1, \ldots, s_n}{s_1, \ldots, s_n}\right).
\]
\DPPageSep{068.png}{62}%

En supposant d'abord $s_1 > s_2 > s_3 \ldots > s_n$, nous multiplierons
la première ligne de ce déterminant (voir formule~\Eq{42}), par $(s_1-s_2)^\alpha$,
la seconde par $[(s_1-s_2)^{-\alpha} + (s_2-s_3)^{-\alpha}]^{-1} \ldots$, la dernière par
$(s_{n-1}-s_n)^\alpha$. Les éléments du déterminant obtenu restent tous inférieurs,
en valeur absolue, à un nombre fixe~$P$. D'après le théorème
de M.~Hadamard (\no \textbf{9}, p.~\Pg{52}), on a donc
\begin{gather*}
\left|K\left(\Atop{s_1, s_2, \ldots\Add{,} s_n}
                  {s_1, s_2, \ldots\Add{,} s_n}\right)\right|
  < (s_1-s_2)^\alpha\,
    \bigl[(s_1-s_2)^{-\alpha} + (s_2-s_3)^{-\alpha}\bigr]^{-1} \ldots \\
    (s_{n-1}-s_n)^\alpha · \sqrt{n^n} · P^n
\end{gather*}
dans le domaine~$D$ défini par les inégalités $b > s_1 > s_2 \ldots > s_n> a$.

Or, les intégrales de~$|K|$ dans chacun des $n!$~domaines analogues
à~$D$ obtenus en permutant les~$s$, sont égales. Le terme général~$u_n$
de la série~\Eq{(41)} qui représente le «déterminant»~$D(\lambda)$
relatif à~$K_0$ est donc au plus égal à
\[
\Tag{(49\bis)}
\left\{
\begin{aligned}
&|\lambda^n|\, \sqrt{n^n}\, P^n \idotsint_D (s_1-s_2)^\alpha\,
  \bigl[(s_1-s_2)^{-\alpha} + (s_2-s_3)^{-\alpha}\bigr]^{-1} \ldots  \\
&\bigl[(s_{n-2}-s_{n-1})^{-\alpha} + (s_{n-1}-s_n)^{-\alpha}\bigr]^{-1}\,
  (s_{n-1}-s_n)^\alpha\, ds_1 \ldots ds_n.
\end{aligned}\right.
\]

Un changement de variables tel que $s_i = a + (b-a) s'_i$ ramène
cette expression à la forme
\[
|\lambda|^n\, (\sqrt{n})^n\, P^n (b-a)^{(1-\alpha\DPtypo{}{)} n}\, I_n
\]
où $I_n$~représente l'intégrale qui figure dans~(49\bis), mais étendue
au domaine $1 > s_1 > s_2\ldots > s_n > 0$. Le calcul de~$I_n$ montre\footnote
  {Voir Hilbert, \textit{Grundzüge \ldots, Göttinger Nachrichten} (Erste Mitteilung)\DPtypo{.}{,}
  1904, Heft~1, p.~84.}
que l'on peut écrire $I_n < \dfrac{A^n}{n^{n(1-\alpha)}}$ où~$A$ est un nombre fixe. De
sorte qu'on a pour le terme général~$u_n$ de~$D(\lambda)$
\[
\sqrt[n]{|u_n|}
  < |\lambda|\, P (b-a)^{1-\alpha}\, A × \frac{1}{n^{\frac{1}{2}-\alpha}}.
\]
\DPPageSep{069.png}{63}%

Comme $\alpha < \dfrac{1}{2}$, $\sqrt[n]{|u_n|}$ tend vers zéro et la série~$D(\lambda)$ est absolument
convergente. M.~Poincaré\footnote
  {\textit{Remarques diverses sur l'équation de Fredholm.} Acta Mathematica, t\Add{.}~III,
  1910, p.~73.}
est parvenu à étendre le
procédé de M.~Hilbert au cas où $\alpha$~est un nombre quelconque
compris entre $0$~et~$1$. Il arrive au résultat suivant: Soit~$n$ un entier
quelconque supérieur à~$\dfrac{1}{1-\alpha}$. On peut encore appliquer les
formules de Fredholm \Eq{(40)},~\Eq{(41)}, \Eq{(43)},~\Eq{(47)} comme si le noyau
$K(s, t)$ était fini pourvu qu'on ait soin de supprimer dans le développement
de chaque déterminant $K\left(\ds\Atop{s_1, s_2, \ldots\Add{,} s_n}{s_1, s_2, \ldots\Add{,} s_n}\right)$, tous ceux des
termes qui sont de la forme
\[
± K(s_\alpha, s_\beta) · K(s_\beta, s_\gamma) \ldots
  K(s_\lambda, s_\mu) · K(s_\mu, s_\alpha)
\]
où les indices $\alpha, \beta, \gamma, \ldots\Add{,} \lambda, \mu, \alpha$ forment un cycle de~$n + 1$ lettres.

\Paragraph{16.}{} --- S'il s'agit d'équations intégrales de la forme~\Eq{(1')} (p.~\Pg{ref4}), on
admettra --- pour se borner toujours aux seuls exemples vraiment
usuels --- que le noyau peut devenir infini lorsque les points $M$,~$P$ dont
il dépend coïncident\DPtypo{.}{,} et seulement dans ce cas; que, de plus, il est
alors de l'ordre de~$\dfrac{1}{r^\alpha}$, $\alpha$~étant encore un exposant constant et $r$~désignant
%[** TN: Next line retained verbatim. A French speaker suggested "Cela revient à dire, par exemple..." may have been meant.]
la distance~$\Seg{MP}$\@. Cela revient dire --- si, par exemple, l'équation
est à deux variables, de sorte que $M$~est défini par deux coordonnées
$s_1$,~$s_2$ et $P$~par deux coordonnées $t_1$,~$t_2$, --- que le noyau est
de l'ordre de $\dfrac{1}{\bigl[(s_1-t_1)^2+(s_2-t_2)^2\bigr]^{\tfrac{\alpha}{2}}}$.

Ce cas sera étudié dans une note à la fin du volume (note~A,
p.~\Pg{141}), où nous démontrerons que les méthodes exposées au \no précédent
réussissent pour $\alpha < 2$ si, comme nous venons de le supposer,
le nombre des variables est de deux.

\Paragraph{17.}{\textbf{Établissement de quelques formules.}} --- Nous ne nous
sommes pas occupés encore du cas exceptionnel où $\lambda$~est égal à
une constante caractéristique du noyau~$K(s, t)$. Pour y arriver,
nous commencerons par le cas de \emph{l'équation intégrale homogène},
\DPPageSep{070.png}{64}%
celle qu'on obtient en supposant dans~\Eq{(1\bis)}, p.~\Pg{53}, que $f(s) \equiv 0$.
Il nous sera nécessaire auparavant d'établir quelques formules.

Tout d'abord, on tire évidemment des développements \Eq{(40)},~\Eq{(41)}
(valables quel que soit~$\lambda$)
\[
\int_a^b D\left(\Atop{s}{s}\, \lambda\right) ds
  = \int_a^b K(s,s)\, ds
  - \lambda \int_a^b \int_a^b K\left(\Atop{s,s_1}{s,s_1}\right) ds\, ds_1
  + \ldots
\]
et par suite
\[
\SqTag{(50)}
\frac{d}{d\lambda}\, D(\lambda)
  = -\int_a^b D\left(\Atop{s}{s}\, \lambda\right) ds,
\]
formule qu'on peut écrire aussi d'après~\Eq{(43)}
\[
\SqTag{(50\bis)}
\frac{d}{d\lambda} \log D(\lambda) = - \int_a^b K(s, s, \lambda)\, ds.
\]

\Paragraph{18.}{} --- La formule~(50\bis) permet d'établir le développement suivant
les puissances de~$\lambda$ du logarithme du déterminant~$D(\lambda)$. Si,
en effet, on utilise pour $K(s, s, \lambda)$ le développement obtenu par
notre première méthode, --- c'est-à-dire celui que l'on déduit de la
formule~\Eq{(8)} (\no \textbf{3}, p.~\Pg{39}) en y changeant~$K$ en~$\lambda K$ et $k(s,t)$ en
$-\lambda K(s, t, \lambda)$ d'après le \no \textbf{11} --- il vient ($|\lambda|$~étant supposé plus
petit que le module du premier zéro de~$D(\lambda)$)
\begin{align*}
\Tag{(50\ter)}
-\frac{d}{d\lambda}\, \bigl[\log D(\lambda)\bigr]
  &= \int_a^b K(s,s)\, ds + \lambda \int_a^b K_2(s,s)\, ds + \ldots  \\
  &+ \lambda^{n-1} \int_a^b K_n(s,s)\, ds + \ldots\Add{.}
\end{align*}

D'où (puisque $D(0) = 1$)
\[
\log D(\lambda) = -\sum_n \frac{\lambda^n}{n} \int_a^b K_n(s,s)\, ds.
\]

\Paragraph{19.}{\textsc{Théorème.}} --- \textit{Si $\lambda'$ est une constante caractéristique de
$\lambda K(s,t)$, c'est, pour quelque point~$(s,t)$, un pôle de la résolvante}
\[
K(s, t, \lambda) = \frac{D\left(\ds\Atop{s}{t}\, \lambda\right)}{D(\lambda)}.
\]
\DPPageSep{071.png}{65}%

Car pour qu'il en fût autrement, il faudrait que (quels que soient
$s$,~$t$) $\lambda'$~soit racine de $D\left(\ds\Atop{s}{t}\, \lambda\right)$ et même racine d'un ordre de multiplicité~$p_1$
au moins égal à l'ordre de multiplicité~$p$ de~$\lambda'$ considéré
comme racine de~$D(\lambda)$. Or on tire de~\Eq{(50)}
\[
\frac{d^h}{d\lambda^h}\, D(\lambda)
  = - \int_a^b \frac{d^{h-1}}{d \lambda^{h-1}}\,
    D\left(\Atop{s}{s}\, \lambda\right) ds.
\]

Si on fait dans cette identité $\lambda = \lambda'$, on aura
\[
\frac{d^{h-1}}{d\lambda^{h-1}}\, D\left(\Atop{s}{s}\, \lambda'\right) \equiv 0
  \text{ pour } h = 1, 2, \ldots\Add{,} p_1
\]
et par suite
\[
\frac{d^h}{d\lambda^h}\, D(\lambda) = 0 \text{ pour }
  \lambda = \lambda' \text{ et } h = 1, \ldots\Add{,} p_1.
\]

Donc
\[
\SqTag{(51)}
p \ge p_1 + 1.
\]


\Section{III.}{Résolution de l'équation homogène}

\Paragraph{20.}{} --- Considérons maintenant l'équation intégrale homogène
\[
\Tag{(1\ter)}
\phi(s) - \lambda \int_a^b  K(s,t)\, \phi(t)\, dt = 0
\]
c'est-à-dire l'équation~(1\bis, p.~\Pg{38}) où l'on suppose le terme connu
$f(s)$ identiquement nul. Elle admet évidemment la solution
$\phi(s) \equiv 0$. Si $\lambda$~n'est pas une constante caractéristique, le théorème
fondamental du \no \textbf{11}, nous apprend que cette solution est la
seule. Il suffit donc d'examiner le cas où~$\lambda$ est une constante caractéristique.

Il est d'abord évident que s'il existe une solution non nulle de
l'équation, il en existera une infinité d'autres qu'on obtiendrait
en multipliant l'une d'elles par un facteur numérique arbitraire.
On voit même que s'il existe plusieurs solutions linéairement indépendantes
de~\Eq{(1\ter)}, toute combinaison linéaire et homogène de
\DPPageSep{072.png}{66}%
celles-ci sera aussi une solution non identiquement nulle. Reste le
problème d'existence qui est résolu par le théorème suivant.

%[** TN: Boldface emphasis]
\Paragraph{21.}{\textsc{Théorème.}} --- \textbf{Si~$\lambda'$ est une constante caractéristique du
noyau $K(s,t)$, l'équation intégrale homogène
\[
\Tag{(52)}
\phi(s) - \lambda' \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = 0
\]
admet au moins une solution~$\phi(s)$ non identiquement nulle.}

En effet, d'après le \no \textbf{19}, la constante caractéristique~$\lambda'$ sera un
pôle de la résolvante $K (s, t, \lambda)$ d'un ordre~$r$ au moins égal à
l'unité. Nous pourrons donc écrire cette résolvante sous la forme
\[
\Tag{(53)}
K(s,t,\lambda)
  \equiv \frac{\phi_r(s,t)}{(\lambda'-\lambda)^r}
       + \frac{\phi_{r-1}(s,t)}{(\lambda'-\lambda)^{r-1}} + \ldots
       + \frac{\phi_1(s,t)}{(\lambda'-\lambda)} + \phi_0(s,t,\lambda)
\]
où $\phi_r(s,t)$ est certainement non identiquement nulle et où $\phi_0(s,t,\lambda)$
est une fonction de~$\lambda$ qui est holomorphe près de $\lambda = \lambda'$.

Nous utiliserons maintenant la relation~\Eq{(46)} entre le noyau et
sa résolvante sous la forme
\begin{align*}
\MTag{(54)}
-K(s,t) + K(s,t,\lambda)
  &= (\lambda - \lambda') \int_a^b K(s,\tau)\, K(\tau,t,\lambda)\, d\tau
   + \lambda' \int_a^b K(s,\tau)\, K(\tau,t,\lambda)\, d\tau  \\
  &= (\lambda - \lambda') \int_a^b K(s,\tau,\lambda)\, K(\tau,t)\, d\tau
   + \lambda' \int_a^b K(s,\tau,\lambda)\, K(\tau,t)\, d\tau\Add{.}
\end{align*}

Si nous substituons ensuite l'expression de $K(s,t,\lambda)$ tirée de~\Eq{(53)}
dans~\Eq{(54)} nous pourrons identifier les coefficients de
\[
(\lambda' - \lambda)^{-1},\
(\lambda' - \lambda)^{-2},\ \ldots\Add{,}\
(\lambda' - \lambda)^{-r}.
\]
La dernière des relations ainsi obtenues sera
\[
\Tag{(55)}
\phi_r(s,t)
  = \lambda' \int_a^b K(s,\tau)\, \phi_r(\tau,t)\, d\tau
  = \lambda' \int_a^b K(\tau,t)\, \phi_r(s,\tau)\, d\tau.
\]

Cette formule nous montre qu'en donnant à~$t$ une valeur quelconque
comprise entre $a$~et~$b$, la fonction $\phi_r(s,t)$ vérifie l'équation~\Eq{(52)}.
Or $\phi_r(s,t)$ n'étant pas une fonction identiquement nulle en
$s$~et~$t$, il existe au moins une valeur numérique~$\theta$ comprise entre
\DPPageSep{073.png}{67}%
$a$~et~$b$ telle que $\phi_r(s,\theta)$ soit une fonction de~$s$ non identiquement
nulle. Cette fonction étant solution de~\Eq{(52)}, le théorème est démontré.

%<tb>

Ce théorème est fondamental. Il peut en effet s'énoncer ainsi:

\emph{Si le déterminant d'une équation de Fredholm est nul, l'équation
homogène correspondante~$a$ au moins une solution non identiquement
nulle.} Si au contraire, le déterminant est différent de zéro, la
formule~\Eq{(47)} s'applique en particulier si $f(s)$~est identiquement
nulle, quand on y prend encore pour~$\phi(s)$ une solution de l'équation~\Eq{(1)}
qui devient homogène puisque $f(s) \equiv 0$. Elle montre que
\emph{si $D(\lambda) \ne 0$, toute solution de l'équation intégrale homogène est
identiquement nulle}. En rapprochant ces énoncés du théorème fondamental
du \no \textbf{11}, on a la proposition suivante:

%[** TN: Boldface emphasis]
\textbf{Pour que l'équation de Fredholm~\Eq{(1\bis)} admette une solution}
(fournie d'ailleurs par la formule~\Eq{47}), \textbf{il faut et il suffit que l'équation
homogène correspondante~\Eq{(1\ter)} n'ait pas d'autre solution que
zéro.}

On a ainsi pour établir l'existence ou la non existence d'une
solution de l'équation avec second membre, un procédé souvent
commode en ce qu'il évite le calcul du déterminant.

On voit que pour s'assurer que le déterminant~$D(\lambda)$ est différent
de zéro [que par conséquent la méthode des numéros précédents
est valable et fournit une solution unique de l'équation~\Eq{(1\bis)}],
il n'est pas nécessaire de calculer ce déterminant. Il suffit de constater
que pour la même valeur de~$\lambda$, l'équation homogène correspondante~\Eq{(1\ter)}
n'a pas d'autre solution que zéro. Cette remarque
sera d'une application constante dans la suite.

\textit{Remarque.} --- Nous avons obtenu plus haut dans le cas où $\lambda$~est
égal à une constante caractéristique~$\lambda'$, une solution $\phi_r(s,t)$ de
l'équation homogène~\Eq{(52)} qui dépend d'un paramètre arbitraire~$t$.
Il y aurait donc une infinité de solutions, ce qui ne saurait nous
étonner~(\no \textbf{20}). Mais nous montrerons plus loin (\no \textbf{24}) qu'on les
obtient toutes de la manière indiquée précédemment (\no \textbf{20}) ou
d'une manière plus précise, que toute solution de l'équation~\Eq{(52)}
est une combinaison linéaire et homogène de solutions linéairement
indépendantes en nombre au plus égal (\no \textbf{25}) au degré de multiplicité
de la racine~$\lambda'$ de~$D(\lambda)$.
\DPPageSep{074.png}{68}%

\Paragraph{22.}{} --- Le théorème que nous venons de démontrer s'applique
encore aux cas où le noyau devient infini, tels que nous les avons
visés au \no \textbf{14}; c'est-à-dire que dans ces cas, ou bien l'équation
donnée a une solution fournie par la méthode du \no \textbf{13} ou bien
l'équation homogène correspondante a une solution non nulle.
C'est en effet ce qui a lieu pour l'équation~\Eq{(48)} et nous avons vu
que cette dernière est équivalente à la proposée.

On étendra également ce résultat à la méthode de M.~Hilbert
(\no \textbf{15}).

\begin{Remark}
\Paragraph{23.}{} --- Pour trouver le nombre exact des solutions de l'équation
homogène~\Eq{(52)} pour chaque constante caractéristique~$\lambda'$, on a recours
aux \emph{mineurs} du déterminant~$D(\lambda)$.

On appelle ainsi avec M.~Fredholm les séries
{\footnotesize
\begin{multline*}
\SqTag[2]{(56)}
D_p \left(\Atop{s_1,s_2,\DPtypo{..}{\ldots},s_p}
               {t_1,t_2,\DPtypo{..}{\ldots},t_p}\, \lambda\right)
  \equiv K \left(\Atop{s_1,s_2,\DPtypo{..}{\ldots},s_p}
                      {t_1,t_2,\DPtypo{..}{\ldots},t_p} \right)
  - \lambda \int_a^b
    K \left(\Atop{s_1,s_2,\DPtypo{..}{\ldots},s_p,\tau_1}
                 {t_1,t_2,\DPtypo{..}{\ldots},t_p,\tau_1} \right) d\tau_1 \\
  + \ldots + \frac{(-\lambda)^n}{n!} \int_a^b \ldots \int_a^b
    K \left(\Atop{s_1,\ldots,s_p,\tau_1\Add{,}\ldots,\tau_n}
                 {t_1,\ldots,t_p,\tau_1\Add{,}\ldots,\tau_n}\right)
    d\tau_1 \ldots d\tau_n + \ldots
\end{multline*}}

On voit comme pour les séries \Eq{(40)},~\Eq{(41)}, que si $K(s,t)$ est borné,
la série~\Eq{(56)} est uniformément convergente, quand les $s$,~$t$ varient de
façon quelconque dans~$(a, b)$ et que~$\lambda$ a une valeur fixe quelconque.
C'est donc une fonction entière de~$\lambda$ qui est continue par rapport à
$(s_h, t_h)$, ($h = 1, 2\Add{,} \ldots\Add{,} p$) en tout point où $K(s_h, t_h)$ est continue.

On tire de la formule précédente (où l'on remplace $\tau_1\Add{,} \ldots\Add{,} \tau_n$ par
$s_{p+1}, \ldots\Add{,} s_{p+n}$)\DPtypo{.}{}
\begin{multline*}%[** TN: Re-breaking]
\int_a^b \ldots \int_a^b
    D_p\left(\Atop{s_1,\ldots,s_p}{s_1,\ldots,s_p} \lambda\right)
    ds_1\, ds_2 \ldots ds_p \\
\begin{aligned}
  &= \int_a^b \ldots \int_a^b
    K \left(\Atop{s_1,\ldots,s_p}{s_1,\ldots,s_p}\right) ds_1 \ldots ds_p \\
  &\quad - \lambda \int_a^b \ldots \int_a^b
    K \left(\Atop{s_1,\ldots,s_p,s_{p+1}}{s_1,\ldots,s_p,s_{p+1}}\right)
    ds_1 \ldots ds_p\, ds_{p+1} + \ldots  \\
  &\quad + \frac{(-\lambda)^n}{n!} \int_a^b \ldots \int_a^b
    K \left(\Atop{s_1,\ldots,s_{n+p}}{s_1,\ldots,s_{n+p}}\right)
    ds_1 \ldots ds_{n+p} + \ldots\Add{.}
\end{aligned}
\end{multline*}

D'où en comparant avec~\Eq{(41)}
\[
\Tag{(57)}
\frac{d^p}{d\lambda^p}\, D(\lambda)
  = (-1)^p \int_a^b \ldots \int_a^b
    D_p\left(\Atop{s_1,\ldots,s_p}{s_1,\ldots,s_p} \lambda\right)
    ds_1 \ldots ds_p.
\]
\DPPageSep{075.png}{69}%

Développons le déterminant
\begin{multline*}%[** TN: Breaking]
\Tag{(58)}
K\left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_p,\tau_1,\ldots,\tau_n}
            {t_1,t_2,\ldots,t_p,\tau_1,\ldots,\tau_n}\right) \\
\equiv
\left|\begin{array}{@{\,}*{6}{l}@{\,}}
K(s_1,t_1)   &\ldots&K(s_1,t_p)    & K(s_1,\tau_1)   &\ldots& K(s_1,\tau_n)  \\
\hdotsfor[6]{6} \\
K(s_p,t_1)   &\ldots&K(s_p,t_p)    & K(s_p,\tau_1)   &\ldots& K(s_p,\tau_n)  \\
K(\tau_1,t_1)&\ldots&K(\tau_1,t_p) & K(\tau_1,\tau_1)&\ldots&K(\tau_1,\tau_n)\\
\hdotsfor[6]{6} \\
K(\tau_n,t_1)&\ldots&K(\tau_n,t_p) & K(\tau_n,\tau_1)&\ldots&K(\tau_n,\tau_n)
\end{array}\right|
\end{multline*}
par rapport à sa première ligne et intégrons par rapport à $\tau_1, \tau_2, \ldots \tau_n$.

Nous aurons
\begin{multline*}%[** TN: Re-formatting]
\int_a^b \ldots \int_a^b
  K \left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_p,\tau_1,\ldots,\tau_n}
               {t_1,t_2,\ldots,t_p,\tau_1,\ldots,\tau_n}\right)
    d\tau_1 \ldots d\tau_n  \\
\begin{aligned}
  &\equiv \sum_{h=1}^{h=p} (-1)^{h+1}\, K(s_1,t_h) × {} \\ %[** TN: Added ×]
  &\quad\int_a^b \ldots \int_a^b
  K\left(\Atop{s_2, \DotsTo{\ldots,t_{h-1},t_{h+1},\ldots},
                                                s_p,\tau_1,\ldots,\tau_n}
              {t_1,\ldots,t_{h-1},t_{h+1},\ldots,t_p,\tau_1,\ldots,\tau_n}\right)
    d\tau_1 \ldots d\tau_n  \\
  &+ \sum_{h=1}^{h=n} (-1)^{p+h+1} \int_a^b K(s_1,\tau_h) × {} \\
  &\Biggl\{ \int_a^b \ldots \int_a^b K \left(
%[** TN: ad hoc, size-dependent dots and horizontal alignment]
\Atop{s_2,\ldots.\,,s_p,\tau_1,\tau_2,\ldots.\,.\,,\tau_h,\tau_{h+1},\ldots.\,,\tau_n}
     {t_1,\ldots,t_{p-1},t_p,\tau_1,\ldots,\tau_{h-1},\tau_{h+1},\ldots,\tau_n}
  \right) \\
  &\hspace*{2in} d\tau_1\, d\tau_2 \ldots d\tau_{h-1}\,
          d\tau_{h+1} \ldots d\tau_n \Biggr\} d\tau_h\Add{.}
\end{aligned}
\end{multline*}

%[** TN: Ordinal italicized elsewhere]
Mais en faisant passer la $(p + h - 1)$\textsuperscript{\textit{ième}} ligne au premier rang
dans le déterminant qui figure dans l'accolade, on voit qu'en remplaçant
les variables d'intégration $\tau_h, \tau_{h+1}, \tau_{h+2}, \ldots, \tau_n$ par $\tau, \tau_h, \ldots, \tau_{n-1}$,
sa valeur deviendra la même quel que soit~$h$, de sorte que la deuxième
partie du second membre de l'égalité deviendra
\[
n \int_a^b K(s_1,\tau) \left\{ \int_a^b\kern-4pt\ldots\kern-4pt \int_a^b
  K \left(\Atop{\tau,s_2,\ldots,s_{p-1},s_p,\tau_1,\ldots,\tau_{n-1}}
               {t_1,\DotsTo{s_2,\ldots},
                                t_{p-1},t_p,\tau_1,\ldots,\tau_{n-1}}\right)
  d\tau_1\ldots\DPtypo{,}{} d\tau_{n-1} \right\} d\tau
\]

Multiplions maintenant l'égalité obtenue par $\dfrac{(-\lambda)^n}{n!}$ et faisons la
somme de la série obtenue en portant dans~\Eq{(56)}; nous aurons
\[
\Tag{(59)}
\left\{
\begin{gathered}
D_p \left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_p}{t_1,t_2,\ldots,t_p}\, \lambda\right) \\
  \equiv \sum_{h=1}^{h=p} (-1)^{h+1}\, K (s_1,t_h)\,
    D_{p-1}\left(\Atop{s_2,\DotsTo{\ldots,t_{h-1},t_{h+1}, \ldots},s_p}
                      {t_1,\ldots,t_{h-1},t_{h+1},\ldots,t_p}\, \lambda\right) \\
  + \lambda \int_a^b K(s_1,\tau)\,
    D_p\left(\Atop{\tau,s_2,\ldots,s_p}
                  {t_1, t_2,\ldots,t_p} \lambda\right) d\tau.
\end{gathered}\right.
\]
\DPPageSep{076.png}{70}%

En opérant avec une des~$p$ premières lignes autres que la première
dans le développement de~\Eq{(58)}, on aurait de même obtenu
\[
\SqTag[4]{(60)}
\left\{
\begin{gathered}
D_p \left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_p}{t_1,t_2,\ldots,t_p} \lambda\right) \\
  \equiv \sum_{h=1}^{h=p} (-1)^{h+i}\, K(s_i,t_h)\,
  D_{p-1} \left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_{i-1},s_{i+1},\ldots,s_p}
                     {t_1,t_2,\ldots,t_{h-1},t_{h+1},\ldots,t_p}\,
  \lambda\right) \\
  + \lambda \int_a^b K(s_i,\tau)\,
  D_p \left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_{i-1},\tau,s_{i+1},\ldots,s_p}
                 {t_1,t_2,\ldots,t_{i-1},t_i,t_{i+1},\ldots,t_p}
  \lambda\right) d\tau.
\end{gathered}\right.
\]

En opérant de même avec les colonnes, on voit qu'on aura aussi
\[
\SqTag[4]{(61)}
\left\{
\begin{gathered}
D_p \left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_p}{t_1,t_2,\ldots,t_p} \lambda\right) \\
  \equiv \sum_{h=1}^{h=p} (-1)^{h+i}\, K(s_h,t_i)\,
  D_{p-1} \left(\Atop{s_1,\ldots,s_{h-1},s_{h+1},\ldots,s_p}
                    {t_1,\ldots,t_{i-1},t_{i+1},\ldots,t_p} \lambda\right) \\
  + \lambda \int_a^b K(\tau,t_i)\,
  D_p \left(\Atop{s_1,\ldots,s_{i-1},s_i,s_{i+1},\ldots,s_p}
                 {t_1,\ldots,t_{i-1},\tau,t_{i+1},\ldots,t_p}
  \lambda\right) d\tau.
\end{gathered}\right.
\]

\Paragraph{24.}{} --- Reprenons maintenant l'équation intégrale homogène~\Eq{(52)},
$\lambda$~étant égal à une constante caractéristique~$\lambda'$. Soit donc $D(\lambda') = 0$.
Nous avons déjà observé que si l'équation
\[
\Tag{(62)}
\phi(s) - \lambda' \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = 0
\]
a $q$~solutions $\Phi_1(s), \Phi_2(s), \ldots, \Phi_q(s)$, la fonction
\[
\Tag{(63)}
c_1\, \Phi_1(s) + c_2\, \Phi_2(s) + \ldots + c_q\, \Phi_q(s)
\]
sera aussi une solution quelles que soient les constantes $c_1, c_2, \ldots, c_q$.

Nous allons donner une nouvelle démonstration de l'existence d'une
solution de l'équation~\Eq{(62)}, démonstration beaucoup plus longue que
celle du \no \textbf{21}, mais qui aura l'avantage de nous donner l'expression
générale de toutes les solutions possibles.

Pour cela, utilisons les formules~\Eq{(53)}, \Eq{(54)}, \Eq{(55)}. Comme~$D(\lambda)$ est
une fonction entière égale à~$1$ pour $\lambda = 0$, $D(\lambda)$~n'est pas identiquement
nulle et par suite les quantités
\[
D(\lambda),\
\frac{d}{d\lambda}\, D(\lambda), \ldots,
\frac{d^p}{d\lambda^p}\, D(\lambda), \ldots
\]
\DPPageSep{077.png}{71}%
ne sont pas toutes nulles pour la valeur $\lambda = \lambda'$.  Il résulte alors de la
formule~\Eq{(57)} que les fonctions
\[
\Tag{(64)}
D_1 \left(\Atop{s_1}{t_1}\, \lambda'\right), \ldots,
D_2 \left(\Atop{s_1, s_2}{t_1, t_2}\, \lambda'\right), \ldots,
D_p \left(\Atop{s_1,s_2,\ldots,s_p}{t_1,t_2,\ldots,t_p} \lambda'\right), \ldots
\]
ne sont pas toutes identiquement nulles par rapport aux~$s$ et aux~$t$.
Soit~$q$, l'indice de la première de ces fonctions qui n'est pas identiquement
nulle. Nous allons montrer que toute solution continue de
l'équation homogène~\Eq{(62)} est de la forme~\Eq{(63)} où $\Phi_1, \Phi_2, \ldots, \Phi_q$ sont
$q$~solutions linéairement indépendantes --- $q$~étant le nombre que nous
venons de fixer.\ --- En effet, d'après~\Eq{(60)}, on aura
\[
\Tag{(65)}
\left\{
\begin{gathered}
D_q \left(\Atop{s_1, s_2, \ldots, s_{i-1}, s, s_{i+1}, \ldots, s_q}
               {t_1, t_2, \ldots, t_{i-1}, t_i, t_{i+1}, \ldots, t_q}\,
  \lambda'\right) \\ %[** TN: Moved "=" to next line]
= \lambda' \int_a^b K(s, \tau)\,
D_q \left(\Atop{s_1, \ldots, s_{i-1}, \tau, s_{i+1}, \ldots, s_q}
               {t_1, \ldots, t_{i-1}, t_i, t_{i+1}, \ldots, t_q}\,
  \lambda'\right) d\tau
\end{gathered}\right.
\]

Puisque
\[
D_q \left(\Atop{s_1, s_2, \ldots, s_q}{t_1, t_2, \ldots,t_q} \lambda'\right)
  \not\equiv 0
\]
on peut supposer à partir de maintenant qu'on prenne pour les~$s$ et les~$t$
affectés d'indices, non pas des quantités variables, mais des valeurs
numériques déterminées $s'$,~$t'$ telles que l'on ait l'inégalité numérique,
\[
\Tag{(66)}
D_q\left(\Atop{s'_1,s'_2,\ldots,s'_q}{t'_1,t'_2,\ldots,t'_q} \lambda'\right)
  \ne 0.
\]

Dans ces conditions, on voit qu'en posant
\[
\phi_i(s) \equiv
D_q\left(\Atop{s'_1, s'_2, \ldots,s'_{i-1}, s, s'_{i+1}, \ldots, s'_q}
              {t'_1, t'_2, \ldots, t'_{i-1}, t'_i, t'_{i+1}, \ldots, t'_q}\,
\lambda'\right)
\]
la fonction~$\phi_i(s)$ sera une fonction continue non identiquement nulle
qui d'après~\Eq{(65)} vérifiera l'équation homogène~\Eq{(62)}. Il en sera de
même de toute fonction obtenue en multipliant~$\phi_i(s)$ par une constante
non nulle. Nous utiliserons les fonctions
\[
\SqTag[3]{(67)}
\Phi_i(s) = \frac{
  D_q\left(\ds\Atop{s'_1, \ldots, s'_{i-1}, s, s'_{i+1}, \ldots, s'_q}
                   {t'_1, \ldots, t'_{i-1}, t'_i, t'_{i+1}, \ldots, t'_q}\,
  \lambda'\right)}
  {D_q\left(\ds\Atop{s'_1, s'_2, s'_3, \ldots, s'_q}
                    {t'_1, t'_2, t'_3, \ldots, t'_q}
  \lambda'\right)} \qquad   (i=1, 2, \ldots, q)
\]
comme solutions de l'équation homogène.

Il est facile de prouver, avec M.~Plemelj, que ces $q$~fonctions sont
linéairement indépendantes, c'est-à-dire que si l'on a l'identité
\[
\Tag{(68)}
l_1\, \Phi_1(s) + \ldots + l_q\, \Phi_q(s) \equiv 0
\]
\DPPageSep{078.png}{72}%
où $l_1, l_2, \ldots, l_q$ sont des constantes, ces constantes sont nécessairement
toutes nulles. En effet, d'après la définition de $\Phi_i(s)$, on a
\[
\Phi_i(s'_i) = 1\DPtypo{)}{},\quad
\Phi_i(s'_k) = 0\quad \text{pour}\quad
  i \ne k \text{ et } i = (1, 2, \ldots, n).
\]

En faisant maintenant $s = s'_1, s'_2, \ldots, s'_q$ dans \Eq{(68)}, on obtient successivement
\[
l_1 = 0,\ l_2 = 0,\ \ldots,\ l_q = 0.
\]

Il reste à prouver que toute solution~$\phi_0(s)$ de l'équation~\Eq{(62)} est de
la forme~\Eq{(63)}. Pour cela remarquons que la fonction de~$s$
\[
\Tag{(69)}
\phi_0(s) - \lambda' \int_a^b K(s, t)\, \phi_0(t)\, dt
\]
étant identiquement nulle, il en sera de même de l'expression
\[
\Tag{(70)}
\lambda' \int_a^b g(s, t) \left\{
  \phi_0(t) - \lambda' \int_a^b K(t, \tau)\, \phi_0(\tau)\, d\tau
\right\} dt
\]
où $g(s, t)$ est une fonction continue quelconque. D'où aussi, en retranchant
les deux expressions \Eq{(69)},~\Eq{(70)}
\begin{align*}
0 = \phi_0(s)
  & - \lambda' \int_a^b K(s, t)\, \phi_0(t)\, dt
    - \lambda' \int_a^b g(s, t)\, \phi_0(t)\, dt  \\
  & + \lambda'^2 \int_a^b \int_a^b g(s, t)\, K(t, \tau)\, \phi_0(\tau)\, d\tau\, dt;
\end{align*}
ou en permutant les notations $t$,~$\tau$ dans la dernière intégrale
\[
\Tag{(71)}
\phi_0(s) - \lambda' \int_a^b H(s, t)\, \phi_0(t)\, dt = 0
\]
avec
\[
\Tag{(72)}
H(s,t) = K(s,t) + \left\{ g(s, t)
  - \lambda' \int_a^b g(s, \tau)\, K(\tau, t)\, d\tau
\right\}.
\]

Servons-nous maintenant de l'identité~\Eq{(61)} pour $i = 1$. En y remplaçant
$p$~par $q + 1$, $h$~par $h + 1$, $\lambda$~par~$\lambda'$ et\DPtypo{,}{}
 $s_1$, $t_1$, $s_{h+1}$, $t_{h+1}$ par $s$, $t$,
$s'_h$, $t'_h$, elle devient:
{\footnotesize%
\[
\MTag{(73)}
\left\{
\begin{gathered}
D_{q+1}\left(\Atop{s,s'_1,\ldots\Add{,} s'_q}{t,t'_1,\ldots\Add{,} t'_q}\, \lambda'\right)
  - \lambda' \int_a^b K(\tau,t)\,
  D_{q+1}\left(\Atop{s,s'_1,\ldots\Add{,} s'_q}{\tau,t'_1,\ldots\Add{,} t'_q}
  \lambda'\right) d\tau \equiv \\
  K(s,t)\, D_q\left(\Atop{s'_1,\ldots\Add{,}s'_q}{t'_1,\ldots\Add{,}t'_q}\,
  \lambda'\right)
  - \sum_{h=1}^{h=q} K(s'_h,t)\,
  D_q\left(\Atop{s'_1,\ldots,s'_{h-1},s,s'_{h+1},\ldots,s'_q}
                {t'_1,\ldots,t'_{h-1},t'_h,t'_{h+1},\ldots,t'_q}\,
  \lambda'\right)\Add{.}
\end{gathered}\right.
\]}

Or, prenons en particulier pour $g(s, t)$ la fonction
\[
g(s,t) = - \frac{
  D_{q+1}\left(\ds\Atop{s,s'_1,s'_2, \ldots,s'_q}{t,t'_1,t'_2, \ldots,t'_q}\,
  \lambda'\right)}
  {D_q\left(\ds\Atop{s'_1,s'_2,\ldots,s'_q}{t'_1,t'_2,\ldots,t'_q}\,
  \lambda'\right)}\Add{.}
\]
\DPPageSep{079.png}{73}%
L'identité précédente deviendra
\[
g(s,t) - \lambda' \int_a^b g(s,\tau)\, K(\tau,t)\, d\tau
  \equiv - K(s, t) + \sum_{h=1}^{h=q} K(s'_h,t)\, \Phi_h(s).
\]
Et l'équation~\Eq{(72)} pourra s'écrire
\[%[** TN: Not breaking]
H(s,t) = K (s,t)
  - \left\{ K(s, t) - \sum_{h=1}^{h=q} K(s'_h, t)\, \Phi_h(s) \right\}
  = \sum_{h=1}^{h=q} K(s'_h,t)\, \Phi_h(s).
\]
En portant dans~\Eq{(71)}, on voit que
\[
\phi_0(s)
  = \lambda' \sum_{h=1}^{h=q} \Phi_h(s) \int_a^b K(s'_h,t)\, \phi_0(t)\, dt.
\]

De sorte qu'en définitive~$\phi_0(s)$ s'exprime bien sous la forme~\Eq{(63)} en
prenant pour constantes~$c_h$, les quantités
\[
\Tag{(74)}
c_h = \lambda' \int_a^b K(s'_h,t)\, \phi_0(t)\, dt.
\]

En résumé: \emph{Si~$\lambda$ n'est pas une constante caractéristique, l'équation
homogène de Fredholm~\Eq{(1\ter)} n'a aucune solution continue non identiquement
nulle.}

\emph{Si~$\lambda$ est égal à une constante caractéristique~$\lambda'$, l'équation homogène~\emph{\Eq{(62)}},
a une infinité de solutions continues non identiquement nulles, et si~$q$ est
l'indice de la première des fonctions~\emph{\Eq{(64)}} qui ne s'annule pas identiquement,
toute solution continue est une combinaison linéaire de $q$ fonctions continues
linéairement indépendantes données\footnote
  {Remarquons que la condition \Eq{(66)} est la seule imposée aux quantités
  $s'$,~$t'$; de sorte que les fonctions~$\Phi_i$ dépendront en général de $2q$~paramètres
  (du moins en apparence).}
par les formules~\Eq{(67)}.}

D'après ce qui précède, \emph{il existe une infinité de systèmes de fonctions
continues tels que toute solution de l'équation intégrale homogène~\Eq{(62)} soit
une combinaison linéaire et homogène des fonctions $\theta_1, \theta_2, \ldots\Add{,} \theta_q$ appartenant
à l'un de ces systèmes}. (Il suffit en effet de prendre pour $\theta_1, \ldots\Add{,} \theta_q$,
$q$~combinaisons linéaires, homogènes et indépendantes des fonctions~$\Phi_i$).
\emph{Nous dirons que $\theta_1, \theta_2, \ldots\Add{,} \theta_q$ forment un système de fonctions fondamentales
correspondant à la constante caractéristique~$\lambda'$ et au noyau $K(s, t)$.}
\DPPageSep{080.png}{74}%

\Paragraph{25.}{Remarque.} --- Le nombre~$q$ des solutions indépendantes varie
avec~$\lambda'$; on l'appelle l'\emph{index} de la constante caractéristique~$\lambda'$. D'autre
part, $\lambda'$~étant racine de~$D(\lambda)$, on peut définir son ordre de multiplicité
$p \ge 1$.

Or, nous savons (\no \textbf{19}) que $\lambda'$~est (pour quelque valeur de $s$,~$t$) un
pôle de la résolvante $K(s,t,\lambda)$: soit~$r$ son ordre de multiplicité. On
peut déterminer exactement~$q$ au moyen des $D_1, D_2, \ldots$. Nous allons
voir qu'il suffit de connaître $r$~et~$p$ pour avoir une limite supérieure
de~$q$\footnotemark.
\footnotetext{\bsc{H.-B. Heywood}, \textit{Thèse}, p.~16.}%

En effet, appelons $p_1, p_2, \ldots$ les ordres de multiplicité de~$\lambda'$ pour les
fonctions $D_1\left(\ds\Atop{s}{t}\, \lambda\right), D_2\left(\ds \Atop{s_1,s_2}{t_1,t_2}\, \lambda\right), \ldots$. On a d'après~\Eq{(56)}
\[
\frac{d}{d\lambda}\,
D_k\left(\Atop{s_1,\ldots,s_k}{t_1,\ldots,t_k}\, \lambda\right)
  = -\int_a^b
    D_{k+1}\left(\Atop{s_1,\ldots,s_k,\tau}{t_1,\ldots,t_k,\tau}\,
    \lambda\right) d\tau.
\]

D'où:
\[
p_{k+1} \le p_k - 1.
\]

D'où:
\[
p_2 \le p_1 - 1, \ldots, p_{q-1} \le p_{q-2} - 1, \quad 1 \le p_{q-1}.
\]

En ajoutant les inégalités, on a
\[
1 \le p_1 - (q - 2) \quad \text{ou} \quad p_1 \ge q - 1.
\]

D'autre part, d'après la définition de $K(s,t,\lambda)$, on a
\[
r = p - p_1.
\]

D'où:
\[
r \le p - (q - 1)
\]
et enfin
\[
\Tag{(74\bis)}
q \le p - r + 1.
\]

En particulier, puisque $r \ge 1$, $q \le p$; on a d'ailleurs par définition
de~$q$, $q \ge 1$; donc à une racine simple de~$D(\lambda)$ ne correspond
qu'une fonction fondamentale.
\end{Remark}

\Paragraph{26.}{\textbf{Résolution de l'équation intégrale singulière avec
second membre.}} --- Revenons à l'équation intégrale avec second
membre~\Eq{(1\bis)}, mais où nous supposons que~$\lambda$ est égal à une constante
\DPPageSep{081.png}{75}%
caractéristique~$\lambda'$. Non seulement le raisonnement qui nous
a fourni l'expression~\Eq{(47)} de la solution de l'équation~\Eq{(1\bis)} n'est
plus valable, mais cette expression n'a plus de sens dans le cas
actuel. Nous allons montrer qu'il n'y a pas alors en général de
solutions continues de l'équation
\[
\Tag{(75)}
\phi(s) - \lambda' \int_a^b K(s, t)\, \phi(t)\, dt = f(s)
\]
si~$f(s)$ est une fonction continue quelconque. Mais il est évident
que s'il y a une solution~$\phi(s)$ de cette équation et si $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_q$
sont les solutions indépendantes de l'équation homogène correspondante~\Eq{(62)},
la solution la plus générale de~\Eq{(75)} est de la forme
\[
\phi(s) + c_1\, \theta_1(s) + \ldots + c_q\, \theta_q(s)
\]
où $c_1, c_2, \ldots$, sont des constantes arbitraires.

Pour étudier les conditions d'existence d'une solution de~\Eq{(75)},
nous allons introduire \emph{l'équation associée} à l'équation homogène~\Eq{(62)};
ce sera par définition l'équation
\[
\Tag{(76)}
\psi(s) - \lambda' \int_a^b K(t, s)\, \psi(t)\, dt = 0.
\]

A chaque solution~$\chi(s)$ de cette équation correspondra une condition
de possibilité de l'équation donnée~\Eq{(75)}.

Supposons en effet que l'équation~\Eq{(75)} ait une solution continue~$\phi(s)$.
On aura en multipliant par~$\chi(s)$ et intégrant
\begin{gather*}
\int_a^b f(s)\, \chi(s)\, ds
  = \int_a^b \phi(s)\, \chi(s)\, ds
  - \lambda' \int_a^b \int_a^b K(s, t)\, \phi(t)\, \chi(s)\, ds\, dt  \\
  = \int_a^b \phi(s)
  \left\{ \chi(s) - \lambda' \int_a^b K(t, s)\, \chi(t)\, dt \right\} ds
  = 0
\end{gather*}
l'accolade étant nulle par définition de $\chi(s)$\Add{.} Il faut donc qu'on ait
\[
\int_a^b f(s)\, \chi(s)\, ds = 0
\]
ce qui n'aura pas lieu pour une fonction~$f(s)$ quelconque.
\DPPageSep{082.png}{76}%

\begin{Remark}
\Paragraph{27.}{} --- Pour l'équation~\Eq{(76)}, le déterminant~$D(\lambda)$ est le même
que pour l'équation~\Eq{(62)}; les fonctions $K\left(\ds \Atop{s}{t}\, \lambda\right), \ldots$\Add{,} $D_p\left(\ds \Atop{s_1,\ldots,s_p}{t_1,\ldots,t_p}\, \lambda\right),\ldots$
pour~\Eq{(76)}, s'obtiennent en permutant les~$s$ avec les~$t$ dans les fonctions correspondantes
pour~\Eq{(62)}. Il en résulte que si~$\lambda$ est égal à une constante
caractéristique~$\lambda'$ de~\Eq{(62)} correspondant à $q$~solutions fondamentales,
$\lambda'$~sera aussi une constante caractéristique de~\Eq{(76)} qui correspondra
à $q$~solutions analogues aux~$\Phi_i$
\[
\SqTag[3]{(77)}
\Psi_i(s) = \frac{
  D_q\left(\ds
  \Atop{s'_1,s'_2,\ldots,s'_{i-1},s'_i,s'_{i+1},\ldots,s'_q}
       {t'_1,\DotsTo{s'_2,\ldots}\Add{,}t'_{i-1},\ s,t'_{i+1},\ldots,t'_q}\,
  \lambda'\right)}
  {D_q\left(\ds
  \Atop{s'_1,\DotsTo{s'_2,\ldots,s'_{i-1},s'_i,s'_{i+1},\ldots}\Add{,}s'_q}
       {t'_1,\DotsTo{s'_2,\ldots,s'_{i-1},s'_i,s'_{i+1},\ldots}\Add{,}t'_q}\,
  \lambda'\right)}
\]
(où l'expression~$D_q$ est celle qui correspond à~\Eq{(75)} comme jusqu'ici).

Soient $\chi_1,\ldots\Add{,} \chi_q$ un système de fonctions fondamentales de~\Eq{(76)} correspondant
à~$\lambda'$. On aura d'après le \no \textbf{26} les $q$~conditions de possibilité
\[
\Tag{(78)}
\int_a^b f(s)\chi_i(s)\, ds = 0 \quad (i=1, 2, \ldots, q).
\]

Supposons maintenant que la fonction~$f(s)$ satisfasse à ces $q$~conditions.
Les~$\Psi_i$ étant des combinaisons linéaires des~$\chi_i$, les conditions~\Eq{(78)}
peuvent s'écrire en remplaçant les~$\chi_i$ par les~$\Psi_i$.

Connaissant déjà la forme~\Eq{(9)}, p.~\Pg{39}, de la solution unique, dans le
cas où~$\lambda$ n'est pas une constante caractéristique, il est naturel de chercher
si l'on pourrait trouver une solution de l'équation~\Eq{(75)} qui serait
de la forme
\[
\Tag{(79)}
\phi(s) = f(s) - \lambda' \int_a^b G(s,t)\, f(t)\, dt
\]
où $G(s, t)$ est une fonction à déterminer.

Il faudrait pour cela que l'on eut [en substituant cette expression de~$\phi(s)$
dans~\Eq{(75)}]
\begin{align*}
f(s) &- \lambda' \int_a^b G(s,t)\, f(t)\, dt
      - \lambda' \int_a^b K(s,t)\, f(t)\, dt  \\
     &+ \lambda'^2 \int_a^b \int_a^b K(s,\tau)\, G(\tau,t)\, f(t)\, dt\, d\tau
  = f(s)
\end{align*}
ou
\[
\Tag{(80)}
\int_a^b f(t) \left\{ G(s,t) + K(s,t)
  - \lambda' \int_a^b K(s,\tau)\, G(\tau,t)\, d\tau \right\} dt = 0.
\]

Si $\lambda'$ n'était pas une constante caractéristique, on satisferait à cette
équation en choisissant pour~$G$ une fonction telle que l'accolade fût
identiquement nulle, il suffirait de prendre pour~$\lambda' G$ la fonction réciproque
de~$\lambda' K$ et on retomberait sur la formule~\Eq{(47)} déjà obtenue.
\DPPageSep{083.png}{77}%
Mais, $\lambda'$~étant une constante caractéristique, et puisque nous admettons
les conditions~\Eq{(78)} réalisées, il suffit qu'on puisse choisir~$G$ de façon
que l'accolade soit une combinaison linéaire des~$\Psi_i(t)$ (à coefficients
indépendants de~$t$, sinon de~$s$) pour que l'identité~\Eq{(80)} ait lieu. Or la
formule~\Eq{(59)} peut s'écrire pour $p=q+1$ sous une forme analogue
à~\Eq{(73)}
\begin{multline*}
D_{q+1}\left(\Atop{s,s'_1,\ldots,s'_q}{t,t'_1,\ldots,t'_q}\, \lambda'\right)
  - \lambda' \int_a^b K(s,\tau)\,
  D_{q+1}\left(\Atop{\tau,s'_1,s'_2,\ldots,s'_q}{t,t'_1,t'_2,\ldots,t'_q}\,
  \lambda'\right) d\tau \\
\begin{aligned}
  &= K(s,t)\, D_q\left(\Atop{s'_1,s'_2,\ldots,s'_q}{t'_1,t'_2,\ldots,t'_q}\,
    \lambda'\right) \\
  &+ \sum_{h=1}^{h=q} (-1)^h\, K(s,t'_h)\,
    D_q\left(\Atop{s'_1,s'_2,\DotsTo{\ldots t'_{h-1},t'_{h+1},\ldots}\Add{,}s'_q}
                  {t,t'_1,\ldots t'_{h-1},t'_{h+1},\ldots,t'_q}\, \lambda'\right)
\end{aligned}
\end{multline*}
ou en tenant compte de l'expression~\Eq{(77)} des~$\Psi_i$
\begin{align*}
\MTag{(81)}
K(s,t) - \frac{
  D_{q+1}\left(\ds \Atop{s,s'_1,\ldots,s'_q}
                       {t,t'_1,\ldots,t'_q}\, \lambda'\right)}
 {D_q\left(\ds \Atop{s'_1,\DotsTo{s, \ldots},s'_q}
                    {t'_1,\DotsTo{s, \ldots},t'_q}\, \lambda'\right)}
  &+ \lambda' \int_a^b K(s,\tau)\,
  \frac{D_{q+1}\left(\ds \Atop{\tau,s'_1,\ldots,s'_q}
                              {t,t'_1,\ldots,t'_q}\, \lambda'\right)}
       {D_q\left(\ds \Atop{s'_1,\ldots s'_q}{t'_1,\ldots t'_q}\,
  \lambda'\right)} d\tau \\
  &= - \sum_{h=1}^{h=q} (-1)^h\, K(s,t'_h)\, \Psi_h(t).
\end{align*}

Donc en prenant
\[
\Tag{(82)}
G(s,t) = -\frac{
  D_{q+1}\left(\ds \Atop{s,s'_1,\ldots,s'_q}
                        {t,t'_1,\ldots,t'_q}\, \lambda'\right)}
 {D_q\left(\ds \Atop{s'_1,\DotsTo{s, \ldots},s'_q}
                    {t'_1,\DotsTo{t, \ldots},t'_q}\, \lambda'\right)}
\]
on voit que le premier membre de~\Eq{(80)} se réduira à
\[
\sum_{h=1}^{h=q} (-1)^{h+1}\, K(s,t'_h) \int_a^b f(t)\, \Psi_h(t)\, dt = 0
\]
d'après \Eq{(81)}~et~\Eq{(82)}.

En résumé, \emph{si~$\lambda'$ est une constante caractéristique, l'équation avec second
membre}~\Eq{(75)} \emph{n'a pas en général de solution. Pour qu'elle ait une
solution continue, il faut que~$f(s)$ satisfasse aux~$q$ conditions
\[
\Tag{(83)}
\int_a^b f(s) \chi_1(s)\, ds = 0,\ \ldots,\
\int_a^b f(s) \chi_q(s)\, ds = 0
\]
\DPPageSep{084.png}{78}%
où les~$\chi_i$ forment un système de solutions indépendantes de l'équation
homogène associée. Et alors il y en a une infinité donnée par la formule
\[
\SqTag[3]{}
\phi(s) = f(s) - \lambda' \int_a^b f(t)\,
  \frac{D_{q+1} \left( \ds\Atop{s, s'_1, \ldots, s'_q}
                               {t, s'_2, \ldots, t'_q}\, \lambda' \right)}
  {D_{q} \left( \ds\Atop{s'_1,\DotsTo{s, \ldots}, s'_q}
                        {t'_1,\DotsTo{s, \ldots}, t'_q}\, \lambda' \right)} dt
  + \sum_{h=1}^{h=q} c_h\,\theta_h(s)
\]
où les~$\theta_h$ sont les~$q$ solutions indépendantes de l'équation donnée privée de
second membre.}
\end{Remark}


\Paragraph{28.}{\textit{Remarque.}} --- Nous avons vu que toute constante caractéristique~$\lambda'$
de l'équation~\Eq{\DPtypo{(75)}{(62)}} était constante caractéristique de
l'équation associée~\Eq{(76)} et que le nombre des solutions linéairement
indépendantes de ces deux équations intégrales homogènes\DPtypo{.}{ est le même.}

On peut montrer en outre que si deux solutions respectives de
deux équations intégrales associées ne correspondent pas à la même
constante caractéristique, elle sont orthogonales (voir \no \textbf{7}, p.~\Pg{8}).
Car si l'on a:
\begin{align*}
\theta(s) &= \lambda'  \int_a^b K(s,t)\, \theta(t)\, dt \\
\Psi(s)   &= \lambda'' \int_a^b K(t,s)\, \Psi(t)\, dt
\end{align*}
on aura
\begin{align*}%[** TN: Aligned terms on right-hand side]
(\lambda' - \lambda'') \int_a^b \theta(s)\, \Psi(s)\, ds
  &= \lambda'\lambda''\int_a^b\int_a^b \theta(s)\, K(t,s)\, \Psi(t)\, dt\, ds \\
  &- \lambda''\lambda'\int_a^b\int_a^b \Psi(s)\, K(s,t)\, \theta(t)\, dt\, ds.
\end{align*}

Or la dernière intégrale devient égale à la précédente quand on
y permute les variables d'intégration. Le premier membre étant
nul, avec $\lambda'-\lambda'' \ne 0$, les fonctions~$\theta$,~$\Psi$ sont bien orthogonales.
\DPPageSep{085.png}{79}%

\begin{Remark}
\Paragraph{28\bis.}{\textbf{Cas exceptionnel de M.~Picard.}} --- Nous avons vu (\no \textbf{14},
p.~\Pg{60}) que sous des conditions très larges, on peut étendre la méthode
de Fredholm au cas où le noyau devient infini dans le domaine d'intégration.
On pourrait être amené à penser qu'il est de même facile
d'étendre la méthode au cas où le domaine d'intégration n'est pas
borné. M.~Picard a montré qu'il n'en est rien: non seulement la
méthode de Fredholm suppose essentiellement que le domaine est
borné, mais les propriétés qu'elle permet de démontrer peuvent devenir
complètement inexactes dans le cas contraire. Sans préciser toutes
les particularités nouvelles qui peuvent se présenter dans ce cas exceptionnel
et pour lesquelles nous renvoyons à la note de M.~Picard\footnote
  {\bsc{E.~Picard}, \textit{Comptes Rendus} du 13 octobre 1910.},
nous nous contenterons des indications suivantes qui suffisent pour
mettre en garde contre une généralisation hâtive.

Considérons l'équation différentielle linéaire du second ordre
\[
\Tag{(84)}
u''_t - \rho u(t) = f(t)
\]
où $u(t)$~est la fonction inconnue et $\rho$~une constante donnée, et servons-nous
de l'identité
\[
u''_t v(t) - u(t)v''_t = \frac{d}{dt}\, \bigl[u'_t v(t) - u(t)v'_t\bigr].
\]

Nous y remplacerons~$u(t)$ par une solution de l'équation~\Eq{(84)} et~$v(t)$
par une solution de l'équation
\[
v''_t - \mu v(t)= 0,
\]
où $\mu$~est une constante réelle positive. Prenons même en particulier la
solution
\[
v(t)=e^{\epsilon \sqrt{\mu}\, (t-s)} \qquad (\epsilon = ±1)
\]
qui dépend d'une constante arbitraire~$s$. L'identité deviendra
\[
(\rho - \mu)\, e^{\epsilon\sqrt{\mu}\, (t-s)}\, u(t)
             + e^{\epsilon\sqrt{\mu}\, (t-s)}\, f(t)
  = \frac{d}{dt} \left[\left(u'_t - \epsilon\sqrt{\mu}\, u(t)\right)
      e^{\epsilon\sqrt{\mu}\, (t-s)}\right].
\]

En intégrant par rapport à~$t$ de~$-\infty$ à~$s$ pour $\epsilon=+1$ et de~$s$ à~$+\infty$
pour $\epsilon=-1$, on aura \emph{si $u(s)$~et~$u'(s)$ sont \DPtypo{bornés}{bornées} et $\mu > 0$}
\begin{alignat*}{5}
(\rho-\mu) &\int_{-\infty}^{s}&&e^{-\sqrt{\mu}(s-t)}\, u(t)\, dt
         + \int_{-\infty}^{s} &&e^{-\sqrt{\mu}(s-t)}\, f(t)\, dt
  = &&u'_s - \sqrt{\mu}\, u(s), \\
(\rho-\mu) &\int_{s}^{+\infty} &&e^{-\sqrt{\mu}(t-s)}\, u(t)\, dt
         + \int_{s}^{+\infty} &&e^{-\sqrt{\mu}(t-s)}\, f(t)\, dt
  = -&&u'_s - \sqrt{\mu}\, u(s),
\end{alignat*}
\DPPageSep{086.png}{80}%
et en ajoutant:
\[
\Tag{(85)}
(\rho-\mu) \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\sqrt{\mu}\, |s-t|}\, u(t)\, dt
         + \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\sqrt{\mu}\, |s-t|}\, f(t)\, dt
  = -2 \sqrt{\mu}\, u(s).
\]

Prenons en particulier $\mu = 1$, on voit que toute solution~$u(s)$ de~\Eq{(84)}
qui est bornée ainsi que sa dérivée est solution de l'équation
\[
\Tag{(86)}
u(s) = \left(\frac{1 - \rho}{2}\right)
                \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|s-t|}\, u(t)\, dt
  - \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|s-t|}\, f(t)\, dt,
\]
laquelle est du type de Fredholm $\Big($en posant $\lambda = \dfrac{1-\rho}{2}\Big)$ mais avec
des \emph{limites d'intégration infinies}.

Or, pour cette équation, les propriétés essentielles de l'équation de
Fredholm cessent d'êtres vraies.

Supposons en effet $\rho > 0$, c'est-à-dire $\lambda < \dfrac{1}{2}$, alors on peut faire
$\mu = \rho$ dans la formule~\Eq{(85)} de sorte qu'on a
\[
\Tag{(87)}
u(s) = -\frac{1}{2\sqrt{\lambda}}
  \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\sqrt{\lambda}\, |s-t|}\, f(t)\, dt.
\]

Si donc~$f(t)$ est une fonction bornée non nulle, le second membre
est une fonction bornée (ainsi que sa dérivée première), qui est solution
de~\Eq{(84)} et par conséquent de~\Eq{(86)}. On a donc pour solution d'une
équation de Fredholm, une fonction \emph{qui n'est évidemment pas en général
méromorphe par rapport au paramètre~$\lambda$}. Il y a plus: \emph{les singularités de
cette solution ne dépendent plus exclusivement du noyau comme dans le
cas général} (\no \textbf{11}, p.~\Pg{55}), mais aussi du second membre.

Prenons en effet par exemple $f(t) = -\cos nt$, où~$n$ est une constante
arbitraire; on voit alors par un calcul facile que le terme indépendant
de~$u$ dans l'équation~\Eq{(86)} est ici:
\[
\phi(s) = \frac{\cos ns}{1+n^2}
\]
et que la solution bornée de l'équation intégrale
\[
\Tag{(88)}
u(s) - \lambda \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|s-t|}\, u(t)\, dt
  = \frac{\cos ns}{1+n^2}
\]
sera, d'après~\Eq{(87)}, ou plus simplement d'après~\Eq{(84)}
\[
u(s) = \frac{\cos ns}{\rho + n^2} = \frac{\cos ns}{1 + n^2 - 2\lambda}.
\]

On voit bien que le pôle de cette fonction de~$\lambda$, soit $\lambda = \dfrac{1+n^2}{2}$ dépend
essentiellement de la fonction~$\phi(s)$ puisque le premier membre
de~\Eq{(88)} ne contient pas la constante~$n$.
\DPPageSep{087.png}{81}%

Supposons enfin $f(s) \equiv 0$; autrement dit, occupons\DPtypo{ }{-}nous de l'équation
intégrale homogène
\[
\Tag{(89)}
u(s) - \lambda \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|s-t|}\, u(t)\, dt = 0.
\]

D'après ce qui précède toute solution de l'équation
\[
u_s'' - \rho u = 0 \quad\text{ou}\quad u_s'' - (1 - 2\lambda) u = 0
\]
qui est une fonction bornée (ainsi que sa dérivée~$u_s'$) sera une solution
de~\Eq{(89)}. Dès lors, pour $\rho < 0$ ou $\lambda>\dfrac{1}{2}$, la fonction $\cos (\sqrt{ 2\lambda-1} · s)$
est une solution non nulle de~\Eq{(89)}. De sorte que toute valeur de $\lambda > \dfrac{1}{2}$
peut être considérée (\no \textbf{21}, p.~\Pg{67}) comme une constante caractéristique
de~\Eq{(89)}. Ainsi, contrairement encore à la théorie générale (\no \textbf{10},
p.~\Pg{54}), on a \emph{une équation intégrale homogène \emph{(mais à limites infinies)}
dont les constantes caractéristiques ne sont pas isolées}.
\end{Remark}


% ToC entry: L'équation de Fredholm à noyau symétrique
\Section{IV.}{L'équation de Fredholm à noyau symétrique
et les développements en séries de fonctions fondamentales}

\Paragraph{29.}{} --- Étant donnée l'équation de Fredholm
\[
\SSqTag{(1\bis)}
\phi(s) - \lambda \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s)
\]
on dit que son noyau $\lambda K(s, t)$ est \emph{symétrique}, si l'on a
\[
K(s,t) \equiv K(t,s).
\]

On voit alors que cette équation ne diffère pas de son équation
associée~\Eq{(2)}, p.~\Pg{1}, et l'on conçoit que ce fait puisse amener des
simplifications. Cette prévision est confirmée pleinement par les travaux
de Hilbert et de Schmidt principalement, qui ont examiné en
détail ce cas particulier. Ils ont été guidés par le rapport étroit
entre la question actuelle et la théorie des formes quadratiques
et de «l'équation en~$s$»\footnotemark\Pagelabel{fn3}.
\footnotetext{Voir par exemple, \textit{Encyclopédie des sc.\ math.}, I, 11, p.~390.}
En suivant encore la méthode qui a été
\DPPageSep{088.png}{82}%
exposée au \no \textbf{8}, p.~\Pg{40}, on voit en effet que si le noyau est symétrique,
les équations~\Eq{(36\bis)}, p.~\Pg{40}, où l'on remplace $K(s,t)$ par
$\lambda K(s,t)$ peuvent être écrites sous la forme:
\[
x_p - \lambda \frac{\partial}{\partial x_p}\,
  \mathfrak{K}(x_1, x_2, \dots\Add{,} x_n) = f(s_p)
  \qquad (p = 1,2, \dots\Add{,} n)
\]
où $\mathfrak{K}(x_1, \dots\Add{,} x_n)$ est une forme quadratique en $x_1, \dots, x_n$. Et le
déterminant des coefficients de $x_1, \dots, x_n$ fournit quand on l'égale
à zéro en y remplaçant~$\lambda$ par~$\dfrac{1}{s}$, une équation de la forme dite
«équation en~$s$»\Pagelabel{fn4}\provisionalfootnote{fn3}{fn4}.
M.~Hilbert a procédé en suivant la méthode
de passage à la limite, fondant en même temps la théorie des
formes quadratiques infinies. M.~Schmidt a ensuite attaqué directement
la même question par la méthode des fonctions orthogonales
(déf.\ au \no \textbf{7}, p.~\Pg{8}). L'importance de leurs résultats
consiste surtout en ce que le cas du noyau symétrique est très
fréquent dans les applications.

\Paragraph{30.}{\textsc{Théorème.}} --- \textit{Deux solutions $\phi(s)$,~$\theta(s)$ d'une équation intégrale
homogène à noyau symétrique, qui correspondent à deux
constantes caractéristiques différentes $\lambda'$,~$\lambda''$, sont orthogonales\footnotemark.}
\footnotetext{La proposition actuelle peut être considérée comme un cas particulier de
  celle du \no \textbf{28}.}

\Paragraph{31.}{\textsc{Théorème.}} --- \textit{Un noyau symétrique réel ne peut avoir de
constantes caractéristiques imaginaires.}

Supposons en effet que le déterminant~$D ( \lambda )$ du noyau symétrique
$K(s,t)$ ait une racine imaginaire $\lambda' = \alpha + i \beta$; $D(\lambda)$~étant
à coefficients réels admettra aussi la racine conjuguée $\lambda'' = \alpha - i\beta$.
Nous avons vu que l'équation homogène a au moins une solution
continue non identiquement nulle
\[
\phi(s) = P(s) + iQ(s)
\]
quand $\lambda$~est égal à une racine~$\lambda'$ de~$D(\lambda)$.

Si dans~\Eq{(62)}, p.~\Pg{70}, on remplace~$i$ par~$-i$, on voit que la
fonction
\[
\theta (s) = P(s) - iQ(s)
\]
\DPPageSep{089.png}{83}%
est une solution non identiquement nulle de l'équation homogène~(1\ter,
p.~\Pg{65}), correspondant à une constante caractéristique
$\lambda'' = \alpha - i\beta$ \emph{différente} de~$\lambda'$.

D'après le théorème précédent, on a donc
\[
0 = \int_a^b \phi(s)\, \theta(s)\, ds = \int_a^b (P^2 + Q^2)\, ds
\]
et la fonction \emph{continue} $P^2 + Q^2 = \phi(s)\, \theta(s)$ devrait être identiquement
nulle sans qu'aucun de ses facteurs ne le soit.

La propriété actuelle généralise le fait qu'une «équation en~$s$»
à coefficients réels, n'a pas de racines imaginaires.

De ce que le déterminant~$D(\lambda)$ n'a pas de racines imaginaires, il
ne s'ensuit pas nécessairement qu'il ait des racines réelles. On
peut donner un exemple très simple d'un noyau continu réel
qui n'a aucune constante caractéristique. Il suffit\footnote
  {\bsc{Heywood}, \textit{Loc.\ cit.,} p.~32. Journ.\ de Math.\ (6\ieme~série), t.~IV, p.~310.}
de prendre
$K(s,t) \equiv \sin s\cos t$ en réduisant l'intervalle $(a, b)$ à $(0, 2\pi)$; car
alors $D(\lambda) \equiv 1$, tous les termes de son développement~\Eq{(41)} s'annulant,
sauf le premier.

L'équation de Volterra fournit un autre exemple important. On
voit en effet d'après le \no \textbf{7}, p.~\Pg{48}, que cette équation a une solution
continue quelle que soit la fonction continue~$f(s)$ et pour
toute valeur du paramètre~$\lambda$. Il n'en peut être ainsi que si son déterminant~$D(\lambda)$
n'a pas de racines réelles. En fait, tous les déterminants
tels que $K\left(\ds\Atop{s_1, s_2, \dots, s_n}{s_1, s_2, \dots, s_n}\right)$ (voir formule~\Eq{(42)}, p.~\Pg{53}) étant
réduits à leurs éléments principaux, on a
\[
D(\lambda) = e^{\textstyle-\lambda \int_a^b K(s,s)\, ds}.
\]

\Paragraph{32.}{} --- On voit alors l'importance de cette proposition.

\textsc{Théorème.} --- \textit{Tout noyau symétrique possède au moins une
constante caractéristique\footnotemark.}
\footnotetext{Ce théorème a été énoncé par M.~Schmidt sous la forme suivante: toute
  équation intégrale homogène à noyau symétrique continu possède au moins
  une solution continue non identiquement nulle. Grâce à la théorie de Fredholm,
  cet énoncé équivaut à celui du texte et, comme l'a montré M.~Kneser, la
  démonstration de M.~Schmidt s'en trouve un peu simplifiée\DPtypo{,}{.}}
\DPPageSep{090.png}{84}%

Je suppose bien entendu que le noyau $K(s,t)$ n'est pas identiquement
nul. Nous allons d'abord prouver qu'aucun des noyaux
réitérés n'est identiquement nul. La formule~\Eq{(10)}, p.~\Pg{39}, montre
immédiatement qu'ils sont symétriques et la formule~\Eq{(11)} montre
que si l'un est nul identiquement, il en est de même des suivants.
Soit dans ce cas, $K_{2m}$~le premier des noyaux de rang pair qui est
identiquement nul. On a d'après~\Eq{(11)}
\[
K_{2m}(s,s) = \int_{a}^{b} K_{m}(s,\tau)\, K_m(\tau,s)\, d\tau
\]
et à cause de la symétrie
\[
K_{2m}(s,s) = \int_{a}^{b} \bigl[K_m(s,\tau)\bigr]^2 \, d\tau.
\]

Il faudrait donc que $K_{m}(s,\tau)$ soit identiquement nul comme~$K_{2m}$
et comme $m$~ne peut être égal à~$1$, $K_{2m}$~ne serait pas le premier
noyau réitéré identiquement nul et de rang pair. De plus la formule
précédente montre que non seulement aucune des fonctions
$K_n(s,t)$ n'est identiquement nulle en $s$~et~$t$, mais encore aucune
des fonctions $K_{n}(s,s)$.

D'autre part, d'après la formule~\Eq{(50\ter)}, on a
\[
\Tag{(90)}
- \frac{1}{D(\lambda)}\, \frac{d}{d\lambda}\, D(\lambda)
  = \sum_{0}^{\infty} \lambda^n \int_{a}^{b} K_{n+1}(s,s)\, ds
  = \sum_{0}^{\infty} \lambda^n U_{n+1}
\]
en posant:
\[
U_n = \int_{a}^{b} K_{n}(s,s)\, ds.
\]

La série du troisième membre de~\Eq{(90)} est convergente pour $\lambda$
assez petit (\no 12, p.~\Pg{57}). Je vais prouver qu'elle n'est pas constamment
convergente, c'est-à-dire que le premier membre n'est pas
une fonction régulière en tout point à distance finie. Comme
$D(\lambda)$~et~$\dfrac{d}{d\lambda}\, D(\lambda)$ sont des fonctions entières, on en déduira que
$D(\lambda)$~s'annule pour au moins une valeur finie de~$\lambda$, autrement dit
que le noyau possède au moins une constante caractéristique.
\DPPageSep{091.png}{85}%

On a d'après l'inégalité de Schwarz~\Eq{(8')}, p.~\Pg{8}
\begin{multline*}
\left[\int_a^b\int_a^b K_{n-1}(s,t)\, K_{n+1}(s,t)\, ds\, dt\right]^2  \\
  \le \int_a^b\int_a^b \bigl[K_{n-1}(s,t)\bigr]^2\, ds\, dt
    × \int_a^b\int_a^b \bigl[K_{n+1}(s,t\DPtypo{}{)}\bigr]^2\, ds\, dt.
\end{multline*}

Or la symétrie des noyaux nous permet de déduire de la formule~\Eq{(11)},
p.~\Pg{39}
\[
K_{n+p}(s,s) = \int_a^b K_n(s,t)\, K_p(s,t)\, dt.
\]

L'inégalité précédente devient donc
\[
\left[\int_a^b K_{2n}(s,s)\, ds\right]^2
  \le \int_a^b K_{2n-2}(s,s)\, ds × \int_a^b K_{2n+2}(s,s)\, ds
\]
ou
\[
[U_{2n}]^2 \le U_{2n-2} × U_{2n+2}.
\]

D'ailleurs, aucun des noyaux réitérés n'étant identiquement nul
l'expression
\[
U_{2n} = \int_a^b \bigl[K_n (s,s)\bigr]^2\, ds
\]
est positive et non nulle pour toute valeur de~$n$; on peut donc
écrire quel que soit~$n$
\[
\frac{U_{2n+2}}{U_{2n}} \ge \frac{U_{2n}}{U_{2n-2}} > 0
\]
et par suite:
\[
\frac{U_{2n+2}}{U_{2n}} \ge \frac{U_4}{U_2}.
\]

Or dans la série~\Eq{(90)} le rapport de deux termes, d'exposants
impairs successifs, est égal en module à
\[
|\lambda^2|\, \frac{U_{2n+2}}{U_{2n}}.
\]

Il serait donc plus grand que~1 (et par suite le terme général
d'exposant impair de la série ne tendrait pas vers zéro), pour
\[
|\lambda| > \sqrt{\frac{U_2}{U_4}}.
\]
\DPPageSep{092.png}{86}%

Nous voyons bien que la série~\Eq{(90)} est divergente pour de telles
valeurs de~$\lambda$ et par conséquent que le noyau admet au moins une
constante caractéristique comprise entre $-\sqrt{{\dfrac{U_2}{U_4}}}$~et~$+\sqrt{{\dfrac{U_2}{U_4}}}$.

\Paragraph{33.}{} --- La recherche des constantes caractéristiques, autrement
dit, la résolution de l'équation $D(\lambda) = 0$ se fait par les méthodes
connues. On voit toutefois que l'application de l'une d'elles, la
méthode de Gräffe, présente une simplification notable dans le cas
actuel.

Le procédé de Gräffe consiste\footnote
     {Voir \bsc{Carvallo}, \textit{Ann.\ Fac.\ Sciences Toulouse}, t.~III, 1890.}
à calculer une puissance des
racines assez grande pour que leurs rapports deviennent considérables.
Or, ici nous savons former \emph{directement} l'équation qui a pour
racines les valeurs de~$\lambda^m$. Il suffit (\no \textbf{13}, p.~\Pg{59}) de remplacer le
noyau~$K$ par le noyau réitéré~$K_m$ et d'égaler à zéro le déterminant
correspondant. L'application de la méthode consiste donc tout
simplement à écrire cette équation en prenant $m$~suffisamment
grand.

On peut remarquer aussi que la démonstration précédente
donne un moyen de calculer approximativement la constante caractéristique~$\lambda_1$
la plus petite en valeur absolue. En effet, son
carré sera d'après le \no \textbf{13}, p.~\Pg{59}, la constante caractéristique la
plus petite du noyau réitéré $K_2(s,t)$. Or, le déterminant~$D_2(\mu)$ de
celui-ci vérifie évidemment l'égalité analogue à~\Eq{(90)}
\[
\frac{1}{D_2(\mu)}\, \frac{d}{d\mu}\, D_2(\mu)
  = - \sum_0^\infty \mu^n\, U_{2n+2}.
\]

D'ailleurs, d'après les inégalités du \no précédent, le rapport
$\dfrac{U_{2n}}{U_{2n+2}}$ tend vers une limite déterminée $\mu_0 > 0$, donc la série du
second membre a pour rayon de convergence~$\mu_0$. De sorte qu'on a
\[
\lambda_1^2 = \mu_0 = \lim_{n = \infty} \frac{U_{2n}}{U_{2n+2}}.
\]
J.~Schur\footnote
  {\textit{Math.\ Annalen}, t.~67, 1909, p.~327.}
a généralisé ce résultat de façon à calculer les autres
constantes caractéristiques de proche en proche.
\DPPageSep{093.png}{87}%

\Paragraph{34.}{} --- Nous avons vu que chaque constante caractéristique d'un
noyau quelconque est un pôle de la fonction réciproque. Ce pôle
peut être simple ou multiple\footnotemark.
\footnotetext{Prenons, avec Korn, $K(s,t) \equiv \alpha s + \beta t$, $\alpha$~et~$\beta$ étant des constantes. En
  portant dans les expressions \Eq{(40)},~\Eq{(41)} de $D\left(\ds\Atop{s}{t}\, \lambda\right)$ et de~$D(\lambda)$, on voit que les
  déterminants qui y figurent sont nuls dès qu'ils ont plus de deux colonnes. De
  sorte que $K(s, t, \lambda)$ se réduit à une fraction rationnelle en~$\lambda$ dont les termes
  sont de degrés respectifs $1$~et~$2$. Si l'on prend par exemple $a = 0$, $b = 1$, on
  voit facilement que $K(s, t, \lambda)$ a, en général, deux pôles distincts qui se réduisent
  à un pôle double en~$\lambda$ pour $\beta = -3\alpha$.}
\emph{Dans le cas où le noyau est symétrique,
ce pôle est toujours simple.}

En effet, servons-nous des notations du \no 21, p.~\Pg{67}. La même
méthode qui nous a fourni l'équation~\Eq{(55)} nous donnera aussi,
\emph{si $r > 1$}
\[
\phi_{r-1}(s,t)
  = \lambda' \int_a^b K(s,\tau)\, \phi_{r-1}(\tau,t)\, d\tau
           + \int_a^b K(s,\tau)\, \phi_r(\tau,t)\, d\tau\Add{.}
\]

Multiplions \Eq{(55)}~et cette identité par $\phi_{r-1}(s,t)$ et $\phi_r(s,t)$ respectivement,
intégrons par rapport à~$s$ de~$a$ à~$b$ et retranchons; on
aura:
\[
\Tag{(91)}
\left\{
\begin{aligned}
 0 &= \lambda'
  \int_a^b\int_a^b K(s,\tau)\, \phi_r(\tau,t)\, \phi_{r-1} (s,t)\, d\tau\, ds\\
   &- \lambda'
  \int_a^b\int_a^b K(s,\tau)\, \phi_{r-1}(\tau,t)\, \phi_r(s,t)\, d\tau\, ds\\
   &- \int_a^b \phi_r(s,t)
      \left[\int_a^b K(s,\tau)\, \phi_r(\tau,t)\, d\tau \right] ds.
\end{aligned}
\right.
\]

Quand on permute les lettres $s$~et~$\tau$ dans la seconde intégrale
double, on n'altère pas la valeur de cette intégrale et d'autre part,
elle prend la forme qu'aurait la première intégrale double si on y
remplaçait $K(s, \tau)$ par $K (\tau, s)$. Par suite de la symétrie du noyau,
ces deux intégrales sont égales; si on a soin de simplifier le crochet
du dernier terme au moyen de~\Eq{(55)}, l'égalité~\Eq{(91)} devient
donc
\[
\int_{a}^{b} \bigl[\phi_r(s,t)\bigr]^2\, ds = 0.
\]
\DPPageSep{094.png}{88}%

De sorte que, ayant supposé $r > 1$, on obtient $\phi_r(s, t) \equiv 0$
contrairement à l'hypothèse.

Remarquons qu'il ne faudrait nullement conclure de ce qui précède
que le dénominateur~$D(\lambda)$ de
\[
K(s,t,\lambda) = \frac{D(s,t,\lambda)}{D(\lambda)}
\]
n'a que des racines simples. Au contraire l'ordre de multiplicité~$p$
d'une racine~$\lambda'$ de~$D(\lambda)$ est d'après la formule~\Eq{(74\bis)}, p.~\Pg{74}, au
moins égal au nombre~$q$ des fonctions fondamentales. En fait,
M.~Hilbert a démontré l'égalité de ces deux nombres: $p = q$\footnotemark.
\footnotetext{Voir par exemple, Goursat\DPtypo{.}{,} \textit{Ann.\ Toulouse} 2~(10), p.~49.}
Ce fait fournit une nouvelle analogie avec les propriétés classiques
de l'équation en~$s$ à racines multiples.

\Paragraph{35.}{\textbf{Développements en séries de fonctions fondamentales.
Normalisation des fonctions fondamentales.}}\DPtypo{}{ ---} A chaque constante
caractéristique~$\lambda'$ correspond un nombre fini (p.~\Pg{70}) de solutions
linéairement indépendantes de l'équation intégrale homogène~\Eq{(62)}.
Nous appellerons ici ces solutions: \emph{fonctions fondamentales}.
Si on remplace celles-ci par un système normalisé équivalent
(p.~\Pg{9}), l'ensemble \DPtypo{des}{de} fonctions obtenu en opérant ainsi successivement
sur \emph{toutes} les constantes caractéristiques formera lui-même
un système normalisé, puisque deux fonctions fondamentales correspondant
à deux constantes caractéristiques différentes sont déjà
orthogonales (p.~\Pg{82}).

Si on range maintenant les constantes caractéristiques suivant
l'ordre de grandeur de leurs valeurs absolues, chacune étant répétée
autant de fois qu'elle a de fonctions fondamentales, on voit qu'on
obtiendra une suite énumérable de constantes caractéristiques
réelles
\[
\Tag{(92)}
\lambda_1,\ \lambda_2,\ \lambda_3,\ \dots
\]
suite à laquelle correspond un \emph{système principal}, c'est-à-dire un
ensemble normalisé réel
\[
\Tag{(S)}
\phi_1(s),\ \phi_2(s),\ \phi_3(s),\ \dots
\]
\DPPageSep{095.png}{89}%
de fonctions fondamentales, c'est-à-dire telles que l'on ait
\[
\Tag{(93)}
\phi_n(s) = \lambda_n \int_{a}^{b} K(s,t)\, \phi_n(t)\, dt.
\]

D'après ce qui précède, toute fonction fondamentale~$\Phi(s)$ correspondant
au noyau $K(s, t)$ est une combinaison linéaire d'un
nombre fini de fonctions de la suite~\Eq{(S)}, à savoir de celles qui
correspondent à la même constante caractéristique que~$\Phi(s)$.

Mais d'autres fonctions que les solutions fondamentales sont
aussi exprimables linéairement en fonction des~$\phi_n(s)$ --- ne correspondant
pas, bien entendu, à la même valeur de~$\lambda$~---.\DPnote{** [sic], trailing dash.} Nous nous
proposons maintenant d'étudier ce mode de représentation dont
nous savons déjà (page~\Pg{11}) déterminer les coefficients.

\Paragraph{36.}{\textbf{Développement du noyau.}} --- Considéré comme fonction
de~$s$, le noyau $K (s, t)$ peut-il être considéré comme une combinaison
linéaire des~$\phi_n(s)$
\[
\Tag{(94)}
K(s, t) = c_1\, \phi_1(s) + \ldots + c_n\, \phi_n(s) + \ldots\qquad?
\]

D'après la méthode de la page~\Pg{11}, on voit qu'on aurait
\[
c_n =  \int_{a}^{b} K(s, t)\, \phi_n(s)\, ds
\]
ou en tenant compte de la symétrie de~$K(s, t)$ et de la formule de
définition~\Eq{(93)} des fonctions~$\phi_n$
\[
c_n = \frac{\phi_n(t)}{\lambda_n}\Add{.}
\]

Ainsi, on aurait
\[
\Tag{(95)}
K(s,t)
  = \frac{\phi_1(s)\, \phi_1(t)}{\lambda_1}
  + \frac{\phi_2(s)\, \phi_2(t)}{\lambda_2} + \ldots
  + \frac{\phi_n(s)\, \phi_n(t)}{\lambda_n} + \ldots\Add{.}
\]

Réciproquement \emph{si la suite
\[
\Tag{(\text{S})}
\phi_1(s),\quad \phi_2(s),\ \dots
\]
désigne un système principal de solutions fondamentales correspondant
aux constantes caractéristiques $\lambda_1, \lambda_2, \ldots$ du noyau symétrique~$K(s,t)$,
\DPPageSep{096.png}{90}%
et si la série
\[
\SSqTag{(96)}
\frac{\phi_1(s)\, \phi_1(t)}{\lambda_1} +
\frac{\phi_2(s)\, \phi_2(t)}{\lambda_2} + \ldots +
\frac{\phi_n(s)\, \phi_n(t)}{\lambda_n} + \ldots
\]
est limitée ou uniformément convergente, sa somme est égale au
noyau~$K(s,t)$.}

Soit $H(s,t)$, la somme de la série, et posons
\[
Q(s,t) = K(s,t) - H(s,t).
\]

La fonction $Q(s,t)$ est symétrique; si elle n'était pas identiquement
nulle, en la considérant comme noyau d'une équation,
on pourrait trouver (page~\Pg{73}), une constante~$c$ et une fonction
continue~$\psi(t)$ non identiquement nulle telle que l'on ait
\[
\psi (t) = c \int_{a}^{b} Q(t, \tau )\, \psi(\tau)\, d \tau.
\]

D'où
\begin{align*}
\int_{a}^{b} \psi(t)\, \phi_n(t)\, dt
  &= c \int_a^b
     \left[\int_a^b K(t,\tau)\, \phi_n(t)\, dt \right] \psi(\tau)\, d \tau \\
  &- c \sum_{p=1}^{p=\infty} \int_a^b
     \left[\int_a^b \phi_p(t)\, \phi_n(t)\, dt \right]
       \frac{\phi_p(\tau)}{\lambda_p}\, \psi(\tau)\, d\tau.
\end{align*}

Si l'on tient compte de la formule de définition des~$\phi_n$ et de ce
que tout système principal est normé, on voit que les deux
termes du second membre sont égaux, comme se réduisant à
\[
\frac{c}{\lambda_n} \int_a^b \phi_n(\tau)\, \psi(\tau)\, d\tau.
\]

D'où enfin
\[
\Tag{(97)}
\int_{a}^{b} \psi(t)\, \phi_n(t)\, dt = 0.
\]

Or, on a
\[
\psi (t) = c \int_{a}^{b} Q(t, \tau)\, \psi(\tau)\, d\tau
  = c \int_{a}^{b} K(t, \tau)\, \psi(\tau)\, d\tau
  - c \sum_{n=1}^{n=\infty} \frac{\phi_n(t)}{\lambda_n}
    \int_{a}^{b} \phi_n(\tau)\, \psi(\tau)\, d\tau
\]
donc d'après~\Eq{(97)}
\[
\psi(t) = c \int_{a}^{b} K(t, \tau)\, \psi(\tau)\, d\tau.
\]
\DPPageSep{097.png}{91}%

Dès lors $\psi(t)$ serait une solution fondamentale relative au noyau
$K(t, \tau)$ et serait par suite une combinaison linéaire d'un nombre
fini des~$\phi_n$
\[
\psi(t)
  = \alpha_1\, \phi_{n_1}(t)
  + \alpha_2\, \phi_{n_2}(t) + \ldots
  + \alpha_q\, \phi_{n_q}(t).
\]

En multipliant par $\phi_{n_p}(t)$ et intégrant, on aurait donc d'après~\Eq{(97)}
\[
0 = \int_{a}^{b} \psi(t)\, \phi_{n_p}(t)\, dt = \alpha_{n_p}
  \qquad (p = 1, 2, \dots\Add{,} q)
\]
d'où:
\[
\psi(t) \equiv 0
\]
ce qui est impossible.

\Paragraph{37.}{} --- Il résulte en particulier de ce qui précède que le noyau
\emph{pourra toujours être mis sous la forme~\Eq{(95)} lorsque le nombre des
constantes caractéristiques \emph{(et par suite aussi le nombre, en général
supérieur, des~$\phi_n$)} sera fini}. Nous avons déjà vu la réciproque de
cette proposition (p.~\Pg{44}). De sorte que \emph{la condition nécessaire et
suffisante pour qu'un noyau symétrique $K(s, t)$ puisse être écrit
sous la forme
\[
K(s,t) = S_1(s)\, S_1(t) + \ldots + S_n(s)\, S_n(t)
\]
où~$n$ est un entier fini, est que le nombre des constantes caractéristiques
soit fini}. Il est d'ailleurs bien évident que les noyaux de
cette forme sont exceptionnels. Nous \DPtypo{complètons}{complétons} ainsi le théorème
du \no \textbf{32}; non seulement un noyau symétrique possède au moins
une constante caractéristique, mais en général il en possède une
infinité.

\Paragraph{38.}{\textbf{Développement des noyaux réitérés.}} --- Soit~$\Phi(s)$ une
solution fondamentale relative à la constante caractéristique~$\lambda'$,
on a
\[
\Phi (s) = \lambda' \int_{a}^{b}  K(s, t)\, \Phi(t)\, dt
\]
d'où
\[
\Phi(s) = \lambda' \int_{a}^{b} K(s, s_1)\, \Phi(s_1)\, ds_1
  = \lambda'^2 \int_{a}^{b} \left[ \int_{a}^{b}
    K(s,s_1)\, K(s_1,t)\, ds_1 \right] \Phi(t)\, dt
\]
\DPPageSep{098.png}{92}%
ou d'après~\Eq{(11)}
\[
\Phi(s) = \lambda'^2 \int_a^b K_2(s,t)\, \Phi(t)\, dt
\]
et en général
\[
\Tag{(98)}
\Phi(s) = \lambda'^p \int_a^b K_p(s,t)\, \Phi(t)\, dt.
\]

Ainsi \emph{toute fonction fondamentale d'un noyau est fonction fondamentale
de chacun des noyaux réitérés correspondants}. Il résulte de
plus du théorème précédent sur le développement de $K(s, t)$ et de
la formule~\Eq{(98)} que si la série
\[
\Tag{(99)}
\frac{\phi_1(s)\, \phi_1(t)}{\lambda_1^p} +
\frac{\phi_2(s)\, \phi_2(t)}{\lambda_2^p} + \ldots +
\frac{\phi_n(s)\, \phi_n(t)}{\lambda_n^p} + \ldots
\]
est uniformément convergente, elle représente $K_p (s, t)$. Je dis qu'il
y a convergence absolue et uniforme au moins pour $p \ge 3$\footnotemark.
\footnotetext{Ceci est encore vrai pour $p = 2$, mais la démonstration est différente.
  Voir par exemple Kowalewski, \textit{Einführung in die \DPtypo{Déterminanten Theorie}{Determinantentheorie}},
  Teubner, 1900, p.~533.}%
En effet, la question ne se pose que si le nombre des constantes
caractéristiques distinctes est infini; je remarque qu'alors leurs
valeurs absolues croissent au delà de toute limite (car ce sont les
zéros d'une fonction entière~$D(\lambda)$). On pourra donc trouver un
nombre~$q$ tel que pour $n > q$, on ait $|\lambda_n| > 1$. Alors pour $n>q$
et $p\ge 3$
\[
\Tag{(100)}
\left\{
\begin{aligned}%[** TN: Re-breaking]
\sum_{h=n}^{h=n+m} \left|\frac{\phi_h(s)\, \phi_h(t)}{\lambda_h^p} \right|
  &\le \sum_{h=n}^{h=n+m}
    \left|\frac{\phi_h(s)\, \phi_h(t)}{\lambda_h^3} \right| \\
  &\le \frac{1}{2|\lambda_n|}
    \sum_{h=n}^{h=n+m} \frac{\phi_h^2(s) + \phi_h^2(t)}{\lambda_h^2}
\end{aligned}
\right.
\]
d'après l'inégalité générale $|ab| < \dfrac{a^2+b^2}{2}$ et l'hypothèse que la
suite des~$|\lambda_h|$ ne va jamais en décroissant (p.~\Pg{88}). Or d'après l'inégalité
de Bessel~\Eq{(11)}, p.~\Pg{12}, on a
\[
\sum_{h=1}^{h=\infty} \left[ \int_a^b K(s,t)\, \phi_h(t)\, dt \right]^2
  \le \int_a^b \bigl[K(s,t)\bigr]^2\, dt;
\]
\DPPageSep{099.png}{93}%
en transformant le premier membre d'après~\Eq{(93)}, on a
\[
\Tag{(101)}
\sum_{h=1}^{h=\infty} \frac{\phi_h^2(s)}{\lambda_h^2}
  \le \int_a^b \bigl[K(s,t)\bigr]^2\, dt
\]
ce qui donne pour~\Eq{(100)}
\[
\sum_{h=n}^{h=n+m} \left|\frac{\phi_h(s)\, \phi_h(t)}{\lambda_h^p}\right|
  \le \frac{1}{|\lambda_n|} \int_a^b \bigl[K(s,t)\bigr]^2\, dt
\]
lorsque $p\ge 3$, $n>q$. Quand~$n$ croît indéfiniment, le second
membre tend vers zéro avec~$\dfrac{1}{\lambda_n}$. D'après le théorème de Cauchy
sur la convergence des séries\footnotemark,
\footnotetext{Si une série $\smash[b]{\ds\sum_{h=1}^{h=\infty} u_h(s, t)}$ est telle que, à tout nombre $\epsilon> 0$, on peut
  faire correspondre un entier~$n$ pour lequel $\ds\sum_{h=n}^{h=n+m}|u_h (s,t)| < \epsilon$ quel que soit~$m$,
  la série est absolument convergente et si l'inégalité a lieu quand $s$,~$t$ varient
  dans un domaine~$D$, pour une valeur de~$n$ indépendante de~$s$ et de~$t$, la convergence
  est uniforme.}
cela suffit pour démontrer ce que
nous avions en vue. Ainsi, \emph{pour $p\ge 3$ \emph{(voir la note précédente)},
on a toujours
\[
\SqTag{(102)}
K_p (s, t)
  = \frac{\phi_1(s)\, \phi_1(t)}{\lambda_1^p}
  + \frac{\phi_2(s)\, \phi_2(t)}{\lambda_2^p} + \ldots
  + \frac{\phi_n(s)\, \phi_n(t)}{\lambda_n^p} + \ldots
\]
où le second membre est nécessairement une série absolument et
uniformément convergente}.

\Paragraph{39.}{} --- A cette occasion, on peut remarquer que \emph{la série
\[
\SqTag{(103)}
\frac{1}{\lambda_1^p} +
\frac{1}{\lambda_2^p} + \ldots +
\frac{1}{\lambda_h^p} + \ldots
\]
est absolument convergente pour toute \DPtypo{vateur}{valeur} de $p\ge 2$}. Il suffit
évidemment de le prouver pour $p = 2$. Or d'après~\Eq{(101)} on a
\[
\sum_{h=1}^{h=m} \frac{\phi_h^2(s)}{\lambda_h^2}
  \le \int_a^b \bigl[K(s,t)\bigr]^2\, dt
\]
\DPPageSep{100.png}{94}%
quel que soit l'entier~$m$; d'où, en intégrant encore une fois, en
tenant compte du fait que les fonctions~$\phi_n$ ont été normalisées
(\no \textbf{8}, p.~\Pg{9})
\[
\sum_{h=1}^{h=m} \frac{1}{\lambda_h^2}
  \le \int_a^b\int_a^b \bigl[K(s,t)\bigr]^2\, ds\, dt.
\]

Ceci ayant lieu quel que soit~$m$, prouve que la série~\Eq{(103)} est
convergente et même, de plus, que pour $p = 2$ sa valeur est inférieure
ou égale à l'intégrale
\[
\int_a^b\int_a^b \bigl[K(s, t)\bigr]^2\, ds\, dt.
\]

Ces deux propriétés ont été étendues par~J. Schur\footnote
  {\textit{Math.\ Annalen}, t.~LXVI, 1909, p.~501.}
au cas
dissymétrique. Comme dans ce cas les racines peuvent être imaginaires,
il y a lieu de remarquer que la série~\Eq{(103)} reste absolument
convergente, mais que dans le cas de $p = 2$, c'est pour la série
des modules qu'on a
\[
\SqTag{}
\frac{1}{|\lambda_1|^2} +
\frac{1}{|\lambda_2|^2} + \ldots +
\frac{1}{|\lambda_h|^2} + \ldots
  \le \int_a^b\int_a^b \bigl[K(s,t)\bigr]^2\, ds\, dt.
\]

En outre, il est entendu que dans la série~\Eq{(103)}, chaque constante
caractéristique~$\lambda'$ doit être répétée autant de fois que l'indique son
ordre de multiplicité comme racine de~$D(\lambda)$. Dans le cas symétrique,
notre démonstration remplace ce nombre par le nombre
des fonctions fondamentales correspondant à~$\lambda'$. Nous avons fait
remarquer (note~1, p.~\Pg{88}) que dans le même cas symétrique, ces
deux nombres sont égaux.

\Paragraph{40.}{\textbf{Développements généraux.}} --- Démontrons d'abord un
lemme: la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction
continue~$l(s)$ vérifie l'identité
\[
\Tag{(104)}
\int_a^b K(s, t)\, l(t)\, dt = 0
\]
\DPPageSep{101.png}{95}%
est que l'on ait quel que soit~$h$
\[
\Tag{(105)}
\int_a^b \phi_h(s)\, l(s)\, ds = 0.
\]

En effet, supposons vraie~\Eq{(104)}, on a d'après~\Eq{(93)}
\begin{align*}%[** TN: Aligning on "="]
\int_a^b \phi_h(s)\, l(s)\, ds
  &= \lambda_h\int_a^b \left[\int_a^b K(s,t)\, \phi_h(t)\, dt\right] l(s)\, ds\\
  &= \lambda_h\int_a^b \phi_h(t)\left[\int_a^b K(s, t)\, l(s)\, ds\right] dt
  = 0
\end{align*}
quel que soit~$h$.

Inversement, partons des relations~\Eq{(105)}. La série~\Eq{(102)} étant
uniformément convergente pour $p = 4$, et égale à $K_4(s, t)$, on peut
l'intégrer terme à terme après avoir multiplié par $l(s)\, l(t)$; on obtient
ainsi
\[
\int_a^b\int_a^b K_4(s,t)\, l(s)\, l(t)\, ds\, dt
  = \sum_{h=1}^{h=\infty} \frac{1}{\lambda_h^4}
    \int_a^b \phi_h(s)\, l(s)\, ds \int_a^b \phi_h(t)\, l(t)\, dt = 0.
\]

En remplaçant~$K_4$ par son expression, d'après~\Eq{(11)}, on a
\begin{align*}
0 &= \int_a^b\int_a^b
     \left[\int_a^b K_2(s,\tau)\, K_2(\tau,t)\, d\tau\right]
     l(s)\, l(t)\, ds\, dt \\
  &= \int_a^b \left[\int_a^b K_2(s,\tau)\, l(s)\, ds\right]
     × \left[ \int_a^b K_2(\tau,t)\, l(t)\, dt\right]\, d\tau \\
  &= \int_a^b \left[\int_a^b K_2(s,\tau)\, l(s)\, ds\right]^2 d\tau.
\end{align*}

Pour que l'intégrale de ce carré soit nulle, il faut que la quantité
élevée au carré soit nulle, ou encore en la multipliant par~$l(\tau)$
et intégrant:
\[
\int_a^b\int_a^b K_2(s,\tau)\, l(s)\, l(\tau)\, ds\, d\tau = 0.
\]

En recommençant le même raisonnement sur $K_2$~et~$K$, comme
nous venons de le faire sur $K_4$~et~$K_2$, on obtient bien enfin~\Eq{(104)}.
\DPPageSep{102.png}{96}%

Maintenant, nous nous proposons de développer en série de
fonctions fondamentales, non pas une fonction absolument arbitraire,
mais toute fonction~$g(s)$ qu'on peut représenter par la
formule
\[
\Tag{(106)}
g(s) = \int_a^b K(s,t)\, p(t)\, dt
\]
où~$p(t)$ est une fonction continue quelconque convenablement
choisie.

Si l'on admet pour un instant la possibilité du développement
de~$g(s)$, on voit immédiatement (page~\Pg{11}) qu'il serait de la forme
\[
\sum \phi_h(s) \int_a^b g(t)\, \phi_h(t)\, dt.
\]

Or cette expression peut se remplacer terme à terme par
\begin{align*}
  &\sum\int_a^b \frac{K(s,\tau)\, \phi_h(\tau)}{\lambda_h}\, d\tau
   × \int_a^b \left[ \int_a^b K(t,\tau_1)\, p(\tau_1)\, d\tau_1 \right]
     \phi_h(t)\, dt\\
= &\sum\int_a^b K(s,\tau)\, \phi_h(\tau)\, d\tau
   × \int_a^b p(\tau_1) \left[ \int_a^b
     \frac{K(t,\tau_1)\, \phi_h(t)}{\lambda_h}\, dt \right]\, d\tau_1\\
= &\sum\int_a^b K(s,\tau)\, \phi_h(\tau)\, d\tau
   × \int_a^b p(\tau_1)\, \phi_h(\tau_1)\, d\tau_1
\end{align*}
et sous cette forme le lemme de la page~\Pg{12} nous apprend qu'elle
représente une série uniformément convergente.

Nous allons donc considérer \textit{a~priori} la fonction
\[
l(s) \equiv g(s) - \sum_{h=1}^{h=\infty} \phi_h(s) \int_a^b g(t)\, \phi_h(t)\, dt
\]
et montrer qu'elle est identiquement nulle.

On a quel que soit~$n$
\[
\Tag{(107)}
\left\{
\begin{gathered}
\int_a^b \phi_n(s)\, l(s)\, ds \\
  = \int_a^b g(s)\, \phi_n(s)\, ds
  - \sum_{h=1}^{h=\infty} \int_a^b \phi_n(s)\, \phi_h(s)\, ds
    × \int_a^b g(t)\, \phi_h(t)\, dt = 0
\end{gathered}
\right.
\]
\DPPageSep{103.png}{97}%
puisque le système des~$\phi_h$ est normé. Donc d'après le lemme
\[
\Tag{(108)}
0 = \int_a^b K(s, \tau)\, l(\tau)\, d\tau.
\]

D'autre part
\[
\int_a^b \bigl[l(s)\bigr]^2\, ds
  = \int_a^b l(s)\, g(s)\, ds
  - \sum_{h=1}^{h=\infty} \int_a^b l(s)\, \phi_h (s)\, ds
    × \int_a^b g(t)\, \phi_h(t)\, dt.
\]

Le deuxième terme du second membre est nul d'après~\Eq{(107)}, le
premier est égal d'après~\Eq{(106)} à
\[
\int_a^b \left[ \int_a^b K(s,t)\, l(s)\, ds \right] p(t)\, dt = 0
\]
d'après~\Eq{(108)}. Donc~$l(s)$ est bien identiquement \DPtypo{nul}{nulle}. Ainsi \emph{toute
fonction~$g(s)$ de la forme
\[
\SqTag{(106)}%[** TN: [sic] Repeated equation]
g(s) = \int_a^b K(s,t)\, p(t)\, dt
\]
peut être représentée par une série absolument et uniformément
convergente de fonctions fondamentales} de la forme
\begin{align*}
\SqTag{(109)}
g(s) &= \sum_{h=1}^{h=\infty}
        \left[ \int_a^b g(t)\, \phi_h (t)\, dt \right] \phi_h (s) \\
\intertext{ou}
\SqTag{(110)}
g(s) &= \sum_{h=1}^{h=\infty}
  \Biggl[ \frac{\ds\int_a^b p(t)\, \phi_h (t)\, dt}{\lambda_h} \Biggr] \phi_h (s).
\end{align*}

En remplaçant~$g(s)$ par son expression~\Eq{(106)}, en multipliant
par une fonction continue arbitraire~$q(s)$ et intégrant, on obtient
une formule remarquable que M.~Hilbert a obtenue par l'étude des
formes quadratiques infinies
\[
\SqTag{(111)}
\int_a^b \int_a^b K(s,t)\, p(t)\, q(s)\, ds\, dt
  = \sum_{h=1}^{h=\infty} \frac{1}{\lambda_h}
    \int_a^b p(t)\, \phi_h(t)\, dt × \int_a^b q(s)\, \phi_h(s)\, ds.
\]
\DPPageSep{104.png}{98}%

\Paragraph{41.}{} --- Appelons avec M.~Hilbert, noyau \emph{fermé}, un noyau
$K(s, t)$ tel qu'il n'existe aucune fonction~$l(s)$ vérifiant l'identité:
\[
\int_a^b K(s,t)\, l(t)\, dt \equiv 0.
\]

Pour simplifier les résultats, nous n'imposerons pas à la fonction~$l(s)$
la condition d'être continue mais seulement d'être de
carré intégrable.

D'après le lemme du \no \textbf{40}, on voit que si un noyau symétrique
n'est pas fermé, il existe au moins une fonction~$l(s)$ qui est
orthogonale à toutes les fonctions fondamentales et réciproquement.
C'est ce qu'on exprime en disant que le système orthogonal des
fonctions fondamentales n'est pas complet. Autrement dit, \emph{un
noyau symétrique fermé est un noyau dont le système principal
des fonctions fondamentales forme un système orthogonal complet}.

Il en résulte en particulier qu'un \emph{noyau fermé possède toujours
une infinité de constantes caractéristiques distinctes}. Sans quoi il
n'aurait qu'un nombre fini de fonctions fondamentales qui devrait
former un système complet. Or on peut toujours évidemment former
une fonction qui soit orthogonale à un nombre fini de fonctions
données.

En outre, un noyau fermé est tel qu'on peut, autant que l'on
veut, approcher de toute fonction~$g(s)$ de carré intégrable au moyen
d'une combinaison linéaire convenable d'un nombre fini de fonctions
fondamentales\footnotemark.
\footnotetext{\bsc{E.~Fischer}, \textit{Comptes Rendus}, t.~144, p.~1148.}
L'approximation doit être entendue ici au
sens de la théorie des erreurs. C'est-à-dire qu'étant donnés la fonction~$g(s)$
et le nombre positif~$\epsilon$, on peut choisir des nombres
$c_1, c_2, \ldots\Add{,} c_n$, tels que l'on ait:
\[
\int_a^b \bigl[
  g(s) - c_1\, \phi_1(s) - c_2\, \phi_2(s) \ldots - c_n\, \phi_n(s)
  \bigr]^2\, ds < \epsilon.
\]

\Paragraph{42.}{\textbf{Développement de la solution de l'équation de Fredholm
à noyau symétrique.}} --- Soit l'équation\Pagelabel{page:ref98}
\[
\Tag{(1\bis)}
\phi(s) = f(s) + \lambda \int_a^b K(s, t)\, \phi(t)\, dt
\]
\DPPageSep{105.png}{99}%
où $K(s, t)$ est une fonction symétrique. S'il y a une solution continue,
on peut l'écrire
\[
\phi(s) = f(s) + g(s)
\]
en posant
\[
g(s) = \lambda \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt.
\]

D'après le paragraphe précédent, on peut développer~$g(s)$ sous
la forme d'une série uniformément convergente de fonctions fondamentales
\begin{align*}
g(s) &= \sum_{h=1}^{h=\infty} c_h\, \phi_h(s) \\
\phi(s) &= f(s) + \sum_{h=1}^{h=\infty} c_h\, \phi_h(s).
\end{align*}

Il ne reste plus qu'à déterminer les~$c_h$. Pour cela substituons
dans l'équation intégrale~\Eq{(1\bis)}, l'expression trouvée
\[%[** TN: Not breaking]
f(s) + \sum_{h=1}^{h=\infty} c_h\, \phi_h (s)
  = f(s) + \lambda \int_a^b K(s, t)\, f(t)\, dt
  + \sum_{h=1}^{h=\infty}
    \left[ \lambda c_h \int_a^b K(s, t)\, \phi_h(t)\, dt\right]
\]
ou, d'après~\Eq{(93)}
\[
\Tag{(112)}
\sum_{h=1}^{h=\infty} c_h \left[1 - \frac{\lambda}{\lambda_h} \right] \phi_h(s)
  = \lambda \int_a^b K(s, t)\, f(t)\, dt.
\]

Or, d'après le paragraphe précédent, on a encore
\[
\int_a^b K(s, t)\, f(t)\, dt
  = \sum_{h=1}^{h=\infty}
  \Biggl[ \frac{\ds\int_a^b f(t)\, \phi_h(t)\, dt}{\lambda_h} \Biggr] \phi_h(s).
\]

De sorte que l'égalité~\Eq{(112)} devient:
\[
\Tag{(113)}
\sum_{h=1}^{h=\infty} \left\{c_h \left(\frac{\lambda_h-\lambda}{\lambda_h}\right)
  - \lambda \int_a^b \frac{f(t)\, \phi_h(t)\, dt}{\lambda_h}\right\} \phi_h(s)
  \equiv 0.
\]
\DPPageSep{106.png}{100}%

Les fonctions~$\phi_h$ formant un système normé, nous avons vu
(p.~\Pg{9}) qu'elles étaient indépendantes, c'est-à-dire que l'accolade
précédente est nulle.

\Primo\  Si donc $\lambda$ n'est pas une constante caractéristique, on a
\[
c_h = \lambda \int_a^b \frac{f(t)\, \phi_h(t)}{\lambda_h - \lambda}\, dt.
\]

De sorte que, s'il y a une solution continue de l'équation
intégrale \Eq{(1\bis)}, elle s'obtient sous la forme
\[
\SSqTag{(114)}
\phi(s) = f(s) - \lambda \sum_{h=1}^{h=\infty}
  \left[ \frac{1}{\lambda - \lambda_h} \int_a^b f(t)\, \phi_h(t)\, dt \right] \phi_h(s)
\]
et le calcul précédent lui-même nous montre qu'une telle expression
vérifie bien l'équation. Dès lors, \emph{si $\lambda$~n'est pas une constante
caractéristique, l'équation intégrale~\Eq{(1\bis)} à noyau symétrique a une
solution continue unique et donnée par la formule~\Eq{(114)}}. On voit
de plus que si, pour une valeur déterminée de~$\lambda$, la série
\[
\sum_{1}^{\infty} \frac{\phi_h(s)\, \phi_h(t)}{\lambda_h - \lambda}
\]
est uniformément convergente en~$t$, on pourra écrire la solution
correspondante sous la forme déjà obtenue
\[
\Tag{(47)}%[** TN: [sic] number out of sequence]
\phi(s) = f(s) + \lambda \int_a^b K(s, t, \lambda)\, f(t)\, dt,
\]
mais ici avec
\[
K(s,t, \lambda)
  = \sum_{h=1}^{h=\infty} \frac{\phi_h(s)\, \phi_h(t)}{\lambda_h - \lambda}.
\]

L'expression~\Eq{(114)} de~$\phi(s$) présente sur celle de Fredholm
l'avantage de mettre en évidence le caractère méromorphe de la
solution par rapport à~$\lambda$, en précisant la partie principale relative
à chaque pôle~$\lambda$.

\Secundo\ Si~$\lambda$ est égal à une constante caractéristique~$\lambda'$, elle correspondra
à un nombre fini de fonctions fondamentales
\[
\phi_{n+1}(s),\ \ldots\Add{,}\ \phi_{n+q}(s),
\]
\DPPageSep{107.png}{101}%
et on aura
\[
\lambda' = \lambda_{n+1} = \ldots = \lambda_{n+q}.
\]

Alors, on voit que l'identité~\Eq{(113)} n'aura pas lieu en général,
car les coefficients de $\phi_{n+1}, \ldots\Add{,} \phi_{n+q}$ se réduisent à des quantités
indépendantes de~$c_h$
\[
\Tag{(115)}
- \int_a^b f(t)\, \phi_h(t)\, dt \qquad (h = n+1, \ldots\Add{,} n+q)
\]
en général différentes de zéro.

Il ne peut donc y avoir de solutions continues que si ces~$q$ quantités
sont nulles (voir p.~\Pg{75}) et alors on peut prendre
\[
c_{n+1},\ \ldots\Add{,}\ c_{n+q}
\]
arbitrairement, les autres~$c_h$ étant déterminés comme précédemment,
de sorte qu'on aura pour solution
\begin{multline*}
\SqTag[2]{(116)}
\phi(s) = f(s) + c_{n+1}\, \phi_{n+1}(s) + \ldots + c_{n+q}\, \phi_{n+q}(s) \\
  + \left( \sum_{h=1}^{h=n} + \sum_{h=n+q+1}^{h=\infty} \right)
    \left\{ \frac{\lambda'}{\lambda' - \lambda_h} \phi_h(s)
    \int_a^b f(t)\, \phi_h(t)\, dt \right\}\Add{.}
\end{multline*}

Ainsi lorsque $\lambda$~est égal à une constante caractéristique~$\lambda'$, il n'y
a pas, en général, de solution continue de l'équation intégrale~\Eq{(1\bis)}.
Il ne peut y en avoir que si ($\lambda$~étant égal à $\lambda_{n+1}, \lambda_{n+2}, \ldots, \lambda_{n+q}$),
les $q$~conditions
\[
\int_a^b f(t)\, \phi_h(t)\, dt = 0 \qquad (h = n+1, \ldots, n+q)
\]
sont satisfaites. Nous retrouvons ici les résultats de la page~\Pg{77}.
Mais de plus, nous voyons que \emph{dans le cas symétrique, s'il y a une
solution continue de~\Eq{(1\bis)}, elle est donnée par la formule~\Eq{(116)} où
les~$c$ sont $q$~paramètres arbitraires}.

\begin{Remark}
\Paragraph{43.}{\textbf{Noyau dissymétrique.}} --- M.~Schmidt a étendu au cas dissymétrique
la notion de fonctions fondamentales. \DPtypo{Etant}{Étant} donné le noyau
dissymétrique $K (s, t)$, il appelle \emph{couple de fonctions fondamentales conjuguées}
\DPPageSep{108.png}{102}%
un couple de deux fonctions $\phi(s)$,~$\psi(s)$ non identiquement
nulles et satisfaisant aux deux équations
\begin{align*}
\Tag{(117)}
\phi(s) &= \lambda \int_a^b K(s, t)\, \psi(t)\, dt\\
\Tag{(118)}
\psi(s) &= \lambda \int_a^b K(t, s)\, \phi(t)\, dt.
\end{align*}

On voit qu'en éliminant~$\psi$, puis $\phi$~entre les deux équations \Eq{(117)},~\Eq{(118)},
on aura:
\begin{align*}
\phi(s) &= \lambda^2 \int_a^b \overline{K}(s, t)\, \phi(t)\, dt \\
\psi(s) &= \lambda^2 \int_a^b \underline{K}(s, t)\, \psi(t)\, dt,
\intertext{en posant}
\overline{K}(s,t)  &= \int_a^b K(s,\tau)\, K(t,\tau)\, d\tau \\
\underline{K}(s,t) &= \int_a^b K(\tau,s)\, K(\tau,t)\, d\tau.
\end{align*}

Donc $\phi$~et~$\psi$ sont les solutions de deux équations intégrales homogènes
dont les noyaux $\overline{K}$~et~$\underline{K}$ sont évidemment chacun symétrique. Il
en résulte que les équations \Eq{(117)},~\Eq{(118)} ne peuvent être vérifiées que
pour certaines valeurs de~$\lambda$ ($\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n, \ldots$) telles que~$\lambda^2$ soit une
constante caractéristique de~$\overline{K}$ et de~$\underline{K}$. Ces valeurs de~$\lambda$ que nous
pourrons appeler constantes fondamentales du noyau~$K$ sont en général
distinctes des constantes caractéristiques; et les fonctions fondamentales
ne sont pas en général des solutions de l'équation de Fredholm
homogène~\Eq{(1\ter)}, p.~\Pg{65}.

D'après ce qui précède, $\lambda^2$~est réel. M.~Schmidt démontre même que
$\lambda^2$~est positif de sorte que $\lambda$~est aussi réel. Il prouve ensuite qu'une
fonction de la forme
\[
g(s) = \int_a^b K(s, t)\, h(t)\, dt
\]
se développe en série uniformément et absolument convergente de
fonctions~$\phi(s)$ comme au \no \textbf{40}. Et de même une fonction de la forme
\[
g_1(s) = \int_a^b K(t,s)\, h_1(t)\, dt
\]
se développe en série de fonctions~$\psi(s)$.

Il montre aussi que si la série
\[
\sum \frac{\phi_n(s)\, \psi_n(t)}{\lambda_n}
\]
est uniformément convergente, elle représente~$K(s, t)$.
\DPPageSep{109.png}{103}%

M.~Schmidt est parvenu aussi à établir plusieurs des résultats que
fournit la méthode de Fredholm dans le cas dissymétrique en ramenant
ce cas au cas symétrique.

Il montre que les solutions~$\phi(s)$ de l'équation dissymétrique
\[
\phi(s) = \lambda' \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt
\]
sont aussi des solutions de l'équation
\[
\phi(s) = \lambda' \int_a^b Q(s, t, \lambda')\, \phi(t)\, dt
\]
et réciproquement, en désignant par $Q(s, t, \lambda)$, la fonction \emph{symétrique}:
\[
Q (s, t, \lambda) = K(s, t) + K(t, s)
  - \lambda \int_a^b K(\tau, s)\, K (\tau, t)\, d\tau.
\]

Mais, il faut remarquer la difficulté introduite par le fait que le
noyau symétrique $\lambda Q(s, t,\lambda)$ contient le paramètre~$\lambda$ autrement qu'en
facteur.

\Paragraph{44.}{} --- On peut aussi appliquer directement au cas dissymétrique la
méthode des fonctions orthogonales. Elle permet de retrouver le résultat
fondamental de Fredholm: l'équation intégrale~\Eq{(1\bis)} a une solution
continue unique, sauf pour des valeurs exceptionnelles de~$\lambda$; et
c'est seulement pour ces valeurs exceptionnelles de~$\lambda$ que la \emph{même}
équation~\Eq{(1\bis)}, privée de second membre, admet une solution continue
non identiquement nulle.

L'intérêt de cette méthode consiste en ce qu'elle s'applique aussi
facilement en remplaçant partout la condition de continuité pour les
fonctions considérées par la condition infiniment plus générale que
leurs carrés soient sommables (intégrables au sens de M.~Lebesgue\footnotemark).
\footnotetext{\bsc{Lebesgue}, \textit{Leçons sur l'intégration}. Paris, 1905.}
Il faudra, par contre, considérer comme identiques deux fonctions
$f_1(x)$,~$f_2(x)$, telles que
\[
\int_a^b \bigl[f_1(x) - f_2(x)\bigr]^2\, dx = 0
\]
(égalité qui, en fait, n'empêche pas deux fonctions discontinues $f_1$,~$f_2$,
d'être différentes en une infinité de points).

On voit alors directement sur l'équation~\Eq{(1\bis)} et au moyen de l'inégalité
de Schwarz~\Eq{(8)}, p.~\Pg{8} qu'en tout point~$s_0$ où $f(s)$~et~$K(s, t)$ sont à
la fois \DPtypo{continus}{continues}, la solution~$\phi(s)$ est aussi continue\footnote
  {\bsc{F.~Riesz}, \textit{Comptes-Rendus} du 8~avril 1907.}
\end{Remark}
\DPPageSep{110.png}{104}%

\Paragraph{45.}{\textbf{Noyau de la forme $K(s, t)\, p(t)$.}} --- M.~Erhard Schmidt a
montré que le cas du noyau $K(s, t)\, p(t)$, où $K(s, t)$~est symétrique
et $p(t)$~est une fonction qui est toujours positive ou nulle, se réduit
au cas symétrique. Considérons l'équation
\[
\phi(s) - \lambda \int_a^b K(s, t)\, p(t)\, \phi(t)\, dt = f(s).
\]

Multiplions les deux membres de cette équation par la fonction
$+\sqrt{p(s)}$ qui est réelle et uniforme. On a
\[
\phi(s)\, \sqrt{p(s)}
  - \lambda \int_a^b K(s, t)\, \sqrt{p(s)}\, \sqrt{p(t)}
     · \phi(t)\, \sqrt{p(t)}\, dt
  = f(s)\, \sqrt{p(s)}.
\]

Si nous prenons pour fonction inconnue la fonction $\phi(s)\, \sqrt{p(s)}$,
cette équation devient une équation de noyau symétrique
$K(s, t)\, \sqrt{p(s)}\, \sqrt{p(t)}$.

Cette généralisation a une certaine importance dans les applications,
comme nous le verrons plus tard.

\ctb
\DPPageSep{111.png}{105}%


\Chapter{Chapitre III}{Résolution des problèmes posés au premier chapitre}

\Section{I.}{Introduction}

\Paragraph{1.}{} --- Nous commençons par un résumé des résultats du second
Chapitre dont nous nous servirons après les avoir transformés
conformément au \no \textbf{3}, p.~\Pg{4}.

Les équations associées de Fredholm
\begin{align*}
\Tag{(1)}
\phi(M) - \lambda \int_S \phi(P)\, K(M, P)\, d\sigma_P &= f(M), \\
\Tag{(2)}
\psi(M) - \lambda \int_S \psi(P)\, K(P, M)\, d\sigma_P &= g(M),
\end{align*}
où l'intégrale s'étend à une surface~$S$ fermée dont~$d\sigma_P$ est l'élément
d'aire au point~$P$, et où~$M$ est un point fixe de la surface, ont chacune
une solution unique \emph{en général}. (Dans ces équations, l'intégration
peut également s'étendre à un domaine~$D$ limité par une
surface~$S$, $d\sigma_P$~étant un élément de volume).

Si nous faisons $f(M) \equiv 0$, la solution correspondante~$\phi(M)$ sera
nulle identiquement \emph{en général}.

Il y a cependant un nombre fini ou infini de \emph{constantes caractéristiques}
\[
\Tag{(\Sigma)}
\lambda_1,\ \lambda_2,\ \ldots,\ \lambda_n,\ \ldots
\]
(qu'on peut ranger par ordre de modules non décroissants), telles
\DPPageSep{112.png}{106}%
que pour $\lambda = \lambda_1, \lambda_2, \ldots$  les équations homogènes
\begin{align*}
\Tag{(2')}
\phi(M) - \lambda \int_S \phi(P)\, K(M,P)\, d\sigma_P &= 0 \\
\Tag{(3')}
\psi(M) - \lambda \int_S \psi(P)\, K(P,M)\, d\sigma_P &= 0
\end{align*}
ont chacune une solution, ou un même nombre fini de solutions
linéairement indépendantes différentes de zéro (\no \textbf{21}, p.~\Pg{66}).

Nous supposerons que dans la suite~\Eq{(\Sigma)} chaque constante caractéristique
est répétée autant de fois qu'il lui correspond de solutions
indépendantes. A la suite~\Eq{(\Sigma)} correspondront donc deux suites de
solutions associées de \Eq{\DPtypo{(2)'}{(2')}},~\Eq{\DPtypo{(3)'}{(3')}}
\begin{gather*}
\phi_1,\ \phi_2,\ \phi_3,\ \ldots,\ \phi_n,\ \ldots \\
\psi_1,\ \psi_2,\ \psi_3,\ \ldots,\ \psi_n,\ \ldots\Add{.}
\end{gather*}

On peut multiplier chacune de ces fonctions par une constante
arbitraire sans qu'elles cessent d'être des solutions de \Eq{\DPtypo{(2)'}{(2')}},~\Eq{\DPtypo{(3)'}{(3')}}.

Si les constantes caractéristiques sont toutes différentes, ces
fonctions sont biorthogonales (\no \textbf{28}, p.~\Pg{78}), c'est-à-dire qu'on a
\[
\Tag{(3)}
\int_S \phi_m(P)\, \psi_{m'}(P)\, d\sigma_P = 0, \quad\text{pour } m \ne m'.
\]

On choisit la constante arbitraire de façon que
\[
\Tag{(4)}
\int_S \phi_m(P)\, \psi_m(P)\, d\sigma_P = 1.
\]

Dans le cas où il y a plusieurs (soient~$q$) paires de solutions indépendantes
correspondant à une constante caractéristique~$\lambda_n$, on a
$\lambda_n = \lambda_{n+1} = \ldots = \ldots = \lambda_{n+q-1}$, et les équations~\Eq{(3)} n'ont plus
lieu nécessairement. Mais on peut s'arranger de sorte que les
équations précédentes soient toujours valables. Il suffit d'effectuer
sur les $q$~paires de solutions qui correspondent à~$\lambda_n$ une transformation
linéaire dont les coefficients se détermineront par une méthode
analogue à celle du \no \textbf{8}, p.~\Pg{9}.

Les solutions des équations non homogènes \Eq{(1)},~\Eq{(2)} pour les valeurs
ordinaires de~$\lambda$ sont déterminées par une fonction $K(M, P, \lambda)$
appelée \emph{résolvante} du \emph{noyau}~$K(M, P)$. Cette fonction est méromorphe
\DPPageSep{113.png}{107}%
en~$\lambda$ et a pour pôles les constantes caractéristiques (\no \textbf{10},
p.~\Pg{54}). Lorsque $\lambda$~n'est pas une constante caractéristique, les
équations \Eq{(1)},~\Eq{(2)} ont chacune une seule solution (\no \textbf{11}, p.~\Pg{57}),
donnée par les formules
\begin{align*}
\phi(M) &= f(M) + \lambda \int_S K(M, P, \lambda)\, f(P)\, d\sigma_P \\
\psi(M) &= f(M) + \lambda \int_S K(P, M, \lambda)\, f(P)\, d\sigma_P.
\end{align*}

Quand nous sommes dans le \emph{cas singulier}, les équations \Eq{(1)}~et~\Eq{(2)}
n'ont pas de solutions en général. Pour que l'équation~\Eq{(1)}, par
exemple, ait une solution, il faut et il suffit qu'on ait (\no \textbf{26}, p.~\Pg{74})
\[
\Tag{(5)}
\int_S f(P)\, \psi(P)\, d\sigma_P = 0,
\]
pour chacune des solutions indépendantes~$\psi$ de~\Eq{(3')} qui correspondent
à la même valeur de~$\lambda$. Dans ce cas, la solution ne sera pas
unique: elle renfermera $q$~constantes arbitraires (\no \textbf{26}, p.~\Pg{74}).

Réciproquement, si l'équation homogène a une solution nous
sommes dans le cas singulier.

\Paragraph{2.}{} --- Dans le cas symétrique où $K(M, P) = K(P, M)$, les deux
équations associées coïncident. Leurs solutions $\phi_n$,~$\psi_n$ coïncident
donc aussi. Elles ne forment plus qu'une suite de \emph{fonctions fondamentales}
qui sont orthogonales (\no \textbf{30}, p.~\Pg{82})
\[
\int_S \phi_m(P)\, \phi_{m'}(P)\, d\sigma_P = 0\DPtypo{.}{,}
  \quad \text{pour } m \ne m'.
\]

La solution de~\Eq{(1)} s'exprime sous la forme
\[
\Tag{(6)}
\phi(M) = f(M) + A_1\, \phi_1(M) + A_2\, \phi_2(M) + \ldots
\]
où
\[
\Tag{(7)}
A_n = \frac{\lambda}{\lambda_n - \lambda} \int_S f(P)\, \phi_n(P)\, d\sigma_P,
\]
lorsque $\lambda$~n'est pas une constante caractéristique (\no \textbf{42}, p.~\Pg{ref98}).
Dans le cas singulier, il n'y a pas en général de solution. Il n'y en
a que si $f(M)$~est orthogonale à toutes les fonctions fondamentales
\DPPageSep{114.png}{108}%
qui correspondent à la valeur de~$\lambda$. L'expression de la solution devient
un peu plus compliquée (\no \textbf{42}, p.~\Pg{98}).

Si la série~\Eq{(6)} est infinie, elle est uniformément et absolument
convergente. Une fonction quelconque~$g(M)$ qui a la forme
\[
\Tag{(8)}
g(M) = \int_S K(M, P)\, p(P)\, d\sigma_P,
\]
où $p(M)$~est une fonction quelconque, se développe suivant une
série absolument et uniformément convergente,
\[
\Tag{(9)}
g(M) = A_1\, \phi_1(M) + A_2\, \phi_2(M) + \ldots
\]
où
\[
\Tag{(10)}
A_n = \int_S \phi_n(P)\, g(P)\, d\sigma_P.
\]

Quand le noyau $K(M, P)$ est \emph{fermé} (\no \textbf{41}, p.~\Pg{98}), la fonction~$p(P)$
est unique pour chaque fonction~$g$ de carré intégrable.

Le nombre des constantes caractéristiques est, dans ce cas, infini
et le système des fonctions fondamentales est \emph{complet} (même~\Ord{n}{o}).


\Section{II.}{La solution des Problèmes de potentiel}

\Paragraph{3.}{} --- Nous avons vu (\no \textbf{9}, p.~\Pg{25}) que les problèmes de Dirichlet
et de Neumann se ramènent respectivement aux deux équations
\begin{align*}
\SSqTag[2]{(11)}
2\pi\, \rho(M) + \lambda \int_S \rho(P)\, \frac{\cos\phi}{r^2}\, dS
  &= f_1(M), \\
\Tag{(12)}
2\pi\, \rho(M) + \lambda \int_S \rho(P)\, \frac{\cos\psi}{r^2}\, dS
  &= f_1(M),
\end{align*}
où nous avons
\begin{align*}
\text{pour }
\lambda &= +1 \text{ cas intérieur Dirichlet, extérieur Neumann,} \\
\PadTxt{\text{pour }}{\Ditto}
\lambda &= -1 \text{\PadTxt{ cas }{\Ditto}extérieur\PadTxt{Dirichlet}{\Ditto}, intérieur\PadTxt{ Neumann }{\Ditto}.}
\end{align*}

Ce sont deux équations de Fredholm associées dont les noyaux
sont respectivement
\[
K(M, P) = - \frac{\cos \phi}{2\pi r^2}, \qquad
K(P, M) = - \frac{\cos \psi}{2\pi r^2}.
\]
\DPPageSep{115.png}{109}%

Le noyau~$K$ n'est pas continu partout. Mais s'il devient infini
quand $M$~et~$P$ coïncident, c'est dans les conditions examinées au
\no \textbf{16}, p.~\Pg{63} et aussi note~A, p.~\Pg{141}. Pour ne pas introduire de
complications, dans les démonstrations, nous supposerons, d'ailleurs
que la surface~$S$ est analytique et qu'elle a en chaque point
un plan tangent unique. En outre, nous supposerons que~$S$ est
fermée et d'un seul tenant.

La solution du problème physique s'obtient en prenant le potentiel~$V$
d'une couche [double pour~\Eq{(11)}, simple pour~\Eq{(12)}] étendue
sur~$S$ et dont la densité~$\rho$ est solution de \Eq{(11)}~ou~\Eq{(12)}.

\Paragraph{4.}{} --- Il nous sera utile pour la suite d'écrire les formules de
Green\footnote
  {Voir par exemple: \bsc{Appell}, \textit{Traité de Mécanique}, tome~III, p.~7.}
pour le domaine~$D$ intérieur à~$S$ et le domaine~$D'$ extérieur
à~$S$.
\begin{multline*}
\SqTag[2]{(13)}
\iiint_D \left[
  \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 +
  \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2 +
  \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^2 \right] dx\, dy\, dz \\
  = - \int_S V_i\, \frac{\partial V}{\partial n_i}\, dS
    - \iiint_D V\, \Delta V\, dx\, dy\, dz
\end{multline*}
\begin{multline*}
\SqTag[2]{(14)}
\iiint_{D'} \left[
  \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 +
  \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2 +
  \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^2 \right] dx\, dy\, dz \\
  =   \int_S V_e\, \frac{\partial V}{\partial n_e}\, dS
    - \iiint_{D'} V\, \Delta V\, dx\, dy\, dz.
\end{multline*}

Quand on prend pour~$V$ une fonction harmonique (en particulier,
un potentiel de simple ou double couche), $\Delta V$~est nul dans~$D$
et dans~$D'$ de sorte qu'il ne reste plus dans chaque second membre
que la première intégrale. On voit alors que si $V_i$~ou~$\dfrac{\partial V}{\partial n_i}$ est nul en
chaque point de~$S$, la première intégrale est aussi nulle et par suite,
$V$~est constant à l'intérieur de~$S$. De même si $V_e$~ou~$\dfrac{\partial V}{\partial n_e}$ est nul en
chaque point de~$S$, $V$~est constant à l'extérieur de~$S$.

\Paragraph{5.}{} --- Montrons maintenant que $\lambda = -1$ est une constante caractéristique
de \Eq{(11)}~et~\Eq{(12)}. Il suffit d'après le \no \textbf{1} de le prouver
\DPPageSep{116.png}{110}%
pour~\Eq{(11)}. Conformément au \no \textbf{21}, p.~\Pg{67}, nous montrerons dans
ce but que l'équation homogène,
\[
\Tag{(15)}
2\pi\, \rho(M) - \int_S \rho(P)\, \frac{\cos \phi}{r^2}\, dS = 0
\]
a une solution différente de zéro.

Or si $d\alpha$~est l'angle solide déterminé par le point fixe~$M$ et l'élément
de surface~$dS$, nous aurons
\[
d\alpha = \frac{\cos \phi}{r^2}\, dS.
\]

Il faut donc satisfaire à l'équation
\[
\Tag{(16)}
2\pi\, \rho(M) - \int_S \rho(P)\, d\alpha = 0.
\]

Or on voit de suite qu'on a la solution non nulle
\[
\Tag{(17)}
\rho(M) = \text{constante}.
\]

Puisque $\lambda = -1$ est une constante caractéristique, l'équation
\[
\Tag{(18)}
2\pi\, \rho(M) - \int_S \rho(P)\, \frac{\cos\psi}{r^2}\, dS = 0
\]
aura aussi au moins une solution non nulle~$\rho_1(M)$.

%<tb>

Interprétons ces deux solutions du point de vue physique. En
appelant~$V$ le potentiel correspondant à la couche de densité~$\rho$
répandue sur~$S$, on sait que:

\Primo\  S'il s'agit d'une double couche, le premier membre de~\Eq{(15)}
est égal à~$-V_e$, comme on le voit en retranchant les équations
\Eq{(7)},~\Eq{(8)} (p.~\Pg{16}).

La proposition physique correspondant à l'existence de la solution~\Eq{(17)}
de~\Eq{(15)} est la suivante: une double couche~(magnétique)
fermée dont le potentiel extérieur est nul a une densité constante.
L'équation~\Eq{(7)} du Chapitre Premier montre que le potentiel intérieur
est constant et égal à~$4\pi\,\rho$\footnotemark.
\footnotetext{Il n'est pas nécessaire dans cet alinéa (ni dans l'autre alinéa où nous
  renvoyons à la note actuelle) de préciser pour l'expression «potentiel intérieur
  (extérieur)» s'il s'agit du potentiel en un point quelconque intérieur
  (extérieur) à~$S$ ou de la limite de ce potentiel sur le bord intérieur (extérieur)
  de~$S$. En effet: \Primo\ Si $V_i$~est constant, les valeurs de $V$ à l'intérieur de~$S$
  n'ayant ni maximum ni minimum seront aussi égales à cette constante;
  \Secundo\ Si $V_e = 0$, on peut employer la formule de Green~\Eq{(14)} et on en conclut
  comme au \no \textbf{4} que $V$~est constante à l'extérieur de~$S$. Comme $V_e = 0$, cette
  constante sera d'ailleurs nulle. Donc si $V_e = 0$, $V$~est nul partout à l'extérieur.}
\DPPageSep{117.png}{111}%

\Secundo\ Si au contraire $V$~est un potentiel de simple couche, on voit
en retranchant les équations \Eq{(5)},~\Eq{(6)} (p.~\Pg{16}) que le premier membre
de~\Eq{(18)} est égal à~$-\dfrac{\partial V}{\partial n_i}$. La solution~$\rho_1(M)$ de~\Eq{(18)} représente
alors la densité d'une simple couche pour laquelle on a:
\[
\frac{dV}{dn_i} = 0.
\]

Le problème physique ainsi résolu est celui qui consiste à trouver
le potentiel intérieur d'une couche électrique en équilibre sur
une surface conductrice. On ne connaît ce potentiel, comme~$\rho_1$,
qu'à un facteur constant près qui sera déterminé par l'équation
\[
\int_S \rho_1(M)\, dS = m
\]
si on se donne la masse totale~$m$ de la charge. D'ailleurs ce potentiel
est constant, d'après le \no \textbf{4}, à l'intérieur de~$S$.

L'existence des solutions de ces deux problèmes physiques étant
établie, il y a lieu d'en connaître le nombre. Pour le second problème,
on voit qu'au point de vue physique il ne doit y avoir
qu'une seule solution indépendante. Car une charge électrique~$m$
(constante arbitraire) s'étale d'une seule manière sur une surface.
On démontre ce fait analytiquement en prouvant que l'équation~\Eq{(18)}
n'a qu'une solution. Supposons qu'il y ait deux solutions
linéairement indépendantes $\rho_1(M)$~et~$\rho_2(M)$. L'expression
$\rho'(M) = \alpha\,\rho_1(M) + \beta\,\rho_2(M)$ sera aussi une solution, et l'on peut
choisir les constantes $\alpha$~et~$\beta$ de façon que
\[
\Tag{(19)}
\int_S \rho'(P)\, dS = \alpha m_1 + \beta m_2 = 0.
\]

Si $V'$~est le potentiel de la simple couche de densité~$\rho'$, on voit
comme plus haut que le résultat de la substitution de~$\rho'$ à~$\rho$ dans~\Eq{(18)}
peut s'écrire
\[
\Tag{(20)}
\frac{dV'}{dn_i} = 0.
\]
\DPPageSep{118.png}{112}%

Alors en appliquant à~$V'$ la formule de Green~\Eq{(13)}, on en conclut
comme au \no \textbf{4}, que $V'$~est constant, à l'intérieur de~$S$. Le
potentiel d'une simple couche étant partout continu, on a donc
$V'_e = \text{constante}$.

Or intégrons sur~$S$ la formule obtenue en remplaçant $\rho$,~$V$, par
$\rho'$,~$V'$ dans l'identité~\Eq{(5)} de la p.~\Pg{16}. On obtiendra en tenant
compte de \Eq{(19)},~\Eq{(20)}
\[
\int_S \frac{\partial V'}{\partial n_e}\, dS = 0.
\]

Appliquons maintenant la formule de Green~\Eq{(14)} où l'on remplace~$V$
par~$V'$. On aura encore dans le second membre $\Delta^2V' = 0$
et puisque $V'_e$~est constant, le premier terme du second membre
deviendra
\[
\int_S V'\, \frac{\partial V'}{\partial n_e}\, dS
  = V'_e \int_S \frac{\partial V'}{\partial n_e}\, dS = 0.
\]

On en conclut que le premier membre est nul et par suite que
$V'$~est aussi constant à l'extérieur de~$S$. De sorte qu'on a aussi
\[
\Tag{(20\bis)}
\frac{\partial V'}{\partial n_e} = 0
\]
et en utilisant la formule~\Eq{(5)} de la p.~\Pg{16}, ainsi que \Eq{(20)}~et~(20\bis), on
voit que\DPtypo{}{ la} densité~$\rho'(M)$ est nulle identiquement, c'est-à-dire que
\[
\alpha\, \rho_1(M) + \beta\, \rho_2(M) = 0
\]
et les densités $\rho_1$~et~$\rho_2$ ne peuvent être indépendantes.

L'équation~\Eq{(18)} n'ayant qu'une solution, l'équation associée~\Eq{(15)}
n'en aura aussi qu'une seule à un facteur constant près.

Remarquons que les équations de Fredholm expriment tout
aussi bien ces problèmes pour le cas de plusieurs surfaces distinctes
extérieures les unes aux autres, en particulier le problème qui
consiste à étaler sur plusieurs surfaces conductrices en présence
les unes des autres, des charges indépendantes, et on peut démontrer
que, comme il est évident au point de vue physique, le
nombre de solutions indépendantes correspondantes à $\lambda = -1$
est égal au nombre de surfaces. Par contre, les résultats qui viennent
\DPPageSep{119.png}{113}%
d'être établis en \Secundo\ subsistent \emph{sans modification} si $D$~est le
domaine compris entre une surface extérieure et une ou plusieurs
surfaces intérieures à la première, le potentiel~$V$ étant encore visiblement
constant dans les parties de l'espace intérieures à ces surfaces.

\Paragraph{6.}{} --- La valeur $\lambda= +1$ n'est pas une constante caractéristique
des équations \Eq{(11)},~\Eq{(12)}. Pour le prouver, nous montrerons
comme plus haut que l'équation homogène~\Eq{(18)} correspondant à~\Eq{(12)},
par exemple, n'a pas de solutions non nulles pour $\lambda = +1$.
Cette valeur donnerait à l'équation homogène la forme
\[
\Tag{(21)}
\frac{\partial V}{\partial n_e} = 0,
\]
qu'on obtient comme plus haut en appelant~$V$ le potentiel de la
simple couche de densité~$\rho$ sur~$S$ et en combinant les équations
\Eq{(5)},~\Eq{(6)} de la p.~\Pg{16}.

On en conclut comme au \no \textbf{4}, au moyen de la formule de
Green~\Eq{(14)}, que $V$~est constante à l'extérieur de~$S$, donc nulle,
puisque $V$~s'évanouit à l'infini. Mais un potentiel de simple couche
est continu à travers la surface: donc $V_i = 0$. Et par conséquent --- en
appliquant cette fois la formule de Green~\Eq{(13)} --- on a
$V = 0$ partout. Donc
\[
\frac{dV}{dn_e} = \frac{dV}{dn_i} = 0 \qquad
\text{et d'après~\Eq{(5)}, p.~\Pg{16}} \quad \rho(M) = 0.
\]

\Paragraph{7.}{} --- Nous pouvons maintenant formuler les solutions de nos
problèmes. Indiquons d'abord les résultats suivants qui se déduisent
tout de suite des formules du \no \textbf{4} comme dans la note\footnotemark[1],
p.~\Pg{110}.

Il ne peut y avoir qu'une seule fonction~$V$ harmonique à l'intérieur
de~$S$, qui prenne des valeurs données sur le bord, --- ou
harmonique à l'extérieur de~$S$, qui prenne des valeurs données
sur le bord et qui s'évanouisse à l'infini, --- ou encore harmonique
à l'extérieur de~$S$, telle que~$\dfrac{dV}{dn}$ prenne des valeurs données
sur le bord, et que $V$~s'évanouisse à l'infini.

Une fonction~$V$ harmonique à l'intérieur de~$S$, telle que~$\dfrac{dV}{dn}$
\DPPageSep{120.png}{114}%
prenne des valeurs données, n'est pas unique, mais elle est définie
à une constante arbitraire additive près. Elle n'existe que si la
condition $\ds\int_S\dfrac{\partial V}{\partial n_i}\, dS = 0$ est remplie, puisqu'on a pour toute fonction~$V$
\[
\Tag{(22)}
\iiint_D \Delta V\, dx\, dy\, dz
  + \int_S \frac{\partial V}{\partial n_i}\, dS = 0.
\]

Proposons-nous de trouver une fonction harmonique à l'intérieur
ou l'extérieur de~$S$ et vérifiant l'une des quatre conditions:
\[
\text{\Primo}\ V_i = 0, \quad
\text{\Secundo}\ V_e = 0, \quad
\text{\Tertio}\ \frac{dV}{dn_i} = 0, \quad
\text{\Quarto}\ \frac{dV}{dn_e} = 0,
\]
relatives aux problèmes intérieur et extérieur respectivement.

Pour les conditions \Primo\ et \Quarto\ nous avons la solution évidente
$V = 0$. C'est la seule d'après ce qui précède.

Pour \Secundo, l'équation intégrale correspondante~\Eq{(16)} donne une
solution à savoir le potentiel d'une double couche constante. Mais
nous venons de voir que ce potentiel s'évanouit identiquement à
l'extérieur de~$S$.

Pour \Tertio, nous avons le potentiel d'une couche d'électricité en
équilibre, c'est-à-dire une constante à l'intérieur de~$S$ comme nous
l'avons observé.

%<tb>

Considérons maintenant les quatre conditions
\[
\text{\Primo}\ V_i =, \quad
\text{\Secundo}\ V_e =, \quad
\text{\Tertio}\ \frac{\partial V}{\partial n_i} =, \quad
\text{\Quarto}\ \frac{\partial V}{\partial n_e}
  = \text{fonction donnée} = f(P).
\]

Les équations intégrales correspondantes sont \Eq{(11)}~pour \Primo,~\Secundo,
\Eq{(12)}~pour \Tertio,~\Quarto; avec $\lambda= +1$ pour \Primo,~\Quarto, avec $\lambda = -1$ pour
\Secundo,~\Tertio, comme nous l'avons établi au \no \textbf{9}, p.~\Pg{25}. Puisque $\lambda = +1$
n'est pas une constante caractéristique, l'équation de Fredholm
nous donne pour \Primo~et~\Quarto, des solutions qui sont uniques (\no \textbf{1},
p.~\Pg{107}).

Elle ne donne des solutions de \Secundo~et~\Tertio\ que si la fonction donnée~$f(M)$
satisfait à certaines conditions de la forme~\Eq{(5)}, \no \textbf{1}. Pour
pouvoir les écrire, il faut former l'équation homogène associée
correspondante et déterminer ses solutions. On a ici à prendre
$\lambda =-1$. Or nous savons (\no \textbf{5}) que pour $\lambda = -1$, les équations
\DPPageSep{121.png}{115}%
homogènes correspondant à \Eq{(11)},~\Eq{(12)} n'ont qu'un seul couple de
solutions: $\rho = \text{constante}$ et $\rho = \rho_1(M)$, densité d'une couche
d'électricité en équilibre, qu'on peut multiplier par un facteur
constant de façon à donner à la couche une masse déterminée.

Donc pour que nous ayons une solution de \Secundo, il faut que
\[
\Tag{(23)}
\int_S f(P)\, \phi(P)\, dS = 0
\]
où $\rho = \phi(M)$ représente la densité d'une couche d'électricité en
équilibre de masse égale à l'unité, par exemple.

Pour que dans le cas \Tertio\ notre méthode nous fournisse une solution,
il faut de même que
\[
\Tag{(24)}
\int_S f(P)\, dS = 0.
\]

Nous aurions pu écrire de suite cette dernière condition grâce à
la formule~\Eq{(22)} qui peut s'écrire sous la forme de Gauss
\[
\int_S \frac{dV}{dn_i}\, dS = 4\pi × \text{masse intérieure} = 0.
\]

Ceci nous montre que la condition~\Eq{(24)} est nécessaire pour que
le problème \Tertio\ ait une solution. Au contraire quand la condition~\Eq{(23)}
n'est pas remplie, nous savons seulement que la méthode de
Fredholm ne donne pas de solution dans le cas \Secundo. Cela ne veut
pas dire qu'une solution n'existe pas. Tout ce que nous savons
c'est que cette solution ne peut être représentée par un potentiel
de double couche.

\Paragraph{8.}{} --- Les solutions précédentes sont exprimables sous forme de
séries d'intégrales comme nous l'avons démontré dans le Deuxième
Chapitre [formules~\Eq{(47)}, \Eq{(40)}, \Eq{(41)},~\Eq{(43)}]. On a démontré qu'elles
s'expriment aussi en séries de fonctions fondamentales, ainsi que
les solutions des cas généraux ($\lambda$~quelconque) des équations \Eq{(11)}~et~\Eq{(12)}\footnotemark.
\footnotetext{\bsc{Poincaré}, \textit{Acta Mathematica}, t.~XX, 1897; \bsc{Plemelj}, \bsc{Stekloff}, voir la
  bibliographie, p.~\Pg{159}.}
Nous nous bornons à établir les résultats suivants:

\Primo\ Les constantes caractéristiques des équations associées \Eq{(11)},~\Eq{(12)}
sont réelles;
\DPPageSep{122.png}{116}%

\Secundo\ Elles sont des pôles simples de la résolvante\footnotemark;
\footnotetext{On remarquera que ces deux propriétés ont lieu bien que le noyau ne
  soit pas symétrique (comparer avec les \nos \textbf{31}, p.~\Pg{82} et~\textbf{34}, p.~\Pg{87}).}

\Tertio\ La première est $\lambda = -1$; les autres ont des modules plus
grands que l'unité.

\Paragraph{9.}{} --- Supposons qu'il y ait un pôle complexe $\lambda_0 = \alpha + i\beta$. Alors
l'équation homogène correspondante à~\Eq{(12)} a pour cette valeur
de~$\lambda$ une solution non nulle~$\rho$. Il y a un potentiel de simple couche
correspondant $V = V_1 + i V_2$ qui, d'après le \no \textbf{9}, p.~\Pg{26}, satisfait à
l'équation
\[
\Tag{(25)}
\left[\frac{dV}{dn_e} - \frac{dV}{dn_i} \right]
  + \lambda_0 \left[ \frac{dV}{dn_e} + \frac{dV}{dn_i}\right] = 0.
\]

Car cette équation correspond à l'équation~\Eq{(12)}, lorsque nous y
faisons
\[
g_1(M) = 0, \qquad \lambda = \lambda_0.
\]

Séparons les parties réelles et imaginaires.

Nous avons
\[
\Tag{(26)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{dV_1}{dn_e} - \frac{dV_1}{dn_i}
  &= - \alpha \left[\frac{dV_1}{dn_e} + \frac{dV_1}{dn_i}\right]
      + \beta \left[\frac{dV_2}{dn_e} + \frac{dV_2}{dn_i}\right], \\
\frac{dV_2}{dn_e} - \frac{dV_2}{dn_i}
  &= - \beta  \left[\frac{dV_1}{dn_e} + \frac{dV_1}{dn_i}\right]
     - \alpha \left[\frac{dV_2}{dn_e} + \frac{dV_2}{dn_i}\right].
\end{aligned}
\right.
\]

Utilisons maintenant les formules de Green
\begin{align*}
\Tag{(27)}
\int_S \left(V_1\, \frac{\partial V_2}{\partial n_i}
           - V_2\, \frac{\partial V_1}{\partial n_i}\right)\, dS
  + \iiint_D (V_1\, \Delta V_2 - V_2\, \Delta V_1)\, dx\, dy\, dz &= 0 \\
\Tag{(28)}
\int_S \left(V_1\, \frac{\partial V_2}{\partial n_e}
           - V_2\, \frac{\partial V_1}{\partial n_e}\right)\, dS
  - \iiint_D (V_1\, \Delta V_2 - V_2\, \Delta V_1)\, dx\, dy\, dz &= 0
\end{align*}
en remarquant qu'ici les deux intégrales triples sont nulles puisque
$V_1$~et~$V_2$ sont harmoniques.

Si nous multiplions les équations~\Eq{(26)} par $V_2$~et~$V_1$ respectivement,
si nous retranchons la seconde de la première, et si nous
\DPPageSep{123.png}{117}%
intégrons le résultat sur la surface~$S$, nous aurons à cause de
la formule de Green l'équation
\[
\beta \left[
  \int_S V_2\, \frac{dV_2}{dn_i}\, dS +
  \int_S V_2\, \frac{dV_2}{dn_e}\, dS +
  \int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_i}\, dS +
  \int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_e}\, dS \right] = 0.
\]

De même en multipliant par $V_1$~et~$V_2$, et en ajoutant après
avoir intégré sur~$S$, nous avons
\begin{align*}
  &(1 + \alpha) \left[
    \int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_e}\, dS
  + \int_S V_2\, \frac{dV_2}{dn_e}\, dS \right] \\
 =&(1 - \alpha) \left[
    \int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_i}\, dS
  + \int_S V_2\, \frac{dV_2}{dn_i}\, dS \right].
\end{align*}

Donc pourvu que nous n'ayons pas $\beta = 0$, puisque
\[
\frac{1 + \alpha}{1 - \alpha} \neq -1,
\]
il faut que
\begin{align*}
\Tag{(29)}
\int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_e}\, dS + \int_S V_2\, \frac{dV_2}{dn_e}\, dS &= 0,\\
\Tag{(30)}
\int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_i}\, dS + \int_S V_2\, \frac{dV_2}{dn_i}\, dS &= 0.
\end{align*}

Or chacune des deux intégrales de~\Eq{(29)}, est supérieure ou au
moins égale à zéro, comme nous voyons en faisant $\Delta V = 0$ dans
la formule de Green~\Eq{(14)}. Il faut donc que chacune s'évanouisse.
On raisonnerait de même avec l'équation~\Eq{(30)}. D'où il résulte, en
se servant encore des mêmes formules de Green, que $V$~est constante
dans tout l'espace. Et ce résultat exigerait que $\rho = 0$ d'après
l'équation~\Eq{(5)} (Chap.~I).

Donc $\beta= 0$, et il ne peut y avoir une constante caractéristique
complexe.

\Paragraph{10.}{} --- Supposons maintenant que $\lambda_1$~soit un pôle de degré~$m$ de
la résolvante. La valeur~$\lambda_1$ sera (\no \textbf{1}) un pôle de degré~$m$ de la
solution~$\rho$ de~\Eq{(12)} (sauf pour des formes particulières de~$f_1(M)$;
mais cette fonction est arbitraire). Nous aurons donc si $m > 1$
\[
\rho(M)
  = \frac{\rho_1(M)}{(\lambda - \lambda_1)^m}
  + \frac{\rho_2(M)}{(\lambda - \lambda_1)^{m-1}}
  + \frac{R(M)}{(\lambda - \lambda_1)^{m-2}}
\]
\DPPageSep{124.png}{118}%
où $\rho_1(M)$,~$\rho_2(M)$ sont indépendantes de~$\lambda$, et $R(M)$~n'a pas un pôle
pour $\lambda = \lambda_1$.

Substituons cette expression dans l'équation~\Eq{(12)} mise sous la
forme
\[
\Tag{(31)}
2\pi\, \rho(M)
  + (\lambda - \lambda_1) \int_S \rho(P)\, \frac{\cos \psi}{r^2}\, dS
  + \lambda_1 \int_S \rho(P)\, \frac{\cos \psi}{r^2}\, dS = f_1(M)
\]
et égalons à zéro les coefficients de $(\lambda - \lambda_1)^{-m}$, et $(\lambda - \lambda_1)^{-m+1}$.

Nous obtiendrons
\begin{align*}
2\pi\, \rho_1(M)
  + \lambda_1 \int_S \rho_1(P)\, \frac{\cos \psi}{r^2}\, dS &= 0, \\
2\pi\, \rho_2(M)
  + \lambda_1 \int_S \rho_2(P)\, \frac{\cos \psi}{r^2}\, dS
  &= - \int_S \rho_1(P)\, \frac{\cos \psi}{r^2}\, dS.
\end{align*}

Considérons les simples couches $\rho_1(M)$,~$\rho_2(M)$. Les potentiels
$V_1$~et~$V_2$ de ces couches satisferont aux équations
\begin{align*}
\Tag{(32)}
\frac{dV_1}{dn_e} - \frac{dV_1}{dn_i}
  + \lambda_1 \left[\frac{dV_1}{dn_e} + \frac{dV_1}{dn_i}\right] &= 0,\\
\Tag{(33)}
\frac{dV_2}{dn_e} - \frac{dV_2}{dn_i}
  + \lambda_1 \left[\frac{dV_2}{dn_e} + \frac{dV_2}{dn_i}\right]
  &= - \left[\frac{dV_1}{dn_e} + \frac{dV_1}{dn_i}\right].
\end{align*}

Multiplions~\Eq{(32)} par~$V_2$ et~\Eq{(33)} par~$V_1$, retranchons les deux
équations et intégrons le résultat. On aura d'après \Eq{(27)},~\Eq{(28)}
\[
\int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_e}\, dS + \int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_i}\, dS = 0.
\]

Multiplions ensuite~\Eq{(32)} par $V_1$ et intégrons
\[
(1 + \lambda_1) \int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_e}\, dS +
(\lambda_1 - 1) \int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_i}\, dS = 0.
\]

Ces deux dernières équations sont distinctes: il s'ensuit donc
\[
\int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_e}\, dS = 0, \qquad
\int_S V_1\, \frac{dV_1}{dn_i}\, dS = 0,
\]
ce qui conduit à $\rho_1(M) = 0$ comme dans le dernier numéro.

Il en résulte qu'on ne peut pas avoir un pôle dont le degré est
\DPPageSep{125.png}{119}%
plus grand que l'unité. On voit facilement que ce qui précède ne
s'applique pas au cas où $m = 1$.

\Paragraph{11.}{} --- Démontrons maintenant que les modules des constantes
caractéristiques autres que $\lambda = -1$ sont plus grands que l'unité.
On le voit immédiatement en multipliant l'équation~\Eq{(25)} par~$V$ et
en l'intégrant sur la surface. Il vient
\[
\Tag{(34)}
\lambda_0
  = \frac{\ds\left[\int_S V\, \frac{dV}{dn_i}\, dS
                 - \int_S V\, \frac{dV}{dn_e}\, dS\right]}
         {\ds\left[\int_S V\, \frac{dV}{dn_i}\, dS
                 + \int_S V\, \frac{dV}{dn_e}\, dS\right]}.
\]

Rappelons que d'après \Eq{(13)},~\Eq{(14)}
\[
\int_S V\, \frac{dV}{dn_i}\, dS \le 0, \qquad
\int_S V\, \frac{dV}{dn_e}\, dS \ge 0,
\]
nous voyons bien d'après~\Eq{(34)}, que
\[
|\lambda_0| \geq 1.
\]

\Paragraph{12.}{} --- M.~Fredholm a montré qu'on peut appliquer sa méthode
au cas d'une ou de plusieurs surfaces distinctes\footnotemark.
\footnotetext{M.~Picard a étudié ce problème dans son cours de 1906. Voir H.~B.
  Heywood. Thèse, \textit{loc.\ cit.}, p.~63--69.}
\begin{figure}[hbt]
  \begin{center}
    \Fig{3}
    \Input[2.25in]{125a}
  \end{center}
\end{figure}

Prenons comme exemple le cas de deux surfaces $S_1$,~$S_2$. (\Figref{3}).
\DPtypo{Etant}{Étant} donnée une série de valeurs sur ces deux surfaces, il s'agit de
déterminer une fonction harmonique à l'extérieur de~$S_1$ et de~$S_2$,
dont la dérivée normale prend sur ces surfaces les valeurs données.
\DPPageSep{126.png}{120}%
On considère que les points $M$~et~$P$ prennent toutes les positions
sur $S_1$~et~$S_2$. La suite des valeurs données sera simplement une
fonction de~$M$. Le problème est exprimé par l'équation~\Eq{(12)}, où~$r$
est la distance entre les deux points $M$~et~$P$ qui peuvent être soit
tous deux à la fois sur l'une des surfaces $S_1$~et~$S_2$, soit l'un sur~$S_1$,
l'autre sur~$S_2$. Toutefois il y a lieu de compléter la théorie
générale du «déterminant»~$D(\lambda)$ dans le cas des surfaces multiconnexes.

\Paragraph{13.}{\textbf{Problème de la chaleur.}} --- Considérons maintenant le
problème~\Tertio\ du \no \textbf{4}, p.~\Pg{17}, qui consiste à trouver une fonction
harmonique satisfaisant à la condition
\[
\frac{\partial V}{\partial n} + p(M)\, V = h(M) \quad\text{sur la surface}.
\]

Il est exprimé par l'équation
\[
\Tag{(35)}
2\pi\, \rho(M) - \lambda \int_S \rho(P)
  \left[\frac{\cos \psi}{r^2} + \frac{p(M)}{r^2}\right] dS = h_1(M)
\]
(voir le \no \textbf{9}, \DPchg{chap.}{Chap.}~I) où nous avons les cas intérieur et extérieur
pour $\lambda = +1$ et~$-1$ respectivement.

Pour le cas intérieur, l'équation de Green~\Eq{(13)} nous donne
\[%[** TN: Not breaking]
\iiint_D \left[\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2
             + \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2
             + \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^2\right] dx\, dy\, dz
  = - \int_S V \frac{\partial V}{\partial n_i}\, dS
  = \int_S p(M)\, V^2\, dS
\]
où~$V$ est un potentiel correspondant à l'équation intégrale~\Eq{(25)}
rendue homogène.

Donc si~$p$ est toujours négatif, cette équation homogène n'a pas
de solution non nulle: nous ne sommes pas dans le cas singulier,
il y a une solution unique de l'équation avec second membre~\Eq{(35)}.
C'est ce qui a lieu pour le problème d'un corps en équilibre de
température avec rayonnement, où~$p$ est une constante négative
(voir~\Cinqo, \no \textbf{6}, \DPchg{chap.}{Chap.}~I). Si~$p$ est positif ou change de signe, nous
ne pouvons rien dire, et il faut examiner chaque cas séparément.

Pour le cas extérieur, nous pouvons dire que nous ne sommes
\DPPageSep{127.png}{121}%
pas dans le cas singulier (autrement dit qu'il y a une solution unique),
si~$p$ est essentiellement positif.

\Paragraph{14.}{\textbf{Fonctions de Green.}} --- Les paragraphes précédents vont
nous permettre de construire des fonctions de Green $\Gscr(M, P)$
(\no \textbf{8}, p.~\Pg{21}) pour les conditions suivantes:
\begin{align*}
\Primo\ \PadTo[r]{\ds\frac{\partial\Gscr}{\partial n}}{\Gscr}
  &= 0 \text{ sur la surface, \emph{intérieur et extérieur}}; \\
\Secundo\ \frac{\partial\Gscr}{\partial n}
  &= 0 \text{ sur la surface, \emph{extérieur seulement}}; \\
\Tertio\ \frac{\partial\Gscr}{\partial n}
  &+ p(M) · \Gscr = 0 \\
&\text{\emph{intérieur} si $p(M)$ est essentiellement négatif}; \\
&\text{\emph{extérieur} \PadTxt{si $p(M)$ est essentiellement}{\Ditto\qquad\quad\Ditto\qquad\quad\Ditto} positif}.
\end{align*}

Pour les autres cas de~\Tertio\ ($p$~quelconque) nous ne pourrons rien
dire\footnote
  {On n'a pas encore approfondi cette question.}
sauf qu'il y aura \emph{en général} une fonction de Green.

En effet, en posant $\Gscr(M, P) = \dfrac{1}{r} - \varpi$, tout revient à trouver
une fonction~$\varpi$ harmonique dans un domaine $D$~ou~$D'$ limité par~$S$,
et satisfaisant à l'une des conditions
\[
\varpi_i =, \qquad
\varpi_e =, \qquad
\frac{\partial \varpi}{\partial n_e} =, \qquad
\frac{\partial \varpi}{\partial n} + p(M)\varpi = \text{fonction donnée};
\]
problèmes qui ont été traités au \no \textbf{7}, p.~\Pg{14}.

Si $\varpi_i$~ou~$\dfrac{\partial \varpi}{\partial n_e}$ sont données, nous savons que la solution existe
et est unique. Si~$\varpi_e$ est \DPtypo{donné}{donnée}, on obtient par inversion\footnotemark,
\footnotetext{Il suffit pour cela d'utiliser la remarque de Lord Kelvin suivant laquelle
  si $V(x,y,z)$ est une fonction harmonique il en est de même de la fonction
  \[
  \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}
    · V\left(\frac{x}{x^2 + y^2 + z^2},\
             \frac{y}{x^2 + y^2 + z^2},\
             \frac{z}{x^2 + y^2 + z^2}\right).
  \]}
en
ramenant au cas intérieur, une solution~$\varpi$ qui ne s'annule
pas à l'infini. Enfin si $\dfrac{\partial \varpi}{\partial n} + p(M)\varpi$ est donné, nous savons que
la solution existe et est unique pour les deux cas mentionnés plus
haut au~\Tertio. Si~$p$ est d'un signe quelconque, nous savons seulement
que l'équation~\Eq{(35)}, n'est singulière que pour des valeurs particulières
de~$\lambda$ qui en général sont différentes de~$±1$. De sorte qu'en
général, le problème a une solution unique.
\DPPageSep{128.png}{122}%

En ce qui concerne la condition~\Secundo\ pour le cas intérieur, si nous
écrivions
\[
\Tag{(36)}
\Gscr = \frac{1}{r} - \varpi
\]
il faudrait que nous eussions une fonction harmonique~$\varpi$, qui satisfasse
à la condition
\[
\frac{\partial \varpi}{\partial n_i}
  = \frac{\partial}{\partial n_i}\, \frac{1}{r} \quad \text{sur la surface}.
\]

Or c'est impossible puisque, contrairement à la condition~\Eq{(24)}
du \no \textbf{7}, l'expression\DPtypo{.}{}
\[
\int_S \frac{\partial}{\partial n_i}\, \left(\frac{1}{r}\right)\, dS
  = 4\pi \quad\text{n'est pas nulle}.
\]

Cependant si nous remplaçons la condition \Secundo par la condition
\[
\Tag{(37)}
\Quarto\quad
\frac{\partial\Gscr}{\partial n_i} = \frac{4\pi}{S}
\]
où~$S$ désigne l'aire de la surface, nous aurons à trouver une fonction
$\varpi$ harmonique à l'intérieur de~$S$, et satisfaisant à
\[
\frac{\partial \varpi}{\partial n_i}
  = \frac{\partial}{\partial n_i} \frac{1}{r} - \frac{4\pi}{S}
  \quad\text{sur la surface},
\]
ce qui est possible, puisque
\[
\int_S \frac{\partial \varpi}{\partial n_i}\, dS
  = \int_S \frac{\partial}{\partial n_i} \left(\frac{1}{r}\right) dS
  - \int_S \frac{4\pi}{S}\, dS
  = 4\pi - 4\pi = 0.
\]

\Paragraph{15.}{\textbf{Les problèmes généralisés.}} --- Il s'agit ici de chercher
(\no \textbf{5}, p.~\Pg{18}) des solutions de
\[
\Tag{(38)}
\Delta V = \phi(x, y, z)
\]
qui satisfont à diverses conditions sur la frontière~$S$ d'un domaine~$D$.

Nous avons déjà traité au même \no \textbf{5} le cas intérieur pour la
condition
\[
V = f(M) \quad \text{sur la surface~$S$}.
\]

Le problème étant ramené au problème de Dirichlet, a une solution
unique.
\DPPageSep{129.png}{123}%

Pour le cas extérieur, en ramenant par une inversion au cas
précédent, nous aurons également une solution, mais elle ne s'évanouit
pas à l'infini.

Cherchons ensuite la solution intérieure pour la condition
\[
\Tag{(39)}
\frac{\partial V}{\partial n_i} = f(M)\Add{.}
\]

Nous utiliserons la fonction de Green~$\Gscr$, telle que
\[
\Tag{(40)}
\frac{\partial\Gscr}{\partial n_i} = \frac{4\pi}{S}
  \quad\text{(\no \textbf{14}, \Quarto)}. %[** TN: \no boldface in original]
\]

Ecrivons
\[
V_1 = -\frac{1}{4\pi} \int_D\Gscr(M, P)\, \phi(P)\, d\omega_P.
\]
On a, d'après~\Eq{(13)}, p.~\Pg{22}
\[
\Delta V_1 = \phi(x, y, z)
\]
et sur la surface
\[
\frac{\partial V_1}{\partial n_i}
  = -\frac{1}{S} \int_D \phi(P)\, d\omega_P
  = -\frac{1}{S}\, \phi_0
\]
où
\[
\phi_0 = \int_D \phi(P)\, d\omega_P.
\]

Ecrivons ensuite
\[
V = V_1 + V_2.
\]

Nous aurons
\[
\Delta V_2 = 0,
\]
et sur la surface
\[
\frac{\partial V_2}{\partial n_i} = f(M) + \frac{1}{S}\, \phi_0.
\]

Nous aurons donc [d'après la condition~\Eq{(24)} du \no \textbf{7}] une solution
de notre problème pourvu que
\[
\int_S  f(M)\, dS + \phi_0 = 0
\]
ou
\[
\Tag{(41)}
\int_S  f(M)\, dS + \int_D \phi(P)\, d\omega_P = 0,
\]
condition que fournirait directement la formule~\Eq{(22)}, p.~\Pg{114}.
\DPPageSep{130.png}{124}%

Le cas extérieur ne présente pas de difficulté, puisque la fonction
de Green correspondante existe (\no \textbf{14}, \Secundo).

Nous arrivons à la condition mixte
\[
\Tag{(42)}
\frac{\partial V}{\partial n} + p(M)V = f(M) \quad\text{sur la surface}.
\]

Pour ce problème, il y aura une solution pour le cas intérieur
si $p(M)$~est essentiellement négatif, et pour le cas extérieur si~$p(M)$
est essentiellement positif. En effet, dans ces deux cas, nous pouvons
opérer comme précédemment, $\Gscr$~étant soumis non à la condition~\Eq{(39)},
mais à \Tertio\ du \no \textbf{14} et~$V_2$ étant une fonction harmonique
vérifiant~\Eq{(42)}. Les fonctions $\Gscr$,~$V_2$ existent et sont uniques
d'après les \nos\ respectifs \textbf{14}~et~\textbf{13}. Nous pouvons dire aussi que
si~$p(M)$ n'a pas un signe constant, il y aura en général une solution,
et nous pouvons prédire que pour certains cas isolés, il n'y
aura de solution que si~$f(M)$ satisfait à une certaine condition.


\Section{III.}{Problèmes relatifs à l'équation $\Delta V = R(x, y, z) V$,
et~à des équations analogues}

\Paragraph{16.}{} --- Nous avons posé ces problèmes au \no \textbf{11}, p.~\Pg{27} du
Chap.~I\@. Pour commencer, envisageons l'équation
\[
\Tag{(43)}
\Delta V = R(x, y, z) V
\]

Soit d'abord à trouver une solution analytique de~\Eq{(43)} \emph{à l'intérieur}
de~$S$, satisfaisant à la condition
\[
\Tag{(44)}
V = 0 \quad\text{sur la surface}.
\]

Nous avons vu (\no \textbf{13}, Chap.~I, p.~\Pg{29}) que cette question revient
à la solution de l'équation intégrale homogène
\[
\Tag{(45)}
V(M) = - \frac{\lambda}{4\pi} \int_D \Gscr(M, P)\, R(P)\, V(P)\, d\omega_P
\]
pour la valeur $\lambda = 1$\footnotemark.
\footnotetext{Le noyau $\Gscr(M, P)\, R(P)$ devient infini quand $M$,~$P$ coïncident, mais seulement
  comme~$\Gscr$ et par conséquent comme~$\dfrac{1}{r}$; nous sommes donc dans les
  conditions étudiées au \no \textbf{16}, p.~\Pg{63}, et note~A, p.~\Pg{141}.}
\DPPageSep{131.png}{125}%

Il n'y aura de solution non nulle à notre problème que si $\lambda = 1$
est une des constantes caractéristiques, autrement dit il n'y aura de
solution que pour certaines formes particulières de la fonction
$R(x, y, z)$. Nous allons démontrer qu'il n'y a pas de solution si
$R(x, y, z)$ est toujours positif dans~$D$\footnotemark.
\footnotetext{Dans ce cas le noyau sera de la forme étudiée au \no \textbf{45}, p.~\Pg{104}, puisque
  $\Gscr(M, P)$ est symétrique.}

Remplaçons~$V$ dans la formule de Green~\Eq{(13)} par la solution
cherchée de~\Eq{(43)}. Il vient
\begin{multline*}
\Tag{(46)}
\iiint_D \left[
  \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 +
  \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2 +
  \left(\frac{\partial V}{\partial z} \right)^2 \right] dx\, dy\, dz \\
  = -\iiint_D R(x,y,z)\, V^2\, dx\, dy\, dz
\end{multline*}
d'où il est évident qu'une solution non nulle~$V$ n'existe pas lorsque
la fonction $R(x, y, z)$ reste positive.

Remplaçons maintenant la condition~\Eq{(44)} par
\[
\Tag{(47)}
V = \text{fonction donnée} = f(M) \text{ sur } S.
\]

Nous avons vu (\DPchg{chap.}{Chap.}~I, \no \textbf{13}) qu'il faut:

\Primo\ Trouver une fonction harmonique~$v(M)$ qui satisfait à la
condition~\Eq{(47)}.

\Secundo\ Trouver une solution, $V_1$~de l'équation non-homogène
\[
\Tag{(48)}
V(M) = \frac{-1}{4\pi} \int_D \Gscr(M, P)\, R(P)\, V(P)\, d\omega_P + v(M)
\]
(voir \no \textbf{13}) où~$d\omega_P$ est un élément de volume. Cette fonction~$V_1$
sera alors la solution désirée.

Donc il y aura une solution unique pourvu que la solution
pour la condition~\Eq{(44)} n'existe pas.

En particulier, nous aurons certainement une solution unique
si $R(x, y, z)$ est essentiellement positif.

%<tb>

Considérons maintenant le \emph{cas extérieur} pour la condition~\Eq{(44)}.
Il est évident que cette solution est donnée de la même façon par
\DPPageSep{132.png}{126}%
l'équation~\Eq{(45)} pour un domaine extérieur~$D'$. D'après la formule
de Green correspondante~\Eq{(14)}, on voit comme plus haut qu'elle
n'existe pas pour~$R$ constamment positif.

Pour la condition~\Eq{(47)}, il y a une nouvelle difficulté. Si nous
cherchons à résoudre le problème par l'équation~\Eq{(48)}, il faut avoir
une fonction~$v(M)$, harmonique à l'extérieur de la surface~$S$ et qui
satisfait à la condition~\Eq{(47)}; ce n'est possible avec une fonction~$v$
nulle à l'infini que si (\no \textbf{7}, p.~\Pg{115}, cas~\Secundo)
\[
\Tag{(49)}
\int_S \phi(M)\, f(M)\, dS = 0.
\]

Posons
\[
\Tag{(50)}
F = \int_S \phi(M)\, f(M)\, dS.
\]

En général, la quantité~$F$ est différente de zéro.

Cherchons alors une fonction~$v$, harmonique à l'extérieur de~$S$
et qui satisfait à la condition
\[
v(M) = f(M) - F
\]
sur~$S$, ce qui est toujours possible (remarquer que $\ds\int_S \phi(M)\, dS = 1$, p.~\Pg{115}).

La solution sera donnée par l'équation
\[
\Tag{(51)}
V(M) = \frac{-1}{4\pi} \int_D \Gscr(M, P)\, R(P)\, V(P)\, d\omega_P + v(M) + F.
\]

\Paragraph{17.}{} --- Envisageons maintenant la condition de Neumann
\[
\Tag{(52)}
\frac{\partial V}{\partial n} = g(M)
\]
sur~$S$, en commençant par le cas particulier
\[
\Tag{(52\bis)}
\frac{\partial V}{\partial n} = 0
\]
sur~$S$, où l'on cherche une fonction \emph{extérieure}.

La fonction de Green relative à cette même condition~(52\bis)
existe d'après le \no \textbf{14} (cas \Secundo, extérieur). Dès lors la solution vérifie
\DPPageSep{133.png}{127}%
l'équation intégrale homogène~\Eq{(45)}, où $\Gscr(M, P)$ est la fonction de
Green propre à ce cas et où l'on prend $\lambda = 1$. La solution n'existe
donc que si $\lambda = 1$ est une constante caractéristique.

La formule de Green nous montre encore ici que cette fonction
n'existe pas si~$R$ est constamment positif.

La solution extérieure pour la condition~\Eq{(52)} vérifiera l'équation
intégrale~\Eq{(48)}, où $v(M)$~est maintenant une fonction harmonique
satisfaisant à~\Eq{(52)} et obtenue sans difficulté (voir \no \textbf{7},
cas~\Quarto).

%<tb>

C'est pour le cas intérieur qu'il y a des difficultés. Commençons
par la condition~\Eq{(52\bis)}.

On peut former (voir \no \textbf{14},~\Quarto) une fonction de Green $\Gscr(M,P)$
telle que
\[
\Tag{(53)}
\frac{\partial\Gscr}{\partial n_i} = \frac{4\pi}{S}
\]
sur la surface.

Nous pouvons ajouter à $\Gscr(M,P)$ une fonction de~$P$, $C(P)$~telle
que
\[
\int_D \bigl[\Gscr(M,P) + C(P)\bigr]\, R(M)\, d\omega_M = 0.
\]

Cela revient à supposer que
\[
\Tag{(54)}
\int_D \Gscr(M,P)\, R(M)\, d\omega_M = 0,
\]
$\Gscr$~ayant les propriétés d'une fonction de Green, sauf d'être symétrique.

Considérons maintenant l'équation
\[
\Tag{(55)}
V(M) = - \frac{\lambda}{4\pi} \int_D \Gscr(M,P)\, R(P)\, V(P)\, d\omega_P.
\]

Nous avons
\[
\Tag{(56)}
\frac{\partial V}{\partial n_i}
  = -\frac{\lambda}{4\pi} \int_D \frac{4\pi}{S}\, R(P)\, V(P)\, d\omega_P
  = -\frac{\lambda}{S} \int_D R(P)\, V(P)\, d\omega_P\DPtypo{.}{,}
\]
et d'après la formule~\Eq{(13)}, p.~\Pg{22}
\[
\Delta V = \lambda R(M)\, V(M).
\]
\DPPageSep{134.png}{128}%

Or multiplions l'équation~\Eq{(55)} par $R(M)\, d\omega_M$ et effectuons l'intégration
dans le domaine extérieur~$D'$. Nous avons
\[
\int_D R(M)\, V(M)\, d\omega_M
  = - \frac{\lambda}{4\pi} \int_D
    \left[ \int_D \Gscr(M,P)\, R(M)\, d\omega_M \right] R(P)\, V(P)\, d\omega_P
  = 0.
\]

Donc
\[
\frac{\partial V}{\partial n_i} = 0,
\]
et l'équation~\Eq{(55)} nous donne bien la solution de notre problème
pour $\lambda = 1$. Cette solution n'existe que si $\lambda = 1$ est une constante
caractéristique du noyau
\[
\frac{1}{4\pi}\, \Gscr(M,P)\, R(P).
\]

Passons maintenant à la solution pour la condition~\Eq{(52)} (intérieure).

Posons
\[
\int_S g(M)\, dS = G.
\]

Construisons maintenant la fonction
\[
v_2 = \frac{G}{4\pi D} \int_D \frac{1}{r}\, d\omega_P,
\]
$D$~étant le volume de la surface.

Nous avons d'après la formule de Gauss (\no \textbf{7}, p.~\Pg{115})
\[
\int_S \frac{\partial v_2}{\partial n_i}\, dS = G.
\]

Déterminons enfin une fonction~$v_1$, harmonique à l'intérieur
de~$S$ et telle que
\[
\frac{\partial v_1}{\partial n_i}
  = g(M) - \frac{\partial v_2}{\partial n_i}
\]
ce qui est possible (\no \textbf{7}, cas~\Tertio), puisque
\[
\int_S \frac{\partial v_1}{\partial n_i}\, dS = G - G = 0.
\]
\DPPageSep{135.png}{129}%

La solution de notre problème sera alors la solution de l'équation
\[
\Tag{(57)}
V(M) = - \frac{\lambda}{4 \pi} \int_D \Gscr(M,P)\, R(P)\, V(P)\, d\omega_P
  + v_1(M) + v_2(M)
\]
pour $\lambda = 1$, $\Gscr(M, P)$~désignant la fonction de Green utilisée dans~\Eq{(55)}.

La solution existera lorsque la solution pour $g(M) = 0$ n'existe
pas. On voit comme plus haut qu'il suffit que~$R$ soit essentiellement
positif dans~$D$.

\Paragraph{18.}{} --- Nous aborderons enfin le problème de la chaleur où la
condition sur la surface $S$ est la suivante
\[
\frac{\partial V}{\partial n} + p(M)V = h(M).
\]

Nous avons vu au \no \textbf{14} que nous pouvons \emph{en général} construire
une fonction de Green~$\Gscr_1$ satisfaisant à la condition
\[
\frac{\partial\Gscr}{\partial n} + p(M)\, \Gscr = 0
\]
sur la surface.

Cette fonction nous permet de résoudre de suite le cas où
\[
h(M) = 0.
\]
Nous avons en effet l'équation homogène de Fredholm~\Eq{(45)}, où~$\Gscr$
est remplacé par~$\Gscr_1$ et il y aura une solution dans le \DPtypo{casoù}{cas où} $\lambda = 1$
est une constante caractéristique.

Et de même nous avons une équation analogue à~\Eq{(48)} pour
traiter le cas où $h(M) \neq 0$.

\Paragraph{19.}{} --- Nous avons déjà indiqué (voir \no \textbf{14}, p.~\Pg{30}) comment on
traite les équations
\begin{align*}
\Tag{(58)}
\Delta V &= R(x,y,z)\, \frac{\partial V}{\partial t}\\
\Tag{(59)}
\Delta V &= R(x,y,z)\, \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}.
\end{align*}

Il s'agit de trouver une fonction~$V$ qui vérifie une de ces équations
à l'intérieur d'une surface régulière~$S$, qui se réduit à une
fonction donnée $\alpha (x, y, z)$ pour $t = 0$, et qui satisfait à certaines
conditions sur la surface, conditions de Dirichlet, de Neumann,
de la chaleur.
\DPPageSep{136.png}{130}%

Nous commençons avec~\Eq{(58)} par le problème \emph{intérieur} avec la
condition
\[
\Tag{(60)}
V = 0
\]
sur la surface.

Substituons dans~\Eq{(58)}
\[
\Tag{(61)}
V = e^{-\lambda t}\, \phi(x,y,z)\ \bigl[= e^{-\lambda t}\, \phi(M)\bigr].
\]

Il vient
\[
\Tag{(62)}
\Delta \phi = -\lambda R(M)\, \phi.
\]

Nous avons déjà vu que la solution de cette équation avec la
condition~\Eq{(60)} revient à l'équation homogène (voir \no \textbf{16}),
\[
\Tag{(63)}
\phi(M) = \frac{\lambda}{4\pi}
  \int_D \Gscr(M,P)\, R(P)\, \phi(P)\, d\omega_P\DPtypo{.}{,}
\]
où $\Gscr$~est la fonction de Green nulle sur~$S$.

Donc il y aura des déterminations de~$\phi$ pour certaines valeurs
de~$\lambda$ seulement: les constantes caractéristiques du noyau
\[
\frac{1}{4\pi}\, \Gscr(M,P)\, R(P).
\]

Ce noyau a la forme d'une fonction symétrique $\Gscr(M,P)$ multipliée
par une fonction~$R$ de~$P$ seul. Si~$R$ est essentiellement
positif, ce qui est vrai pour les applications physiques, ce noyau
entre dans la catégorie considérée par M.~E. Schmidt (voir Ch.~II\Add{,}
\DPtypo{(}{}\no \textbf{45}, p.~\Pg{104}). Il se ramène à un noyau symétrique: ses constantes
caractéristiques sont réelles et ce sont des pôles simples de
la résolvante\footnotemark.
\footnotetext{Pour le cas où $R$~est quelconque, voir \bsc{T.~Marty}, \textit{Comptes Rendus}\DPtypo{.}{,}
  \DPtypo{Fév}{fév}.~1910.\DPtypo{,}{}}

Or au moyen de la formule~\Eq{(13)} obtenue au \no \textbf{8}, p.~\Pg{22}, on
peut écrire
\[
\Tag{(64)}
\Delta \int_D \Gscr(M,P)\, f(P)\, d\omega_P = -4\pi\, f(M);
\]
nous allons montrer qu'à toute fonction~$g(M)$ continue ainsi que
\DPPageSep{137.png}{131}%
ses dérivées premières et secondes et nulle sur~$S$, on peut faire
correspondre une fonction~$f(M)$, telle que
\[
\Tag{(65)}
\int_D \Gscr(M, P)\, f(P)\, d\omega_P = g(M).
\]

En comparant \Eq{(65)}~avec~\Eq{(64)} on voit en effet que si la fonction~$f(M)$
existe, elle vérifie
\[
\Delta g(M) = -4\pi\, f(M).
\]

Il faut montrer que si l'on substitue cette expression de~$f(M)$
dans le premier membre de~\Eq{(65)}, la fonction obtenue
\[
q(M) = -\frac{1}{4\pi} \int_D \Gscr(M,P)\, \Delta_P g(P)\, d\omega_P
\]
n'est autre que~$g(M)$.

Or on a d'après la formule générale~\Eq{(64)}
\[
\Delta q(M) = \Delta g(M) \quad\text{ou}\quad
\Delta \bigl[q(M) - g(M)\bigr] = 0.
\]

Donc la fonction $q(M) - g(M)$ est une fonction harmonique à
l'intérieur de~$S$, qui s'annule sur~$S$ (\no \textbf{8}, p.~\Pg{23}), et qui est bien,
par conséquent (\no \textbf{7}, p.~\Pg{114}), identiquement nulle.

Il en résulte que toute fonction~$g(M)$ nulle sur~$S$ et continue
avec ses dérivées secondes est de la forme exigée par la condition~\Eq{(8)}
du \no \textbf{2}, p.~\Pg{108}\DPtypo{)}{}. Elle peut donc être développée en une série
absolument et uniformément convergente de fonctions fondamentales
\[
\phi_1(M),\ \phi_2(M),\ \ldots,\ \phi_n(M)\Add{,}\ \ldots
\]
relatives au noyau $\Gscr(M, P) · R(P)$. D'ailleurs ceci exige manifestement
que le nombre de ces fonctions fondamentales soit infini.

Rappelons-nous maintenant qu'outre la condition aux limites,
on assujettit la solution~$V$ de~\Eq{(58)} à une condition initiale, laquelle
consiste à se donner l'expression $\alpha(x, y, z)$ de~$V$ pour $t = 0$. La
fonction~$\alpha$ est continue avec ses dérivées secondes et d'après la
condition~\Eq{(60)} écrite pour $t = 0$, elle s'annule sur~$S$. Elle satisfait
donc aux conditions exigées pour le développement en série de~$g(M)$.
\DPPageSep{138.png}{132}%

Développons de cette manière la fonction initiale $\alpha(x, y, z)$
\[
\Tag{(66)}
\alpha(M) = A_1\, \phi_1(M) + A_2\, \phi_2(M)+ \ldots + A_n\, \phi_n(M) + \ldots
\]
où les~$A$ sont donnés par la méthode de Fourier (\no \textbf{9}, p.~\Pg{11}).

Une solution de notre problème sera alors
\[
\Tag{(67)}
V(M, t)
  = A_1\, \phi_1(M)\, e^{-\lambda_1 t}
  + A_2\, \phi_2(M)\, e^{-\lambda_2 t} + \ldots
  + A_n\, \phi_n(M)\, e^{-\lambda_n t} + \ldots
\]
série qui est convergente puisque~\Eq{(66)} l'est absolument.

Cette solution satisfait à toutes les conditions prescrites.

\Primo\ Elle satisfait à l'équation~\Eq{(58)}, puisque chaque terme satisfait
à cette équation.

\Secundo\ Elle a pour limite zéro sur la surface.

\Tertio\ Elle se réduit à~$\alpha(M)$ pour $t = 0$.

\Paragraph{20.}{} --- Au point de vue physique (\no \textbf{13}, §~\Tertio, p.~\Pg{28}), nous
savons que la solution est unique. En effet, la loi de variation de
la température~$V$ d'un corps dont la surface est à une température
nulle, ne peut être indéterminée quand on connaît la température
initiale~$\alpha$. Nous pouvons prévoir aussi que toutes les
constantes caractéristiques doivent être positives: un corps dont
la surface a constamment la température zéro aura une distribution
de température qui tendra vers zéro. Or en se reportant à
l'expression~\Eq{(67)} de la température~$V$, on voit qu'il ne peut en
être ainsi si les~$\lambda_i$ ne sont pas tous positifs.

Mais ces deux faits sont susceptibles d'une démonstration
mathé\-ma\-tique. Nous avons supposé que la fonction~$R$ est positive.

La formule de Green~\Eq{(13)}, p.~\Pg{109}, nous donne
\[
\MTag{(68)}
\left\{
\begin{gathered}
\int_D \left\{
  \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 +
  \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 +
  \left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2 \right\} d\omega_P
  = - \int_S \phi\, \frac{\partial \phi}{\partial n_i}\, dS_P
    - \int_D \phi\, \Delta\phi\, d\omega_P \\
  = \lambda \int_D R(P)\, \phi^2\, d\omega_P\Add{.}
\end{gathered}\right.
\]

D'où il est évident que~$\lambda$ est positif.

Nous avons déjà démontré que la solution est unique au \no \textbf{14},
p.~\Pg{33}.

\Paragraph{21.}{} --- Nous avons donc traité le problème intérieur relatif à
l'équation~\Eq{(58)} pour la condition $V = 0$ sur la surface. Les problèmes
\DPPageSep{139.png}{133}%
intérieurs pour d'autres conditions, et les problèmes extérieurs
se traitent d'une manière analogue. Cependant on rencontre
certaines difficultés que nous allons indiquer.

Considérons la condition
\[
\Tag{(70)}%[** TN: Original contains no (69)]
V = f(M)
\]
sur la surface~$S$, la fonction~$V$ vérifiant \Eq{(58)} à l'\emph{intérieur} de~$S$.

Il est toujours possible de trouver une fonction harmonique
in\-dé\-pen\-dante de~$t$,~$\omega(M)$, qui prenne la valeur~$f(M)$ sur la surface.

Posons
\[
V = v + \omega.
\]

La fonction~$v$ satisfera aux équations suivantes
\begin{gather*}
\Delta v = R(M) \frac{\partial v}{\partial t}, \\
\Tag{(71)}
v = 0 \quad\text{sur la surface\DPtypo{.}{}}
\intertext{et}
v = \alpha(M) - \omega(M) \quad\text{pour } t = 0.
\end{gather*}

Nous supposons pour que le problème soit possible que la valeur
de~$V$ pour $t = 0$, soit~$\alpha(M)$, satisfait à la condition~\Eq{(70)}, de sorte
que $\alpha - \omega$ satisfait à~\Eq{(71)}. On est ainsi ramené au problème du
\no \textbf{20}.

Donc $v$~sera \DPtypo{déterminé}{déterminée} par la méthode précédente.

Le problème extérieur se traite d'une manière identique: dans
ce cas la fonction~$V$ s'évanouit à l'infini; on suppose que sa valeur
initiale, la fonction~$\alpha$, s'évanouit aussi à l'infini.

%<tb>

Nous ne nous arrêterons pas aux conditions
\begin{gather*}
\frac{\partial V}{\partial n} + p · V = 0, \\
\frac{\partial V}{\partial n} + p · V = h.
\end{gather*}

Nous avons en effet démontré (\no \textbf{14}, p.~\Pg{121}) l'existence \emph{en général}
d'une fonction de Green pour la première de ces conditions.
Elle nous permettrait\DPtypo{,}{} de traiter ces cas d'une manière tout à fait
analogue à la précédente, pour les problèmes intérieurs et extérieurs.
\DPPageSep{140.png}{134}%

Pour le cas extérieur les conditions
\[
\Tag{(72)}
\frac{\partial V}{\partial n} = 0, \qquad
\frac{\partial V}{\partial n} = g(M)
\]
sur la surface, se traitent par une analyse identique, mais il faut
supposer que la fonction~$V$ et la fonction initiale~$\alpha$ sont nulles à
l'infini.

\Paragraph{22.}{} --- Nous arrivons maintenant au cas intérieur pour la condition
\[
\frac{\partial V}{\partial n} = 0
\]
sur la surface [toujours pour l'équation~\Eq{(58)}].

Nous pouvons former une fonction de Green telle que
\[
\frac{\partial}{\partial n_i}\, \Gscr(M,P) = \frac{4\pi}{S}
\]
sur la surface (voir \no \textbf{14}, cas~\Quarto).

En refaisant la discussion du \no \textbf{17} après avoir effectué la substitution~\Eq{(61)},
nous obtenons l'équation intégrale analogue à~\Eq{(55)}
\[
\Tag{(73)}
\phi(M) = \frac{\lambda}{4\pi} \int_D \Gscr(M,P)\, R(P)\, \phi(P)\, d\omega_P,
\]
dont les solutions satisfont aux équations
\begin{gather*}
\Delta\phi = -\lambda R\, \phi, \\
\int_D  R(M)\, \phi(M)\, d\omega_M = 0 \quad\text{dans le domaine~$D$} \\
\intertext{et}
\frac{\partial \phi}{\partial n} = 0 \quad\text{sur la surface}.
\end{gather*}

En raisonnant comme au \no \textbf{19}, on voit que nous pouvons développer
une fonction~$g(M)$ suivant une série de fonctions fondamentales
relatives à l'équation~\Eq{(73)}, pourvu que
\[
\frac{\partial g}{\partial n_i} = 0 \quad\text{sur la surface}
\]
et
\[
\int_D g(M)\, R(M)\, d\omega_M = 0.
\]
\DPPageSep{141.png}{135}%

Nous supposons, bien entendu, que la valeur initiale de~$V$,
$\alpha(M$), satisfait à la première de ces conditions. Elle ne satisfait
pas en général à la seconde. Posons
\[
\int_D \alpha(M)\, R(M)\, d\omega_M = A, \qquad
\int_D R(M)\, d\omega_M = B.
\]

Alors la fonction $\alpha(M) - \dfrac{A}{B}$ est développable en série de fonctions
fondamentales et l'on a
\[
\alpha(M) = \frac{A}{B}
  + A_1\, \phi_1(M)
  + A_2\, \phi_2(M) + \ldots
  + A_n\, \phi_n(M) + \ldots\Add{.}
\]

La solution sera
\[
\Tag{(74)}
V(M,t) = \frac{A}{B}
  + A_1\, \phi_1(M)\, e^{-\lambda_1 t}
  + A_2\, \phi_2(M)\, e^{-\lambda_2 t} + \ldots
  + A_n\, \phi_n(M)\, e^{-\lambda_n t} + \ldots\Add{.}
\]
Car cette expression satisfait à toutes les conditions.

Nous arrivons enfin à la condition
\[
\frac{\partial V}{\partial n_i} = g(M).
\]

Ecrivons
\[
\int_S g(M)\, dS = C.
\]

Et considérons la fonction
\[
V_1(M) = \int_D R(P)\, \frac{1}{r}\, d\omega_P,
\]
où $r$~est la distance~$\Seg{MP}$.

On a d'après~\Eq{(13)}, p.~\Pg{22}
\begin{align*}
\Delta V_1 &= -4\pi\, R(M),\\
\int_S \frac{\partial V_1}{\partial n_i}\, dS
  &= \int_S \left[ \int_D R(P)\, \frac{\partial}{\partial n_i}
       \left(\frac{1}{r}\right)\, d\omega_P\right] dS
   = 4\pi \int_D R(P)\, d\omega_P = C'.
\end{align*}

Donc la fonction
\[
U_0 = \frac{C}{C'}\, (-4\pi\, t + V_1)
\]
\DPPageSep{142.png}{136}%
est une solution de
\[
\Tag{(75)}
\Delta V = R\, \frac{\partial V}{\partial t}
\]
telle que
\[
\int_S \frac{\partial V}{\partial n_i}\, dS = C.
\]

Construisons une fonction harmonique~$U_1$, indépendante de~$t$ et
telle qu'on ait
\[
\frac{\partial U_1}{\partial n_i} = g(M) - \frac{\partial U_0}{\partial n_i}.
\]

%[** TN: Page number below missing in original]
Cela est possible par la méthode déjà exposée au \no \textbf{7}, p.~\Pg{115},
cas~\Tertio, puisqu'on a
\[
\DPtypo{\int}{\int_S} \frac{\partial U_1}{\partial n_i}\, dS = C - C = 0.
\]

La fonction~$U_1$ ne sera déterminée qu'à une constante arbitraire
additive près; mais ce fait n'a pas d'importance.

Ecrivons, enfin, la solution sous la forme
\[
V = U_0 + U_1 + u.
\]

La fonction~$u$ sera une solution de~\Eq{(58)} qui pour $t = 0$ se réduit
à la fonction connue
\[
u_0 = \alpha(M) - \frac{C}{C'}\, V_1 - U_1
\]
et qui satisfait à la condition
\[
\frac{\partial u}{\partial n_i}
  = g(M) - \frac{\partial U_0}{\partial n} - \frac{\partial U_1}{\partial n}
  = 0.
\]

La fonction initiale~$u_0$ satisfait aussi à la condition
\[
\frac{\partial u_0}{\partial n_i} = 0,
\]
pourvu qu'on ait bien entendu $\dfrac{\partial \alpha}{\partial n_i} = g(M)$.

Donc il est possible de déterminer~$u$ par la méthode précédente
et~$V$ est complètement connu\footnotemark.
\footnotetext{On peut démontrer qu'à la première constante caractéristique correspond
  une seule fonction fondamentale, laquelle est essentiellement positive.
  Voir Boussinesq. \textit{Traité analytique de la chaleur.} Heywood, \textit{Thèse}, p.~90.}
\DPPageSep{143.png}{137}%

\Paragraph{23.}{} --- On verra que l'équation des ondes
\[
\Tag{(59)}
\Delta V = R(M)\, \frac{\partial^2V}{\partial t^2}
\]
est susceptible d'un traitement presque identique. Il est nécessaire
seulement d'indiquer en peu de mots quelles sont les différences.
Pour fixer les idées, proposons-nous ce problème: un gaz parfait
est renfermé dans une surface fixe: on provoque une petite vibration
quelconque du gaz, et on demande le mouvement du gaz à un
instant ultérieur. A l'équation~\Eq{(59)}, il faut ajouter les conditions
\[
\Tag{(76)}
\frac{\partial V}{\partial n} = 0 \quad \text{sur la surface~$S$}
\]
et
\[
\Tag{(77)}
V = \alpha(M), \qquad
\frac{\partial V}{\partial t} = \beta(M), \quad \text{pour $t = 0$},
\]
la fonction~$V$ étant le potentiel de vitesses.

Un type de solution sera
$\phi(M)\, \left. \begin{matrix}\cos\\ \sin\end{matrix} \right\} \lambda t$, où
\[
\Tag{(78)}
\Delta \phi = - \lambda^2 R(M)\, \phi(M).
\]

Construisons une fonction de Green $\Gscr(M,P)$ telle que
\[
\frac{\partial\Gscr}{\partial n_M} = \frac{4 \pi}{S}
\]
sur~$S$ (\no \textbf{14}, \Quarto); à cette fonction nous pouvons ajouter une constante
arbitraire (c'est-à-dire une fonction arbitraire de~$P$).

La fonction~$\phi$ sera donnée par
\[
\Tag{(79)}
\phi(M) - \lambda^2 \int_D \Gscr(M,P)\, R(P)\, \phi(P)\, d\omega_P = 0
\]
pour une valeur convenable de~$\lambda^2$. En effet, on a bien~\Eq{(78)}. Pour
satisfaire à~\Eq{(76)}, remarquons que nous avons
\begin{align*}
\frac{\partial \phi}{\partial n}
  &= \lambda^2 \int_D \frac{\partial\Gscr}{\partial n_M}\,
      R(P)\, \phi(P)\, d\omega_P \\
  &= \lambda^2\, \frac{4\pi}{S} \int_D R(P)\, \phi(P)\, d\omega_P.
\end{align*}
\DPPageSep{144.png}{138}%

Or
\begin{align*}
\int_D R(P)\, \phi(P)\, d\omega_P
  &= \lambda^2 \int_D \int_D
     \Gscr(M, P)\, R(M)\, R(P) \phi(P)\, d\omega_P\, d\omega_M \\
  &= \lambda^2 \int_D \left[ \int_D \Gscr(M,P)\, R(M)\, d\omega_M \right]
     R(P)\, \phi (P)\, d\omega_P.
\end{align*}

Par suite, $\dfrac{\partial \phi}{\partial n}$~sera nul pourvu que
\[
\int_D \Gscr(M,P)\, R(M)\, d\omega_M = 0.
\]

Nous réaliserons cette dernière condition en choisissant convenablement
la constante arbitraire mentionnée ci-dessus.

Nous pourrions aussi montrer comme au \no \textbf{20} que les constantes
caractéristiques de l'équation intégrale~\Eq{(79)}, qui sont des
valeurs de~$\lambda^2$, sont positives, de sorte que~$\lambda$ est réelle; mais à
chaque constante caractéristique correspondent deux valeurs de~$\lambda$,
donc deux solutions de l'équation~\Eq{(59)}. Nous aurons de même
qu'au \no \textbf{22}, comme solution, la série
\[
V = \sum_1^\infty (a_n\cos \lambda_n t + b_n\sin \lambda_n t)\, \phi_n(x, y, z).
\]

Nous satisferons aux conditions initiales en choisissant les~$a$ et
les~$b$ de sorte que
\[
\alpha(M) = \sum_1^\infty a_n\, \phi_n, \qquad
\beta(M)  = \sum_1^\infty b_n\, \lambda_n\, \phi_n,
\]
ce qui est possible pourvu que
\[
\frac{\partial \alpha}{\partial n} = 0, \qquad
\frac{\partial \beta}{\partial n} = 0
\]
sur~$S$.

\Paragraph{24.}{\textbf{\DPtypo{Equation}{Équation} générale elliptique.}} --- Considérons maintenant
l'équation
\[
\Tag{(80)}
\frac{\partial ^2 V}{\partial x^2} +
\frac{\partial ^2 V}{\partial y^2} +
a\, \frac{\partial V}{\partial x} +
b\, \frac{\partial V}{\partial y} + c\, V = f,
\]
\DPPageSep{145.png}{139}%
où~$a, b, c$,~$f$ sont des fonctions de $x$,~$y$ (que nous supposons avoir
des dérivées premières et secondes), c'est-à-dire des fonctions d'un
point~$M$ de l'aire renfermée par un contour plan.

L'application de la méthode de Fredholm à cette équation~\Eq{(80)}
a été faite par M.~Emile Picard\footnotemark;
\footnotetext{Egalement par M.~Hilbert: \textit{Nachrichten zu Göttingen}, 1904, \textit{Heft}~3,
  p.~248.}
nous allons tirer notre discussion
de son mémoire\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Rend.\ Circ.\ Matem.\ Palermo}, juillet 1906.}

Nous cherchons une solution de~\Eq{(80)} qui s'annule sur le contour~$C$
d'une aire plane~$A$, et qui est continue à l'intérieur de cette
aire. Si l'on tient compte de la forme~\Eq{(13)}, p.~\Pg{22} et de la note\footnotemark[2],
p.~\Pg{ref21}, on voit que notre solution sera donnée par l'équation
\[
\Tag{(81)}
\left\{
\begin{aligned}
V(x,y) &- \frac{1}{2\pi} \iint \left\{
  a(\xi,\eta)\, \frac{\partial V}{\partial\xi} +
  b(\xi,\eta)\, \frac{\partial V}{\partial\eta} +
  c(\xi,\eta)\, V\right\} \Gscr(x, y; \xi, \eta)\, d\xi\, d\eta \\
  &= \psi(x,y) \equiv
  \frac{-1}{2\pi} \iint f(\xi,\eta)\, \Gscr(x, y; \xi, \eta)\, d\xi\, d\eta,
\end{aligned}
\right.
\]
(où~$\Gscr$ est une fonction de Green --- relative à l'équation $\Delta V = 0$ --- qui
s'annule sur~$C$), expression que nous transformons en
\[
\Tag{(82)}
V(x,y) + \frac{1}{2\pi} \iint\left\{
  \frac{\partial(a\Gscr)}{\partial\xi} +
  \frac{\partial(b\Gscr)}{\partial\eta} -
  c\, \Gscr\right\}V(\xi,\eta) d\xi\, d\eta = \psi(x,y),
\]
en intégrant par parties.

La fonction de Green est comparable, à notre point de vue,
à~$\log \dfrac{1}{r}$, où $r$~est la distance entre les points $(x, y)$~et~$(\xi, \eta)$. Donc
le noyau de l'équation~\Eq{(82)} est comparable à~$\dfrac{1}{r}$; et, d'après le
\no \textbf{14}, p.~\Pg{60}, elle possède bien, en général, une solution~$V$.

Pour achever la discussion, il faut montrer que cette fonction~$V$
nous permet de remonter de~\Eq{(82)} à~\Eq{(81)} et de~\Eq{(81)} à~\Eq{(80)}. C'est-à-dire,
il faut montrer que $V$~a des dérivées premières et secondes.

Nous écrivons le noyau de~\Eq{(82)}, $K(x, y; \xi, \eta$), et nous effectuons
sur cette équation une «itération» (voir formule~\Eq{(7)}, p.~\Pg{39}).
\DPPageSep{146.png}{140}%

Il vient
\[
\Tag{(83)}
\left\{
\begin{aligned}
V(x,y) &- \iint K_2(x, y; \xi, \eta)\, V(\xi, \eta)\, d\xi\, d\eta \\
       &= \psi(x,y) - \iint K(x, y; \xi, \eta)\, \psi(\xi, \eta)\, d\xi\, d\eta.
\end{aligned}
\right.
\]

Or $\psi(x, y)$ est comparable avec un potentiel: elle a donc des
dérivées secondes, puisque nous avons supposé que $f$~a des dérivées
premières; la fonction~$K_2$ est comparable avec~$\log r$; de sorte
que nous n'avons à nous occuper que du dernier terme. Il s'agit
donc de voir par exemple que l'intégrale
\[
\iint \frac{\partial(a\Gscr)}{\partial\xi}\, \psi(\xi,\eta)\, d\xi\, d\eta
\]
a des dérivées premières; mais elle s'écrit
\[
\Tag{(84)}
- \iint a\, \Gscr \frac{\partial\psi}{\partial\xi}\, d\xi\, d\eta,
\]
et cette intégrale a des dérivées qui restent finies sur le bord.

Il faut maintenant examiner les dérivées secondes. Il est évident
que
\[
\iint K_2 (x, y; \xi, \eta)\, V(\xi, \eta)\, d\xi\, d\eta
\]
a des dérivées secondes, puisque $V(\xi,\eta)$~a des dérivées premières.
L'expression~\Eq{(84)} a des dérivées secondes pourvu que~$\psi$ ait des
dérivées secondes.

Donc l'existence des dérivées est établie.

Nous pouvons dire que notre problème a \emph{en général} une solution
unique. Mais il y a certains cas où il existe une solution du problème
quand nous faisons~$f$ \DPtypo{égal}{égale} à zéro: pour ces cas, --- c'est-à-dire
pour ces mêmes fonctions~$a$, $b$,~$c$ ---\DPtypo{,}{} d'après la théorie de
Fredholm (\no \textbf{21}, p.~\Pg{66}), le problème où $f$~n'est pas identiquement
nulle n'a pas de solution (à moins que $\psi(x, y)$~\DPtypo{fut}{fût} précisément
nul).

\ctb
\DPPageSep{147.png}{141}%


\Note{Noyaux infinis et intégrales doubles}{A}{Itération des noyaux infinis
dans le cas des intégrales doubles\protect\footnotemark}
\footnotetext{D'après une leçon professée par M.~Hadamard, recueillie par M.~Pérès,
élève de l'Ecole Normale Supérieure.}

\begin{Remark}
\Paragraph{1.}{} --- Nous savons que la résolution d'une équation de Fredholm
\[
\Tag{(1)}
\phi(s) - \int_a^b \phi(t)\, K(s,t)\, dt = f(s)
\]
de noyau $K(s, t)$ peut se ramener à celle d'une nouvelle équation de
noyau
\[
K_2(s,t) = \int_a^b K(s,t_1)\, K(t_1,t)\, dt_1,
\]
où $K_2(s, t)$ est le noyau \emph{itéré} une fois.

Nous avons vu (\no \textbf{14}, p.~\Pg{60}) l'effet d'une pareille itération pour
une intégrale simple dont le noyau est susceptible de prendre des valeurs
infinies de la forme
\[
K(s, t) = \frac{H(s,t)}{(s-t)^\alpha}
\]
(avec $\alpha < 1$ pour que les intégrales aient un sens) --- $H (s, t)$ restant
fini --- et nous avons constaté qu'après un nombre suffisant d'itérations
on obtient un noyau qui reste fini.

Étudions au même point de vue le cas d'une intégrale double. Soit
l'équation
\[
\Tag{(2)}
\phi(M) - \iint \phi(P)\, K(M, P)\, ds_P = f(M)
\]
$M$~et~$P$ étant deux points pris sur une surface et la~$\iint$ étant étendue à
cette surface.
\DPPageSep{148.png}{142}%

Lorsque $K(M,P)$ devient infini, si l'on a, par exemple,
\[
K(M,P) = \frac{H(M,P)}{\Seg{PM}^\alpha}
\]
(avec $\alpha < 2$ pour que la~$\iint$  ait un sens), on parviendra encore --- après
un nombre suffisant d'itérations --- à un noyau restant fini auquel la
méthode de Fredholm s'applique.

\Paragraph{2.}{} --- Prenons par exemple $\alpha = 1$; nous allons démontrer que le
noyau itéré une fois --- qui peut encore augmenter indéfiniment pour
$M$~et~$P$ voisins l'un de l'autre --- n'est plus que logarithmiquement
infini. On peut sans restreindre la généralité supposer que la surface
est un morceau du plan des $\xi$,~$\eta$\footnotemark.
\footnotetext{En effet, lorsque $M$~et~$P$ sont voisins l'un de l'autre, on peut, entre la
  portion de surface (supposée régulière) qui les contient et une portion de plan,
  établir une correspondance telle que le rapport de deux éléments de surface
  qui se correspondent soit compris entre deux limites finies et qu'il en soit de
  même pour le rapport entre la distance de deux points quelconques et celle de
  leurs homologues.}

Le noyau itéré est alors
\[
K_2(M, P) = \iint \frac{H(M,Q)\, H(Q, P)}{\Seg{MQ} · \Seg{QP}}\, d\xi\, d\eta
\]
($Q$~étant le point de coordonnées $\xi$,~$\eta$). Considérons un cercle~$C$ de
centre~$M$, de rayon proportionnel à~$\Seg{MP}$, de rayon~$2\Seg{MP}$ par exemple
et contenant~$P$ dans son intérieur.

Décomposons l'intégrale double en deux parties, l'une relative aux
points~$Q$ \emph{intérieurs} à cette circonférence, l'autre relative à~$Q$ \emph{extérieur}.

La première intégrale est plus petite que
\[
\chi^2 \iint_C \frac{d\xi\, d\eta}{\Seg{MQ} · \Seg{QP}}
\]
$\chi$~étant la limite supérieure supposée finie de $H(M,P)$.

Quant à
\[
\iint_C \frac{d\xi\, d\eta}{\Seg{MQ} · \Seg{QP}},
\]
un changement de variables par similitude amenant le rayon du
cercle~$C$ à l'unité ne la modifie pas, elle reste donc finie quand $M$~et~$P$
tendent l'un vers l'autre et il en est de même de notre première intégrale.

Dans la deuxième intégrale, on peut remplacer~$\Seg{QP}$ par~$\Seg{MQ}$, car le
rapport de ces deux quantités reste compris entre $\dfrac{1}{2}$~et~$\dfrac{3}{2}$: elle  augmente
\DPPageSep{149.png}{143}%
dès lors indéfiniment au plus comme $\log \Seg{MP}$, ainsi qu'on s'en
assure immédiatement en passant aux coordonnées polaires de pôle~$M$.
C'est bien le résultat annoncé.

Une seconde itération (que l'on pourrait même éviter) nous ramènera
à un noyau fini.

\Paragraph{3.}{} --- La circonstance précédente se présente dans la résolution du
problème de Dirichlet à trois dimensions par la méthode de Fredholm.

Dans le cas de deux dimensions, le noyau
\[
K(M,P) = \frac{1}{\pi}\, \frac{d\log \dfrac{1}{r}}{dn_P}
  = \frac{1}{\pi}\, \frac{\cos(r,n)}{r} \quad\text{avec}\quad
r = \Seg{MP}
\]
reste fini quand~$M$ tend vers~$P$, car $\dfrac{\cos(r,n)}{r}$ \DPtypo{tends}{tend} vers~$\dfrac{\gamma}{2}$, $\gamma$~étant la courbure
en~$P$.

Dans le cas de trois dimensions au contraire
\[
\frac{d\dfrac{1}{r}}{dn_P} = \frac{\cos(n,r)}{r^2}
\]
tend vers l'infini comme~$\dfrac{1}{r}$.

C'est le cas étudié précédemment: deux itérations nous donneront
un noyau fini auquel s'appliquera la méthode de Fredholm.

Le cas où $K = \dfrac{H(M,P)}{\Seg{MP}^\alpha}$ et où $\alpha \neq 1$ s'étudie comme le cas où $\alpha = 1$.

On partage comme précédemment l'intégrale
\[
K_2(M,P)
  = \iint \frac{H(M,Q)\, H(Q,P)}
               {\Seg{MQ}^\alpha\, \Seg{QP}^\alpha}\, d\xi\, d\eta.
\]
L'intégrale étendue à l'intérieur du cercle est inférieure en valeur absolue
à
\[
\chi^2 \iint_C \frac{d\xi\, d\eta}{\Seg{MQ}^\alpha\, \Seg{QP}^\alpha}
\]
et l'intégrale
\[
\iint_C \frac{d\xi\, d\eta}{\Seg{MQ}^\alpha\, \Seg{QP}^\alpha}
\]
vaut $\dfrac{1}{(2\Seg{MP})^{2\alpha - 2}}$ fois l'intégrale analogue étendue à la figure semblable
telle que le cercle soit de rayon~$1$, cette dernière intégrale étant une
quantité finie fixe.
\DPPageSep{150.png}{144}%

L'intégrale étendue à l'extérieur du cercle se comporte aussi comme
$\dfrac{A}{(\Seg{MP})^{2\alpha-2}}$ quand~$\Seg{MP}$ et par suite le rayon du cercle tendent vers~$0$.

Si donc $\alpha < 1$, une seule itération nous aura amené à un noyau
fini. Si $\alpha > 1$, nous avons remplacé l'exposant~$\alpha$ par l'exposant plus
petit (puisque $\alpha < 2$), $2\alpha - 2$.

Il n'est pas bien difficile de voir qu'un nombre fini d'itérations nous
amènera dans ce cas à un noyau fini.

\Paragraph{4.}{} --- Il est clair que la même méthode s'appliquerait sans modification
pour le cas de domaines à un nombre quelconque de dimensions,
toutes les fois que le noyau deviendrait infini comme l'inverse
d'une certaine puissance de la distance entre les deux points $M$,~$P$
mobiles dans un pareil domaine.

Ajoutons que l'intégrale par l'étude de laquelle nous venons de
commencer, savoir l'intégrale plane
\[
\iint \frac{d\xi\, d\eta}{\Seg{MQ} · \Seg{QP}},
\]
conduit à une formule particulièrement simple lorsqu'on considère la
différence de deux intégrales analogues, soit par exemple
\[
\Tag{(3)}
I = \iint\left(\frac{1}{\Seg{MQ} · \Seg{QP}}
             - \frac{1}{\Seg{MQ} · \Seg{QP'}}\right)
    d\xi\, d\eta,
\]
($\xi$,~$\eta$ étant toujours les ordonnées du point~$Q$, pendant que~$M$, $P$,~$P'$
sont trois points fixes du plan). Une telle intégrale reste finie lorsqu'on
l'étend au \emph{plan tout entier}, et la méthode employée plus haut en fournit,
dans ces conditions, la valeur exacte. Si, en effet, on limite tout
d'abord l'aire d'intégration à l'intérieur d'un cercle déterminé~$C$ de
centre~$M$, on pourra, d'une manière analogue à ce qui a été fait tout
à l'heure, remplacer
\[
\iint_C \frac{d\xi\, d\eta}{\Seg{MQ} · \Seg{QP}}
\]
par
\[
\Tag{(4)}
\iint\frac{d\xi\, d\eta}{\Seg{MQ} · \Seg{QP'}},
\]
étendue à un cercle~$C'$ homothétique à~$C$ par rapport à~$M$, avec le rapport
de similitude~$\dfrac{\Seg{MP'}}{\Seg{MP}}$. L'intégrale~\Eq{(3)} étendue à~$C$, peut donc se remplacer
par l'intégrale~\Eq{(4)} étendue à la couronne comprise entre $C$~et~$C'$.
En faisant croître indéfiniment le rayon de~$C$, on trouve ainsi, pour
\DPPageSep{151.png}{145}%
l'intégrale relative à tout le plan,
\[
I = 2\pi \log \frac{\Seg{MP}}{\Seg{MP'}}.
\]

Bien entendu, il en résulte, pour l'intégrale
\[
I_1 = \iint d\xi\, d\eta
  \left(\frac{1}{\Seg{MQ} · \Seg{QP}}
      - \frac{1}{\Seg{M'Q} · \Seg{QP'}} \right)
\]
(où~$M, M'$, $P, P'$ sont quatre points fixes), étendue à tout le plan, la
valeur
\[
I_1 = 2\pi \log \frac{\Seg{MP}}{\Seg{M'P'}}.
\]

Enfin, on pourrait opérer de même en remplaçant $\dfrac{1}{\Seg{MQ}·\Seg{QP}}$ par
n'importe quelle fonction homogène \DPtypo{et}{de} degré~$-2$ de $\Seg{MQ}$,~$\Seg{QP}$, non
susceptible de devenir infinie le long d'une ligne, par exemple,
\[
\frac{1}{a · \Seg{MQ}^2 + b · \Seg{MQ} · \Seg{QP} + c · \Seg{QP}^2},
\]
où la forme quadratique (à coefficients constants) qui figure au dénominateur
ne s'\DPtypo{annulle}{annule} pour aucune valeur positive du rapport~$\dfrac{\Seg{MQ}}{\Seg{QP}}$.

On pourrait également écrire des formules analogues dans l'espace
à trois dimensions (la fonction homogène devant alors être de degré~$-3$),
etc.
\end{Remark}

\ctb
\DPPageSep{152.png}{146}%


\Note{Propriétés résolvantes de l'équation de Fredholm}{B}{Propriétés de la résolvante de l'équation
de Fredholm}

\begin{Remark}
Nous allons donner ici une étude un peu plus approfondie des propriétés
de l'équation de Fredholm
\[
\Tag{(1)}
\phi(s) - \lambda \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = f(s),
\]
dans le cas d'un noyau~$K$ quelconque. On trouvera intérêt à comparer
les résultats obtenus avec ceux du cas symétrique (p.~\Pg{81} -- \Pg{104}), qu'ils
généralisent en partie. Nous nous bornerons à développer les idées
essentielles sans nous occuper de donner les démonstrations rigoureuses,
pour lesquelles nous renvoyons le lecteur aux mémoires cités\footnotemark.
\footnotetext{\bsc{H.-B. Heywood.} --- \textit{Comptes Rendus}, 25 novembre 1907; \textit{Thèse}, 1908;
  \textit{Journal de Mathématiques}, octobre 1908.

 \bsc{E.~Goursat.} --- \textit{Comptes Rendus}, octobre et novembre 1907; \textit{Annales de la
  Fac.\ d.~Sc.\ de Toulouse}, t.~X, 1908.

 \bsc{M.~Goursat} démontre ces résultats par\DPnote{** TN: [sic]; pour?} un noyau intégral \emph{borné}.}

\Paragraph{1.}{\textbf{Les noyaux orthogonaux.}} --- On appelle ainsi deux noyaux
$K_1(s, t)$, $K_2(s, t)$ qui satisfont aux deux relations
\begin{align*}
\Tag{(2)}
\int_a^b K_1(\tau, t)\, K_2(s, \tau)\, d\tau &= 0\DPtypo{.}{,} \\
\Tag{(3)}
\int_a^b K_1(s, \tau)\, K_2(\tau, t)\, d\tau &= 0\DPtypo{,}{.}
\end{align*}

Nous allons démontrer les deux propositions suivantes:

\emph{Si nous écrivons
\[
\Tag{(4)}
K(s, t) = K_1(s, t) + K_2(s, t),
\]
\DPPageSep{153.png}{147}%
$K_1(s, t)$ et $K_2(s, t)$ étant orthogonaux, nous aurons}
\begin{align*}
\Tag{(5)}
(\Primo)\quad K(s, t, \lambda) &= K_1(s, t, \lambda) + K_2(s, t, \lambda), \\
\Tag{(6)}
(\Secundo)\quad \PadTo[r]{K(s, t, \lambda)}{D(\lambda)}
  &= D_1(\lambda) × D_2(\lambda),
\end{align*}
où nous avons adopté la notation habituelle.

Pour démontrer le premier résultat, souvenons-nous que nous avons
(formule~\Eq{(46)}, p.~\Pg{57}) les deux relations
\begin{align*}
\Tag{(7)}
K_1(s, t, \lambda) - K_1(s, t)
  &= \lambda \int_a^b K_1(s, \tau)\, K_1(\tau, t, \lambda)\, d\tau, \\
\Tag{(8)}
  &= \lambda \int_a^b K_1(\tau, t)\, K_1(s, \tau, \lambda)\, d\tau,
\end{align*}
et les mêmes équations avec l'indice~$2$ --- \Eq{(7_1)},~\Eq{(8_1)}.

Nous multiplions l'équation~\Eq{(8)} par $K_2(t, t')$ et nous intégrons par
rapport à~$t$: il vient, en tenant compte de~\Eq{(2)}
\[
\Tag{(9)}
\int_a^b K_1(s, t, \lambda)\, K_2 (t, t')\, dt = 0.
\]

De même
\[
\Tag{(10)}
\int_a^b K_1(s, t, \lambda)\, K_2(t', s)\, ds = 0,
\]
de sorte que $K_1(s, t, \lambda)$, $K_2(s, t)$ sont orthogonaux.

Pareillement $K_1(s, t)$, $K_2(s, t, \lambda)$ sont orthogonaux.

Ajoutons les équations \Eq{(7)}~et~\Eq{(7_1)}: nous aurons
\begin{align*}
 \bigl[ K_1(s, t, \lambda) &+ K_2(s, t, \lambda)\bigr] - K(s, t) \\
  &= \lambda \int_a^b
    \bigl[K_1(s, \tau)\, K_1(\tau, t, \lambda)
    + K_2(s, \tau)\, K_2(\tau, t, \lambda) \bigr]\, d\tau, \\
  &= \lambda \int_a^b \bigl[K_1(s, \tau) + K_2(s, \tau) \bigr]
    \bigl[K_1(\tau, t, \lambda) + K_2(\tau, t, \lambda) \bigr]\, d\tau, \\
  &= \lambda \int_a^b K(s, \tau)\,
    \bigl[K_1(\tau, t, \lambda) + K_2(\tau, t, \lambda) \bigr]\, d\tau.
\end{align*}

Il en résulte que la fonction $\bigl[K_1(s, t, \lambda) + K_2 (s, t, \lambda)\bigr]$ est déterminée
par les mêmes équations fonctionnelles~(46, p.~\Pg{57}), que la résolvante
$K(s, t, \lambda)$, et puisque leur solution est unique (\no \textbf{5}, p.~\Pg{41}), nous avons
l'égalité~\Eq{(5)}.

%<tb>

Pour démontrer la seconde égalité~(\Secundo), nous nous servons de la formule~\Eq{(50\bis)}
du \no \textbf{17} (p.~\Pg{64})
\begin{align*}
\Tag{(11)}
\frac{d}{d\lambda}\, \bigl(\log D(\lambda)\bigr)
  &= - \int_a^b K(s, s, \lambda)\, ds, \\
  &= -\int_a^b \bigl[K_1(s, s, \lambda ) + K_2(s, s, \lambda)\bigr]\, ds, \\
  &= \frac{d}{d\lambda}\, \bigl[\log D_1(\lambda ) + \log D_2(\lambda) \bigr], \\
  &= \frac{d}{d\lambda}\,
     \bigl\{\log \bigl[D_1(\lambda) × D_2(\lambda)\bigr] \bigr\},
\end{align*}
\DPPageSep{154.png}{148}%
c'est-à-dire
\[
D(\lambda) = C × D_1(\lambda) × D_2(\lambda).
\]

Pour achever, il faut démontrer que la constante~$C$ est égale à l'unité.
Il suffit de faire $\lambda = 0$
\[
D(0) = 1 = D_1(0) × D_2(0).
\]

Donc nous avons l'égalité \Eq{(6)}~(\Secundo).

\Paragraph{2.}{} --- De la dernière proposition il résulte que si~$\lambda_1$ est une constante
caractéristique de $K_1(s, t)$ ou de  $K_2(s, t)$, elle sera aussi une constante
caractéristique de $K(s, t)$. Cela posé, nous allons démontrer la
proposition suivante:

\emph{Les solutions de
\[
\Tag{(12)}
\phi_1(s) - \lambda_1 \int_a^b  K_1(s,t)\, \phi_1(t)\, dt = 0
\]
et les solutions de
\[
\Tag{(13)}
\phi_2(s) - \lambda_1 \int_a^b  K_2(s,t)\, \phi_2(t)\, dt = 0
\]
sont aussi des solutions de}
\[
\Tag{(14)}
\phi(s) - \lambda_1 \int_a^b K(s,t)\, \phi(t)\, dt = 0.
\]

\emph{Les solutions de~\Eq{(14)} sont des fonctions linéaires des solutions de~\Eq{(11)} et
de~\Eq{(12).}}

On n'oubliera pas que la solution de~\Eq{(12)} ou de~\Eq{(13)} doit se réduire
(\no \textbf{21}, p.~\Pg{66}) à zéro si~$\lambda_1$ n'est pas constante caractéristique de~$K_1$ ou
de~$K_2$.

Nous multiplions~\Eq{(12)} par $K_2(r, s)$ et nous intégrons:
\[
\int_a^b K_2(r, s)\, \phi_1(s)\, ds
  = \lambda_1 \int_a^b \left[ \int_a^b K_2(r, s)\, K_1(s, t)\, ds\right]
    \phi_1(t)\, dt = 0.
\]

Donc
\begin{multline*}
\phi_1(s) - \lambda_1 \int_a^b K(s, t)\, \phi_1(t)\, dt \\
  = \phi_1(s) - \lambda_1 \int_a^b K_1(s, t)\, \phi_1(t)\, dt
  - \lambda_1 \int_a^b K_2(s, t)\, \phi_1(t)\, dt = 0.
\end{multline*}

Il en résulte que $\phi_1(s)$~est une solution de~\Eq{(14)}. De même $\phi_2(s)$~est
aussi une solution de~\Eq{(14)}.

Réciproquement, soit~$\phi(s)$ une solution quelconque de~\Eq{(14)}.

Posons
\[
\Tag{(15)}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda_1 \int_a^b  K_1(s, t)\, \phi(t)\, dt &= \Phi_1(s) \\
\phi(s) = \Phi_1(s) &+ \Phi_2(s).
\end{aligned}
\right.
\]
\DPPageSep{155.png}{149}%

Je vais démontrer que $\Phi_1(s)$,~$\Phi_2(s)$ sont des solutions de~\Eq{(12)} et de~\Eq{(13)}
respectivement. Des équations \Eq{(14)}~et~\Eq{(15)} on tire
\[
\Tag{(16)}
\Phi_2(s) = \lambda_1 \int_a^b K_2(s, t)\, \phi(t)\, dt,
\]
d'où il résulte
\[
\int_a^b K_1(s, t)\, \Phi_2(t)\, dt
  = \lambda_1 \int_a^b \left[\int_a^b K_1(s, t)\, K_2(t, \tau)\, dt\right]
    \phi(\tau)\, d\tau = 0,
\]
et d'après~\Eq{(15)},
\[
\Phi_1(s) - \lambda_1 \int_a^b K_1(s, t)\, \Phi_1(t)\, dt
  = \lambda_1 \int_a^b K_1(s, t)\, \Phi_2(t)\, dt = 0,
\]
c'est-à-dire que $\Phi_1(s)$~est une solution de~\Eq{(12)}. De même en nous servant
de~\Eq{(14)}, nous pouvons démontrer que~$\Phi_2(s)$ est une solution
de~\Eq{(13)}.

\Paragraph{3.}{\textbf{Partie d'un noyau relative à une constante caractéristique.}} --- La
résolvante $K(s, t, \lambda)$ du noyau~$K(s, t)$, dans le voisinage du point
$\lambda = \lambda_1$, où~$\lambda_1$ est une constante caractéristique, peut s'écrire comme
au \no \textbf{21}, p.~\Pg{66}, sous la forme
\[
\Tag{(17)}
\left\{
\begin{aligned}
K(s, t , \lambda)
  &= \frac{\phi_r(s, t)}{(\lambda_1 - \lambda)^r}
   + \frac{\phi_{r-1}(s, t)}{(\lambda_1 - \lambda)^{r-1}} + \ldots
   + \frac{\phi_1(s, t)}{(\lambda_1 - \lambda)} + \phi_0(s, t, \lambda) \\
  &= \chi(s, t, \lambda) + \phi_0(s, t, \lambda),
\end{aligned}
\right.
\]
où $\phi_0(s, t, \lambda)$ est une fonction continue de~$\lambda$.

Nous appelons \emph{$\chi(s, t, \lambda)$ la partie de la résolvante relative à la constante
caractéristique~$\lambda_1$}; pour $\lambda = 0$, nous avons
\begin{align*}
K(s, t) &= \chi(s, t, 0) + \phi_0(s, t, 0),
\intertext{soit}
  &= \chi(s, t) + \phi_0(s, t),
\end{align*}
où
\[
\chi(s, t)
  = \frac{\phi_r(s, t)}{\DPtypo{\lambda_1}{\lambda_1^r}}
  + \frac{\phi_{r-1}(s, t)}{\lambda_1^{r-1}} + \ldots
  + \frac{\phi_1(s, t)}{\lambda_1}.
\]

Nous appelons \emph{$\chi(s, t)$ la partie du noyau $K(s, t)$ relative à~$\lambda_1$}.

Nous allons démontrer que les deux fonctions $\chi(s, t)$, $\phi_0(s, t)$ sont
\emph{orthogonales}. De plus, si $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n, \ldots$ sont les constantes caractéristiques
du noyau~$K(s, t)$, à chacun de ces nombres correspond une
partie
\[
\phi^{(1)}(s, t),\ \phi^{(2)}(s, t),\ \ldots\Add{,}\ \phi^{(n)}(s, t),\ \ldots\Add{.}
\]
\DPPageSep{156.png}{150}%

\emph{Ces parties sont orthogonales entre elles.} Si la série
\[
H(s,t) = \phi^{(1)}(s,t) + \phi^{(2)}(s,t) + \ldots + \phi^{(n)}(s,t) + \ldots
\]
est uniformément convergente, nous n'aurons pas en général
\[
K(s,t) = H(s,t).
\]

En posant
\[
K(s,t) = H(s,t) + \phi^{(\infty)}(s,t),
\]
nous appellerons $\phi^{(\infty)}(s,t)$ la partie relative à l'infini: \emph{elle est biorthogonale
à toutes les autres parties}.

Nous n'entrerons pas dans les détails, qu'on trouvera dans les mémoires
cités, de la démonstration de ces propriétés. Nous nous bornerons
aux idées principales.

%<tb>

Il nous sera utile d'établir d'abord quelques relations entre les fonctions
$\phi_1(s,t), \phi_2 (s,t)\ldots$.

Rappelons dans ce but la formule~\Eq{(11)}:
\[
\Tag{(11)}
\int_a^b  K(s, s, \lambda)\, ds
  = - \frac{d}{d\lambda}\, \bigl[\log D(\lambda)\bigr].
\]

Si~$\lambda_1$ est un zéro de~$D(\lambda)$ d'ordre~$p$, nous aurons
\[
D(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^p\, E(\lambda),
\]
où
\[
E(\lambda_1) \ne 0.
\]

Donc
\[
\frac{d}{d\lambda}\, \bigl[\log D(\lambda)\bigr]
  = - \frac{p}{\lambda_1 - \lambda}
    + \frac{d}{d\lambda}\, \bigl[\log E(\lambda)\bigr].
\]

L'expression $\dfrac{d}{d\lambda}\, \bigl[\log E(\lambda)\bigr]$ reste finie lorsque~$\lambda$ tend vers~$\lambda_1$, et nous
tirons de~\Eq{(11)} l'équation
\[
\Tag{(18)}
\lim_{\lambda = \lambda_1} (\lambda_1 - \lambda) \int_a^b K(s, s, \lambda)\, ds
  = +p.
\]

De \Eq{(17)}~et~\Eq{(18)} il résulte que
\[
\Tag{(19)}
\left\{
\begin{gathered}
\int_a^b \phi_r(s, s)\, ds = 0,\
\int_a^b \phi_{r-1}(s, s)\, ds = 0,\ \ldots,\
\int_a^b \phi_2 (s, s)\, ds = 0, \\
\int_a^b \phi_1(s, s)\, ds = p.
\end{gathered}\right.
\]
\DPPageSep{157.png}{151}%

Reprenons d'autre part, les équations~\Eq{(46)} du \no \textbf{11}, p.~\Pg{57}, sous la
forme suivante:
\[
\Tag{(20)}
\left\{
\begin{aligned}
&- K(s, t) + K(s, t, \lambda) \\
&= (\lambda - \lambda_1 ) \int_a^b K(s, \tau)\, K(\tau, t, \lambda )\, d\tau
              + \lambda_1 \int_a^b K(s, \tau)\, K(\tau, t, \lambda )\, d\tau \\
&= (\lambda - \lambda_1 ) \int_a^b K(s, \tau, \lambda)\, K(\tau, t)\, d\tau
              + \lambda_1 \int_a^b K(s, \tau, \lambda)\, K(\tau, t)\, d\tau.
\end{aligned}
\right.
\]

Nous substituons ensuite l'expression de $K(s, t, \lambda)$ tirée de~\Eq{(17)} dans
les équations~\Eq{(20)} et nous égalons non plus seulement les coefficients
de $(\lambda_1 - \lambda)^{-r}$, mais ceux de $(\lambda_1 - \lambda)^{-1}, (\lambda_1 - \lambda)^{-2},\ldots, (\lambda_1 - \lambda)^{-r+1}$,
dans les trois membres. Ceci nous donne comme à la page~\Pg{66},
\[
\MTag{(21)}
\phi_r(s, t)
  - \lambda_1 \int_a^b K(s, \tau)\, \phi_r(\tau, t)\, d\tau
  = \phi_r(s, t) - \lambda_1 \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_r(s, \tau)\, d\tau
  = 0,
\]
\begin{align*}
\Tag{(22)}
&\left\{
\begin{aligned}
\phi_{r-1}(s, t) - \lambda_1 \int_a^b K(s, \tau)\, \phi_{r-1} (\tau, t)\, d\tau
  &= - \int_a^b K(s, \tau)\, \phi_r(\tau, t)\, d\tau \\
\phi_{r-1}(s, t) - \lambda_1 \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_{r-1} (s, \tau)\, d\tau
  &= - \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_r(s, \tau)\, d\tau,
\end{aligned}
\right. \\
& \DotsRow \\
\Tag{(23)}
&\left\{
\begin{aligned}
\phi_1(s, t) - \lambda_1 \int_a^b K(s, \tau)\, \phi_1(\tau, t)\, d\tau
  &= - \int_a^b K(s, \tau)\, \phi_2(\tau, t)\, d\tau \\
\phi_1(s, t) - \lambda_1 \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_1(s, \tau)\, d\tau
  &= - \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_2(s, \tau)\, d\tau,
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
et
{\footnotesize%
\[
\MTag{(24)}
\left\{
\begin{aligned}
\phi_0(s, t, \lambda)
  &- \lambda \int_a^b K(s, \tau)\, \phi_0(\tau, t, \lambda)\, d\tau
   = K(s, t) - \int_a^b K(s, \tau)\, \phi_1 (\tau, t)\, d\tau \\
\phi_0 (s, t, \lambda)
  &- \lambda \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_0 (s, \tau, \lambda)\, d\tau
   = K(s, t) - \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_1(s, \tau)\, d\tau.\footnotemark
\end{aligned}
\right.
\]}%
\footnotetext{On peut écrire simplement ces formules en remplaçant les premiers
  membres par $S_{\phi_r}, S_{\phi_{r-1}}, \ldots, S_{\phi_0}$, au moyen de la notation introduite au
  \no \textbf{5}, p.~\Pg{41}.}

On transforme ces équations pour leur donner les formes suivantes
\begin{align*}
\Tag{(25)}
& \quad\int_a^b K(s, \tau)\, \phi_r(\tau,t)\, d\tau
  = \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_r(s, \tau)\, d\tau
  = \frac{\phi_r(s, t)}{\lambda_1}, \\
\Tag{(26)}
&\left\{
\begin{aligned}
\int_a^b K(s, \tau)\, \phi_{r-1}(\tau,t)\, d\tau
  &= \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_{r-1}(s, \tau)\, d\tau \\
  &= \frac{\phi_{r-1}(s, t)}{\lambda_1} + \frac{\phi_r (s, t)}{\lambda_1^2},
\end{aligned}
\right. \\
&\DotsRow \\
\DPPageSep{158.png}{152}%
\Tag{(27)}
&\left\{
\begin{aligned}
\int_a^b K(s, \tau)\, \phi_1(\tau, t)\, d\tau
  &= \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_1(s, \tau)\, d\tau \\
  &= \frac{\phi_1(s, t)}{\lambda_1}
   + \frac{\phi_2(s, t)}{\lambda_1^2} + \ldots
   + \frac{\phi_r(s, t)}{\DPtypo{\lambda}{\lambda_1}^r} \\
  &= \chi(s, t),
\end{aligned}
\right. \\
\Tag{(28)}
&\left\{
\begin{aligned}
\lambda \int_a^b K(s, \tau)\, \phi_0(\tau, t, \lambda)\, d\tau
  &= \lambda \int_a^b K(\tau, t)\, \phi_0 (s, \tau, \lambda)\, d\tau \\
   = - K(s, t)
  &+ \phi_0(s, t, \lambda) + \frac{\phi_1(s, t)}{\lambda_1} + \ldots
                           + \frac{\phi_r(s, t)}{\lambda_1^r} \\
% [** TN: No footnote text to match footnote marker in image; presumably matches previous note.]
  &= \phi_0(s, t, \lambda) - \phi_0(s, t, 0).\addtocounter{footnote}{-1}\footnotemark
\end{aligned}\right.
\end{align*}

On multiplie ensuite l'équation
{\footnotesize%
\[
\Tag{(20\bis)}
K(s, t, \lambda) - K(s, t)
  = \lambda \int_a^b K(s, \tau, \lambda)\, K(\tau, t)\, d\tau
  = \lambda \int_a^b K(\tau, t, \lambda)\, K(s, \tau)\, d\tau
\]}%
par $\phi_r(t, u)$ et on l'intègre par rapport à~$t$. En se servant de~\Eq{(25)} on a,
après un léger changement de notation,
\[
\Tag{(29)}
\int_a^b K (s, \tau, \lambda)\, \phi_r (\tau, t)\, d\tau
  = \int_a^b K(\tau, t, \lambda)\, \phi_r(s, \tau)\, d\tau
  = \frac{\phi_r(s, t)}{\lambda_1 - \lambda}.
\]

Et de la même manière on obtient les autres équations
\begin{align*}
\Tag{(30)}
&\left\{
\begin{aligned}
\int_a^b K(s, \tau, \lambda)\, \phi_{r-1} (\tau, t)\, d\tau
  &= \int_a^b K(\tau, t, \lambda)\, \phi_{r-1}(s, \tau)\, d\tau \\
  &= \frac{\phi_{r-1}(s, t)}{\lambda_1 - \lambda}
   + \frac{\phi_r(s, t)}{(\lambda_1 - \lambda)^2},
\end{aligned}
\right. \\
&\DotsRow \\
\Tag{(31)}
&\left\{
\begin{aligned}
\int_a^b K(s, \tau, \lambda)\, \phi_1 (\tau, t)\, d\tau
  &= \int_a^b K(\tau, t, \lambda)\, \phi_1 (s, \tau)\, d\tau \\
  &= \frac{\phi_1(s, t)}{\lambda_1 - \lambda}
   + \frac{\phi_2(s, t)}{(\lambda_1 - \lambda)^2} + \ldots
   + \frac{\phi_r(s, t)}{(\lambda_1 - \lambda)^r} \\
&= \chi(s, t, \lambda).
\end{aligned}
\right.
\end{align*}

On se sert de nouveau de l'équation \Eq{(17)} pour séparer dans les équations
\Eq{(29)},~\Eq{(30)},~\Eq{(31)} les coefficients de $\dfrac{1}{\lambda_1-\lambda}, \dfrac{1}{(\lambda_1-\lambda)^2}, \ldots\Add{,} \dfrac{1}{(\lambda_1-\lambda)^r}$,
et l'on obtient ainsi une série d'équations qui se résument sous la forme
\DPPageSep{159.png}{153}%
suivante:
\begin{align*}
\Tag{(32)}
& \int_a^b \phi_m(s,\tau)\, \phi_n(\tau,t)\, d\tau
\left\{
\begin{aligned}
  &= \int_a^b \phi_n(s,\tau)\, \phi_m(\tau,t)\, d\tau = 0, \\
  &\qquad\quad\text{si } m + n > r + 1, \\
  &= \phi_{m+n-1}(s,t), \\
  &\qquad\quad \text{si } m + n \le r + 1,
\end{aligned}
\right. \\
\Tag{(33)}
& \int_a^b \phi_m(s,\tau)\, \phi_0(\tau,t,\lambda)\, d\tau
  = \int_a^b \phi_0(s,\tau,\lambda)\, \phi_m(\tau,t)\, d\tau = 0,
\end{align*}
pour toute valeur de $m \DPtypo{±}{\neq} 0$.

Nous sommes maintenant en mesure de prouver les propriétés
énoncées.

\Paragraph{4.}{} --- A l'aide de~\Eq{(33)} on peut démontrer que les deux parties de
\[
K(s, t) = \chi(s, t) + \phi_0(s, t)
\]
\DPtypo{ont}{sont} orthogonales. On a, pour toute valeur régulière de $\lambda$,~$\mu$,
\[
\Tag{(34)}
\int_a^b \chi(s,\tau,\lambda)\, \phi_0(\tau,t,\mu)\, d\tau
  = \int_a^b \phi_0(s,\tau,\mu)\, \chi(\tau,t,\lambda)\, d\tau = 0.
\]

Il suffit pour le voir de remplacer $\chi(s, \tau, \lambda)$ dans cette expression
par son développement
\[
\chi(s, \tau, \lambda)
  = \frac{\phi_r(s,\tau)}{(\lambda_1 - \lambda)^r} + \ldots
  + \frac{\phi_1(s,r)}{\lambda_1 - \lambda}
\]
et de tenir compte de~\Eq{(33)}.

En faisant $\lambda = \mu = 0$ dans~\Eq{(34)}, on voit bien que $\chi(s, t)$, $\phi_0(s, t)$ sont
orthogonales. D'autre part en y remplaçant~$\lambda$ par~$0$, $\mu$~par~$\lambda$, nous
avons, d'après~\Eq{(28)},
\[
\Tag{(35)}
\left\{
\begin{aligned}
- \phi_0(s,t) + \phi_0(s,t,\lambda)
  &= \lambda \int_a^b \phi_0(s,\tau)\, \phi_0(\tau,t,\lambda)\, d\tau \\
  &= \lambda \int_a^b \phi_0(\tau,t)\, \phi_0(s,\DPtypo{t}{\tau},\lambda)\, d\tau,
\end{aligned}
\right.
\]
et, d'après \Eq{(20\bis)}~et~\Eq{(17)}
\[
\Tag{(36)}
\left\{
\begin{aligned}
-\chi(s,t) + \chi(s,t,\lambda)
  &= \lambda \int_a^b \chi(s,\tau)\, \chi(\tau,t,\lambda)\, d\tau \\
  &= \lambda \int_a^b \chi(\tau,t)\, \chi(s,\tau,\lambda)\, d\tau.
\end{aligned}
\right.
\]

On peut donc dire que les fonctions $\phi_0(s, t)$~et~$\chi(s, t)$ sont orthogonales
et ont respectivement pour résolvantes les fonctions $\phi_0(s, t, \lambda)$,
$\chi(s, t, \lambda)$. Il en résulte que nous pouvons appliquer les considérations
du \no \textbf{1}, et que, pour calculer les solutions de l'équation intégrale
\DPPageSep{160.png}{154}%
homogène~\Eq{(14)}, \emph{nous pouvons considérer à part la partie $\chi(s, t)$ du
noyau $K(s, t)$ relative à~$\lambda_1$}.

Le déterminant~$E(\lambda)$ de $\chi(s, t)$ est donné par la formule~\Eq{(11)} qui devient
ici
\[
\frac{d}{d\lambda}\, \bigl[\log E(\lambda)\bigr]
  = - \int_a^b \chi(s,s,\lambda)\, ds
  = \frac{-p}{\lambda_1 - \lambda}
  = \frac{p}{\lambda - \lambda_1},
\]
la seconde égalité provenant de~\Eq{(19)}.

Par conséquent,
\[
E(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^p × \text{const}.
\]

Mais
\[
E(0) = 1,
\]
d'où
\[
\Tag{(37)}
E(\lambda) = \left(1 - \frac{\lambda}{\lambda_1}\right)^p.
\]

C'est \emph{le facteur du déterminant~$D(\lambda)$ de $K (s, t)$ relatif à la partie
$\chi(s, t)$}.

On peut démontrer enfin que les parties du noyau relatives à deux
constantes caractéristiques sont orthogonales.

Soient, en effet, $\chi_1(s, t)$, $\chi_2(s, t)$ les parties du noyau $K(s, t)$ relatives
à $\lambda_1$,~$\lambda_2$; soient $\chi_1(s, t, \lambda)$, $\chi_2(s, t, \lambda)$ les parties correspondantes de la
résolvante. On peut poser
\[
K(s, t, \lambda)
  = \chi_1(s, t, \lambda) + \chi_2(s, t, \lambda) + \psi_0(s, t, \lambda),
\]
et, en appliquant les formules~\Eq{(34)} --- où l'on a permuté $\mu$~et~$\lambda$ --- pour
$\mu = 0$\DPtypo{.}{}
\begin{align*}
&\int_a^b \chi_1(s,\tau)\,
  \bigl[\chi_2(\tau,t,\lambda) + \psi_0(\tau,t,\lambda)\bigr]\, dt \\
= &\int_a^b \chi_1(\tau,t)\,
  \bigl[\chi_2(s,\tau,\lambda) + \psi_0(s,\tau,\lambda)\bigr]\, d\tau = 0.
\end{align*}

La fonction $\psi_0(s, t, \lambda)$ reste finie lorsque~$\lambda$ s'approche de~$\lambda_2$; donc,
en se souvenant de la forme de $\chi_2(s, t, \lambda)$, en l'introduisant dans l'égalité
précédente et annulant les termes en $\dfrac{1}{\lambda - \lambda_2},\ \dfrac{1}{(\lambda - \lambda_2)^2},\ \ldots$, il
restera
\[
\int_a^b \chi_1(s,\tau)\, \chi_2(\tau,t,\lambda)\, d\tau
  = \int_a^b \chi_1(\tau,t)\, \chi_2(s,\tau,\lambda)\, d\tau = 0.
\]

Faisant $\lambda = 0$, on aura enfin
\[
\Tag{(35)}%[** TN: Inconsistent numbering in original]
\int_a^b \chi_1(s,\tau)\, \chi_2(\tau,t)\, d\tau
  = \int_a^b \chi_1(\tau,t)\, \chi_2(s,\tau)\, d\tau = 0.
\]

Nous avons donc démontré que $\chi_1(s, t)$, $\chi_2(s, t)$ sont orthogonales.
\DPPageSep{161.png}{155}%

\Paragraph{5.}{\textbf{Fonctions principales.}} --- Envisageons maintenant la fonction
$\phi_r(s, t)$. L'équation~\Eq{(21)} indique qu'elle est une solution de chacune
des équations associées de Fredholm sans second membre pour
$\lambda = \lambda_1$. Celles-ci ont le même nombre~$q$ de solutions linéairement
indépendantes. Donc, considérée comme une fonction de~$s$, $\phi_r(s, t)$~est
la somme de $q$~fonctions linéairement indépendantes au plus, les coefficients
étant certaines fonctions de~$t$. De même, considérée comme
une fonction de~$t$, $\phi_r(s, t)$~est la somme de~$q$ fonctions indépendantes
au plus. Nous pouvons écrire $\phi_r(s, t)$ sous la forme
\[
\phi_r(s, t) = \sum^q_{k=1} \xi_k(s)\, \eta_k(t).
\]

D'après l'équation~\Eq{(22)} on voit que $\phi_{r-1}(s, t)$ est une solution de
chacune de deux équations associées de Fredholm, avec second membre,
pour $\lambda = \lambda_1$. Les conditions pour l'existence des solutions sont
nécessairement remplies, d'après~\Eq{(32)}. La forme des équations~\Eq{(22)}
démontre que $\phi_{r-1}(s, t)$ est aussi la somme d'un nombre fini de produits:
\[
\phi_{r-1}(s, t) = \sum^{k=m}_{k=1} \theta_k(s)\, \rho_k(t).
\]

Nous examinons de proche en proche toutes les fonctions $\phi_{r-2}(s, t)$,
$\phi_{r-3}(s, t), \ldots, \phi_1(s, t)$, et nous trouvons enfin que $\phi_1(s, t)$ est aussi la
somme d'un nombre fini de produits:
\[
\Tag{(36)}%[** TN: Inconsistent numbering in original]
\phi_1(s, t) = \sum_{k=1}^{k=n} \phi_k(s)\, \psi_k(t).
\]

Substituons cette expression dans une des équations~\Eq{(32)}:
\[
\int_a^b \phi_1(s, \tau)\, \phi_1(\tau, t)\, d\tau = \phi_1(s, t).
\]

Il en résulte
\[
\sum_k \sum_j \phi_k(s)\, \psi_j(t) \int_a^b \phi_j(\tau)\, \psi_k(\tau)\, d\tau
  = \sum_k \phi_k(s)\, \psi_k(t).
\]

On peut s'arranger pour que les fonctions $\phi_1(s), \ldots, \phi_n(s)$ soient
linéairement indépendantes, et que les fonctions $\psi_1(t), \ldots, \psi_n(t)$
soient aussi indépendantes. Dans ces conditions, égalons les coefficients
de $\phi_k(s)$,~$\psi_j(t)$ dans les deux membres. Ceci nous donne les relations
\[
\Tag{(37)}%[** TN: Inconsistent numbering in original]
\int_a^b \phi_k(s)\, \psi_j(s)\, ds
\begin{cases}
  = 0 &\quad\text{si}\quad k \ne j, \\
  = 1 &\quad\text{si}\quad k = j.
\end{cases}
\]
\DPPageSep{162.png}{156}%

D'où, en intégrant l'expression~\Eq{(36)} pour $s = t$
\[
\int_a^b \phi_1(s,s)\, ds = n.
\]

Rappelons une des équations~\Eq{(19)},
\[
\int_a^b \phi_1(s,s)\, ds = p,
\]
où $p$~est le degré du zéro~$\lambda_1$ de~$D(\lambda)$.

Nous obtenons $n = p$,
\[
\Tag{(38)}%[** TN: Serial numbering resumes]
\phi_1(s, t) = \sum_1^p \phi_k(s)\, \psi_k(t).
\]
Nous appellerons les~$2p$ fonctions
\[
\Tag{(39)}
\left\{
\begin{aligned}
  &\phi_1(s),\quad \phi_2(s),\quad \ldots,\quad \phi_p(s), \\
  &\psi_1(t),\quad\, \psi_2(t),\quad \ldots,\quad\, \psi_p(t),
\end{aligned}
\right.
\]
\emph{fonctions principales relatives à~$\lambda_1$}.

Si un zéro de degré~$p$ de~$D(\lambda)$ est considéré comme~$p$ zéros distincts,
on peut dire qu'\emph{une paire de fonctions principales correspond à chaque
zéro de~$D(\lambda)$}.

Les fonctions principales relatives à~$\lambda_1$ satisfont aux équations~\Eq{(37)}.
Elles constituent donc \emph{un système biorthogonal}.

Si maintenant, on écrit l'une des équations~\Eq{(32)}
\[
\int_a^b \phi_2(s,\tau)\, \phi_1(\tau, t)\, d\tau
  = \int_a^b \phi_1(s,\tau)\, \phi_2(\tau, t)\, d\tau = \phi_2(s, t)
\]
on voit que~$\phi_2$ est solution d'une équation intégrale où le noyau $\phi_1(s, t)$
est de la forme~\Eq{(38)} étudiée au \no \textbf{6}, \Secundo, p.~\Pg{43}. D'où l'on déduit que
$\phi_2$~est de la forme
\[
\phi_2(s, t) = \sum a_{ik}\, \phi_i(s)\, \psi_k(t)
\]
où les~$a_{ik}$ sont certaines constantes. On verra de même que
\[
\phi_3(s, t),\ \ldots\Add{,}\ \phi_r(s, t)
\]
sont d'une forme analogue. Dans un travail récent\footnotemark,
\footnotetext{\textit{Bulletin de la Soc.\ Math.\ de France}, t.~39, 1911, p.~95.}
M.~Lalesco \DPtypo{a}{}
a montré comment en effectuant une substitution biorthogonale convenable
sur~\Eq{(39)}, on peut réduire la résolvante à une forme canonique.
\DPPageSep{163.png}{157}%

Il y a lieu de ne pas confondre le système des fonctions principales~(39),
avec celui des fonctions fondamentales définies selon M.~Schmidt au
\no \textbf{43}, p.~\Pg{101}; non plus qu'avec le système des~$2q$ solutions des équations
intégrales homogènes associées. Toutefois, on démontre facilement que
ces dernières fonctions sont des combinaisons linéaires des~$2p$ fonctions
principales (on a vu au \no \textbf{25}, p.~\Pg{75}, que $q \le p$). Dans le cas où le
pôle est simple ($r = 1$) on démontre même que ces deux systèmes de
fonctions coïncident. Ce résultat est, en tout cas, évident pour nous
quand le noyau est symétrique.
\end{Remark}

\ctb
\DPPageSep{164.png}{158}%
%[Blank Page]
\DPPageSep{165.png}{159}%
\backmatter
\pdfbookmark[-1]{Matière Supplémentaire}{Back}


\OtherChapter{Bibliographie}

\small%
Les travaux relatifs aux équations intégrales sont à l'heure actuelle extrêmement
nombreux. Nous ne signalerons ici que quelques\DPtypo{ }{-}uns des plus importants,
tant au point de vue historique qu'au point de vue de sujets qui n'ont
pu être abordés dans le corps du présent volume.


\BibSection{I}{Théorie de l'équation en elle-même}

\Bibitem\bsc{Fredholm}, \textit{Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de Dirichlet}
(Ofr.\ Kongl.\ Vet.\ Ak.\ Förh.\ Stockholm, 1900).

\Bibitem--- \textit{Sur une classe d'équations fonctionnelles}, Acta Math.,~27, 1903.

\Bibitem\bsc{Hilbert}, \textit{Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen}.
\DPtypo{Göttingen}{Göttinger} Nachrichten, math.\ phys.\ Klasse, 1904--1908, \DPtypo{heft}{Heft}.~I--VI\@.

\Bibitem\bsc{Schmidt}, \textit{\DPtypo{Entwickelung}{Entwicklung} willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener},
Math.\ Annalen,~63.

\Bibitem\bsc{Plemelj}, \textit{Zur Theorie der Fredholmschen Funktionalgleichung}, Monatshefte für
Math.\ u.~Physik,~XV, 1904.

\Bibitem\bsc{Goursat}, \textit{Recherches sur les équations intégrales linéaires}. Ann.\ Faculté Toulouse,
1908.


\begin{BibRemark}
En ce qui concerne les conditions de continuité et le champ de validité de
la théorie, on pourra consulter
\end{BibRemark}

\Bibitem\bsc{Lebesgue}, \textit{Bulletin Soc.\ Math.\ de France}, t.~XXXVI, 1908.

\Bibitem\bsc{F.~Riesz}, \textit{Comptes Rendus Acad.\ Sc.\ Paris} du 8~avril 1907.


\begin{BibRemark}
Dans un certain nombre de travaux, l'équation de Fredholm est envisagée
au point de vue de la théorie des fonctions:
\end{BibRemark}

\Bibitem\bsc{J.~Schur}, \textit{Math.\ Annalen}, t.~LXVI, 1900, p.~508.

\Bibitem\bsc{H.~Poincaré}, \textit{Acta Mathematica}, t.~III, 1910.


\begin{BibRemark}
L'étude de la résolvante a été entreprise par
\end{BibRemark}

\Bibitem\bsc{Heywood}, \textit{Thèse}, Paris 1908 et \textit{Journal de Math}\DPtypo{,}{.,} t.~VI, 1908.

\Bibitem\bsc{Lalesco}, \textit{Bull.\ de la Soc.\ Math.\ de France}\Add{,} t.~XXXIX, 1911, p.~95.


\begin{BibRemark}
La méthode de Hilbert par le moyen de la théorie des formes quadratiques
infinies a été développée par
\end{BibRemark}

\Bibitem\bsc{Hilb}, \textit{Habilitationsschrift}\DPtypo{.}{,} Erlangen, 1908.

\Bibitem\bsc{Hellinger}, \textit{Dissertation}, Göttingen, 1907.
\DPPageSep{166.png}{160}%

\Bibitem\bsc{Weyl}, \textit{Dissertation}, Göttingen, 1908.

\Bibitem\bsc{Hellinger u.~T{\oe}plitz}, \textit{Nachrichten zu Göttingen}, 1906, 1907.


\begin{BibRemark}
\noindent et exposée plus en détail par
\end{BibRemark}

\Bibitem\bsc{Kowalewski}, \textit{Einführung in die \DPtypo{Determinanten Theorie}{Determinantentheorie}}.


\begin{BibRemark}
Pour l'équation de première espèce, voir outre les travaux de Volterra
\end{BibRemark}

\Bibitem\bsc{Lalesco}, \textit{Journal de Math}. 1908.

\Bibitem\bsc{Levi Civita}, \textit{Atti Ac.\ Sc.\ Torino}, t.~XXXI, 1895--96.

\Bibitem\bsc{Hilbert}, \textit{Grundzüge} (voir plus haut).

\Bibitem\bsc{Kellogg}, \textit{Math.\ Ann.}, t.~LVIII.

\Bibitem\bsc{Poincaré}, \textit{Sechs Vorträge}, Leipzig, Teubner, 1910.

\Bibitem\bsc{Picard}, \textit{C.~R. Ac.}~14, 18~juin 1909. \textit{Rendic.\ Circ.\ Palermo}, t.~XXIX, p.~73--97.

\Bibitem\bsc{Bateman}, \textit{Proc\DPtypo{,}{.}\ London Math.\ Soc.}, série~2, t.~IV, \textit{\DPtypo{Transaction}{Transactions} of the \DPtypo{Cambrigde}{Cambridge}
Phil.\ Soc.}, t.~XX. \textit{Math.\ Ann.}, t.~LXIII.

\Bibitem\bsc{Lauricella}, \textit{Rendic.\ Ac.\ Lincei}, t.~XVII, p.~175, 1908; t.~XVIII, p.~71, 1909;
t.~XIX, pp.~250~et~521, 1910.


\begin{BibRemark}
On trouvera aussi des applications de l'équation de Fredholm à la théorie
des équations différentielles ordinaires et en particulier aux fonctions de
Sturm-Liouville dans les mémoires de Hilbert et de Stekloff.

Au point de vue historique, il semble que la première résolution d'une
équation intégrale de première espèce soit due à \bsc{Abel} (\textit{Journal de Crelle},
t.~I, p.~153, ou \textit{{\OE}uvres}, t.~I, p.~97) qui y avait été amené par une généralisation
du problème de la tautochrone. Liouville rencontra une équation intégrale
de seconde espèce en étudiant l'équation différentielle $y_x'' + \rho^2 y = f(x)$. Enfin
avant Fredholm des équations du type de Volterra furent étudiées en même
temps par \bsc{Volterra}, \textit{Ann.\ di mat.}\ (2),~25, p.~139 et \bsc{Le~Roux}, \textit{Ann.\ Ec.\ Normale}
(3),~12, p.~244.
\end{BibRemark}


\BibSection{II}{Applications à la physique mathématique}

Avant la résolution de l'équation de Fredholm, M.~Poincaré, avait introduit
la notion de fonctions fondamentales dans son mémoire «\textit{Sur les équations
de la Physique mathématique}», Rendiconti Palermo, 1894 et dans les \textit{Acta
Mathematica}, t.~XX, 1896.

Voir sur ce sujet:

\Bibitem\bsc{Stekloff}, \textit{Théorie générale des fonctions fondamentales}, Annales Faculté Sc.\
Toulouse (2),~6, 1904, Annales de l'Ecole Normale, 1902.

\Bibitem\bsc{C.~Neumann}, \textit{Logarithmische und Newtonsche Potential}, 1877, Leipzig, Teubner.


\begin{BibRemark}
Pour les applications de l'équation de Fredholm à la Physique, voir plusieurs
mémoires de \bsc{M.~Picard}, dans les \textit{Annales de l'Ecole normale}, 1906,
1907, 1908, 1909, 1910 et dans les \textit{Rendiconti de Palerme},\DPnote{** TN: [sic] Palerme, variant} 1906, t.~XXII et
1910, t.~XXIX, ainsi que:
\end{BibRemark}

\Bibitem\bsc{Fredholm}, \textit{Solution d'un problème fondamental de la théorie de l'élasticité}. Archiv
für Matematik, 1905.

\Bibitem\bsc{Boggio}, \textit{R.~Acc.\ dei Lincei}, 1907, 1908.
\DPPageSep{167.png}{161}%

\Bibitem\bsc{Lauricella}, \textit{R.~Acc.\ dei Lincei}, 1906, 1907, 1908, \textit{Annali di Matematica}, 1907
(Sur le refroidissement des corps).

\Bibitem\bsc{Hadamard}, \textit{Mémoire couronné par l'Académie des sciences}, 1908.

\Bibitem\bsc{Poincaré}, \textit{Sechs Vorträge}. Teubner, Leipzig, 1910.


\begin{BibRemark}
Citons encore les expositions générales suivantes.
\end{BibRemark}

\Bibitem\bsc{Hans Hahn}, \textit{Bericht über die Theorie der linearen Integralgleichungen}, \textit{Jahresbericht
der Deutschen Mat.\ Verein.}, Bd.~20, 1911.

\Bibitem\bsc{Kneser}, \textit{Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der Math.\ Physik},
Brunswick, Vieweg und Sohn, 1911.


\begin{BibRemark}
Egalement une exposition élémentaire dans le livre de
\end{BibRemark}

\Bibitem\bsc{M.~Böcher}, \textit{Introduction to the study of integral \DPtypo{équations}{equations}}, Cambridge, 1909.

\ctb
\normalsize%
\DPPageSep{168.png}{162}%
%[Blank Page]
\DPPageSep{169.png}{163}%

\cleardoublepage

\OtherChapter{Table des Matières}

\ToCItem{}{Préface de M.~Hadamard} (\PgRange{V}{VI}).


\ToCSection{INTRODUCTION}

\ToCItem{I}{Généralités} (\PgRange{1}{5}).

\begin{ToCPar}
1, 2. Caractère des questions traitées dans ce livre.\ --- 3. Cas de plusieurs
variables.\ --- 4. {\smallToC Cas réel et cas complexe}\footnotemark[1].
\end{ToCPar}
\footnotetext[1]{Les titres en petits caractères correspondent aux sections qu'on peut laisser de
  côté à une première lecture.}

\ToCItem{II}{Rappel de quelques définitions et théorèmes d'Analyse} (\PgRange{5}{8}).

\begin{ToCPar}
5. Fonctions analytiques.\ --- 5 \textit{bis.} Continuité des intégrales.
\end{ToCPar}

\ToCItem{III}{Fonctions orthogonales} (\PgRange{8}{13}).

\begin{ToCPar}
6. Inégalité de Schwarz.\ --- 7. Fonctions orthogonales.\ --- 8. Normalisation.\ --- 9. Constantes
de Fourier généralisées.\ --- 10, 11. \DPtypo{Inégalités}{Inégalité} de Bessel.
\end{ToCPar}


\ToCSection{CHAPITRE PREMIER}

\ToCSubsection{PROBLÈMES SE RAMENANT A L'ÉQUATION DE FREDHOLM}

\ToCItem{I}{Problèmes de potentiel} (\PgRange{14}{27}).

\begin{ToCPar}
1. Fonctions harmoniques.\ --- 2. Potentiel.\ --- 3. Continuité du Potentiel.\ --- 4.
Problèmes relatifs à des fonctions harmoniques.\ --- 5. Problèmes
généralisés.\ --- 6, 7. Problèmes de Physique mathématique correspondant
aux précédents (Attraction newtonienne et électrostatique, Magnétisme,
Hydrodynamique, Elastostatique, Théorie de la Chaleur).\ --- 8. Fonction de
Green.\ --- 9. La mise en équation.\ --- 10. Cas de deux dimensions.
\end{ToCPar}

\ToCItem{II}{Problèmes relatifs à l'équation $\Delta V = R(x, y, z) · V$ et à des équations analogues}
(\PgRange{27}{34}).

\begin{ToCPar}
11. Les problèmes envisagés.\ \DPtypo{---\ }12. Problèmes de Physique correspondants
(Hydrodynamique, Elasticité, Théorie de la Chaleur).\ --- 13, 14. Mise
en équation.
\end{ToCPar}
\DPPageSep{170.png}{164}%


\ToCSection{CHAPITRE II}

\ToCSubsection{L'ÉQUATION DE FREDHOLM}

\begin{ToCPar}
1. Définition (page~\Pg{35}).
\end{ToCPar}

\ToCItem{I}{Méthode d'itération} (\PgRange{35}{48}).

\begin{ToCPar}
2. Itération.\ --- 3, 4. Les noyaux réitérés.\ --- 5, 5~\textit{bis.} Fonctions réciproques.\ --- 6.
{\smallToC La généralisation de Schmidt.}\ --- 7. \DPtypo{Equation}{Équation} de Volterra.
\end{ToCPar}

\ToCItem{II}{Méthode de Fredholm} (\PgRange{49}{65}).

\begin{ToCPar}
8. Réduction approximative à un système d'équations linéaires.\ --- 9. Théorème
de M.~Hadamard.\ --- 10, 11, 12. Méthode synthétique.\ --- 13, 14, 15,
16. Noyaux infinis.\ --- 17, 18, 19. \DPtypo{E}{É}tablissement de quelques formules.
\end{ToCPar}

\ToCItem{III}{Résolution de l'équation intégrale homogène} (\PgRange{65}{81}).

\begin{ToCPar}
20, 21, 22. L'équation homogène.\ --- 23, 24. {\smallToC Nombre exact de solutions indépendantes.}\ --- 25.
{\smallToC Remarque.}\ --- 26\DPtypo{.}{,} 27. Résolution de l'équation intégrale
singulière avec second membre.\ --- 28. Remarque.\ --- 28~\textit{bis.} Cas exceptionnel
de M.~Picard.
\end{ToCPar}

\ToCItem{IV}{L'équation de Fredholm à noyau symétrique} (\PgRange{81}{104}).

\begin{ToCPar}
29. Importance de la symétrie du noyau.\ --- 30. Orthogonalité des fonctions
fondamentales.\ --- 31. Réalité des constantes caractéristiques.\ --- 32, 33.
Existence d'une constante caractéristique, au moins.\ --- 34. Les constantes
caractéristiques sont des pôles simples de la fonction réciproque.\ --- 35. Développements
en séries de fonctions fondamentales.\ --- 36, 37. Développement
du noyau.\ --- 38, 39. Développement des noyaux réitérés.\ --- 40, 41.
Développements généraux.\ --- 42. Développement de la solution de l'équation
intégrale.\ --- 43, 44. {\smallToC Noyau dissymétrique.}\ --- 45. Noyau de la forme
$K(s, t)\, p(t)$ où $K$~est symétrique et $p$~positif.
\end{ToCPar}


\ToCSection{CHAPITRE III}

\ToCSubsection{RÉSOLUTION DES PROBLÈMES POSÉS DANS LE CHAPITRE PREMIER}

\ToCItem{I}{Introduction} (\PgRange{105}{108}).

\begin{ToCPar}
1. Rappel de quelques résultats.\ --- 2. Cas du noyau symétrique.
\end{ToCPar}

\ToCItem{II}{La solution des Problèmes de Potentiel} (\PgRange{108}{124}).

\begin{ToCPar}
3. L'équation intégrale à résoudre.\ --- 4. Formule de Green.\ --- 5. La valeur
$\lambda = -1$ est une constante caractéristique.\ --- 6. La valeur $\lambda = +1$
n'est pas une constante caractéristique.\ --- 7. Existence des solutions.\ --- 8,
9. Les constantes caractéristiques sont réelles.\ --- 10. Les constantes
caractéristiques sont des pôles simples.\ --- 11. Les modules des constantes
caractéristiques ne sont pas inférieurs à l'unité.\ --- 12. Cas de plusieurs
surfaces.\ --- 13. Problème de la chaleur.\ --- 14. Fonction de Green.\ --- 15.
Les Problèmes généralisés.
\end{ToCPar}
\DPPageSep{171.png}{165}%

\ToCItem{III}{Problèmes relatifs a l'équation $\Delta V = R(x, y, z) · V$ et à des équations analogues}
(\PgRange{124}{140}).

\begin{ToCPar}
16. Cas intérieur pour la condition de Dirichlet. Cas extérieur.\ --- 17.
Condition de Neumann.\ --- 18. Problème de la chaleur.\ --- 19. Résolution
de l'équation $\Delta V = R(x, y, z)\,\dfrac{\partial V}{\partial t}$ avec la condition $V = 0$ sur la
surface.\ --- 20. La solution est unique.\ --- 21. Condition de Dirichlet.\ --- 22.
Condition de Neumann.\ --- 23. Résolution de l'équation $\Delta V = R(x, y, z)\, \dfrac{\partial^2 V}{\partial t^2}$.\ --- 24.
\DPtypo{Equation}{Équation} générale \DPtypo{ellliptique}{elliptique}.
\end{ToCPar}


\ToCItem{}{Note A} (\PgRange{141}{145}).

\begin{ToCPar}
Itération des noyaux infinis dans le cas des intégrales doubles.
\end{ToCPar}


\ToCItem{}{Note B} (\PgRange{146}{159}).

\begin{ToCPar}
Propriétés de la résolvante de l'équation de Fredholm.
\end{ToCPar}

\ToCItem{}{Bibliographie} (\PgRange{159}{161}).

\ToCItem{}{Table des matières} (\PgRange{163}{165}).

\ctb
\clearpage\fancyhf{}\cleardoublepage

\DPPageSep{172.png}{166}%
%[Blank Page]
\DPPageSep{173.png}{167}%

\null\vfill
\begin{center}
\setlength{\TmpLen}{8pt}%
\rule{2in}{0.5pt} \\[\TmpLen]
SAINT-AMAND (CHER). --- IMPRIMERIE BUSSIÈRE \\[\TmpLen]
\rule{2in}{0.5pt}
\end{center}
\vfill
\cleardoublepage

%%%% LICENSE %%%%
\pagenumbering{Alph}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{License}{License}
\fancyhead[C]{\CtrHeading{License}}
\SetPageNumbers

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of L'Équation de Fredholm, by 
Horace Bryon Heywood and Maurice Fréchet

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     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
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or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of L'Équation de Fredholm, by        %
% Horace Bryon Heywood and Maurice Fréchet                                %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK L'ÉQUATION DE FREDHOLM ***      %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 33229-t.tex or 33229-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/3/2/2/33229/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}
###
@ControlwordReplace = (
  ['\\oe', 'oe'],
  ['\\OE', 'Oe'],
  ['\\Primo', '1^o '],
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  ['\\Tertio', '3^o '],
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  ['\\Cinqo', '5^o ']
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@ControlwordArguments = (
#  ['\\DPPageSep', 1, 1, '%% ---', '-----', 1, 0, '', ''],
  ['\\DPPageSep', 1, 0, '', '', 1, 0, '', ''],
  ['\\PgRange', 1, 1, 'pages ', '--', 1, 1, '', ''],
  ['\\Chapter', 1, 1, '', '. ', 1, 1, '', ''],
  ['\\OtherChapter', 1, 1, '', ''],
  ['\\Section', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Subsection', 1, 1, '', ''],
  ['\\BibSection', 1, 1, '', '. ', 1, 1, '', ''],
  ['\\ToCItem', 1, 1, '', '. ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Paragraph', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Note', 1, 0, '', '', 1, 1, 'Note ', '. ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Input', 0, 0, '', '', 1, 0, '<GRAPHIC>', ''],
  ['\\Ord', 1, 1, '', '', 1, 1, '^{', '}'],
  ['\\DPtypo', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\DPnote', 1, 0, '', ''],
  ['\\pdfbookmark', 0, 0, '', '', 1, 0, '', '', 1, 0, '', ''],
  ['\\addtocounter', 1, 0, '', '', 1, 0, '', '']
  );
###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  22 JUL 2010 08:40
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**33229-t.tex
(./33229-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
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\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
\std@mcc=\count89
\dec@mcc=\count90
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count91
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\calc@Adimen=\dimen105
\calc@Bdimen=\dimen106
\calc@Askip=\skip43
\calc@Bskip=\skip44
LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
\calc@Ccount=\count93
\calc@Cskip=\skip45
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/textcomp.sty
Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
Package textcomp Info: Sub-encoding information:
(textcomp)               5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
(textcomp)               4 = 5 + \texteuro
(textcomp)               3 = 4 + \textohm
(textcomp)               2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
(textcomp)               1 = TS1 - \textcircled - \t
(textcomp)               0 = TS1 (full)
(textcomp)             Font families with sub-encoding setting implement
(textcomp)             only a restricted character set as indicated.
(textcomp)             Family '?' is the default used for unknown fonts.
(textcomp)             See the documentation for details.
Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
)
LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
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Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290.
Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291.
Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
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Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
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Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.

Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
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Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313.
Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314.
Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315.
Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316.
Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317.
Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318.
Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319.
Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320.
Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321.
Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322.
Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323.
Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324.
Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip46
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen107
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen108
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count94
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count95
\leftroot@=\count96
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count97
\DOTSCASE@=\count98
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen109
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count99
\c@MaxMatrixCols=\count100
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count101
\dspbrk@lvl=\count102
\tag@help=\toks17
\row@=\count103
\column@=\count104
\maxfields@=\count105
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen110
\alignsep@=\dimen111
\tagshift@=\dimen112
\tagwidth@=\dimen113
\totwidth@=\dimen114
\lineht@=\dimen115
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip47
\multlinetaggap=\skip48
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty
Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
\symrsfs=\mathgroup6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty
Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
\col@sep=\dimen116
\extrarowheight=\dimen117
\NC@list=\toks21
\extratabsurround=\skip49
\backup@length=\skip50
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/textcase/textcase.sty
Package: textcase 2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks22
\footnotemargin=\dimen118
\c@pp@next@reset=\count106
\c@@fnserial=\count107
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks23
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count108
))
\Gin@req@height=\dimen119
\Gin@req@width=\dimen120
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen121
\WF@size=\dimen122
\c@WF@wrappedlines=\count109
\WF@box=\box28
\WF@everypar=\toks24
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip51
\f@ncyO@elh=\skip52
\f@ncyO@erh=\skip53
\f@ncyO@olh=\skip54
\f@ncyO@orh=\skip55
\f@ncyO@elf=\skip56
\f@ncyO@erf=\skip57
\f@ncyO@olf=\skip58
\f@ncyO@orf=\skip59
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count110
\Gm@cntv=\count111
\c@Gm@tempcnt=\count112
\Gm@bindingoffset=\dimen123
\Gm@wd@mp=\dimen124
\Gm@odd@mp=\dimen125
\Gm@even@mp=\dimen126
\Gm@dimlist=\toks25
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen127
\Hy@linkcounter=\count113
\Hy@pagecounter=\count114
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count115
\Field@Width=\dimen128
\Fld@charsize=\dimen129
\Choice@toks=\toks26
\Field@toks=\toks27
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count116
\c@Item=\count117
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count118
)
\c@ChapNo=\count119
\EBshort=\box29
<./images/bar48.pdf, id=5, 8.03pt x 48.18pt>
File: ./images/bar48.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/bar48.pdf>
\EBmed=\box30
<./images/bar72.pdf, id=6, 8.03pt x 73.27374pt>
File: ./images/bar72.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/bar72.pdf>
\EBtall=\box31
<./images/bar108.pdf, id=7, 8.03pt x 104.39pt>
File: ./images/bar108.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/bar108.pdf>
\EBvtall=\box32
<./images/bar144.pdf, id=8, 8.03pt x 140.525pt>
File: ./images/bar144.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/bar144.pdf>
\GGlyph=\box33
<./images/Gscr.pdf, id=9, 376.40625pt x 650.43pt>
File: ./images/Gscr.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/Gscr.pdf>
\TmpLen=\skip60
(./33229-t.aux)
\openout1 = `33229-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 631.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 631.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 631.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 631.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 631.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 631.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 631.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 631.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 631.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 631.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 631.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 631.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 631.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 631.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for TS1+cmr on input line 631.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd
File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 631.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 631.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 631.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 631.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count120
\scratchdimen=\dimen130
\scratchbox=\box34
\nofMPsegments=\count121
\nofMParguments=\count122
\everyMPshowfont=\toks28
\MPscratchCnt=\count123
\MPscratchDim=\dimen131
\MPnumerator=\count124
\everyMPtoPDFconversion=\toks29
)
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 36.135pt, 361.34999pt, 36.13501pt
v-parts: 13.98709pt, 543.19225pt, 20.98065pt
hmarginratio: 1:1
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: true
includefoot: true
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  433.62pt
\paperheight 578.15999pt
\textwidth  361.34999pt
\textheight 481.31845pt
\oddsidemargin  -36.135pt
\evensidemargin -36.13498pt
\topmargin  -58.2829pt
\headheight 12.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 631.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count125
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 631.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 631.
(./33229-t.out) (./33229-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `33229-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 669.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 669.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+rsfs on input line 669.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd
File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1

]
Overfull \hbox (0.49998pt too wide) in paragraph at lines 727--737
 [][][][] 
 []

[2

] [3



] [4] [1




 <./images/bar48.pdf>] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14



] <./images/021a.pdf, id=229, 167.62625pt x 194.7275pt>
File: ./images/021a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/021a.pdf> [15] [16 <./images/021a.pdf> <./images/bar72.pdf>] [17]
[18] [19] [20] [21] [22] [23 <./images/Gscr.pdf>] <./images/029a.pdf, id=311, 1
62.6075pt x 164.615pt>
File: ./images/029a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/029a.pdf> [24 <./images/029a.pdf>] [25] [26] [27] [28] [29] [30] 
[31] [32] [33] [34] [35] [36] [37



] [38]
Overfull \hbox (1.28877pt too wide) detected at line 2487
 []$[] \OT1/cmr/m/n/10 + [][] K(\OML/cmm/m/it/10 s; t\OT1/cmr/m/n/10 ) [][] K(\
OML/cmm/m/it/10 t; t[]\OT1/cmr/m/n/10 ) [] [][] K(\OML/cmm/m/it/10 t[]; t[]\OT1
/cmr/m/n/10 ) \OML/cmm/m/it/10 f\OT1/cmr/m/n/10 (\OML/cmm/m/it/10 t[]\OT1/cmr/m
/n/10 ) \OML/cmm/m/it/10 dt[] dt[] [] dt[] dt \OT1/cmr/m/n/10 + R[]  $ 
 []

[39]
File: ./images/bar72.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/bar72.pdf> [40] [41]
Overfull \hbox (0.33968pt too wide) in paragraph at lines 2655--2659
[]\OT1/cmr/m/n/12 M. Vol-terra a montr^^Se que, connais-sant une fonc-tion r^^S
eciproque $\OML/cmm/m/it/10 k\OT1/cmr/m/n/10 (\OML/cmm/m/it/10 s; t\OT1/cmr/m/n
/10 )$
 []

[42] [43] [44]
Overfull \hbox (4.1442pt too wide) detected at line 2783
[]\OT1/cmr/m/n/10 K[](\OML/cmm/m/it/10 s; t\OT1/cmr/m/n/10 )[] \U/msa/m/n/10 6 
[][] ^^E [][] \OML/cmm/m/it/10 :
 []

[45] [46] [47] [48] [49]
Overfull \hbox (3.02457pt too wide) detected at line 3050
[] []
 []

[50] [51] [52]
Overfull \hbox (2.08633pt too wide) in paragraph at lines 3165--3165
[] 
 []

[53] [54] [55] [56] [57] [58]
Overfull \hbox (3.64613pt too wide) detected at line 3462
 []$[] [] \OML/cmm/m/it/10 ds[] [] ds[]  $ 
 []

[59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70]
Overfull \hbox (0.82462pt too wide) in paragraph at lines 3976--3976
[] 
 []

[71] [72] [73] [74]
Overfull \hbox (3.4382pt too wide) detected at line 4165
\OML/cmm/m/it/10.95 n [][] \OT1/cmr/m/n/10.95 K(\OML/cmm/m/it/10.95 s[]; ^^\\OT
1/cmr/m/n/10.95 ) [] \OML/cmm/m/it/10.95 d^^\
 []

[75 <./images/bar144.pdf>] [76] [77 <./images/bar108.pdf>] [78] [79] [80] [81] 
[82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 4879.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [10
4] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115



] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128]
[129] <./images/125a.pdf, id=1084, 164.615pt x 112.42pt>
File: ./images/125a.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/125a.pdf> [130 <./images/125a.pdf>] [131] [132] [133] [134] [135]
[136] [137] [138]
Overfull \hbox (4.47644pt too wide) in paragraph at lines 7121--7123
[]\OT1/cmr/m/n/12 Or mul-ti-plions l'^^Sequation $\OT1/cmr/m/n/10 (55)$ \OT1/cm
r/m/n/12 par $\OT1/cmr/m/n/10 R(M) \OML/cmm/m/it/10 d![]$ \OT1/cmr/m/n/12 et ef
-fec-tuons l'int^^Segration
 []

[139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [
152] [153] [154] [155



] [156] [157] [158]
Overfull \hbox (2.0001pt too wide) in paragraph at lines 8012--8015
\OT1/cmr/m/n/10.95 o^^Ru la forme qua-dra-tique (^^Ra co-ef-fi-cients constants
) qui fi-gure au d^^Senominateur
 []

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dentifier (name{page.I}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.9506 \end{document}
                      [9] (./33229-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
textcomp.sty    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
mathrsfs.sty    1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
   array.sty    2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
textcase.sty    2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC)
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
./images/bar48.pdf
./images/bar72.pdf
./images/bar108.pdf
./images/bar144.pdf
./images/Gscr.pdf
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
  ts1cmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
supp-pdf.tex
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 33229-t.out
 33229-t.out
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
   ursfs.fd    1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
./images/021a.pdf
./images/029a.pdf
./images/bar72.pdf
    ueuf.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
./images/125a.pdf
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 6778 strings out of 94074
 86823 string characters out of 1165154
 161149 words of memory out of 1500000
 9165 multiletter control sequences out of 10000+50000
 36248 words of font info for 86 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,19n,45p,264b,486s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}{/usr/share/texmf
/fonts/enc/dvips/lm/lm-ec.enc}</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/
cmbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx12.pfb></usr/sh
are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fo
nts/type1/bluesky/cm/cmcsc10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/
cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr
/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texliv
e/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesk
y/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr
/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive
/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky
/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr5.pfb></usr/s
hare/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fo
nts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/
cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmssbx10.pfb></usr/sh
are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
onts/type1/bluesky/cm/cmsy5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/c
m/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/sh
are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fo
nts/type1/bluesky/cm/cmti10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/c
m/cmti12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti8.pfb></usr/s
hare/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt9.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
onts/type1/bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr10
.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr12.pfb></usr/share/texmf-texliv
e/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-su
per/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb>
Output written on 33229-t.pdf (196 pages, 900109 bytes).
PDF statistics:
 1780 PDF objects out of 2073 (max. 8388607)
 758 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 177 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

