The Project Gutenberg EBook of Die hauptschlichsten Theorien der Geometrie, by 
Gino Loria

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Title: Die hauptschlichsten Theorien der Geometrie

Author: Gino Loria

Translator: Fritz Schtte

Release Date: September 14, 2010 [EBook #33726]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE HAUPTSCHLICHSTEN ***




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DIE HAUPTSCHLICHSTEN

THEORIEN DER GEOMETRIE

IN IHRER FRHEREN

UND

HEUTIGEN ENTWICKELUNG.

HISTORISCHE MONOGRAPHIE

VON

DR. GINO LORIA,

PROFESSOR DER HHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITT ZU GENUA.

------

UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSTZE UND VERBESSERUNGEN SEITENS DES
VERFASSERS

INS DEUTSCHE BERTRAGEN

VON

FRITZ SCHTTE.

MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM.

LEIPZIG,

VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1888.

       *       *       *       *       *


Druck von B. G. Teubner in Dresden.

       *       *       *       *       *


Seiner teueren Mutter

als schwaches Unterpfand inniger Liebe

widmet diese Arbeit

der Verfasser.

{III}



       *       *       *       *       *

Vorwort.

------



Diese deutsche bersetzung der im vergangenen Jahre in den _Memorie della
Reale Accademia delle Scienze di Torino_ (Ser. II, Bd. 38) erschienenen
Monographie des Herrn Gino Loria: _Il passato e il presente delle
principali teorie geometriche_, welche mein Schler Herr Fritz Schtte
angefertigt hat, begleite ich gern mit einem empfehlenden Vorworte, nachdem
ich sie mit der Originalschrift und den handschriftlichen Zustzen und
Verbesserungen des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre Richtigkeit
verglichen habe.

Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns mehr
vorwrts bringt, als es frher in einem Jahrhundert geschah, welche uns zu
ungeahnten allgemeinen Anschauungen gefhrt hat, zu besitzen, ist der
Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich
schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fnfzig
Jahren, wo der _Aperu historique_ von Chasles erschien.

Herr Loria will seine Chronik, wie er seine Schrift in der Einleitung
nennt, nur als eine Vorarbeit angesehen haben, welche zur Inangriffnahme
des groen Werkes der Abfassung einer Geschichte der modernen Geometrie
anspornen und diesem Werke dienen soll. Der Umfang, den er zunchst seiner
Arbeit gegeben hat, bringt es, wie er selbst mehrfach bemerkt, freilich mit
sich, da die Darstellung bisweilen auf eine bloe Aufzhlung von Namen und
Schriften hinausluft. Aber auch in diesem engeren Rahmen ist es, meine
ich, dem {IV} Verfasser gelungen, dem Leser, als welchen ich mir in erster
Linie einen Studierenden vorstelle, der schon etwas ber die Anfnge hinaus
ist, eine anschauliche bersicht der hauptschlichsten
Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit vorzufhren; fr alle
Geometer aber werden die reichhaltigen Litteraturnachweise von groem Werte
sein. Etwaige Lcken in denselben wird jeder, der unsere fast unbersehbare
und den wenigsten vollstndig zugngliche mathematische Litteratur kennt,
dem Verfasser nicht anrechnen, und jede Mitteilung einer wesentlichen
Verbesserung oder Ergnzung wird er gewi gern entgegennehmen, um seine
Schrift noch wertvoller zu machen, falls ihr eine neue Auflage beschieden
wrde.

Die Vernderungen, welche diese bersetzung im Vergleich mit dem
italienischen Originale aufweist, bestehen, auer stark vermehrten
Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der
Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die
Gestalt der Kurven und der Oberflchen und die abzhlende Geometrie
bezglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen Abschnitte.

  Mnster  i. W., Ende Mai 1888.

  R. STURM.

{V}



       *       *       *       *       *

Inhaltsverzeichnis.

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                                                                      Seite

  Einleitung                                                              1

     I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts                  3

    II. Theorie der ebenen Kurven                                        21

   III. Theorie der Oberflchen                                          31

    IV. Untersuchungen ber die Gestalt der Kurven und Oberflchen.
        Abzhlende Geometrie                                             60

     V. Theorie der Kurven doppelter Krmmung                            71

    VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen                   80

   VII. Geometrie der Geraden                                            98

  VIII. Nicht-Euklidische Geometrie                                     106

    IX. Geometrie von n Dimensionen                                     115

  Schluss                                                               124

  Abkrzungen fr die hufig erwhnten Zeitschriften                    130

  Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist 132

{1}



       *       *       *       *       *

Einleitung.

------



    Aprs six mille annes d'observations l'esprit humain n'est pas
    puis; il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut
    trouver  l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes  ses
    connaissances et  ses inventions. -- Bossuet.

Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der Mathematik
im besonderen[1] sind in diesen letzten Zeiten so betrchtlich gewesen,
fortwhrend folgen weitere nach, so schnell und unaufhaltsam, da sich
lebhaft das Bedrfnis fhlen macht, einen Rckblick auf den schon gemachten
Weg zu werfen, welcher den Anfngern ein leichteres Eindringen in die
Geheimnisse derselben und den schon Vorgeschrittenen ein sichereres Urteil
gestattet, welches die Probleme sind, deren Lsung am dringendsten ist.

Der Wunsch, diesem Bedrfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie
anlangt, d. h. soweit es den hheren Teil {2} unserer positiven Kenntnis
betrifft -- da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la gomtrie nous
surpasse -- ist es, der mich veranlat, vorliegende Abhandlung zu
schreiben.

Mge dieser unvollkommene Abri die Veranlassung sein zu einer Schrift, die
der Erhabenheit ihres Zieles wrdig ist; mge diese drftige Chronik der
Vorlufer sein einer Geschichte der Geometrie in unserem Jahrhundert. {3}



       *       *       *       *       *

I.

Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts.

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Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander
verknpft, da man vergebens versuchen wrde, irgend einen Zweig der
Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick
auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen.[2] Wenn das im
allgemeinen wahr ist, so wird es doppelt der Fall sein bei einer
Wissenschaft, die so konservativ ist, wie die Mathematik, welche das Werk
der vorhergehenden Periode nicht zerstrt, um an dessen Stelle neue Bauten
zu errichten.[3] Daher ist es unerllich, da ich, bevor ich an das
eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor ich ber die
moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die Geometrie zu
dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, ihre Entwickelung
eingehender zu verfolgen.

Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist ein
fast unausfhrbares Unternehmen. Die tglichen Erfahrungen jedes denkenden
Menschen fhren auf eine so natrliche Weise zur Vorstellung der
einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer gegenseitigen
Beziehungen, da man vergebens versuchen wrde, den Namen desjenigen zu
nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, zu welcher Zeit
sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man ber die ersten
Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich {4} vornimmt, sie
festzustellen, den umhllt, wenn nicht vllige Finsternis, so doch nur ein
wenig Dmmerlicht, welches ihm nur gestattet, die Umrisse bedeutenderer
Bruchstcke, welche sich den Unbilden der Zeit entzogen haben, zu erkennen.
So kann ein solcher feststellen, da die ltesten geometrischen Studien von
den gyptern gemacht sind, und kann die Erzhlung Herodots wiederholen,
nach welcher diesem Volke ein sehr wirksamer Antrieb, sich mit Geometrie zu
befassen, durch die periodischen berschwemmungen des Nils gegeben wurde,
welche, indem sie die Grenzen zwischen den kleinen Besitzungen, in die
gypten unter seine Einwohner verteilt war, verwischten, sie ntigten,
dieselben jedes Jahr wieder herzustellen.[4] Die Haltbarkeit dieser
Hypothese, um die Thatsache zu erklren, da in gypten die Wissenschaft,
von der wir handeln, eifrig betrieben sei, wird durch die praktische Natur
der Gegenstnde bewiesen, welche dort eingehender behandelt wurden:
specielle Konstruktionen, Messungen von Lngen, Flcheninhalten, Volumen
u. s. f.[5]

Indem die Kenntnisse der gypter nach Griechenland bergingen, erhielten
sie durch Thales (640-540)[6] und die Anhnger der ionischen Schule, welche
er grndete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der That der
erste, der sich damit beschftigt hat, die von den gyptern entdeckten
Stze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich die Geometrie
unter seinen Hnden noch nicht zur wahren Wissenschaft; diese Wrde
erlangte sie erst {5} durch die Untersuchungen des Pythagoras (nach einigen
569-470, 580-500 nach anderen) und seiner Schler. Unglcklicher Weise aber
bestand eine der Regeln, welche die Pythagorer strenge beobachten muten,
darin, da sie die Lehren, welche der Meister vortrug, geheim halten
muten; daher kam es, dass der geometrische Teil derselben allen, die nicht
dieser Schule angehrten, unbekannt blieb. Aber nachdem das Haupt gestorben
war, da suchten seine Anhnger, als sie bei den inneren Kmpfen, welche die
Republiken Grossgriechenlands zerrissen, besiegt worden waren, Zuflucht in
Athen und offenbarten dort, von der Not getrieben, die Geheimnisse, welche
sie bis dahin so strenge verwahrt hatten. Und der wohlthtige Einflu einer
grsseren Verbreitung dessen, was die Pythagorer von der Mathematik
wuten, ist durch die wichtigen Forschungen offenbar geworden, welche in
der Folgezeit die griechischen Gelehrten in der Periode, welche zwischen
Pythagoras und Plato (429-348) liegt, gemacht haben. Sie knnen in drei
Kategorien geteilt werden, benannt nach den berhmten Problemen: der
Dreiteilung des Winkels, der Verdoppelung des Wrfels, der Quadratur des
Kreises, und fhrten zur Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der
ebenen Geometrie.

Plato verdanken wir den ersten Ansto zum methodischen Studium der
Stereometrie, und das ist nicht das Einzige, wofr der gttliche Philosoph
auf den Dank der Geometer Anspruch erheben knnte; denn ihm ist auch die
analytische Methode zuzuschreiben, deren Macht allen bekannt ist, und
seiner Schule (Akademie) die Lehre von den Kegelschnitten und, was nicht
weniger wichtig ist, die von den geometrischen rtern.

Aus diesen gedrngten Angaben[7] wird man leicht entnehmen knnen, da die
Bemhungen der angefhrten Geometer zu einer Flle von Eigenschaften der
Figuren und zu Methoden, sie zu erklren, gefhrt und die Elemente fr eine
methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet hatten. {6} Daher dauerte
es nicht lange, da vollstndige Zusammenstellungen dessen, was entdeckt
war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die Existenz; nur eine einzige
ist uns vollstndig erhalten worden, _die Elemente_ des Euklides, und das
glnzende Licht, welches von ihnen ausgeht, fhrt uns zu der Vermutung, da
alle die anderen Zusammenstellungen durch die Vergleichung mit ihnen
verdunkelt sind.

Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig angesehen
wird, von dem man fr die Entwickelung der Jugend diejenigen Resultate
erhoffen kann, mit Rcksicht auf die bei allen zivilisierten Nationen der
Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung in der Erziehung
der Jugend inne hat,[8] nimmt die wahre Wissenschaft der Geometrie ihren
Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der groartige Bau der
griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel sich die anderen
Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von Archimedes (287-212),
Eratosthenes (276-194) und Apollonius (ca. 200 v. Ch.) befinden.[9]

Diese berhmten Gelehrten bezeichnen den Hhepunkt der griechischen
Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, trotz
einiger wichtiger Untersuchungen eines Hipparch (161-126) und eines
Ptolomaeus (125 bis ungefhr 200), trotz der Arbeit eines genialen
Kommentators, wie Pappus war (derselbe lebte gegen Ende des {7} dritten
Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), kommen wir nach und nach zu einer
Periode vlliger Unthtigkeit auf dem Gebiete der Geometrie.

Die Rmer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes
Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche, in
welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren
Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit zu
erreichen suchten, die fr die Bedrfnisse des tglichen Lebens
ausreicht.[10]

{8}

Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer lngeren
Errterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze
Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem
man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt. Man
kann nur erwhnen, da die vielfachen in dieser Zeit errichteten heiligen
Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines groen Dichters so zahlreich und
khn waren, weil sie die einzigen der menschlichen Intelligenz damals
erlaubten uerungen darstellen, Kunde davon geben, da derjenige Teil
unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister unentbehrlich ist, auch in
dieser Zeit im allgemeinen bekannt war.

Diese fr unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet ansehen
mit Leonardo Fibonacci (etwa 1180-1250); erst als von diesem
ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa bergefhrt worden war,
und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einflu ausbten, da hatte diese
Periode der wissenschaftlichen Unthtigkeit ein Ende, und es beginnt eine
neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern mssen, da in ihr
unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte
diese Periode, wenn sie auch von groer Bedeutung fr die analytischen
Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen.
Cardano (1501-1576), Scipio Ferro (?-1525), Tartaglia (1500-1559), Ludovico
Ferrari (1522-1565) und andere weniger bedeutende, die dieser Periode
angehren, haben den Ruhm, in unserem Lande die Entwickelung eines der
wichtigeren Teile der Analysis, nmlich der Theorie der Gleichungen,
bewirkt zu haben, sowie auch die Vervollkommnung einiger der schwierigsten
Teile derselben gefrdert zu haben, dank den ffentlichen
wissenschaftlichen Herausforderungen, welche eine charakteristische
Eigentmlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen berlieferten {9} sie die
Geometrie ihren Nachkommen fast in demselben Zustande, in welchem sie
dieselbe von den Griechen und den Arabern erhalten hatten.[11]

Nach dem Tode dieser tapferen Kmpen ging der Primat in der Mathematik ber
die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines Vieta
(1540-1603) und eines Fermat (1590-1663) bernommen. Durch sie bereicherte
sich die Geometrie mit Lsungen, die man vorher vergebens gesucht hatte.
Auch wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust man beklagt hatte,
wieder hergestellt.

Nicht viel spter vermehrten Pascal (1623-1662) und Desargues (1593-1662)
das Erbteil der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen
Methoden und neuen Stzen[12]. Aber die von ihnen ausgesprochenen Ideen
blieben {10} viele Jahre hindurch unfruchtbar, weil sie von dem
analytischen Geiste, dessen berwiegender Einflu sich schon geltend
gemacht hatte, unterdrckt wurden.

Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch nicht ein
solches, da es die Geometer die Probleme, deren Lsung man seit langer
Zeit und so lebhaft gewnscht hatte, vergessen lie. Zwischen den
Bestrebungen dieser Zeit und den Wnschen der Gelehrten erhob sich in der
Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstoe
verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der
fhig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen
erleuchten sollte;[13] es entstand die analytische Geometrie (1637).

Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in
einigen praktischen Regeln der Maler, der gyptischen Astronomen und der
rmischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute
rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon die
Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit
geometrische Betrachtungen auf die Lsung der Gleichungen angewandt
hatten,[14] wenn auch schon Vieta die Abscissen gebraucht hatte, um
vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn schlielich
Nicolaus Oresme (ca. 1320-1382) und Fermat mehr oder weniger bewut sich
der Koordinaten bedient haben; so scheint doch ganz unbestreitbar Descartes
(1596-1650) der erste zu sein, welcher in ihrer ganzen Ausdehnung die volle
Einsicht von der Mglichkeit, mit den algebraischen Rechnungszeichen die
nach irgend einem Gesetze aufgebauten Formen des Raumes darzustellen,
gehabt und der den ganzen Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus
ihrer {11} unerwarteten Vereinigung ziehen knnen, erkannt hat. Mit Recht
wird daher Cartesius' Namen immer mit der Entdeckung der analytischen
Geometrie verbunden bleiben.[15]

Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu lsen
gestattete, welche die Alten fr unangreifbar hielten, lie die
Zeitgenossen und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides,
Archimedes und Apollonius erffneten Wege ganz vergessen, so dass wir eine
Zeitlang niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen Wahrheit zu
gelangen, sie eingeschlagen htte.

Die kurz nach Descartes gleichzeitig von Leibniz (1646-1716) und Newton
(1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten gerade diese Richtung,
da sie bewirkten, da man sich um diejenigen Probleme nicht bekmmerte,
deren Lsung nicht geeignet war, die Allmacht der Methoden, welche die Welt
diesen unsterblichen Geistern verdankt, hervortreten zu lassen, derartig,
da man sagen kann, da mit Ausnahme der _Philosophiae naturalis principia
mathematica_ (1686) von Newton und einiger Seiten von Huygens
(1629-1695),[16] von La Hire (1640-1718),[17] von Halley (1656-1742),[18]
Maclaurin (1698-1746),[19] Simpson (1687-1768),[20] von Stewart {12}
(1717-1785)[21] keine mathematische Produktion jener Zeit dem angehrt, was
wir heute synthetische Geometrie zu nennen pflegen.[22]

Das hindert aber nicht, da man diese Periode ohne Bedenken zu den
erfreulichsten fr die Geometrie rechnen mu. In der That ist der grere
Teil der Probleme, welche von den Erfindern der Infinitesimalrechnung und
ihren unmittelbaren Schlern aufgestellt oder gelst worden, unter die
wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da sie die interessantesten
und verstecktesten geometrischen und mechanischen Eigenschaften der Kurven
und Oberflchen berhren. Wir sehen daher, da nicht allein die Zahl der
Kurven, welche einer nheren Betrachtung wert sind, sich ausserordentlich
vermehrt,[23] sondern auch -- was viel wichtiger ist --, da die
Betrachtung von Singularitten einer Kurve und anderer neuer mit dieser
verbundener Elemente eingefbrt wird, und da infolge dessen
Untersuchungsgebiete sich erffnen, deren Existenz man vorher gar nicht
geahnt hatte.

Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Auflsung einer so
groen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, trieb
natrlich die Geometer an, {13} eine hnliche fr das Studium der
Raumkurven und der Oberflchen zu schaffen. Daher entstand eine
Verallgemeinerung dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte,
und die Schooten (16..-1661)[24] in weiterer Ausfhrung verffentlichte.
Diese Andeutungen lieen bei Parent (1666-1716) den Gedanken entstehen,
eine Oberflche durch eine Gleichung zwischen den drei Koordinaten eines
ihrer Punkte darzustellen,[25] und bereiteten deshalb die analytische
Geometrie dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen
Teil der Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung
von Clairaut (1715-1765),[26] in welcher er im Alter von nur 16 Jahren mit
einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter Krmmung
bezglichen Problemen lste, welche ihre entsprechenden in der Ebene
finden. Bald nach Clairaut schuf Euler (1707-1783) die analytische Theorie
der Krmmung der Oberflchen (1760)[27] und wandte die analytische Methode
an, um eine Klassifikation der Oberflchen zweiten Grades zu erhalten,
gegrndet auf analoge Kriterien, wie diejenigen, welche den Alten dazu
gedient hatten, die Kurven zweiter Ordnung in Ellipsen, Parabeln und
Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich gehrt der zweiten Hlfte des
vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk von Monge (1746-1818) an. Dieser
verschaffte der analytischen Geometrie zweier Koordinaten das Aussehen,
welches sie heute besitzt, indem er den methodischen Gebrauch der Gleichung
einer Geraden einfhrte. Er stellte den wichtigen Begriff von
Flchenfamilien auf und, indem er einige derselben behandelte
(Regelflchen, abwickelbare, Rhrenflchen, Surfaces moulures), entdeckte
er einen versteckten innigen Zusammenhang zwischen der Theorie der
Oberflchen und der Integration der partiellen Differentialgleichungen,
{14} was Licht in diese, wie in jene Lehre brachte und den Geometern neue
Gesichtspunkte enthllte.[28]

Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und Italien
an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen haben, zuerst
unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England und Deutschland.
Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler aufgehrt hatte zu rechnen
und zu leben,[29] stellte sich Frankreich wieder an die Spitze der
mathematischen Welt. Nicht allein mit Clairaut, d'Alembert (1716-1783),
Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833), Poisson
(1781-1840) und anderen gab es den Ansto zum Studium der reinen und
angewandten Analysis, sondern es kehrten auch mit Monge, Carnot (1753-1823)
und Poncelet (1788-1867) die Gelehrten zum Studium der geometrischen Formen
zurck, in der Weise, wie es die Alten verstanden.

Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen Regeln
vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen hatten, um die
Bedrfnisse der Kunst zu befriedigen, und glcklich die Lcken ausfllte,
die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen neuen Zweig der
Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem klassischen Buche,
welches er dieser Disziplin widmete,[30] und noch viel mehr mit seinen
unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule hielt,
brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte
Anschauung der Figur sttzt, zu Ehren[31] und, indem {15} er die
Vorstellung der geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte,
machte er jene systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen
auf das Studium der ebenen Figuren mglich, welche Pappus schon erkannt
hatte.[32]

Der _Gomtrie descriptive_ von Monge darf man die _Gomtrie de position_
von Carnot[33] an die Seite stellen, weil diese, indem sie mit jener das
Ziel gemeinsam hat, der Geometrie diejenige Allgemeinheit zu verschaffen,
welche man ausschlielich der Analysis zugetraut hatte, nicht weniger als
jene dazu beitrug, den Aufschwung der reinen Geometrie vorzubereiten,
welchen man von dem Erscheinen des _Trait des proprits projectives des
figures_ (1822)[34] datieren kann.

Um zu berzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es gengen, zu
erwhnen, da gerade in dem {16} groen Werke von Poncelet die Macht der
Zentralprojektion als einer Methode der Demonstration und des Prinzips der
Kontinuitt als eines Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt ist;[35]
da das tiefere Studium der Homologie zweier ebener oder rumlicher Systeme
in demselben zum Begriffe der Korrespondenz zwischen zwei
Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier Dimensionen fhrte; da die
Kenntnisse der Alten ber die Polaritt in Bezug auf einen Kegelschnitt und
die von der Mongeschen Schule gewonnenen ber die Polaritt in Bezug auf
eine Flche zweiter Ordnung, die dort zum ersten Male sich vereinigt
finden, das Gesetz der Dualitt vorbereiteten, welches, von Snellius
(1581-1626)[36] und Vite[37] in der sphrischen Geometrie erkannt,
bestimmt war, in seiner ganzen Allgemeinheit vier Jahre spter von Gergonne
(1771-1859)[38] ausgesprochen zu werden; da sich schlielich dort jene
eleganten Untersuchungen ber die Vielecke, die einem Kegelschnitt ein- und
einem anderen umbeschrieben sind, finden, die Jacobi (1804-1851), Richelot
(1808-1875) und anderen Gelegenheit geben sollten, davon eine der
elegantesten Anwendungen der Theorie der elliptischen Funktionen zu machen,
welche man kennt.[39]

Die Abhandlungen, welche Poncelet der Theorie der harmonischen Mittel, der
reciproken Polaren und der {17} Transversalen widmete, sowie andere weniger
bedeutende von Gelehrten, welche zur Mongeschen Schule gehrten, fhren uns
zum Jahre 1837, in welchem Chasles' (1796-1880) _Aperu historique sur
l'origine et le dveloppement des mthodes en gomtrie_[40] verffentlicht
wurde. In diesem unbertrefflichen Werke brachte der Autor, nachdem er in
bewunderungswerter Form alles, was das Erbteil der reinen Geometrie in
seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte, die Rechte zur Geltung, die
sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und welche von den blinden
Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren, und zeigte durch wichtige
und originelle Untersuchungen, mit welchem Rechte er sich zum Beschtzer
der Sache der Geometrie gemacht hatte.[41]

Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des Ponceletschen
Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich Deutschland aus dem
Schlafe gerttelt, in welchen die einschlfernden Arbeiten der Schule {18}
der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses Wiedererwachen bedeutete
einen neuen bergang des Szepters der Mathematik von Frankreich nach
Deutschland.[42] In der That sehen wir durch die Arbeiten von Gelehrten wie
Mbius (1790-1868),[43] Steiner (1796-1863),[44] {19} Plcker
(1801-1868)[45] und von Staudt (1798-1867)[46] die analytische Geometrie
sich mit Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre
Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und
die abgekrzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie
Hilfsmittel erwerben fr das Studium, der Kurven und Oberflchen, die bis
dahin fr dieselbe unerreichbar {20} waren, sowie fr die Grndung einer
reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhngig ist von dem Begriffe
des Maes. Dank dem von Crelle (1780-1855) in dieser Zeit gegrndeten
Journal (1826), das bald zu verdientem Rufe gelangte, vorzglich durch die
Abhandlungen Abels (1802-1829), Jacobis und Steiners verbreiteten sich die
eben angefhrten Resultate schnell. Und so sehen wir hinter diesen Gren
eine zahlreiche und glnzende Anzahl von Schlern, welche, indem sie hren
lasen auf den Feldern, die von ihren Meistern bebaut waren, die
Fruchtbarkeit des Samens zeigten, den jene ausgestreut hatten.



Hiermit will ich den Abri der geistigen Bewegung, welche die neuesten
geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich mu
mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die vorgenommene
Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich meine Darstellung
in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit der Theorie der
ebenen Kurven und der Oberflchen beschftigen, dann, nach einer kurzen
Abschweifung zu den Untersuchungen ber die Gestalt der Kurven und
Oberflchen und ber die abzhlende Geometrie, werde ich mich mit den
Studien ber die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des Ursprunges
und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen Transformationen
berzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der Geraden, um dann mit
der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der Mannigfaltigkeiten von
beliebig vielen Dimensionen zu schlieen.[47]

{21}



       *       *       *       *       *

II.

Theorie der ebenen Kurven.

------



Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der
cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Grnde fr die Thatsache
anzugeben, da das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu diesem
Zeitpunkte verzgert hatte. In der That sind ja die Definition der Ordnung
einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in algebraische und
transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung allgemeinen Kurve
ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie synthetisch zu
bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches heutzutage erst den
wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen sich anschickt; dagegen,
wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine wie leichte Sache ist es
dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen, sie unter einander zu
verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu ziehen!

Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache besttigt,
da kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen
Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen,
welche Newton in den drei berhmten Theoremen, die in seiner _Enumeratio
linearum tertii ordinis_ (1706) enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner
diejenigen, welche Newtons Schler Cotes (1682-1716) und Maclaurin als eine
Verallgemeinerung der von Newton entdeckten Eigenschaften gaben;[48] {22}
schlielich die von Waring (1734-1798)[49] gefundenen. berdies wurden noch
von Maclaurin[50] und Braikenridge (etwa 1700, + nach 1759)[51] einige
interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefgt, die
hnlich denjenigen waren, welche Newton fr die Kegelschnitte gegeben
hat.[52] Endlich wurden von De Gua (1712-1786)[53] Methoden fr die
Bestimmung der Singularitten der durch Gleichungen definierten ebenen
Kurven angegeben.

Es ist berflssig zu sagen, da die ersten methodischen Bearbeitungen der
Theorie der ebenen Kurven unter dem Einflsse der analytischen Geometrie
stehen; wir verdanken solche Euler[54] und Cramer (1704-1752)[55]. Diese
studierten dieselben von Grund auf (kurz nacheinander, der eine 1748, der
andere 1750), indem sie sich vorzugsweise mit den Singularitten befaten,
besonders mit den Fragen, welche man heute mit Hilfe der Geometrie des
unendlich Kleinen lst. In dem Werke von Cramer, das in vielen Beziehungen
zu bewundern ist, finden wir auch schon die ersten Untersuchungen ber die
Schnitte von Kurven und unter diesen auch den Hinweis auf das, was man
spter das Cramersche Paradoxon genannt hat; das ist jener scheinbare
Widerspruch zwischen der Zahl der Punkte, die zur Bestimmung einer Kurve
von gegebener Ordnung ntig {23} sind, und der Zahl der Schnitte zweier
Kurven derselben Ordnung,[56] ein Widerspruch, welcher viele Jahre spter
(1818) von Lam (1795-1870) durch das berhmte Prinzip aufgehoben wurde,
welches seinen Namen trgt und das man als den Grundstein jenes gewaltigen
Bauwerkes ansehen mu, welches aus einer Flle von Lehrstzen von
Gergonne,[57] Plcker,[58] Jacobi,[59] Cayley[60] errichtet ist, und auf
dessen Gipfel die geometrische Interpretation des berhmten Abelschen
Theorems[61] steht.

Nach den Arbeiten Eulers, Cramers und dem _Examen des diffrentes mthodes
employes pour rsoudre les problmes de gomtrie_, in welchem Lam mit
groem Erfolge das vorhin angefhrte Prinzip auseinandergesetzt und
angewandt hatte, mssen wir uns zu Plcker wenden, um zu Arbeiten zu
kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die uns
beschftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem ausgezeichneten
Geometer verffentlichten _System der analytischen Geometrie_ ist von der
Methode der abgekrzten Bezeichnung Gebrauch gemacht und dieselbe fr die
Vervollstndigung der Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt
worden, welche so viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier
Jahre spter gedruckten {24} _Theorie der algebraischen Kurven_[62] findet
sich dann noch auer einer Aufzhlung der ebenen Kurven vierter
Ordnung,[63] welche Bragelogne (1688-1744)[64] und Euler[65] nur versucht
hatten, die Aufstellung und Lsung einer Frage von sehr groer Wichtigkeit,
derjenigen nmlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der gewhnlichen
Singularitten einer ebenen Kurve zu finden. Schon Poncelet hatte (1818)
den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer allgemeinen
Kurve ihrer Ordnung gefunden und spter den Einflu eines Doppelpunktes
bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der Dualitt
anwandte, stie er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch, welchen wir
heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne da es ihm gelang, dafr eine
vollstndige Erklrung zu finden. Das geschah durch Plcker vermittelst der
berhmten nach ihm benannten Formeln, welche gestatten, drei
Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse, Zahl der
Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der
Rckkehrpunkte), wenn man die brigen kennt.

Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die
Plckerschen Formeln gelsten ist, ob jeder Lsung derselben eine wirkliche
Kurve entspreche, mute man negativ antworten, da neuere Untersuchungen
{25} dargethan haben, da fr gewisse Kurven (die rationalen Kurven) die
Zahl der Rckkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht bersteigen kann.[66]

Auf der anderen Frage, die Plckerschen Formeln auf eine Kurve auszudehnen,
welche mit Singularitten hherer Ordnung ausgestattet ist, beruhen die
Untersuchungen von Cayley und anderen,[67] welche zu dem Schlsse gefhrt
haben, da jede Singularitt einer Kurve als quivalent einer gewissen
Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und Doppeltangenten
betrachtet werden kann.

Ich fge noch hinzu, da man durch Jacobi,[68] Hesse (1811-1874),[69]
Salmon,[70] Cayley[71] und deren zahlreiche Kommentatoren[72] heute im
Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch
eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Berhrungspunkte ihrer
Doppeltangenten anzugeben.

Dank dem einen der beraus wertvollen Lehrbcher,[73] mit welchen Salmon so
gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen
Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich ber diese und
viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen
Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.

{26}

Man braucht aber nicht zu glauben, da bei diesem Studium der fortwhrende
Gebrauch der Analysis unumgnglich sei; vielmehr erhob sich bald neben der
Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch Euler, Cramer, Plcker,
Salmon eine ebenso vollstndige, aber mehr geometrische Theorie.

In einer berhmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie
gemacht wurde, zeigte Steiner, indem er die Theorie der Polaren eines
Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche Bobillier
(1797-1832) schon vordem[74] als eine Erweiterung der Diametralkurven
Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch Gramann (1809-1877)
sich beschftigt hatte,[75] da dieselbe als Grundlage fr ein vom
Gebrauche der Koordinaten unabhngiges Studium der ebenen Kurven dienen
kann, und fhrte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten
Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen
Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von Steiner selbst, von
Chasles[76] und Jonquires[77] ber die Entstehung der algebraischen Kurven
vermittelst projektiver Bschel von Kurven niederer Ordnung, dienten als
Grundlage fr die _Introduzione ad una teoria geometrica delle curve
piane_,[78] in {27} welcher Cremona in einer einheitlichen Methode zugleich
mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was wichtigeres von den
analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten worden war.

Bei dem auerordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, da man
in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von Abhandlungen
zu stellen hat, in welchen Clebsch (1833-1872) zuerst die Algebra der
linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, dann, nachdem er
die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve ins Licht
gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[79] und Abelschen
Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und sie fr das
Studium der rationalen und elliptischen Kurven bentzte.[80] Es ist wahr,
da Brill und Nther in einer Abhandlung,[81] deren Bedeutung von Tag zu
Tag wchst, gezeigt haben, da die Theorie der algebraischen Funktionen in
vielen Fllen die der eben angefhrten Transcendenten ersetzen kann, aber
das vermindert nicht, sondern vergrert vielmehr das Verdienst, welches
man den Methoden von Clebsch zuerkennen mu, da die von hervorragenden
Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines {28} Hilfsmittels
vermeiden zu knnen, der berzeugendste Beweis der Macht desselben sind.

Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln allgemeine Eigenschaften der
ebenen algebraischen Kurven.[82] Aber an sie reiht sich eine groe Menge
von schnen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von Kurven
behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen.

Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von Maclaurin,[83] von
Sylvester,[84] Cayley,[85] Salmon,[86] Durge,[87] Cremona,[88] von
Sturm,[89] von Kpper,[90] Gramann,[91] Milinowski[92] und von anderen
ber die Kurven dritter Ordnung,[93] die Kapitel des _Barycentrischen
Calculs_, dann verschiedene Arbeiten von Em. Weyr,[94] von Clebsch und {29}
vielen anderen[95] ber die rationalen Kurven; die wichtigen Untersuchungen
Steiners und Chasles' ber die Kurven, die mit einem Centrum versehen
sind,[96] und die von Steiner ber die dreispitzige Hypocykloide;[97]
ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der Verallgemeinerung der dort
ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[98] die interessanten
Untersuchungen von Bertini[99] ber rationale Kurven, fr welche man
willkrlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die wichtigen Studien von
Brill ber die Kurven vom Geschlechte zwei,[100] dann die eleganten
Abhandlungen von Klein und Lie[101] ber die Kurven, welche eine
infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich die von
Fouret ber die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in bezug auf
unendlich viele Kegelschnitte sind,[102] und die von Smith (1826-1883) ber
die Singularitten der Modularkurven.[103]

{30}

Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung
von Steiner ber die einer ebenen kubischen Kurve[104] oder einer Kurve
vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf
welche die jngsten Arbeiten von Kpper[105] und Schoute[106] von neuem die
Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes ntigt
mich, flchtig hinwegzugehen ber die Untersuchungen von Cayley _On
polyzomal Curves otherwise the Curves_ [Wurzel]u + [Wurzel]v + ... =
0;[107] von Gramann, Clebsch,[108] Schrter[109] und Durge,[110]
betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, ber die von
Lroth,[111] von Casey,[112] Darboux,[113] Siebeck,[114] von Crone,[115]
Zeuthen[116] und noch anderen ber einige spezielle ebene Kurven vierter
Ordnung, ber die von Battaglini, die sich auf die syzygetischen Kurven
dritter Ordnung beziehen,[117] und andere, welche auch eine besondere
Erwhnung verdienen wrden.

{31}

Was ich aber nicht mit Stillschweigen bergehen kann, das sind die Arbeiten
von Hesse ber die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und ber die
Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[118] dann die von demselben
Hesse,[119] Steiner,[120] Aronhold[121] (1819-1884) ber die
Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende
Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins
Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von Geiser[122] durch
stereometrische Betrachtungen dargethan, von Clebsch[123] dagegen und
Roch[124] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht.



       *       *       *       *       *

III.

Theorie der Oberflchen.

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Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen
Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einflu der Analysis auf dieselbe
mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu,
sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschftigen, welche Analogien mit
den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn auch
die Forschungen ber die Oberflchen {32} bald denen ber die ebenen Kurven
folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs.

Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere
Oberflchen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und
Sphroide, die plektoidischen Oberflchen und wenige andere). Erst Wren
(1669), Parent und Euler begannen sich mit den Oberflchen zweiten Grades
zu beschftigen, und wir mssen zur Schule von Monge gehen, um die
Eigenschaften von grsserer Wichtigkeit dieser hchst bemerkenswerten
Oberflchen anzutreffen.[125] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in
unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die
Flchen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele
andere hinzugefgt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter, wie
Jacobi,[126] {33} MacCullagh (1809-1847),[127] Chasles,[128] Hesse,[129]
Seydewitz (1807-1852),[130] Schrter[131] konnte die Theorie der
Oberflchen zweiter Ordnung in den mehr elementaren {34} Unterricht
eingefhrt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem
Wege behandelt werden.[132]

Aber nach der Lehre von den Oberflchen zweiten Grades entstand und
entwickelte sich alsbald die der Oberflchen hherer Ordnung. Chasles[133]
und Gergonne,[134] als die ersten, entdeckten an diesen Gebilden wunderbare
Eigenschaften. Poncelet bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung
allgemeinen algebraischen Oberflche[135] und erffnete so die
Untersuchungen, welche zu den Beziehungen fhren sollten, mit welchen
Salmon[136] und Cayley[137] die Lsung der analogen Aufgabe zu derjenigen
versuchten, welche Plcker durch seine berhmten Formeln gelst hatte.

Jacobi[138] und spter Reye[139] beschftigten sich mit den Kurven und
Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflchen
entstehen. Chasles,[140] Cremona,[141] Reye,[139] Escherich,[142]
Schur,[143] mit ihrer {35} Entstehung vermittelst projektiver oder
reciproker Systeme von Oberflchen niederer Ordnung, Gramann
(1809-1877)[144] mit anderen Erzeugungsweisen; Salmon,[145] Clebsch,[146]
Sturm,[147] Schubert[148] und andere behandelten eine wichtige Klasse von
Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen
Oberflche Berhrungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schlielich
entdeckte Schur vor kurzem eine lineare Konstruktion[149] fr Flchen
beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der
Oberflchen beliebiger Ordnung verdanken wir Reye.[150]

Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Krze halber stillschweigend
bergehen muss, trotz der schnen Darlegungen, welche Salmon[151] und
Cremona[152] ber sie gemacht haben, kann man doch nicht sagen, da die
Theorie der Oberflchen weit vorgeschritten sei. Die Fragen, die noch zu
lsen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler Wichtigkeit, und die
Mittel, die zur berwindung der Schwierigkeiten, welche deren Lsung
bietet, zur Verfgung stehen, sind noch nicht gengend vervollkommnet.
Vielleicht ist das der Grund dafr, da so viele Gelehrte sich zum Studium
besonderer Flchen wandten, indem sie hofften, nicht nur auf diesem Felde
eine reichlichere Ernte von Wahrheiten zu machen, sondern auch zu
Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der Verallgemeinerung fhig sind. --
Und {36} da ihre Erwartungen teilweise nicht getuscht worden sind, das
beweisen die zahlreichen Resultate, die man schon ber die Oberflchen
dritten Grades, sowie ber einige von der vierten Ordnung erhalten hat,
ber welche es mir noch obliegt, Bericht zu erstatten.

Es ist allgemein bekannt, da die beiden hervorragendsten Eigenschaften
einer Flche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein
Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die
Geraden der Hesseschen Flche jener Oberflche hat. England und Deutschland
knnen sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn auch schon
im Jahre 1849 Cayley und Salmon[153] die Geraden einer kubischen Flche
bestimmt haben, und im Jahre 1851 Sylvester[154] das Pentaeder entdeckte,
so ist doch nicht minder wahr, da Steiner unabhngig von ihnen die
Existenz jener und dieses in seiner berhmten Mitteilung, welche er der
Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.[155] Aber whrend
die Studien der englischen Geometer fast gnzlich der Fortsetzung
entbehren,[156] steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen
Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflchen dritter
Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich
die Abhandlungen von Schrter,[157] August[158] u. s. w., in welchen einige
der von Steiner ausgesprochenen Stze bewiesen werden, nur kurz erwhne,
will ich mich darauf beschrnken, die Aufmerksamkeit der Leser auf die mit
Recht berhmten Schriften zu lenken, die von {37} Cremona[159] und von
Sturm[160] ber diese Oberflchen verfat und im Jahre 1866 von der
Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekrnt sind, Arbeiten, auf welche
jeder zurckkommen mu, welcher sich mit diesen wichtigen geometrischen
Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten bei den
verschiedenen Erzeugungsweisen einer Flche dritter Ordnung, die
Gramann,[161] August,[162] Affolter[163] und Piquet[164] den von Steiner
angegebenen hinzugefgt haben, bei der Konstruktion dieser Flchen, welche
Le Paige[165] gegeben hat, bei den vielen Stzen, die sich auf die
Verteilung der Geraden, der dreifach berhrenden Ebenen und die Kurven
einer kubischen Flche beziehen und welche vor kurzem von Cremona,[166]
Affolter,[167] von Sturm[168] und Bertini[169] entdeckt wurden, endlich bei
den von Cremona,[170] Caporali,[171] Reye[172] und Beltrami[173] studierten
Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Flche dritter Ordnung
verknpft sind, sowie bei den von Zeuthen[174] betrachteten zwlf {38}
vollstndigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch anfhren,
da eine Einteilung dieser Oberflchen, die auf die Betrachtung der 27 auf
ihr gelegenen Geraden sich sttzt, von Schlfli gemacht ist[175] und eine
neuere von Rodenberg,[176] die sich auf das Pentaeder grndet, da ferner
ein genaues und eingehendes Studium der Regelflchen dritten Grades (von
denen eine von Cayley entdeckt wurde) den Gegenstand wertvoller Arbeiten
Cremonas,[177] Em. Weyrs[178] und Benno Kleins[179] bildet, da schlielich
die sogenannte Diagonalflche einen wichtigen Teil in einer Untersuchung
von Clebsch ber die Gleichungen fnftes Grades bildet[180] und da andere
besondere Flle von Cayley[181] und Eckardt[182] in einigen wertvollen
Abhandlungen betrachtet wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, da die
Untersuchungen von Salmon,[183] Clebsch,[184] Gordan[185] und de
Paolis[186] die {39} geometrische Bedeutung fr das Verschwinden der
fundamentalen invarianten Formen der quaternren kubischen Form
festgestellt haben, welche gleich Null gesetzt in homogenen Koordinaten
eine Flche dritter Ordnung darstellt, da schlielich Jordan[187] von
Grund auf die Natur der Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der
Geraden einer kubischen Flche dient, dann glaube ich dem Leser genug
Momente an die Hand gegeben zu haben, um daraus den (von mir eben
angedeuteten) Schlu zu ziehen, da die Theorie dieser geometrischen
Gebilde, von welchem Punkte man sie auch betrachten mag, heute einen
beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht hat.

Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflchen vierten
Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer
studiert; ber jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle
will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flchen
zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flchen vierten
Grades; jene wurde von Poncelet[188] und Chasles[189] untersucht, diese von
demselben Chasles,[190] von Cayley[191] und vollstndiger von Cremona.[192]

Dann lasse ich die Oberflchen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen
von Kegelschnitten existieren und welche alle mit auerordentlichem
Scharfsinne von Kummer[193] bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei
besonderer Erwhnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen
gewesen sind: die Oberflche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt
und die rmische Flche von Steiner.

Von der ersteren entdeckte Kummer im Jahre 1864 die bemerkenswerte
Eigenschaft, da die ihr doppelt {40} umgeschriebene Developpabele aus fnf
Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand Moutard[194] dieselbe
Eigenschaft fr den Fall, da die Doppelkurve der Oberflche der unendlich
entfernte imaginre Kugelkreis ist,[195] und er bemerkte weiter
gleichzeitig mit Darboux,[196] da in diesem Falle die Oberflche zu einem
dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflchen, gebildet von Flchen
derselben Art, gehren kann. Von jener Zeit ab wurden die Oberflchen
vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich entfernten imaginren
Kugelkreis haben, wiederholt von Darboux,[197] von Laguerre
(1834-1886)[198] und von Casey[199] studiert; hingegen diejenigen, welche
als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von Cremona,[200]
Geiser,[201] Sturm,[202] Zeuthen,[203] von Clebsch,[204] Korndrfer,[205]
Berzolari[206] und Domsch[207] -- welcher auf sie die hyperelliptischen
Funktionen anwandte -- und diejenigen, welche einen Kuspidalkegelschnitt
haben, von Ttssy.[208] Was die Klassifikation dieser Oberflchen
betrifft, so mge {41} es mir gestattet sein, meinen Namen anzufhren[209]
neben dem meines teuern Freundes Segre.[210]

Die rmische Flche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der
Geometer auf sich gezogen und zwar vorzglich zweier Eigenschaften wegen;
die eine derselben, nmlich von jeder Tangentialebene in zwei
Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern
betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich
als ganz allgemeine ternre quadratische Formen darstellen lassen,[211]
wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle
Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[212] wird dieselben in
den synthetischen Abhandlungen von Cremona,[213] Schrter[214] und
Sturm,[215] auf den Seiten, welche Reye ihr in seiner {42} _Geometrie der
Lage_ (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von
Cayley,[216] Beltrami,[217] Clebsch,[218] Eckardt,[219] Laguerre[220] und
Gerbaldi[221] finden.

Kummer verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von
Flchen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflchen, die nicht
singulre Linien enthalten, sondern nur singulre Punkte.[222] Wir werden
in kurzem ( VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen Oberflchen
gefhrt haben; fr jetzt genge es, hervorzuheben, dass die interessanteste
unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberflche nennt) 16 singulre
Doppelpunkte und 16 singulre Tangentialebenen hat und da Specialflle
derselben die Wellenflche von Fresnel[223] und das von Cayley 1846
untersuchte Tetraedroid[224] sind. Eine solche Oberflche ist zu sich
selbst dual.[225] Ihre {43} asymptotischen Kurven wurden von Klein und Lie
bestimmt[226] und Reye[227] zeigte, da jede die Grundkurve eine Bschels
von Oberflchen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den Thetafunktionen
existiert eine innige Beziehung, welche Cayley und Borchardt
(1817-1880)[228] entdeckt haben und die H. Weber[229] zusammen mit anderen
entwickelt hat;[230] die algebraischen Fragen, welche sich an die
Bestimmung ihrer Singularitten knpfen, wurden von Jordan[231] gelst;
endlich kann man dieselbe, wie Rohn[232] es gethan hat, vermittelst der
Theorie der hyperelliptischen Funktionen[233] behandeln.

Indem ich die Oberflchen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in
zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt
haben und andere, mit denen Cayley[234] sich beschftigt hat, bergehe,
will ich noch die Monoide erwhnen,[235] die von Rohn studiert sind,[236]
und {44} diejenigen Flchen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse
Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen
vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Rumen sich schneiden;
Chasles hat ihre Ordnung bestimmt und Schur eine Menge eleganter
Eigenschaften derselben gefunden.[237]

Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschlieen, indem ich noch
einige Oberflchen von hherer als der vierten Ordnung anfhre, welche die
Gelehrten schon beschftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen
Oberflchen erwhnt zu werden, welche im allgemeinen von Chasles,[238]
Salmon,[239] Cayley,[240] von Plcker,[241] La Gournerie (1814-1883),[242]
Voss[243] und im besonderen von Chasles,[244] Cremona,[244] Schwarz,[245]
La Gournerie[246] (Regelflchen, die in bezug auf ein Tetraeder symmetrisch
sind), von {45} Clebsch,[247] Armenante[248] (rationale und elliptische
Regelflchen), von Em. Weyr[249] (Regelflchen, erzeugt durch die
Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in der
Korrespondenz [m, n]), von Ed. Weyr[250] (Oberflchen, erzeugt durch die
Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von Eckardt[251] und
Chizzoni[252] (Regelflchen, erzeugt durch die Verbindungslinien
entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann
folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflchen sind, doch Gerade
enthalten und die von Sturm[253] und Affolter[254] untersucht sind, ferner
die algebraischen Minimalflchen, bei welchen Geiser[255] und Lie[256]
bemerkenswerte Eigentmlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flchen
nennen, die aus einer Oberflche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der
Krmmungscentren; Fusspunktflchen, Aspidalflchen etc.), sowie die rter
der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade berhren und durch (6-m)
Punkte gehen, welche Flchen eingehend von Chasles,[257] Lroth,[258]
Hierholzer[259] und von Cayley[260] studiert wurden, da sie zur Auflsung
gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der einfach
unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten; schlielich
diejenigen, welche unendlich viele lineare {46} Transformationen zulassen,
die kontinuierlich aufeinander folgen;[261] diejenigen, welche die eigenen
reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flchen zweiten Grades
sind,[262] diejenigen, welche durch reciproke Cremonasche Systeme erzeugt
werden,[263] und diejenigen, welche dieselben Symmetrie-Ebenen wie ein
regulres Polyeder besitzen.[264]



Die Untersuchungen ber die Oberflchen, mit denen wir uns bis jetzt
beschftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl
bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie
zurckgefhrt sind oder sich darauf zurckfhren lassen. Es giebt aber noch
viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art
behandeln, die grtenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten
lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehrt, nicht die
der projektiven Geometrie ist.[265] Diese bilden zusammen mit den Studien,
die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (ber
welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr
wichtigen Zweig der Geometrie fr sich sowohl, als auch wegen der
Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodsie und der mathematischen
Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der
Differentialgeometrie. ber die wesentlichen Punkte derselben wollen wir
nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von
dem Erscheinen der _Application de l'Analyse  la Gomtrie_[266] {47} von
Monge datieren kann, und das sptere Werk, welches von grsserem Einflsse
war, das von Gau (1777-1855) ist, welches den Titel trgt: _Disquisitiones
generales circa superficies curvas_,[267] so nehmen wir in unserer kurzen
Darlegung die von Monge und Gau angenommene Einteilung des Stoffes als
Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in Hinsicht auf die
von ihnen behandelten Gegenstnde geleistet haben, und dann vorfhren, was
ihre Nachfolger hinzugefgt haben.

Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse,
da er nur die Bestimmung der Berhrungsebenen und Normalen einer Oberflche
zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden. Die vier
folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflchen, Kegel- und
Rotationsflchen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu
gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen
Leitgeraden enthalten sind. Hchst bemerkenswert ist der folgende
Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den
wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rckkehrkurve (_arte de
rebroussement_) einer Enveloppe eingefhrt hat; an diesen Paragraphen
schlieen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Rhrenflchen mit
ebener Leitlinie ( 7), Flchen, die als Linien grter Neigung gegen eine
gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben ( 8), und schlielich
Enveloppen einer Oberflche, die sich unter der Bedingung bewegt, da ein
mit ihr unvernderlich verbundener Punkt eine gegebene Kurve durchluft (
9).[268] -- Von da ab beginnt die Theorie der partiellen {48}
Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die Monge ihr in der
analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte an zeigt es sich,
da es in vielen Fllen fr die Bestimmung der Natur einer Oberflche
ntzlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung fr sie zu haben,
als eine solche in endlichen Ausdrcken. Beispiele hierfr bieten die
Flchen, die in einem speziellen linearen Komplexe enthalten sind mit einer
unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im  10 und  11 behandelt),
fernere Beispiele die abwickelbaren Flchen ( 12), andere die im  9
beschriebenen, andere schlielich die rter beweglicher Kurven, von welchen
ein Punkt eine feste Kurve durchluft ( 14).[269] -- Die Theorie der
Krmmung einer Oberflche in einem Punkte,[270] sowie das Studium der
Verteilung der Normalen derselben Flche[271] fhren zu einer neuen Art von
Flchen, die der Betrachtung wert sind; jene und diese finden sich im  15,
der sicherlich einer der wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der
Spezialfall des Ellipsoides ist im  16 behandelt, derselbe enthlt die
Bestimmung der Krmmungslinien dieser Flche.[272] -- Gro an Zahl und von
groer Wichtigkeit sind die Fragen, zu denen die Theorie der Krmmung Anla
giebt. Man kann z. B. die Oberflchen untersuchen, bei denen der eine
Krmmungsradius fr jeden Punkt denselben Wert hat; Monge fand ( 18), da
dieselben von einer Flche von konstanter Form eingehllt werden, die sich
in der {49} vorhin (in den  9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann
dagegen auch voraussetzen, da in jedem Punkte die beiden Krmmungsradien
gleich und von gleichem Sinne seien: die Oberflche ist dann eine Kugel.
Wenn dagegen die beiden Krmmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von
entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Flche eine Minimalflche.[273]
Oder es sei in jedem Punkte einer der Krmmungsradien gleich gro (
21).[274]

An die Theorie der Krmmung schlieen sich dann die Studien ber die
Rhrenflchen mit beliebiger Leitkurve ( 22 und 26) und ber diejenigen
Flchen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel ( 23), einen
gegebenen Kegel ( 24) oder eine gegebene Developpabele ( 25) berhren. --
Fr einige dieser Flchenfamilien hat Monge die Konstruktion angegeben, fr
alle die Gleichungen, sei es die Differentialgleichungen oder die
endlichen, und, da er sich das Problem gestellt und gelst hat, von jenen
zu diesen zu gelangen, so verdient denn sein grosses Werk, da es auch von
denen, welche sich mit der Analysis des Unendlichen beschftigen, eingehend
studiert werde.

Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die
Differentialgeometrie durch eine hchst wichtige Arbeit bereichert, die
_Developpements de Gomtrie_ von Ch. Dupin (1813). In derselben wird unter
anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer
Oberflche und der der Indikatrix eingefhrt; dort sind die asymptotischen
Linien (Haupttangentenkurven)[275] untersucht, und {50} der berhmte Satz
bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems allgemein bekannt
ist.

Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen
Untersuchungen ber Flchen mit ebenen oder sphrischen Krmmungslinien
ansehen, die man Dupin,[276] Alfred Serret (1819-1885),[277] O.
Bonnet,[278] Dini,[279] Enneper (1830-1885),[280] Darboux,[281]
Picart,[282] Lecornu,[283] Dobriner,[284] Voretsch[285] und anderen
verdankt.

Von derselben Art, aber von grerer Allgemeinheit sind die wichtigen
Untersuchungen von Weingarten ber solche Oberflchen, bei denen in jedem
Punkte der eine Krmmungsradius eine Funktion des anderen ist,[286] welche
Untersuchungen Dini (a. O.), Beltrami[287] und Lie[288] zur Bestimmung der
windschiefen Oberflchen mit derselben Eigenschaft gefhrt haben. Dasselbe
kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls Weingarten
verdankt[289] und die sich auf Oberflchen beziehen, deren Normalen eine
andere vorgelegte Oberflche berhren. -- Dem  20 des Mongeschen Werkes
knnen wir die {51} zahlreichen Abhandlungen anschlieen, welche die
Minimalflchen behandeln. Wir fhren zunchst die von Steiner[290] und
Weierstra[291] an, die sich mit der allgemeinen Theorie befassen, dann die
von Scherk[292] und Bonnet,[293] welche einige Spezialflle derselben
bearbeitet haben; Serret[294] beschftigte sich dann mit solchen, die durch
zwei Gerade hindurch gehen, Riemann[295] und Weierstra[296] mit solchen,
die einen gegebenen Umri haben, Geiser[297] mit algebraischen,
Noevius[298] mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und
unendlich viele ebene geodtische Linien besitzen; Catalan[299] mit
solchen, die als geodtische Linie eine Parabel haben, Henneberg[300] mit
denen, welche eine semikubische Parabel als geodtische Linie haben;
Bonnet[301] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen
Krmmungslinien befindet; Bour[302] diejenigen, welche auf eine
Rotationsflche sich abwickeln lassen; Schwarz solche, die durch ein
windschiefes Vierseit bestimmt sind[303] oder die von Kegeln eingehllt
sind,[304] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische
Kurven enthalten;[305] {52} Enneper[306] untersuchte diejenigen, welche
unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von
Mathet[307] behandelt, von Beltrami,[308] von Lie,[309] Kiepert,[310]
Henneberg,[311] Ribaucour,[312] Bianchi[313] und Pincherle.[314]
Schlielich ist die Theorie der Minimalflchen einer bemerkenswerten
Erweiterung fhig, die von Lipschitz[315] entdeckt wurde.

Wir gehen jetzt dazu ber, kurz auseinander zu setzen, welches die
hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon
gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der
_Disquisitiones generales circa superficies curvas_ von Gau.

Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen hchst
wichtigen Begriff, nmlich den der sphrischen Abbildung einer Oberflche,
dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm gemacht sind,
dargethan haben. Kurz darauf ( IV) treffen wir die zwei unabhngigen
Vernderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der Punkte einer
Oberflche ausdrckt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf einer
Oberflche. (Vgl. auch die  XVII und XIX). Dann enthlt  VI die
Erweiterung der Betrachtung, die man gewhnlich zur Grundlage der Theorie
der Krmmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, aus
welcher Erweiterung der Begriff des Krmmungsmaes einer Oberflche in
einem {53} gewhnlichen Punkte hervorgegangen ist.[316] Bekanntlich ist
dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkrmmungsradien der Flche
in jenem Punkte[317] ( VIII). Das Krmmungsma einer Oberflche kann man
sowohl durch die gewhnlichen kartesischen Koordinaten ( VII und IX) als
auch durch die krummlinigen Koordinaten der Oberflche ausdrcken ( X und
XI).[318]

Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die
Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren
Bedeutung in der Theorie der Oberflchen, die auf eine andere abwickelbar
sind[319] ( XII), Gau zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine
neue Betrachtungsweise der Oberflchen auf ( XIII), indem er dieselben als
unendlich dnne, biegsame und unausdehnbare Krper ansah. Die folgenden
Paragraphen der Abhandlung von Gau behandeln die geodtischen Linien und
haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke ( XIV und
XVIII), dann die bertragung der Polarkoordinaten, des Kreises ( XV), der
Parallelkurven ( XVI), auf die Geometrie auf einer Oberflche, sowie die
Berechnung der totalen Krmmung eines geodtischen Dreiecks ( XX). Die 
XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes fr das
Kurvenelement, die brigen behandeln andere Fragen aus der Geodsie und
drften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen.

{54}

Schon aus diesen flchtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an
fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gau ist. Die Entwickelungen,
die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von
denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer
machen. Unter diesen Arbeiten mu man den schnen _Ricerche di analisi
applicata alla geometria_, die Beltrami im zweiten und dritten Bande des
_Giornale di Matematiche_ verffentlicht hat, eine hervorragende Stelle
einrumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser _Dalle variabili
complesse su una superficie qualunque_,[320] _Teoria generale dei parametri
differenziali_[321] und _Zur Theorie des Krmmungsmasses_.[322]
Bemerkenswert sind ferner die Studien von Bonnet[323] und von Darboux[324]
ber die sphrische Abbildung der Oberflchen, die sich an die ersten in
den _Disquisitiones_ enthaltenen Untersuchungen anknpfen. Der Begriff der
Krmmung fhrte zum Studium der Oberflchen mit konstanter (positiver oder
negativer) Krmmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Krfte
gewidmet haben. Unter diesen fhren wir die zwei Arbeiten von Beltrami an:
_Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie sopra un
piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette_[325]
und _Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea_,[326] dann
die Schriften von Dini,[327] Lie,[328] {55} Bianchi,[329] Bklund,[330]
Darboux[331] und Dobriner.[332] Von derselben Art, aber allgemeiner, sind
die Studien von Christoffel[333] ber die Bestimmung der Gestalt einer
Oberflche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Maen und von
Lipschitz[334] ber die Oberflchen, welche bestimmte auf die Krmmung
bezgliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des
Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.

An den Abschnitt der Gauischen Abhandlung, welcher die geodtischen Linien
behandelt, knpfen sich einige Arbeiten von Joachimsthal (1818-1861),[335]
Schering,[336] Beltrami,[337] die von Lie[338] gemachte Einteilung der
Oberflchen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer geodtischen Linien
und die Untersuchungen ber geodtische Kurven von demselben
Verfasser.[339] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die
Abwickelbarkeit der Oberflchen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von
Minding in enger Beziehung,[340] in der zum ersten Male die Frage
aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krmmung in entsprechenden Punkten
eine hinreichende Bedingung fr die Abwickelbarkeit zweier Oberflchen sei:
er gelangte fr den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu einem
{56} positiven dagegen fr den Fall konstanter Krmmung. Dasselbe gilt von
den Arbeiten von Bour[341] (1832-1866), Codazzi[342] und Bonnet,[343]
welche fr preiswrdige Antworten auf die im Jahre 1861 von der Pariser
Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden sind. Derselbe
Gegenstand oder verwandte Gegenstnde wurden dann in den Abhandlungen von
Christoffel,[344] von Mangoldt,[345] Weingarten,[346] Brill,[347]
Minding,[348] Jellet,[349] Dini,[350] Enneper,[351] Razzaboni,[352]
Lecornu,[353] Beltrami[354] und vielen anderen behandelt.

Die schne von Gau gegrndete Theorie der krummlinigen Koordinaten einer
Oberflche lie den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie fr den Raum zu
haben. Schon im Jahre 1837 stellte Lam sie fr einen Spezialfall auf,
nmlich fr den der elliptischen Koordinaten,[355] spter wies er auf die
orthogonalen krummlinigen Koordinaten {57} hin[356] und konstruierte dann
die Theorie derselben,[357] ohne ihre Anwendung[358] und Entwickelung[359]
zu vernachlssigen. Die berhmten _Leons sur la thorie des coordonnes
curvilignes et leurs diverses applications_ (Paris, 1859) von Lam fassen
zusammen und vervollstndigen die glnzenden Resultate, die von Lam in
diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In der Folge haben sich viele
andere mit demselben beschftigt. Vor allen fhre ich Aoust an, der ihm
viele und wichtige Arbeiten widmete,[360] dann Brioschi,[361] Codazzi,[362]
Chelini (1802-1878),[363] Darboux,[364] Combescure,[365] Levy,[366]
Royer[367] und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften, welche
dreifache Systeme orthogonaler Oberflchen behandeln und von denen ich nur
diejenigen von Bouquet,[368] A. Serret,[369] Bonnet,[370] Catalan,[371]
Moutard,[372] Darboux,[373] Cayley,[374] Ribaucour,[375] {58}
Weingarten,[376] Schlfli,[377] Hoppe,[378] Bianchi[379] und Molins[380]
nennen will.

Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflchen behandeln, die nicht zu bis
jetzt besprochenen Kategorien gehren, fhren wir die von Lie[381] an,
welche sich auf Oberflchen beziehen, die infinitesimale lineare
Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von Enneper,[382] die
sich auf Oberflchen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die von
Cayley[383] und Weingarten[384] und die von Willgrod[385] ber Oberflchen,
welche durch ihre Krmmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt
werden; schlielich die von Bianchi[386] ber Schraubenflchen.

Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie
der Oberflchen wurde durch die Bemhungen de Salverts geschaffen, der in
einigen eleganten Arbeiten,[387] wahrscheinlich hervorgerufen durch die
schnen _Vorlesungen ber die analytische Geometrie des Raumes_ von Hesse,
zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberflche in ihrer
allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System von
Formeln fr die Lsung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn die
Gleichung z = [phi](x, y) zu Grunde gelegt wird.

{59}

ber Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine
verdankt man Hoppe; sie trgt den Titel: _Elemente der Flchentheorie_;
eine andere wurde von Brisse unternommen;[388] die neuesten sind die von
Bianchi in seinen sehr schnen _Lezioni di geometria differenziale_ (Pisa,
1886) und die, welche Darboux in seinen _Leons sur la thorie gnrale des
surfaces_ begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen
(Paris, 1887).

Wir wollen diesen Abschnitt beschlieen, indem wir noch bemerken, da die
Zuhilfenahme der Analysis fr das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht
notwendig ist; vielmehr haben Bertrand[389] und Bonnet[390] zuerst gezeigt,
welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen
ziehen kann. Auerdem enthalten der erste Band des _Trait de calcul
diffrential et intgral_ von Bertrand und der _Trait de gomtrie
descriptive_ von de la Gournerie[391] und eine groe Zahl von beraus
schnen Abhandlungen von Mannheim[392] bemerkenswerte geometrische
Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir
uns eben beschftigt haben, angehren.

{60}



       *       *       *       *       *

IV.

Untersuchungen ber die Gestalt der Kurven und Oberflchen. Abzhlende
Geometrie.

------



Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der
Kurven und die der Oberflchen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien
der Untersuchung bergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen
Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen knnen.

Die erstere umfat eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum
Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflchen von
gegebener Ordnung annehmen knnen, und ich halte es fr angemessen, bei
diesen eine Zeit lang zu verweilen.

Die Bestimmung der Gestalt der Kurven zweiter Ordnung reicht schon in das
Altertum. Fr dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden Geistes,
wenn man bedenkt, da die Alten jene Kurven als Schnitte eines Kreiskegels
betrachteten.

Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven dritter Ordnung
annehmen knnen, nicht ohne Schwierigkeit. Newton berwand diese, indem er
lehrte, da alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fnfen
derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden
knnen.[393] Zu dieser ersten Einteilung der Formen {61} der Kurven dritter
Ordnung fgte Chasles[394] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf einem
ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu verkennende
Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven dritter Ordnung
smtlich auffinden durch Projektion von fnfen derselben, die symmetrisch
in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der Einteilung endlich
sttzt sich auf das konstante Doppelverhltnis der vier Tangenten, die man
an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem ihrer Punkte aus ziehen
kann; diese wurde von Durge entwickelt.[395]

{62}

Bei weitem grssere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der ebenen
Kurven vierter Ordnung, die schon angefhrten Arbeiten von Bragelogne,
Euler und Plcker bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es scheint aber
nicht, da man diese -- dasselbe gilt auch von den schon genannten auf die
kubische Kurve bezglichen -- als die Grundlage zu einer allgemeinen
Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr mu man
dieselben als die ersten Vorlufer jener Lehren betrachten, die man heute
als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht. Solche Lehren gehren in
das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil aber waren sie das
Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft der
Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von Staudt in seiner _Geometrie
der Lage_[396] auseinandergesetzt und beziehen sich auf die Gestalten der
ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und die unpaaren Zge der
Kurven, die Rckkehrelemente der Figuren; andere wurden von Tait[397]
angegeben und von J. Meyer entwickelt,[398] andere schlielich von Hart
angedeutet[399] und mit vielem Glcke von E. Ktter verallgemeinert.[400]
Die zweiten sind fast alle aus der Schule von Klein hervorgegangen. Da ich
auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes nicht eingehen kann, so
mge es hier gengen, unter den schon erhaltenen Resultaten einige
besondere Stze ber die Kurve vierter Ordnung anzufhren, die man
Zeuthen[401] und Crone[402] verdankt; dann {63} eine sehr wichtige Relation
zwischen den Zahlen der reellen und imaginren Singularitten einer ebenen
Kurve, zu welcher Klein gefhrt wurde,[403] als er die von Plcker[404] und
Zeuthen vorgeschlagenen Klassifikationen der Kurven vierter Ordnung
studierte; ferner einen sehr schnen Lehrsatz,[405] von Harnack (1851-1888)
entdeckt, welcher dadurch, da er eine unerwartete Beziehung zwischen der
Form einer Kurve und ihrem Geschlechte enthllte, die Wichtigkeit des
letzteren von neuem besttigte.

Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit
entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen
Untersuchungen ber die Oberflchen sagen, da sie sich noch in ihrer
Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren
meines Wissens nicht, auer denjenigen, die von Mbius in seiner _Theorie
der elementaren Verwandtschaften_ niedergelegt sind,[406] und welche, so
scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger
erwarten lassen, welcher die ganze Flle derselben zu Tage frdert.
Dasselbe gilt fr gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen
Arbeiten von Klein zerstreut sind. Fr den Fortschritt der Geometrie wrde
es von hchstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen;
unglcklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten
Jahren ist vielleicht Rohn[407] der einzige, der hierin einige Fortschritte
gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden.

{64}

Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes
Bedrfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die
Bestimmung der Gestalt der Oberflchen zweiten Grades bergehe ich als zu
einfach und fhre die der Oberflchen dritter Ordnung an, die mit Erfolg
von Klein,[408] Schlfli,[409] Zeuthen[410] gemacht ist, und neuerdings von
Bauer durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve
vervollstndigt wurde;[411] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir
Maxwell[412] verdanken; dann die der Oberflchen vierter Ordnung mit
Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Zeuthen[413] herrhrt; die der
Oberflchen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von Crone[414]
ausgefhrt ist; endlich die der Kummerschen Flchen und der Kegelflchen
viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von
Rohn[415] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von Ludwig
Brill, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien vermehrt, zeigt
das Interesse, welches das gelehrte Deutschland fr vorliegende
Untersuchungen hat.[416]

Was die Gestalt der Kurven doppelter Krmmung angeht, so existieren darber
bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man kann
sagen, da sich dieselben auf die Beobachtungen beschrnken, die Chr.
Wiener[417] {65} und Bjrling[418] gemacht haben, indem sie die Modelle der
gewhnlichen Singularitten einer Raumkurve konstruierten.

Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der Anzahl
der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen gengen, die
hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der Bzoutsche
Lehrsatz, welcher die Zahl der Lsungen eines bestimmten Systems von
algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht verwendbar fr die
Lsung solcher Fragen, da, whrend dieser Satz auf allgemeine Gleichungen
ihres Grades sich sttzt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche,
diese Probleme analytisch zu lsen, erhlt, von spezieller Form sind.
Wahrscheinlich ist das der Grund dafr, da diese Probleme grtenteils bis
in verhltnismig neuerer Zeit ungelst geblieben sind.[419]

Auf Chasles fllt der Ruhm, in seiner _Methode der Charakteristiken_ ein
feines und mchtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine
groe Zahl von Problemen der angedeuteten Art fr den Fall, da die
betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, lsen konnte und
einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die {66} Gebilde beliebige sind,
zur Lsung derselben zu gelangen.[420] Der Hauptgedanke desselben war die
fortwhrende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische
Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von
Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des
Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene Gerade
berhren.

Dadurch, da man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel
erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. Chasles selbst entdeckte
alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im
Raume[421] und auf die Flchen zweiter Ordnung.[422] Zeuthen und Maillard
gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen Abhandlung,
die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, _Almindelige Egenskaber ved
Systemer af plane Kurver_,[423] der andere in seiner Dissertation
_Recherches des caractristiques des systmes lmentaires de courbes {67}
planes du troisime ordre_;[424] andere findet der Leser in den Schriften
von Sturm ber die kubischen Raumkurven[425] und denen von Schubert ber
die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter Klasse, im Raume
betrachtet.[426] Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge
mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von Cayley,
_On the curves which satisfy given conditions_[427] enthalten sind, sowie
in einigen Arbeiten von Jonquires ber Systeme von Kurven und
Flchen.[428] Endlich gehren hierher noch die Untersuchungen von
Hirst[429] und Sturm[430] ber Systeme von Projektivitten und
Korrelationen, sowie die von Zeuthen[431] ber die Plckerschen
Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken, da zwischen den
Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung mit
zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen
giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von Kurven
darstellen. Die gegebene Differentialgleichung lt jedem Punkte eine
bestimmte Anzahl von ihm ausgehender Richtungen entsprechen und einer
Geraden eine bestimmte Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese
Beziehungen wurde Clebsch durch seine Untersuchungen ber die Konnexe[432]
(vgl.  VI) und unabhngig von Fouret[433] {68} gefhrt. In hnlicher Weise
kann man eine Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster Ordnung
mit drei Variabelen und einem Systeme von Oberflchen aufstellen, wie dies
ebenfalls Fouret[434] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von grosser
Wichtigkeit, weil er gestattet, Stze auf transcendente Kurven oder
Oberflchen auszudehnen, von denen man glaubte, da sie nur fr
algebraische Kurven oder Oberflchen gltig seien; so konnte Fouret den
Satz ber die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene
algebraische Kurve berhren, auf Systeme von transcendenten Kurven
ausdehnen,[435] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Berhrungspunkte
eines einfach unendlichen Systemes von Oberflchen mit den Oberflchen
eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[436] ebenso die Ordnung des
Ortes der Berhrungspunkte der Oberflchen eines doppelt unendlichen
Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberflche[437] u. s. w.[438]

Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Krze wegen bergehe, war
die ganze Tragweite der Chaslesschen Betrachtungen noch nicht offenbar
geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe,
durch Hermann Schubert in seinem _Kalkl der abzhlenden Geometrie_.[439]
Dieses Buch, das noch viel zu wenig {69} geschtzt wird, kann man mit Recht
als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem
behandelte, zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener
Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen gengen, d. h. das
Problem der abzhlenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien
unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,[440] dort ist klar
errtert, was man unter dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur
zu verstehen hat, und sind Methoden von auerordentlicher Macht fr dessen
Lsung gezeigt. Die Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt, eines Tages
das bliche Hilfsmittel fr den Mathematiker zu werden, wie es
augenblicklich die Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der
bertreibung beschuldigen, der bedenkt, da dieselben in einer Unzahl von
Fllen zur Lsung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h.
die Zahl der Lsungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu
bestimmen. Daher mssen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von
Schubert, durch welches er die abzhlende Geometrie zu einer besonderen
Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu
bewundern, sich {70} vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu
vervollkommnen und sie von Mngeln frei zu machen, d. h. sie von dem Tadel,
der ihnen von einigen gemacht worden ist, da sie nicht ganz strenge seien,
zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen, deren sie fhig
sind, zu vermehren.

Die auf die Theorie der Charakteristiken bezglichen Andeutungen[441]
wrden eine unverzeihliche Lcke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick
auf eine wichtige Frage bten, die zwischen einigen Geometern ventiliert
wurde, und die man heute als schon gelst betrachten darf. Geleitet nmlich
durch einen Induktionsschlu, behauptete Chasles, da die Zahl derjenigen
Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer neuen
einfachen Bedingung gengen, ausgedrckt wird durch eine homogene lineare
Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten einzig und
allein von dieser Bedingung abhngen. Darboux,[442] Clebsch,[443]
Lindemann,[444] Hurwitz und Schubert,[445] sowie noch andere glaubten
diesen Satz beweisen zu knnen. Aber da die von ihnen angefhrten Grnde
nicht beweiskrftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in
welchen Halphen[446] die Hinflligkeit der Vermutung Chasles' klar legte
und zeigte, wie man den vorher angefhrten Satz modifizieren msse. In der
Theorie der Charakteristiken der Systeme von Flchen zweiten Grades hat man
einen analogen Satz, den ebenfalls Halphen[447] entdeckt hat. Jedoch glaube
man nicht, da diese Stze {71} von Halphen die Resultate zerstren, welche
man erhalten, indem man den Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind
dieselben glcklicherweise meistenteils unabhngig von dem fraglichen
Theorem, und fr die anderen Flle ist es leicht zu zeigen, welche
Korrektionen man machen mu.[448]



       *       *       *       *       *

V.

Theorie der Kurven doppelter Krmmung.

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Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen Richtungen
verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge fat, da eine solche
Kurve durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes einer
Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im Raume die Theorie
der Oberflchen, indem diese als durch eine Gleichung zwischen den
Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet werden, auf
welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man
hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen
Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die
Beschrnkung aufhebt, da diese in einer Ebene gelegen seien: dann entsteht
die Theorie der unebenen Kurven.

Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug
mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von
denjenigen, die fr die {72} ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde
dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von Clairaut
unternommen und wurde hernach von Lancret (1774-1807),[449] Monge,[450]
Tinseau,[451] de Saint-Venant (1797-1886),[452] von Frenet,[453] Alfred
Serret[454] und Paul Serret, von Liouville (1809-1882),[455] Bertrand,[456]
von Puiseux (1820-1883),[457] von Lie[458] und vielen anderen
fortgesetzt.[459]

Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der
brigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr groe
Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, da jede Kurve im Raume als
der vollstndige Schnitt zweier Oberflchen angesehen werden und daher
durch ein System von zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten eines
Punktes im Raume dargestellt werden knnte;[460] aber bald erkannte man die
Existenz von Kurven, die nicht der vollstndige Schnitt von Oberflchen
sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst zweier, {73}
sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen durch dieselbe
hindurchgehenden Oberflchen entsprechen. Man setzte voraus, da die
Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven hinreichen wrde,
aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war, erkannte man, da
dieselbe nicht genge.[461] Man htte nun glauben sollen, da die Ordnung
und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte fr den besagten Zweck hinreichen
wrden, aber als man an die neunte Ordnung herantrat, sah man, da man sich
geirrt habe.[462] Auch eine dritte Zahl, die niedrigste Ordnung der Kegel,
die durch die von einem Punkte herkommenden Sehnen (Doppelsekanten) der
Kurve gehen, konnte nur bei den Kurven von niederer, als der fnfzehnten
Ordnung dazu verhelfen. So kam man denn zu dem Schlusse, da es unmglich
sei, eine gegebene Kurve vermittelst einer bestimmten Menge von vornherein
angebbarer Zahlen zu charakterisieren.

Ich habe diese Thatsachen anfhren wollen, um zu zeigen, da die allgemeine
Theorie der unebenen Kurven keine hnlichkeit mit irgend einem anderen
Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die erschreckliche Dunkelheit,
die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel geben wollen, den Grund zu
finden, warum die Kenntnisse, die wir ber diese Gebilde haben, so wenig
zahlreich und erst neueren Ursprunges sind.

Die ersten allgemeinen Resultate ber die Kurven doppelter Krmmung
verdanken wir Cayley, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet
hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von Plcker)
auf, welche die Zahl der Singularitten einer Raumkurve {74} untereinander
verbinden.[463] In der anderen fhrte er fr das Studium der Raumkurven von
der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flchen ein, welche er Monoide
nannte.[464]

Nach diesen Arbeiten mssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten
Fortschritt in der Theorie, welche uns beschftigt, zu finden, uns zu
Halphen und Nther wenden, deren Abhandlungen[465], im Jahre 1882 von der
Akademie zu Berlin mit dem Preise gekrnt, die Grundlage fr eine
allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme:
alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen,
anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberflche giebt und noch
viele andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten
verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, da es sehr
schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den
vielen gemeinsamen {75} Resultaten zufllt, die sie enthalten. Wenn
einerseits Nther die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in
den _Comptes rendus_ und an anderen Stellen[466] ausgesprochen sind,
ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Stze bedienen, welche in der
sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Nther, _ber die algebraischen
Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie_[467] enthalten sind, und in
derjenigen, in welcher Nther streng den Fundamentalsatz der Theorie der
algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung
von Halphen unumgnglich notwendig war.[468] Und man glaube nicht, da die
von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im
wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie
Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und
Stze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der
andere solche Lehrstze ber die algebraischen Funktionen an, welche zu
denselben Eigenschaften fhren. Jedenfalls steht es auer Zweifel, da
diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind,
die Grundlage fr die zuknftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden,
und wenn bis jetzt sich ihr Einflu noch nicht so allgemein geltend gemacht
hat, so ist dieses vorzugsweise den groen Schwierigkeiten zuzuschreiben,
die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch den Lcken,
die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe nehmen knnte, um jene
zu berwinden.[469]

{76}

Aber vor der Begrndung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne
Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wnsche, mehr als
getreuer, denn als glnzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so
mu ich hier eine Aufzhlung der Arbeiten unternehmen, in welchen die
hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind.

  _Degli altri fia laudabile il tacerci,_
  _Ch il tempo saria corto a tanto suono._[470]

Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen
Raumkurven behandeln. ber diese haben Mbius[471] und Chasles[472]
verschiedene sehr schne Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten
sich mit solcher Schnelligkeit, da Staudt[473] binnen kurzem die
vollstndige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht,
feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr
vervollkommnet, dank den Studien von Seydewitz,[474] Joachimsthal[475]
Cremona,[476] {77} Schrter,[477] Reye,[478] Emil Weyr,[479] Sturm,[480]
Hurwitz,[481] welche nicht allein die Aufstellung einer vollstndigen
synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain
fr die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein
innigst geliebter Lehrer E. d'Ovidio[482] und Pitarelli[483] gemacht haben.

Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide
gezeichneten Kurven anfhren, fr welche Chasles[484] das Fundament gelegt
hat, und die von unserem Cremona[485] so sehr bereichert ist. Ferner will
{78} ich der vielen Eigenschaften erwhnen, welche Poncelet,[486]
Chasles,[487] Cremona,[488] Reye,[489] Paul Serret,[490] Laguerre,[491]
Milinowski[492] und viele andere ber die Raumkurven vierter Ordnung erster
Art gefunden haben, und die schnen Anwendungen, die sie fr die Theorie
der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, -- Harnack,[493]
Lange,[494] Westphal,[495] Laut[496] u. s. w. Auch kann ich die schnen
Arbeiten von Cremona,[497] von Armenante,[498] Bertini[499] und Em.
Weyr[500] ber die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht
stillschweigend bergehen, ferner nicht die von Klein und Lie ber die
durch unendlich viele lineare Transformationen in sich selbst
transformierten {79} Kurven,[501] noch auch die von Fiedler[502]
angestellte Bestimmung der Kurven von nicht hherer als neunter Ordnung,
die zu ihren eigenen Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie knnte ich
es unterlassen, einen Blick auf die groe Zahl von Kurven zu werfen, welche
Cremona und Sturm[503] studiert haben, indem sie sich mit der Geometrie auf
einer Oberflche dritter Ordnung beschftigten, dann auf die wichtigen
Probleme, die von Clebsch und seinen Schlern ber die rationalen,[504]
elliptischen und hyperelliptischen[505] Kurven gelst sind, und die
eleganten Eigenschaften, welche Bertini[506] an den rationalen Kurven
fnfter Ordnung auffand, sowie W. Stahl[507] bei denjenigen, deren Punkte
auf einer Oberflche zweiten Grades liegen, whrend die Oskulationsebenen
eine solche zweiter Klasse berhren?

Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene
Untersuchungen aufzhlen hrt, wird er sich von einem gewissen Kleinmute
bedrngt fhlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit mglich sei,
dieselben, wenn auch nicht alle, so doch grtenteils sich anzueignen? Man
beruhige sich. Die bersicht ist fr den Studierenden viel weniger
schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen knnte. Die von den
Geometern der ersten Hlfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien
sind so fruchtbar, da, wenn jemand sich dieselben grndlich zu eigen
gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen ableiten,
sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst weiter zu
frdern. Und dieses -- was sicherlich ein {80} nicht zu unterschtzender
Vorzug der heutigen Wissenschaft vor der unserer Vter ist -- wurde in
Krze von einem ihrer Grnder mit den fortan klassischen Worten
ausgesprochen: _Peut donc qui voudra dans l'tat actuel de la science
gnraliser et crer en gomtrie; le gnie n'est plus indispensable pour
ajouter une pierre  l'difice_,[508] goldene Worte, welche jeder, der
Mathematik betreiben will, sich einprgen mu; indem sie ihn auf einen
wahrscheinlichen Sieg hoffen lassen, werden sie ihn anspornen, sich mutig
den geistigen Kmpfen entgegenzustellen, die ihn erwarten.



       *       *       *       *       *

VI.

Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen.

------



Bei dieser flchtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen
gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und
Transformationen. -- Es ist bekannt, da zwischen zwei ebenen Punktfeldern
eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem Punkte des einen
eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist; diese heien dann die
entsprechenden zu jenem. Wenn im speziellen Falle jeder Punkt des einen
Feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat, so heit die
Korrespondenz eindeutig.

Die einfacheren Flle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie --
von Poncelet studiert (1822) -- und die Kollineation (Homographie), von
Mbius (1827), Magnus (1833) und Chasles (1837) studiert. In diesen Fllen
entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern {81} auch jeder
Geraden eine Gerade. -- Ein Beispiel einer komplizierteren Korrespondenz
wurde von Steiner (1832) durch folgende Konstruktion erhalten:[509] Gegeben
sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe Geraden; durch jeden Punkt
der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche die beiden gegebenen
Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit der anderen Ebene.
Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene gewhlten Punkte
zuordnet, erhlt man eine eindeutige Beziehung von der Art, da jeder
Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen entspricht. Lt
man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhlt man eine Korrespondenz,
welche im wesentlichen nicht von der durch Poncelet[510] zwischen in bezug
auf ein Kegelschnittbschel konjugierten Punkten gefundenen verschieden
ist, und welche auf analytischem Wege von Plcker[511] untersucht wurde,
sodann von Magnus (1790-1861)[512] und von unserem Schiaparelli,[513]
synthetisch aber von Seydewitz[514] und spter von Reye.[515] -- Auf ein
drittes Beispiel fhrte die Lsung einiger Probleme aus der mathematischen
Physik; man gelangt dazu auf folgende Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein
fester Punkt, man associiert zwei mit ihm in gerader Linie gelegene Punkte,
deren Abstnde von ihm umgekehrt proportional sind. Man erhlt dann eine
eindeutige Korrespondenz, welche jede Gerade in einen Kreis, und jeden
Kreis wieder in einen Kreis verwandelt. Diese wurde von Sir William
Thomson[516] {82} als Prinzip der elektrischen Bilder studiert und ist
unter dem Namen Transformation durch reciproke Radien oder Inversion
allgemein bekannt.[517]

Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine
Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte
Magnus schon die Bemerkung, da, wenn man eine quadratische Transformation
wiederholt, man im allgemeinen eine solche hherer Ordnung erhlt.[518]
Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar
(1863), in welchem Cremona von den wenigen bisher errterten Fllen zur
allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren
berging.[519]

{83}

Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche Cremona dieser
Theorie[520] gewidmet hat, zu zeigen, wrde ich auseinanderzusetzen haben,
auf welche Weise dieser groe Geometer das Studium der eindeutigen
Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven
zurckgefhrt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die Lsung
eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die Anlage
meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so mu ich mich darauf
beschrnken, ihn davon durch den alten Beweis des _consensus omnium_ zu
berzeugen. Dann fhre ich noch die Namen von Geometern an wie Cayley,[521]
Clebsch,[522] Nther,[523] Rosanes,[524] S. Roberts,[525] die sich bemht
haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes unvermeidlichen) Lcken,
die sich in den Cremonaschen Abhandlungen[526] fanden, auszufllen; ferner
die Arbeiten von Ruffini,[527] Jonquires,[528] Kantor,[529] Guccia,[530]
Autonne,[531] welche mit dieser Lehre {84} eng zusammenhngende Fragen
behandeln, endlich die von Hirst,[532] T. Cotterill[533] (1808-1881), von
Sturm,[534] Schoute[535] und sehr vielen anderen, welche sich das
bescheidenere Ziel gesetzt haben, die Verbreitung derselben durch geeignete
Beispiele und elegante Formeln zu erleichtern.[536]

Unter den Arbeiten, welche sich an die von Cremona anschlieen, verdienen
eine hervorragende Stelle diejenigen von Bertini,[537] welche er den ebenen
involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch grere
Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse und andere
Begriffe, die von Caporali[538] (1855-1886) eingefhrt wurden, jenem
ausgezeichneten Geometer, dessen frhen Verlust ganz Italien
betrauert.[539]

{85}

Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen
von Laguerre ber solche Transformationen, welche er Transformationen
durch reciproke Richtungen nannte; da es nicht mglich ist, den
Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen
Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen
wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden franzsischen
Geometers.[540]

Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den
isogonalen Transformationen einen Teil, welcher sich auf die geometrische
Darstellung der komplexen Zahlen sttzt und deren Ntzlichkeit (welche
vielleicht grsser {86} ist fr die mathematische Physik als fr die reine
Geometrie) Mbius,[541] Siebeck,[542] Durge,[543] Beltrami,[544]
Vonder-Mhll,[545] F. Lucas,[546] Wedekind[547] und neuerdings
Holzmller[548] dargethan haben.[549]

{87}

Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann man auf
verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so ziemlich von
selbst darbieten, sind folgende:

Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz
aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt
unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[550] diese
Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocitt)
zwischen zwei Feldern; angegeben von Plcker, wurde dieselbe von
Clebsch[551] entwickelt und veranlate die Theorie der Konnexe.[552]

{88}

Wenn man dann zum Raume bergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen den
Punkten zweier Oberflchen aufstellen (insbesondere zwischen den Punkten
einer krummen Oberflche und denen einer Ebene) oder zwischen den Punkten
zweier Rume.

Die Darstellung einer Oberflche auf einer Ebene kann man bis ins Altertum
zurckverfolgen, da schon Hipparch und Ptolomaeus (und wahrscheinlich
andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung geographischer Karten
gestellt und Lsungen derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen
Projektion beruhen, welche man heute die stereographische nennt. -- Die
Projektion von Mercator (1512-1594), die Untersuchungen von Lambert
(1728-1777) und Lagrange, die berhmte Antwort von Gau auf eine von der
dnischen Akademie gestellte Frage[553] zeigen, wie die tglichen
Bedrfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhrlich die Gelehrten
angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen Darstellung der
Oberflche unseres Planeten auf einer Ebene zu beschftigen.[554] -- Die
erste Abbildung einer Oberflche auf einer anderen jedoch, die nur in der
Absicht gemacht wurde, um eine derselben leichter studieren zu knnen,
verdanken wir Gau, der 1827 in seinen berhmten _Disquisitions generales
circa superficies curvas_ es als sehr vorteilhaft erkannte, die Punkte {89}
einer beliebigen Oberflche den Punkten einer Kugelflche entsprechen zu
lassen, indem man zwei solche Punkte zuordnet, deren Normalen einander
parallel sind.[555] Eine besondere Eigentmlichkeit dieser Korrespondenz
ist die, da, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer ntig ist, nur
den Teil der Oberflche abzubilden, den man gerade ins Auge fat; wir
wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend bergehen, da deren
Anfhrung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der
zwischen der sphrischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von
Plcker,[556] Chasles[557] und Cayley[558] fr das Studium der Geometrie
auf einer Flche zweiten Grades, denen, die von Clebsch[559] und
Cremona[560] fr das Studium der Geometrie auf einer kubischen Flche, und
von denen endlich, die von spteren Geometern fr die Untersuchung anderer
Flchen vorgeschlagen sind.

Die erste Arbeit, welche _ex professo_ die Theorie der Abbildungen dieser
Art behandelt, verdankt man Clebsch.[561] Die zahlreichen Beispiele, durch
welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen lteren und
spteren[562] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung
der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flchen mit vielen Einzelheiten
gefhrt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen {90} von
Cremona[563] und Nther,[564] sowie die ihnen folgenden von Armenante,[565]
Klein,[566] Korndrfer,[567] Caporali[568] und von noch anderen[569] im
Verlaufe weniger Jahre diese Zahl auerordentlich vermehrt.[570] Man kann
sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der
Geometrie machen, wenn man die schne Abhandlung von Caporali ber die
dreifach unendlichen linearen Systeme ebener Kurven liest,[571] in welcher
er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberflche auf eine Ebene auf
das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in derselben wertvolle
Hilfsmittel der Untersuchung fand.

Bei dem Studium der Abbildung einer Oberflche bietet sich von selbst eine
wichtige Frage dar, nmlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene
abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflchen sich als Punkt fr
Punkt {91} einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht
erkannte, da die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man
natrlich auf die andere Frage gefhrt: Welche Oberflchen lassen sich
eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflchen
kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden? -- Die analoge Frage fr
zwei (ebene oder unebene) Kurven wurde von Clebsch vermittelst der
Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln gelst. Diese Analogie
veranlate nun Clebsch, die Lsung des vorhin angegebenen Problems in einer
Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflchen[572] zu
suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafrhalten nicht von gutem
Erfolge gekrnt, und auch heute mu man trotz der nach Clebsch angestellten
Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie Cayley,[573] Nther,[574]
Zeuthen[575] die Frage als noch ungelst betrachten; um das zu beweisen,
gengt es zu sagen, da, wenn es auch bekannt ist, da alle Oberflchen
zweiter und dritter Ordnung (die nicht Kegelflchen sind) eindeutig auf
einer Ebene abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflchen vierter
Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.[576] {92} Die
allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn ich
nicht irre, von Nther[577] erhalten; dieser gelangte durch eine beraus
elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberflche, welche eine einfach
unendliche Schar rationaler Kurven enthlt, zu einer Abbildung derselben
auf einem Kegel.

Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung
gewisser Oberflchen auf eine Ebene stie, lieen bei Clebsch den Gedanken
entstehen, zwischen einer Oberflche und einer Ebene eine vielfache
Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die Riemannschen Flchen
denkend sagte) eine Flche auf eine vielfache Ebene abzubilden und dann
diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[578] Diese Idee, deren Keime
sich vielleicht bis zu der von Chasles[579] vorgeschlagenen
Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurckverfolgen lassen,
konnte nicht mehr vollstndig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch
blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr
entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen,
welche de Paolis aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erlutert
hat.[580]

Die zweite Verallgemeinerung der Cremonaschen Transformationen veranlate
die Theorie der rationalen Transformationen im Rume. Zwei Beispiele einer
solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie zweier Rume (und deren
Spezialfllen) dar und -- wie Magnus,[581] Hesse[582] und Cremona[583]
bemerkt haben -- in der Transformation, die man erhlt durch drei zu
demselben Rume korrelative (reciproke) Rume, indem man jedem Punkte jenes
Raumes {93} den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in diesen entsprechen.
Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870 durch die
Bemhungen Cayleys,[584] Nthers[585] und Cremonas,[586] obwohl schon
Magnus[587] Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen
hatte.

Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere Theorie
im allgemeinen begrndeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, die wir
der Feder unseres berhmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch die
Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen Korrespondenz
zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf das Studium
der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von Oberflchen
zurckfhren lt. Darauf setzte er auf eine sehr schne Weise auseinander,
wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten knne, wenn man die ebene
Abbildung einer Oberflche kennt, und zeigte zuletzt durch treffende
Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen auf die
Abbildung vieler Flchen auf andere zurckfhrt, insbesondere auf die ebene
Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der obenerwhnten
Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer Oberflche
nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten kann,
sondern auch unzhlig viele rationale Transformationen des Raumes.

Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien so
mchtig zur Grndung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen haben, kann
man doch nicht sagen, da dieselbe den Grad der Vollendung erreicht habe,
{94} den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, da die
schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der
Bestimmung der Singularitten der Oberflchen zusammenhngen, und ber
diese -- wir mssen es leider gestehen -- sind unsere Kenntnisse noch sehr
beschrnkt. Darin hat man vielleicht die Erklrung der Thatsache zu suchen,
da die Geometer, die auf jene oben erwhnten folgten, sich mehr mit der
Erluterung der Methoden ihrer Meister, als mit der Vervollkommnung
derselben und der Ausfllung ihrer Lcken beschftigt haben.[588] Und
dennoch -- wenn auch das Studium der Figur selbst ohne Zweifel dem der
transformierten vorzuziehen ist -- giebt es bei dem heutigen Standpunkte
der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es verdienen, da man
sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als gerade diese. In der
That, um die Worte eines groen Mannes zu gebrauchen, wenn man ber das
Verfahren der Algebra nachdenkt und den Grund {95} der gewaltigen Vorteile
aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht man da nicht, da sie
dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man anfnglich eingefhrte
Ausdrcke Transformationen unterziehen kann, Transformationen, deren
Geheimnis und deren Mechanismus die wahre Wissenschaft bilden und die das
stndige Ziel der Analysten sind? Ist es darum nicht natrlich, zu
versuchen, in die reine Geometrie analoge Transformationen einzufhren,
welche direkt auf die vorgelegten Figuren und ihre Eigenschaften
hinsteuern?[589]

Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher
Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[590]
z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurckfhrung
zur ursprnglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals hintereinander
angewandt werden. Es existieren in der That auch schon einige gute
Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen behandelt sind,
welche eine Flche zweiter Ordnung, einen linearen Komplex[591] oder eine
kubische Raumkurve[592] in sich selbst transformieren, sowie ber die
cyklischen Projektivitten.[593]

{96}

Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschlieen, indem wir noch
einige Worte ber die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden
zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Vorbergehen
hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von Paolis anfhrte. Der
erste, der sich mit ihnen beschftigte, war Chr. Wiener,[594] welcher sie
untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte
zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes;
dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe
der Grundpunkte des Bschels zugeordnet, der durch die entsprechenden
Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen
zu erzeugen, wurde von Tognoli[595] auf den Raum ausgedehnt; derselbe lie
jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte
desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen
entsprechenden Oberflchen eines dreifach unendlichen linearen Systemes
bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht
als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon
genannten Untersuchungen von Paolis ber die doppelten Transformationen.
Das zeigen die Arbeiten, in denen Visalli[596] und Jung[597] die vielfachen
Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind.

Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich
Reye[598] und Segre[599] beschftigt und von ihnen elegante Anwendungen
gemacht. Aschieri[600] bertrug eine spezielle ebene zweifache
Transformation, welche Paolis bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte
auch die {97} Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die
Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem
Gebiete haben wir jedoch keine auer den wenigen, die in einer kurzen
Arbeit von Reye[601] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen ber die
doppelten Transformationen des Raumes von Paolis.[602] Wir zweifeln nicht,
da diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen
Transformationen, die wir noch erwarten, dienen knnen; und wir erwarten
dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, da dieselbe der Geometrie nicht
geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch die
birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie Paolis
bemerkt, die doppelten leisten knnen.

Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Rumen von Punkten (oder
Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume
stellen. Untersucht wurden dieselben fr den Fall, da durch jeden Punkt
die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden
Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Rume ein hheres
Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen
letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von Ameseder,[603] von
Sturm[604] und Vo[605] hervorgetreten, whrend Reye[606] das Verdienst
zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[607] zuerst, doch in einer
anderen Weise -- die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen,
sondern Flchen zweiter Ordnung und zweiter Klasse -- erweitert zu haben.

{98}



       *       *       *       *       *

VII.

Geometrie der Geraden.

------



Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element
aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die
Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip
der Dualitt fhrte nun die Gelehrten zu dem Schlsse, da die Gerade in
der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem Erfolge,
wie der Punkt, die Rolle spielen knne, die bis jetzt dieser in der
Geometrie inne gehabt, und fhrte in der Folge dazu, die Gerade und die
Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues System
der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das Verdienst
dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebhrt grtenteils Plcker.[608]

Aber ganz auf Plcker fllt der Ruhm, ein drittes die rumlichen Gebilde
erzeugendes Element -- die Gerade -- eingefhrt und auf eine solche
Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begrndet zu haben. Dieser
berhmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die
Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskrfte der Physik zu
widmen, zu der Wissenschaft zurck, die ihm ursprnglich seinen Ruhm
gesichert hatte, um sie {99} mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu
beschenken, mit der Geometrie der Geraden.

Die ersten Mitteilungen ber diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der
Kniglichen Gesellschaft zu London[609] von dem groen deutschen Geometer
gemacht wurden, enthalten die Stze ber einige allgemeine Eigenschaften
der Komplexe, Kongruenzen und Regelflchen und einige spezielle
Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[610] die Beweise
derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors,
vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume gefhrt werden, die er
als einen eigenen Gedanken eingefhrt hatte, die man spter aber als
Spezialfall dessen erkannte, was schon Cayley[611] aufgestellt hatte, um
vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume
darstellen zu knnen.

Diese Mitteilungen veranlaten pltzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten, in
denen Battaglini nicht nur, was Plcker behauptet hatte, sondern auch viele
Lehrstze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und hheren Grades
beziehen.[612] -- Indessen hatte Plcker schon die von ihm {100}
skizzierten Gedanken ausgefhrt und in dem Werke vereinigt, welches den
Titel trgt: _Neue Geometrie des Raumes, gegrndet auf die Betrachtung der
geraden Linie als Raumelement._[613]

Von diesem Buche zu sagen, da es in allen seinen Teilen gleich wichtig und
interessant sei, wrde eine der Wahrheit nicht entsprechende Behauptung
sein. Plcker schtzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die wir durch
Lagrange, Jacobi, Hesse, Clebsch gewhnt sind; er teilte sicherlich nicht
mit Lam[614] die Ansicht, da die Bezeichnung fr die Analysis das sei,
was die Stellung und Wahl der Worte fr den Stil ist; bei ihm brauchte die
Rechnung nur der einen Bedingung zu gengen, nmlich schnell zur Lsung der
ins Auge gefaten Probleme zu fhren. Dieser Mangel, der allen Arbeiten von
Plcker gemeinsam ist, macht sich lebhafter in dem letzten Werke
bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte mit Mustern der
Eleganz, wie den _Vorlesungen ber analytische Geometrie des Raumes_ von
Hesse und den _Vorlesungen ber Dynamik_ von Jacobi, die kurz vorher (1861
und 1866) herausgekommen waren. Auer diesem nicht geringen Mangel ist ein
anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, da Plcker lange Zeit
hindurch es vernachlssigt hatte, den Fortschritten der Geometrie
nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir in seinem
Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr interessieren, da
sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen, eine groe Anzahl von
Spezialfllen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht berzeugen knnen, eine
Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir nicht einsehen. Trotz
dieser Fehler -- die ich anfhren mu, um die geringe Anzahl der Leser, die
sie heute findet, zu begrnden -- kann man nicht verkennen, da die letzte
Arbeit von Plcker reich an originellen Blicken ist, und es wrde die
Lektre derselben jedem zu raten sein, der das Studium dieses Teiles der
Geometrie unternehmen will, wenn nicht die Nachfolger {101} Plckers seine
Untersuchungen in besserer Form auseinandergesetzt und mit anderen Methoden
ausgefhrt, und jene Gedanken, die er nur hingeworfen hat, grtenteils
entwickelt htten.

Plcker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu
vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den
zweiten Teil seines Buches zu verffentlichen; aber die Untersuchungen, die
er unvollendet zurcklie, wurden von seinem Schler F. Klein[615] zu Ende
gefhrt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der
Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schner Lehrstze ber die
Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und
auerordentlich fruchtbare Ideen ber die Geometrie der Geraden. In der
That ist es Klein, der, einen Gedanken seines Lehrers przisierend, die
Bemerkung machte, da man die Geometrie der Geraden ansehen knne als das
Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen,
enthalten in einem linearen Raume von fnf Dimensionen, und zeigte, da
jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer
Geraden darstellbar ist. Da diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der
grten Bedeutung fr den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien,
wurde in glnzender Weise durch die schnen Untersuchungen meines lieben
Freundes Segre[616] gezeigt, die mit denen von Klein innig zusammenhngen.

Gleichzeitig mit Klein beschftigten sich Pasch,[617] Zeuthen,[618]
Drach,[619] spter auch Paolis[620] wiederholt {102} mit der Geometrie der
Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener
Koordinaten behandelten. Clebsch[621] wandte auf diese Theorie die Methode
der abgekrzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollstndigte Weiler[622]
die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen, die Klein in
seiner Dissertation angegeben hatte. Vo[623] studierte in einer Reihe sehr
wichtiger Abhandlungen die Singularitten der Systeme von Geraden; Halphen
bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher aufgestellten
Bedingungen gengen;[624] Nther,[625] Klein[626] und Caporali[627]
beschftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten Grades
auf den gewhnlichen Raum, Aschieri mit der einiger spezieller
Komplexe;[628] Lie stellte den innigen Zusammenhang, der zwischen der
Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins Licht;[629]
Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen
Komplexe.[630] Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere
Theorie von Chasles studiert[631] -- schon 1839 --, von Reye,[632] {103}
von Silldorf,[633] Schur,[634] Bertini,[635] von d'Ovidio[636] und von W.
Stahl;[637] Buchheim[638] bediente sich der Quaternionen, um die
hauptschlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen,
whrend viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme
von Geraden beziehen, glcklich in einigen Abhandlungen von Mannheim,[639]
Lie,[640] Klein,[641] Picard[642] und Knigs[643] gelst wurden.
Schlielich wurden einige spezielle Komplexe studiert von Aschieri,[644]
Painvin,[645] von Reye,[646] Lie,[647] Weiler,[648] Roccella,[649] von
Hirst,[650] Vo,[651] Genty,[652] Montesano,[653] von Segre und von
mir.[654]

Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Plcker
gegebenen Anstoe verdanken, mssen wir noch eine andere ebenso glnzende
erwhnen, die aber {104} von ganz anderer Art ist. Sie umfat die Arbeiten
von Dupin,[655] Malus[656] (1775-1811) und Ch. Sturm[657] (1803-1855),
Bertrand,[658] Transon[659] ber die Normalen von Oberflchen und ber die
mathematische Theorie des Lichtes, dann die von Hamilton (1805-1865) ber
Systeme von Strahlen.[660] Diese Arbeiten finden ihre Krnung in zwei
berhmten Abhandlungen, die von Kummer in den Jahren 1857 und 1866
verffentlicht sind.

In der ersteren, die im _Journal fr Mathematik_[661] abgedruckt ist, hat
sich Kummer die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere
Methode die Resultate von Hamilton darzulegen und sie in den Punkten, wo
sie mangelhaft erschienen, zu vervollstndigen.[662]

In der zweiten,[663] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen
schnen allgemeinen Untersuchungen ber die Zahl der Singularitten eines
Systemes von Strahlen und seiner Brennflche, und lste die Frage, alle
algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu bestimmen,
d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes einer oder zwei
Strahlen des Systemes hindurchgehen.

Ich mchte wnschen, da mir hinreichender Raum zu Gebote stnde, um den
Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser
klassischen Arbeit hoch {105} zu schtzen, um ihn an der tiefen Bewunderung
teilnehmen zu lassen, die ich fr sie empfinde; ich mchte ihn sehen
lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser zur
Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen
wei, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflchen darstellen (welches
jene Oberflchen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich
Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwhnen), zu den Singularitten der
Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange zwischen
ihnen und den Singularitten der Brennflche u. s. w. Aber da die
Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so mu ich mich darauf
beschrnken, den Wunsch auszusprechen, da dieser mein kurzer berblick es
bewirken knne, da bei jedwedem das Verlangen entsteht, die Untersuchungen
Kummers selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen, den er mit
solchem Glcke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch aus, da mich
die Beobachtung schmerzlich bewegt, da in den zwanzig Jahren, die schon
seit dem Erscheinen der Kummerschen Arbeit verflossen sind, es noch nicht
gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so fruchtbar an schnen
Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten Weise zu frdern.[664]

{106}



       *       *       *       *       *

VIII.

Nicht-Euklidische Geometrie.

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Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschftigen habe,
umfat eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen
Veranlassung gegeben haben und -- wunderbar zu sagen -- eine Zeit lang die
Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, das eine gewappnet gegen das
andere;[665] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des
Raumes, den man Nicht-Euklidische Geometrie und Theorie der beliebig
{107} ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder Geometrie von n
Dimensionen[666] nennt.

Jeder wei, da unter allen Stzen, die in den _Elementen_ des Euklid
enthalten sind, es einen giebt,[667] der nur schlecht dazu pat, wie es der
griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate
gestellt zu werden.[668] Derselbe ist von groer Wichtigkeit im
Euklidischen System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der
Parallelen gegrndet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer
Anschauung gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Stze zu zhlen, fr
welche es vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die
Frage, ob er in der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der
Fall sein sollte, ihn unterdrcken und durch einen anderen ersetzen knne,
dessen Wahrheit offenbarer sei?

Diese Fragen sind ein natrlicher Ausflu unseres Zeitalters, von welchem
eine der hervorragendsten Eigentmlichkeiten (wie Humboldt bemerkt) die
unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit
hinterlassen hat; sie mssen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen
Geometrie angesehen werden.

Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des
vergangenen Jahrhunderts von Legendre[669] {108} gemacht. Dieselben
stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und
dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und
fhrten Legendre dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel
wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von
eben demselben Postulate unabhngig ist.[670]

Nahe zur selben Zeit wie Legendre, befate sich Gau mit dieser Frage.
Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete
verffentlicht; seine Korrespondenz mit Schumacher[671] und mit Wolfgang
Bolyai (1775-1856)[672] und einige bibliographische Artikel von ihm[673]
{109} bezeugen nicht nur das Interesse, das er dafr besa, sondern
bekunden auch die reiche Ernte von Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf
den anderen von ihm bebauten Feldern eingebracht hat. Und als die Schriften
von Lobatschewsky (1793-1856)[674] und Johann Bolyai (1802-1860)[675] ber
diesen Gegenstand erschienen, da sanktionierte der Frst der deutschen
Mathematiker mit seiner Autoritt die Ergebnisse, welche dieselben erhalten
hatten. Man kann diese Ergebnisse zusammenfassen, indem man sagt, da
dieselben die Grundlage einer neuen Geometrie sind, die vollstndig
unabhngig ist von dem Postulate des Euklid (die Nicht-Euklidische
Geometrie, oder imaginre oder auch Pangeometrie), die in gewissen Punkten
mit der gewhnlichen Geometrie bereinstimmt, jedoch in vielen anderen sich
von ihr unterscheidet, -- eine Geometrie, die eine Zeit lang einige als
absurd verbannt haben wollten, da sie den von einer nur oberflchlichen
Sinneswahrnehmung bezeugten Erscheinungen widerspricht, die aber heute
allgemein angenommen ist, da ihr logischer Wert auer Zweifel gestellt
ist.[676]

{110}

Zu diesem Siege der Logik ber den bertriebenen Empirismus haben in sehr
wirkungsvoller Weise einige Schriften von groer Bedeutung beigetragen, die
Riemann (1827-1866), von Helmholtz und Beltrami in den Jahren 1867 und 1868
verffentlichten.

Die Riemannsche Schrift: _ber die Hypothesen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen_[677] -- zwlf Jahre vor ihrer Verffentlichung geschrieben
-- war und ist noch durch die Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit
der Form selbst fr diejenigen, welche in der Mathematik schon
vorgeschritten sind, von schwierigem Verstndnisse. Jedoch ein groer Teil
der Ideen, welche dieselbe enthlt, verbreiteten sich sehr bald, da sie,
durch ein glckliches Zusammentreffen, auch von Helmholtz ausgesprochen
wurden, und dieser sie nicht nur den Mathematikern in rein
wissenschaftlicher Form darlegte,[678] sondern auch in populren Vortrgen
und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch auerhalb des engeren
Kreises der Geometer behandelte.[679] Keinen geringeren Einflu aber als
die Schriften des berhmten Verfassers der _Physiologischen Optik_ bte der
klassische _Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea_[680]
von Beltrami aus. Gerade die Schrfe und analytische Eleganz, welche diese
Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der Geometer auf dieselbe;
das glnzende und berraschende Resultat, da die Stze der
Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den Oberflchen mit
konstanter negativer Krmmung fanden, machte einen tiefen Eindruck auch auf
diejenigen, welche jeder nicht durch das {111} Experiment bewiesenen
Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der neuen
Anschauungen; endlich -- die dort verteidigten gesunden Prinzipien einer
wissenschaftlichen Philosophie und die glnzende Form, in welcher die
Abhandlung geschrieben ist, lieen und lassen noch bei allen eine lebhafte
Bewunderung fr unseren berhmten Landsmann entstehen, durch dessen
Bemhung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug.

Da die Arbeiten dieser drei groen Gelehrten einen wohlthtigen Einflu
auf die ganze Geometrie ausgebt haben, hat sich zur Evidenz durch die
nderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise vollzogen hat
wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Stze betrachtet.[681] Wenn
frher die Geometer den Philosophen die Sorge berlieen, zu entscheiden,
ob die Wahrheiten, mit denen sie sich beschftigten, notwendige oder
zufllige seien, und dahin neigten, dieselben als notwendige zuzulassen, so
streben sie jetzt, nachdem die empirische Grundlage der Geometrie erkannt
ist, fortwhrend darnach, genau festzusetzen, welche Thatsachen man der
Sinneswahrnehmung entnehmen mu, um eine Wissenschaft der Ausdehnung zu
grnden.[682] Wer die schnen _Vorlesungen ber neuere {112} Geometrie_
(Leipzig, 1882) von Pasch liest, die neueren Lehrbcher prft und diese und
jene mit den lteren Bchern vergleicht, wird wesentliche Unterschiede
finden.

In den lteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er nicht
beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den neueren
fhrt er sozusagen den Schler dazu, die ntigen Erfahrungen auszufhren,
um die Prmissen der spteren Deduktionen festzustellen. In den lteren
Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als die einzig
denkbare hin, in den neueren als {113} eine der unendlich vielen, die man
aufstellen knnte. Und diese Unterschiede bezeichnen einen thatschlichen
Fortschritt, da sie zeigen, da die Gelehrten sich von einem
alteingewurzelten und schdlichen Vorurteile frei gemacht haben; und fr
den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines Irrtums eine
nicht geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer Wahrheit.

Kurz nach der Verffentlichung der Arbeit von Beltrami erschien eine von F.
Klein,[683] die auch von groer Wichtigkeit ist; aber um die Stellung zu
kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen
Geometrie einnimmt, mu ich mich einige Jahrzehnte rckwrts wenden.

Es ist bekannt, da infolge des _Trait des proprits projectives des
figures_ eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften
der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und
solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, da unter den
ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische
Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob
es nicht mglich sei, die metrischen Eigenschaften der Figuren so
auszusprechen, da sie bei der Projektion smtlich erhalten werden. Fr
einige Arten der Projektion haben Chasles und Poncelet die Frage gelst,
indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des
unendlich entfernten imaginren Kreises einfhrten; fr andere wurde die
Lsung von Laguerre[684] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels
projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Lsung in ihrer ganzen
Allgemeinheit gab, war Cayley[685] (1859), der in dem sechsten von seinen
berhmten _Memoirs upon Quantics_ zeigte, da jede metrische Eigenschaft
einer ebenen Figur als in einer {114} projektiven Beziehung zwischen dieser
und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden knne.

Nun besteht der Hauptzweck der angefhrten Abhandlung von Klein eben darin,
die innige Beziehung zwischen den Schlssen Cayleys und denen, zu welchen
Bolyai und Lobatschewsky gelangt waren, herzustellen; auf welche lichtvolle
Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der groe Ruhm, zu dem diese
Schrift alsbald gelangte.[686]

An diese Schriften schlieen sich viele andere; an die von Riemann und
Beltrami einige interessante Arbeiten von de Tilly,[687] Genocchi,[688] von
Escherich[689] und Bianchi;[690] an die von Klein verschiedene Abhandlungen
von Battaglini,[691] d'Ovidio,[692] de Paolis[693] und Aschieri,[694]
Cayley,[695] Lindemann,[696] Schering,[697] von Story,[698] {115} H.
Stahl[699] und Vo,[700] von H. Cox[701] und A. Buchheim.[702]

Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr
reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[703] es hat den Anschein, als wenn
jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen knnte, und durch welches
jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der Nicht-Euklidischen
Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die unermdlichen Arbeiter
der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder Richtung so grndlich
durchwhlt haben, da sie keine goldfhrende Ader mehr bergen?



       *       *       *       *       *

IX.

Geometrie von n Dimensionen.

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Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die Geometrie
von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Untersttzung, welche die
Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf diese
anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese Untersttzung eine begrenzte,
da nur die analytischen Thatsachen, welche mit der Theorie der Funktionen
einer, zweier oder dreier Variabelen verknpft sind (oder mit der Theorie
der binren, ternren oder quaternren Formen), einer den Sinnen
zugnglichen {116} Darstellung fhig sind. Aber der Geist der
Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der mchtigsten Antriebe
zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und noch fortwhrend ist,
bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche die Natur ihrem
Vorstellungsvermgen angelegt zu haben schien, und von beliebig
ausgedehnten Rumen zu sprechen.[704]

Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen, als
mathematischen Frage beschftigt hatten, ob in der That solche Rume
existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur so, ohne ein
vielleicht unlsbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel erreichen
konnten; durch eine khne Einbildungskraft verschafften sie sich die
(sinnlich wahrnehmbaren oder bersinnlichen) Darstellungen vieler
analytischer Resultate.[705]

Um zu zeigen, da man wirklich in der angegebenen Weise zu einer solchen
Theorie gekommen ist, begnge ich mich damit, die Thatsache anzufhren, da
dieselbe von Analysten wie Cauchy[706] (1789-1857) und Riemann[707]
aufgestellt wurde; da sie sich noch bei vielen anderen minder bedeutenden
mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, fr die Theoreme der
Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner da Lagrange schon
Ende des vergangenen Jahrhunderts die Bemerkung machte, da man die
Mechanik als eine Geometrie von vier Dimensionen {117} ansehen knne, in
welcher die Zeit als vierte Koordinate fungiert.[708]

Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem Ursprunge
und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. Plcker, dem das
Schicksal einen so wichtigen Anteil an der Frderung der modernen Geometrie
zugeteilt hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein geometrisches Gewand
zu geben, indem er beobachtete, da man unserem Raume eine beliebige Anzahl
Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer passenden Wahl des
geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes Element des Raumes
auffat; so wird er drei Dimensionen haben, wenn man den Punkt oder die
Ebene whlt, vier, wenn man die Gerade oder die Kugel nimmt, neun, wenn man
die Flche zweiten Grades nimmt, u. s. w.[709]

{118}

Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und leichter zu
begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer, als der
erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber nicht Worte genug
machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere hingegen wurde besonders
infolge der berhmten Abhandlung von Riemann, _ber die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen_, in vielen Richtungen weiter entwickelt,
und die mathematische Litteratur ber diesen Gegenstand ist von einer schon
betrchtlichen Reichhaltigkeit und wchst noch von Tag zu Tag.

Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon genannten
Abhandlungen von Helmholtz, fhre die von Beltrami,[710] Schlfli,[711]
Newcomb,[712] Stringham,[713] das neue Buch von Killing[714] an und die
darauf folgenden Untersuchungen von Schur,[715] die enge mit der
Riemannschen Abhandlung zusammenhngen; die Untersuchung von Betti[716]
ber den Zusammenhang eines Raumes von n Dimensionen; die von
Clifford,[717] Beltrami,[718] Jordan,[719] von Lipschitz,[720] Monro,[721]
Scheeffer (1859-1885),[722] Heath[723] und Killing[724] ber die Kinematik
und Mechanik eines {119} solchen Raumes;[725] ferner die von Jordan[726]
und Brunel[727] ber die verschiedenen Berhrungs- und Schmiegungsrume,
welche eine Kurve in einem Raume von n Dimensionen zult,[728] die von
Craig[729] ber die metrischen Eigenschaften der Oberflchen in einem
solchen Raume, die von Kronecker,[730] von Beez,[731] Lipschitz,[732]
Christoffel,[733] von Brill,[734] Suworoff[735] und Vo[736] ber die
Krmmung eines beliebig ausgedehnten Raumes; die von Kronecker und
Tonelli[737] ber das Potential; die von Lie,[738] Klein,[739] Jordan[726]
und Lipschitz[740] ber die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen
Lehrsatzes; sodann die konforme Abbildung einer Oberflche des
vierdimensionalen Raumes auf den gewhnlichen Raum, die von Craig[741]
studiert wurde, endlich die von Lipschitz gegebene Verallgemeinerung des
berhmten Problemes der drei Krper.[742] Zum Schlusse wollen {120} wir die
Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser Begriffe,
einiger Stze und Formeln der elementaren Geometrie, die vorzglich von
Rudel,[743] Hoppe,[744] Schlegel[745] und Mehmke[746] gemacht sind; dazu
gehren auch die Untersuchungen von Stringham,[747] Hoppe,[748]
Schlegel,[749] Scheffler,[750] Rudel,[751] O. Biermann,[752] Puchta[753]
und anderen ber die regulren Krper des vierdimensionalen Raumes, die
soweit gediehen, da sie Schlegel gestatteten, Modelle der Projektionen
dieser Krper auf unseren Raum herzustellen.[754]

Auer dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den
Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche
projektiv ist, whrend die erstere wesentlich metrisch ist.--Eine kurze
Andeutung, {121} die von Cayley im Jahre 1846 gegeben wurde[755] ber eine
Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu
untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung
hinwies. Aber es scheint, wie Bailly[756] bemerkt hat, da die Ideen, wie
wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwche haben; sie sind nicht
von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und mit der
Zeit ihre Fruchtbarkeit. Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre
verflieen, ehe der geniale Gedanke des groen englischen Geometers, in der
richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Rume von n
Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief.

Als Einleitung zu derselben mu man die wichtige Arbeit von Clifford
ansehen: _On the classification of loci_,[757] in welcher das allgemeine
Studium der Kurven in beliebigen linearen Rumen in Angriff genommen ist;
jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche
Erweiterungen derer sind, die man in der gewhnlichen projektiven Geometrie
zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, da dieser neue Zweig der
Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die Veronese der _Behandlung der
projektiven Eigenschaften der Rume von_ n _Dimensionen durch die
Prinzipien des Schneidens und Projizierens_ gewidmet hat.[758] In derselben
lt der berhmte Verfasser, Riemann folgend, einen Raum von n Dimensionen
entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine Dimension weniger
hat, von einem auerhalb gelegenen Punkte projiziert, und {122} indem er
sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur Erweiterung des
grsseren Teiles der Theorien der gewhnlichen Geometrie der Lage.[759] Die
Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung errterten Prinzipien
wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die Fortsetzung derselben
bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch von Tag zu Tag ein
Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende Stelle einnimmt. Unter
ihnen will ich -- abgesehen von denen, die Veronese selbst publiziert
hat,[760] -- die Untersuchungen von Segre anfhren ber die Theorie der
quadratischen Gebilde in einem Raume von n Dimensionen und ihre Anwendung
auf die Geometrie der Geraden,[761] ber die kollinearen und reciproken
Korrespondenzen,[762] ber die Bschel von Kegeln zweiten Grades,[763] ber
die Regelflchen,[764] ber die Oberflchen vierter {123} Ordnung mit
Doppelkegelschnitt[765] und ber die Theorie der Systeme von
Kegelschnitten,[766] dann die von Bertini[767] und Aschieri,[768] die
verwandte Gegenstnde behandeln; die Schriften von del Pezzo ber die
Oberflchen in einem n-dimensionalen Raume.[769] Noch viele andere mte
ich nennen, aber

  Io non posso ritrar di tutti appieno;
  Perocch s mi caccia il lungo tema,
  Che molte volte al fatto il dir vien meno.[770]

Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten
knnte, sind die -- viel frher als die von Veronese erschienenen -- von
Nther ber die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen
Rumen (1869, 1874),[771] jene ebenfalls lteren von Halphen (1875) ber
die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume
enthalten sind,[772] von d'Ovidio {124} ber die Metrik eines solchen
Raumes (1876),[773] endlich die neuerlichen von Schubert ber die
abzhlende Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.[774]



       *       *       *       *       *

Schluss.

------



Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu
beschlieen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen
derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die
von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So
konnte ich nicht ber die Theorie der projektiven Koordinaten berichten,
die von Chasles[775] erhalten wurden, als er die gewhnlichen Cartesischen
Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von
Staudt[776] aufgestellt wurde und vollstndiger von Fiedler;[777] {125}
dann habe ich nicht ber die Methode der symbolischen Bezeichnung
berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck fr den Geometer ist; die Theorie
der Berhrungstransformationen (Lie) und der Differential-Invarianten
(Halphen) habe ich stillschweigend bergangen, da sie auf der Grenze
zwischen der Geometrie und der Theorie der Differentialgleichungen stehen;
ber die sogenannte _Analysis situs_ habe ich mich einer Besprechung
enthalten, da eben diese Lehre von Riemann geschaffen und von seinen
Schlern betrieben wurde, um Probleme der Funktionentheorie zu lsen. Dann
haben sich meiner Darlegung die schnen Auseinandersetzungen von Battaglini
und Ball entzogen ber die Krfte und Bewegungen,[778] von Chasles,
Aronhold, Mannheim und Burmester ber die kinematische Geometrie und von
Reye ber die Trgheitsmomente, da sie bisher[779] mehr zur Mechanik als
zur Geometrie gehrig angesehen wurden. Gleiches gilt von den interessanten
Experimenten Plateaus (1801-1883) in bezug auf die Minimalflchen, deren
Besitz die Physiker fr sich beanspruchen, von den schnen Untersuchungen
ber die Polyeder (Mbius, Bravais, Jordan, He), welche den bergang von
der Geometrie zur Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten ber die
geometrische Wahrscheinlichkeit (Crofton, Czuber, Cesro), welche ich
geneigt wre unter die Anwendungen der Geometrie zu rechnen. Dann habe ich
nicht ber die Methode der quipollenzen gesprochen (Bellavitis) und die
Theorie der Quaternionen (Hamilton), da beide sich bis jetzt noch {126}
nicht von so groer Fruchtbarkeit erwiesen haben, um als notwendiges
Hilfsmittel des Geometers angesehen zu werden.

Ungern mute ich hinweggehen ber die Theorie der Kugelsysteme, die mit
groem Erfolge von Lie und Reye bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf
die Theorie der Konfigurationen werfen knnen (Reye, Kantor, Jung,
Martinetti), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen
ist, und auf die mehr den Elementen angehrige Erweiterung der Lehre vom
Dreiecke, zu welcher Arbeiten von Brocard[780] die Anregung gegeben haben.
Kurz erwhnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen ber Maximal-
und Minimalfiguren, von denen die einen (Painvin, P. Serret, Lebesgue,
Borchardt, Kronecker) das Problem von Lagrange, das Tetraeder grten
Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflchen gegeben sind, und
Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,[781] die anderen
(Lindelf, Berner, Edler, Sturm, Schwarz, Lange, Certo) sich an die
berhmten Aufstze von Steiner[782] anschlieen.[783]

Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen bergangen werden, da es unserem
Jahrzehnte vergnnt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des Kreises
zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen Jahrhundert
Lambert[784] die Zahl [pi] als irrational nachgewiesen, verblieb immer noch
der Nachweis, da [pi] auch nicht Wurzel {127} einer algebraischen
Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit ist dargethan,
da die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer endlichen Anzahl von
Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des Zirkels ausfhrbar
sind, vollzogen werden knne. Dieser Beweis wurde, unter Benutzung
Hermitescher Vorarbeiten ber die Exponentialfunktion, 1882 von
Lindemann[785] erbracht.

Trotz der aufgezhlten und unzhliger anderer Unvollkommenheiten des
Bildes, das ich ber den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen
versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe
wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein ber die
gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fnfzig Jahren,
sondern auch ber die neue, schnere, verlockendere Gestalt, welche sie
mehr und mehr annimmt.

Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, leblos
erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die Theorie der
geometrischen Transformationen, vermge derer sie sich bewegen, sich in
einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthllen und unter sich
bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen.

Ferner glaubte man eine Zeit lang, da wir als dreidimensionale Wesen, die
in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen
knnen, dazu verurteilt wren, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht
mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und
fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefhrlichen Vorurteile uns
frei zu machen, und die Flle von Arbeiten, die wir vor uns bewundern,
belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der neuen Sonne
wegwenden wollen, ber die Wichtigkeit dieses Fortschrittes.

Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der
Analysis, der sich gegen Ende des {128} vergangenen Jahrhunderts erhoben
und zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr beendigt; weder die eine,
noch die andere hat den Sieg davon getragen, aber jede hat auch den
Unglubigsten gezeigt, da sie bei jeglichem Ringen als Siegerin
hervorgehen knne. Der _Mcanique analytique_, in welcher Lagrange mit
Freuden konstatierte, da er es soweit gebracht habe, jegliche Figur zu
vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen glnzenden Bescheid gegeben,
welches das Motto trgt: _Geometrica geometrice_; dem hundertjhrigen
Dienste, welchen die Algebra der Geometrie bot, knnen sich heute die
zahllosen und unvergleichlichen Vorteile entgegenstellen, welche jene von
dieser zog; schlielich wird man doch an Stelle der analytischen oder
pseudosynthetischen Theorie der Kurven und Oberflchen in Kurzem die rein
synthetische Theorie setzen knnen, die man gegenwrtig aus dem von
Staudt[786] gelieferten Materiale errichtet.

Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers der
Analysis und Geometrie mssen sich alle Glck sagen, da jeder Fortschritt
der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu
{129} auffordert. Das entspricht dem heutigen Standpunkte der gesamten
Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie Spencer sagt, die verschiedenen
Disziplinen als Hilfsknste, die einen fr die anderen.

Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit
Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, nmlich die, nicht
die eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die andere
zu vernachlssigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der Zahlen
ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.[787]

Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen, dazu
hilft uns die Betrachtung, da die Analysis und Synthesis im Grunde
genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und zusammen
das vollstndigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden. Denn unser
Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von Zeichen oder
Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen einzudringen
sucht, so hat er nicht einen berflu an diesen beiden Mitteln und jener
besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem Zusammenwirken
schpft.[788]

Indem wir uns also der Beschrnktheit unserer Krfte bewut sind, werden
wir nur ein kleines Feld whlen, auf dem wir unsere Thtigkeit ben, aber
nicht vergessen, da {130} wir, um alle Frchte, die es zu bieten fhig
ist, einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle die
Hilfsmittel prfend anzuwenden, welche der menschliche Geist whrend so
vieler Jahrhunderte unausgesetzter Thtigkeit angehuft hat, und die jedem
zu Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und das
Geschick, sie anzuwenden.



       *       *       *       *       *

Abkrzungen fr die hufig erwhnten Zeitschriften.

------



  _Acta math._: Acta mathematica.

  _Amer. Journ._: American Journal of Mathematics pure and applied.

  _Ann. c. norm._: Annales scientifiques de l'cole normale suprieure.

  _Annali di Matem._: Annali di Matematica pura ed applicata.

  _Berliner Abh._: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Akademie
        der Wissenschaften zu Berlin.

  _Berliner Ber._: Monatsberichte, bez. seit 1882 Sitzungsberichte oder
        auch: Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen derselben
        Akademie.

  _Bologna Mem._: Memorie     } dell' Accademia di Scienze dell' Istituto
  _Bologna Rend._: Rendiconti }               di Bologna.

  _Bull. sciences math._: Bulletin des sciences mathmatiques (bis 1884:
        et astronomiques).

  _Bull. Soc. math._: Bulletin de la Socit mathmatique de France.

  _Cambridge Journ._: Cambridge and Dublin mathematical Journal.

  _Cambridge Proc._: Proceedings   } of the Philosophical Society of
  _Cambridge Trans._: Transactions }           Cambridge.

  _Comptes rendus_: Comptes rendus hebdomadaires des sances de l'Acadmie
        des sciences (de Paris).

  _Gergonnes Ann._: Annales de Mathmatiques.

  _Giorn. di Matem._: Giornale di Matematiche.

  _Gttinger Abh._: Abhandlungen      } der Gesellschaft der Wissenschaften
  _Gttinger Nachr._: Nachrichten von }            zu Gttingen.

  _Grunerts Arch._: Archiv der Mathematik und Physik.

  _Journ. c. polyt._: Journal de l'cole polytechnique.

  _Journ. fr Math._: Journal fr die reine und angewandte Mathematik.

  _Irish Proc._: Proceedings   } of the Irish Academy.
  _Irish Trans._: Transactions }

  {131}
  _Leipziger Ber._: Berichte ber die Verhandlungen der Gesellschaft der
        Wissenschaften zu Leipzig.

  _Lincei Atti_: Atti        }
  _Lincei Mem._: Memorie     } dell' Accademia dei Lincei.
  _Lincei Rend._: Rendiconti }
  _Lincei Trans._: Transunti }

  _Liouvilles Journ._: Journal de Mathmatiques pures et appliques.

  _Lombardo Rend._: Rendiconti dell' Istituto Lombardo di scienze e
      lettere.

  _Math. Ann._: Mathematische Annalen.

  _Mm. prs._: Mmoires prsents par divers savants  l'Acadmie des
        sciences (de Paris).

  _Mnchener Abh._: Abhandlungen     } der Akademie der Wissenschaften
  _Mnchener Ber._: Sitzungsberichte }          zu Mnchen.

  _Napoli Rend._: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e
        matematiche di Napoli.

  _Nouv. Ann._: Nouvelles Annales de Mathmatiques.

  _Phil. Mag._: London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine.

  _Phil. Trans._: Philosophical Transactions } of the Royal Society of
  _Proc. Roy. Soc._: Proceedings             }        London.

  _Prager Abh._: Abhandlungen     } der bhmischen Gesellschaft der
  _Prager Ber._: Sitzungsberichte }       Wissenschaften.

  _Proc. math. Soc._: Proceedings of the London mathematical Society.

  _Quart. Journ._: Quarterly Journal of pure and applied Mathematics.

  _Torino Atti_: Atti    } dell' Accademia delle scienze di Torino.
  _Torino Mem._: Memorie }

  _Wiener Ber._: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen
        Klasse der Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung.

  _Zeitschr. f. Math._: Zeitschrift fr Mathematik und Physik.

------

Die arabische Ziffer bezieht sich auf den Band (Teil, Jahrgang), beim
_Journ. c. polyt._ auf das Heft, die rmische auf die Serie (Reihe).

{132}



       *       *       *       *       *

Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist.

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Die Zahl ist die der Seite, auf welcher sie steht.

Abel 20 -- d'Alembert 14 -- Apollonius 6 -- Archimedes 6 -- Aronhold 31.

Baltzer 53 -- Bellavitis 60 -- Benedetti 9 -- Bobillier 26 -- Bolyai, J.
109 -- Bolyai, W. 108 -- Borchardt 43 -- Bour 56 -- Bragelogne 24 --
Braikenridge 22.

Caporali 84 -- Cardano 8 -- Carnot 14 -- Cauchy 116 -- Chasles 17 --
Chelini 57 -- Clairaut 13 -- Clebsch 27 -- Clifford 26 -- Cotterill 84 --
Ctes 21 -- Cramer 22 -- Crelle 20.

Desargues 9 -- Descartes 10 -- Dirichlet 119 -- Dupin 15.

Enneper 50 -- Eratosthenes 6 -- Euler 13.

Ferrari 8 -- Fermat 9 -- Ferro 8 -- Fibonacci 8.

Gau 47 -- Gergonne 16 -- La Gournerie 44 -- Gramann 26 -- De Gua 22.

Hachette 15 -- Halley 11 -- Hamilton 104 -- Harnack 63 -- Hesse 25 --
Hipparch 6 -- La Hire 11 -- Hoel 109 -- Huygens 11.

Jacobi 16 -- Joachimsthal 55.

Lacroix 15 -- Lagrange 14 -- Laguerre 40 -- Lamarle 125 -- Lambert 88 --
Lam 23 -- Lancret 72 -- Laplace 14 -- Legendre 14 -- Leibniz 11 --
Liouville 72 -- Lobatschewsky 109.

Mac Cullagh 33 -- Maclaurin 11 -- Magnus 81 -- Mascheroni 9 -- Mercator 88
-- Mbius 18 -- Monge 13.

Newton 11.

Oresme 16.

Pappus 6 -- Parent 13 -- Pascal 9 -- Plateau 125 -- Plato 5 -- Plcker 19
-- Poisson 14 -- Poncelet 14 -- Ptolomaeus 6 -- Puiseux 72 -- Pythagoras 5.

Richelot 16 -- Riemann 110.

Saint-Venant 72 -- Scheeffer 118 -- Schooten 13 -- Serret, A. 50 --
Seydewitz 33 -- Simpson 11 -- Smith 29 -- Snellius 16 -- Spottiswoode 124
-- Staudt 19 -- Steiner 18 -- Stewart 11 --Sturm, Ch. 104.

Tartaglia 8 -- Thales 4 -- Transon 81.

Vieta 9.

Waring 22 -- Wren 32.

       *       *       *       *       *

Berichtigung. S. 97 Z. 7 v. o. lies viel- statt zwei-.



       *       *       *       *       *

Noten.

------



[1] It is difficult to give an idea of the vast extent of modern
mathematics. This word extent is not the right one: I mean extent crowded
with beautiful detail -- not an extent of mere uniformity such as an
objectless plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the
distance, but which will bear to be rambled through and studied in every
detail of hillside and valley, stream, rock, wood and flower. (Rede von
Cayley i. J. 1883 vor der British Association for the Advancement of
Science gehalten.)

Bei dieser Gelegenheit fhren wir noch folgendes Urteil von E.
Dubois-Reymond ber den Charakter der modernen Wissenschaft an: Nie war
die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen,
nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine grssere Einheit
dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewuter, mit gewaltigeren Methoden
voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere
Wechselwirkung statt. (_ber die wissenschaftlichen Zustnde der
Gegenwart_, Reden, Bd. II, S. 452.)

[2] _Histoire des sciences mathmatiques en Italie_ par G. Libri, 1838. Bd.
I, S. 3.

[3] Hankel, _Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten_
(Tbingen. II. Aufl. 1885). S. 7.

[4] Diese Thatsache knnte man als ein neues Moment ansehen, wie sich --
nach einem berhmten Ausspruche Humboldts -- der Einflu, den die
tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen
Untersuchungen ausben, geltend macht.

[5] Vgl. Emil Weyr, _ber die Geometrie der alten gypter_ (Wien, 1881).

[6] Fr die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier
niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den _Vorlesungen ber die Geschichte
der Mathematik_ von M. Cantor (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste
Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das
Todesjahr.

[7] In Bezug auf grere Einzelheiten sehe man Bretschneider, _Die
Geometrie und die Geometer vor Euklides_ (Leipzig, 1870).

[8] Betti und Brioschi, Vorrede zu _Gli elementi di Euclide_ (Florenz,
1867). Eine gegenteilige Ansicht hat Lacroix in seinem wohlbekannten Buche
_Essais sur l'enseignement en gnral et sur celui des mathmatiques en
particulier_ (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen.

[9] Um zu zeigen, wie glnzend und bewunderungswrdig die noch immer
verkannte griechische Mathematik gewesen sein mu, genge es, die Thatsache
anzufhren, da die Theorie der Kegelschnitte, ein hauptschlicher
Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu solcher Vollendung
gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges hinzuzufgen htte, um
sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich heute befindet. Die
Bewunderung fr jene wird noch jeden Tag grsser durch die historischen
Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Zeuthen (s. das Werk _Die Lehre
von den Kegelschnitten im Altertume_, deutsch von Fischer-Benzon.
Kopenhagen, 1886), P. Tannery (s. _Bull. des sciences math._ und _Mm. de
la Socit de Bordeaux_) und andere], welche das Vorurteil zu beseitigen
suchen, da die Griechen keine Untersuchungsmethoden gehabt htten, die
vergleichbar sind mit denen, auf welche unsere Zeit so stolz ist, und die
als Ersatz dafr die Ansicht aufzustellen streben, da es ihnen nur an den
ntigen Formeln zur Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe.

[10] Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der berhmte
Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit
geschrieben hat, anzufhren: ...... mais bientt le Romain arrive, il
saisit la science personnifie dans Archimde, et l'touffe. Partout o il
domine la science disparat: l'trurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si
plus tard Rome n'ayant plus d'ennemis  combattre se laisse envahir par les
sciences de la Grce, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle
les lira et les traduira sans y ajouter une seule dcouverte. Guerriers,
potes, historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique,
quel thorme de gomtrie devons-nous aux Romains? (Libri a. O. S. 186.)

Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik hielten,
genge es mitzuteilen (vgl. Hankel, _Zur Geschichte der Mathematik im
Altertum und Mittelalter_, Leipzig, 1874. S. 103), da sie dieselbe oft mit
Astrologie und den verwandten Knsten zusammenwarfen. Es darf uns daher
nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians unter den gesammelten
Bestimmungen unter dem Titel De maleficis et mathematicis et ceteris
similibus folgendes finden: Ars autem mathematica damnabilis interdicta
est omnino. Wenn man in demselben Codex etwas weiter die Wendung findet:
Artem geometriae discere atque exercere publice interest, so mu man sich
hten, sie als eine bersetzung des Ausspruches Napoleons I. anzusehen:
L'avancement, le perfectionnement des Mathmatiques sont lis  la
prosprit de l'tat, denn es ist fast sicher, da der rmische
Gesetzgeber den praktischen Teil der Geometrie meinte.

[11] Unter den Fragen der Geometrie, welche die italienischen Gelehrten des
16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger
Wichtigkeit, da sie die _Geometria del compasso_ (Geometrie des Kreises)
entstehen lieen, welcher gerade in dieser Zeit Benedetti (?-1590) eine
Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von Mascheroni (1750-1808) und
Steiner gepflegt wurde.

[12] Pascal entdeckte an der Cykloide eine Flle bemerkenswerter
Eigenschaften, wies auf die Perspektivitt als eine fr das Studium der
Kegelschnitte sehr gnstige Methode hin, bewies den berhmten Lehrsatz von
dem Hexagramma mysticum, wie er es nannte, u. s. w.

Desargues fhrte die gemeinsame Betrachtung der drei Kegelschnitte ein, den
wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den Begriff
der Involution von sechs Punkten, lste mehrere wichtige Fragen, die sich
auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w.

In den Werken von Desargues (vgl. die von Poudra 1864 besorgte Ausgabe)
findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive
Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, da man
dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet
betrachteten die Schlsse, die auf einer solchen Substitution beruhen, als
der Strenge entbehrend (vgl. _Trait des propriets projectives_, Bd. II,
S. 128). Jedoch wurde das von Desargues vorgeschlagene Verfahren in der
neueren Zeit wiederholentlich von demselben Poncelet (a.a.O. Bd. I, S.
374), von Jonquires (in verschiedenen Abhandlungen in den _Annali di
Matem., Journ. f. Math._ und in den _Math. Ann._), von Cremona (s. die
_Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane_) gebraucht, und
gehrt heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem Prinzip
der Erhaltung der Anzahl verdanken.

[13] Vgl. E. Dubois-Reymond, _Kulturgeschichte und Naturwissenschaft_, in
den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208.

[14] Favaro, _Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni.
Memorie di Modena_, 18, 1879.

Matthiessen, _Grundzge der antiken und modernen Algebra der litteralen
Gleichungen_ (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt.

[15] ber den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man Gnther, _Die
Anfnge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes_
(_Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nrnberg_, 6) und ber
Cartesius die Rede von Jacobi, ins Franzsische bersetzt und
verffentlicht in _Liouvilles Journ._ 12 unter dem Titel: _De la vie de
Descartes et de sa mthode pour bien conduire la raison et chercher la
vrit dans les sciences._

[16] Siehe z. B. den _Trait de la lumire_ (Leyden, 1691).

[17] _Sectiones conicae in novem libros distributae_ (Paris, 1685),
_Mmoires sur les Epicycloides_ (_Anciennes Mmoires de l'Acadmie des
sciences,_ 9), _Trait des roulettes_ etc. (ebendas., 1704).

[18] Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken nach,
sowie seine Versuche, verloren gegangene Bcher (wie das achte Buch von
Apollonius' Kegelschnitten) wieder herzustellen.

[19] Vergl. sein Buch _A complete System of Fluxions_ (Edinburgh, 1742).

[20] _Treatise on conic Sections_ (1735).

[21] _General theorems of considerable use in the higher parts of
mathematics_ (Edinburgh, 1746); _Propositiones geometricae more veterum
demonstratae_ (Edinburgh, 1763).

[22] Hinsichtlich der von Simpson und Stewart gemachten Versuche, die
griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man Buckle,
_Geschichte der Civilisation in England_ (deutsch von A. Ruge), Bd. I,
Kap. 5.

[23] Die von den Griechen hauptschlich untersuchten Kurven sind: der
Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale,
die Diokles'sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des
Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige
andere. Zu diesen fgten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und die
Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide, die
Hypo- und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, die
Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzhlige andere.

[24] Siehe das fnfte Buch seiner _Exercitationes geometriae._

[25] Parent, _Essai et Recherches de Mathmatiques et de Physique_
(II. Aufl. 1713), Bd. 2.

[26] _Trait de Courbes  double courbure._ 4

[27] _Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.)._

[28] Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris (1784);
_Feuilles d'analyse applique  la gomtrie_ (Paris, 1795), oder
_Applications de l'Analyse  la Gomtrie_ (Paris, 1801).

[29] Ausspruch von d'Alembert.

[30] _Leons de gomtrie descriptive_ (Paris, 1794).

[31] In Bezug auf Monge sehe man Dupin, _Essai historique sur les services
et les travaux scientifiques de Gaspard Monge_ (Paris, 1819); Arago,
_Notices biographiques._

ber die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der darstellenden
Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des Werkes von Chr.
Wiener, _Lehrbuch der darstellenden Geometrie_ (Leipzig, 1884, 1887), in
welchem der Studierende eine Menge interessanter Einzelheiten finden wird,
sei es ber die Studien, welche diese Disziplin vorbereiteten, sei es ber
die Untersuchungen, welche die Nachfolger von Monge gemacht haben.

Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner
Kollegen [unter anderen Lacroix (1765-1843) und Hachette (1769-1834)],
sowie viele von seinen Schlern an der polytechnischen Schule. Der Krze
halber beschrnke ich mich darauf, den anzufhren, der ber die anderen
wie ein Adler fliegt, Charles Dupin (1784-1873), vorzglich wegen seiner
klassischen _Dveloppements de gomtrie_ (1813), die noch von allen
gelesen werden mssen, welche auch nur eine mige Kenntnis des heutigen
Zustandes der Geometrie erlangen wollen.

[32] Monge's Einflu lt sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken; zum
Beweise genge es, die Idee anzufhren, die Schranken, durch welche die
Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten, niederzureien,
und den glcklichen Versuch, den neuerdings (1884) De Paolis in seinen
goldenen _Elementi di Geometria_ (Turin) gemacht hat, dieselbe auszufhren.

[33] La Gomtrie de position de Carnot n'aurait pas, sous le rapport de
la mtaphysique de la Science, le haut mrite que je lui ai attribu,
qu'elle n'en serait pas moins l'origine et la base des progrs que la
Gomtrie, cultive  la manire des anciens, a fait depuis trente ans en
France et en Allemagne (Arago, _Biographie de Carnot_).

[34] Zweite Auflage, 1865, 1866.

[35] Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C.
Taylor, _On the history of geometrical continuity_ (_Cambridge Proc._, 1880
und 1881).

[36] _Doctrina triangulorum canonicae_ u. s. w. (Leyden, 1627).

[37] _Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII._ (Opera
Vietae, 1646).

[38] _Gergonnes Ann._ 17.

[39] Jacobi, _Journ. fr Math._ 3; Richelot, das. 5, 38; Rosanes und Pasch,
ebendas. 64; Laut, _Comptes rendus_, 79; Fergola, Padeletti und Trudi,
_Napoli Rend._ 21; Simon, _Journ. fr Math._ 81; Gundelfinger, das. 83;
Halphen, _Liouvilles Journ._ III, 5; _Bull. de la Soc. philom._ VII, 3. Man
sehe auch die interessante Abhandlung von Hurwitz: _ber
unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere ber die
Schliessungsprobleme_ (_Math. Ann._ 15) und die Note von Forsith, _On in-
and circumscribed polyhedra_ (_Proc. Math. Soc._ 1883).

[40] In deutscher bersetzung von Sohncke: _Geschichte der Geometrie,
hauptschlich in Bezug auf die neueren Methoden_ (Halle, 1839), jedoch ohne
das _Mmoire sur deux principes gnraux de la science_ (vgl. die folgende
Note). Das franzsische Original erschien 1875 in 2. Auflage.

[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von Chasles bilden, verdient eine
besondere Erwhnung die Abhandlung (fr welche ursprnglich der _Aperu
historique_ als Einleitung dienen sollte) _Sur deux principes gnraux de
la Science_, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation)
und der Reciprocitt enthlt, sowie die Untersuchung der beiden Flle, in
welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser Transformationen
auf das Studium der Flchen zweiten Grades und der geometrischen
Oberflchen berhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des cartesischen
Koordinatensystems. Auch mssen noch die _Noten_ erwhnt werden, da sie
eingehende historische Studien und geometrische Untersuchungen von groer
Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will ich diejenigen anfhren, in
denen die Theorie des Doppel- oder anharmonischen Verhltnisses und der
Involution, die anharmonischen Eigenschaften der Kegelschnitte, die
Fokaleigenschaften der Flchen zweiten Grades, viele Lehrstze ber die
kubischen Raumkurven, glckliche Versuche, die Stze von Pascal und
Brianchon auf die Flchen zweiten Grades auszudehnen, eine
Verallgemeinerung der stereographischen Projektion u. s. w.
auseinandergesetzt sind.

[42] Dieser bergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit
einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen Poncelet, Chasles
und Bobillier zu Gegnern hatten Plcker, Steiner und Magnus und deren
Hauptschauplatz das _Bulletin_ von Frussac war. -- Hier wrde es am Orte
sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den
Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafr wrde
die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin, ntig
sein. Im brigen sind nach meinem Dafrhalten gewisse Produktionen der
menschlichen Intelligenz eine natrliche Frucht ihrer Zeit; daher darf es
nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Kpfen
hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklrung dieser
Thatsache in der mala fides dieses oder jenes zu suchen. Da solches
wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht
heute auer allem Zweifel. Da dies ebenso bei der modernen Geometrie
eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, da dieselbe hervorgegangen
ist aus einem allseitig gefhlten Bedrfnisse (man vergleiche dazu den
Ausspruch Dupins _[Dveloppements de gomtrie]_, der als Motto auf dem
_Trait des proprits projectives des figures_ steht, mit der Vorrede der
_Systematischen Entwickelung_ und mit dem _Aperu historique_ an
verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden
dienen sollten zur Fhrung in dem Labyrinthe von Hilfsstzen, Lehrstzen,
Porismen und Problemen, die von den Vorfahren berliefert sind.

[43] Die hauptschlichste Arbeit von Mbius auf dem Gebiete der reinen
Geometrie ist die mit dem Titel: _Der barycentrische Calcul_ (Leipzig,
1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse ber den Schwerpunkt
(Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen
Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese fhrt zu einem neuen
Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und
ebenen Kurven und der Oberflchen der Verfasser darlegt. In demselben
werden ferner methodisch und in groer Ausfhrlichkeit wichtige
geometrische Transformationen, die heute noch fortwhrend Anwendung finden,
betrachtet. Viele sptere Abhandlungen von Mbius sind als Anhnge zum
barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten Bnde der
_Gesammelten Werke_ von Mbius, herausgegeben auf Veranlassung der
Schsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)

[44] Ich meine das Werk: _Systematische Entwickelung der Abhngigkeit
geometrischer Gestalten von einander_ (Berlin, 1832), in dem der
Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten
Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind. -- Die spteren
Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das
angefhrte Werk sttzen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben dazu
hatte, den Inhalt durch die schon angefhrten Worte zu charakterisieren.
Steiners _Gesammelte Werke_ sind auf Veranlassung der Akademie der
Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882).

[45] Des Nheren will ich hier nur die drei Bcher anfhren:
_Analytisch-geometrische Entwickelungen_ (Essen, 1828-1831), _System der
analytischen Geometrie_ (Berlin, 1835), _Theorie der algebraischen Kurven_
(Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhngenden Abhandlungen, die in
_Gergonnes Ann._ und im _Journ. fr Math._ verffentlicht sind.

[46] Das Werk, in welchem Staudt sein System der Geometrie dargelegt hat,
wurde im Jahre 1847 zu Nrnberg verffentlicht unter dem Titel: _Geometrie
der Lage_. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die Ursache
der groen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben stie; heute
erst sind, dank den von Reye (in erster Auflage 1866-1868 erschienenen und)
unter demselben Titel verffentlichten Vorlesungen die in demselben
enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie beschftigen. In
Italien wird jetzt zuerst von allen Lndern eine bersetzung desselben
angefertigt.

Nicht weniger wichtig sind die _Beitrge zur Geometrie der Lage_ (in 3
Heften), welche Staudt seiner _Geometrie der Lage_ 1866-1860 folgen lie.
Wir beschrnken uns darauf, hervorzuheben, da dort die einzige strenge,
allgemeine und vollstndige Theorie der imaginren Elemente in der
projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in
verschiedener Weise von mehreren Geometern, Lroth (_Math. Ann._ 8, 11),
August (_Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin_, 1872) und Stolz
(_Math. Ann._ 4) erlutert; ber die eng mit ihr zusammenhngende Rechnung
mit den Wrfen sehe man auer den erwhnten Abhandlungen von Lroth noch
zwei Arbeiten von Sturm _(Math. Ann._ 9) und Schrder (ebendas. 10).

[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkrlich; vielleicht wird
mancher, indem er bedenkt, da gewisse Theorien mit demselben Rechte zu
mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehren knnen, dieselbe
unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, da die meisten nach
reiflicher Prfung des besprochenen Gegenstandes finden werden, da die von
mir gewhlte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.

[48] Ctes, _Harmonia mensurarum_ (1722); Maclaurin, _De linearum
geometricarum proprietatibus generalibus tractatus_. (Ins Franzsische
bersetzt von de Jonquires und seinen _Mlanges de Gomtrie pure_ [Paris,
1856] angehngt.)

[49] _Miscellanea analytica_ etc. (1762); _Proprietates geometricarum
curvarum_ (1772); _Phil. Trans._ 1763-1791.

[50] _Geometria organica_ (1720).

[51] _Phil. Trans._ 1735; _Exercitationes Geometriae de descriptione
linearum curvarum_ (1733).

[52] brigens hat, wie C. Taylor (_Cambridge Proc._ 3) bemerkte, Newton
selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der
_Enumeratio linearum tertii ordinis_ auf Kurven hherer Ordnung ausgedehnt.

[53] _Usage de l'analyse de Descartes_ (1740).

[54] _Introductio in analysin infinitorum_. 2. Bd.

[55] _Introduction  l'analyse des lignes courbes algbriques_.

[56] Kurz vor der Verffentlichung des Cramerschen Werkes fand Euler (man
sehe die _Berliner Abh._ 1748), da von den neun Grundpunkten eines
Bschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht brigen
bestimmt ist.

[57] _Gergonnes Ann._ 17, 19.

[58] _Journ. fr Math._ 16; _Theorie der algebraischen Curven_ (wo S. 12-13
sich eine kurze Geschichte dieser Stze findet).

[59] _Journ. fr Math._ 15.

[60] _Cambridge Journ._ 3; vgl. Bacharach, _Math. Ann._ 26.

[61] Riemann, _Journ. fr Math._ 54; Clebsch, das. 58; Roch, ebendas. 64;
Clebsch und Gordan, _Theorie der Abelschen Funktionen_ (Leipzig, 1866);
Brill und Nther, _ber die algebraischen Funktionen_ u. s. w. (_Math.
Ann._ 7); Cremona, _Bologna Mem._ 1870; Casorati, Cremona und Brioschi,
_Lombardo Rend._ II, 2.

[62] In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem Prinzipe
der Abzhlung der Konstanten Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir
wollen dasselbe erwhnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode sttzt,
deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich Beispiele
von Irrtmern anfhren lassen, zu denen es fhren kann, wenn es ohne die
notwendige Vorsicht angewandt wird.

Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden
Bcher, deren Existenz ich aus einer Anfhrung Plckers kenne (_Theorie der
algebraischen Curven_, S. 206); A. Peters, _Neue Curvenlehre_ 1835;
C. C. F. Krause, _Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere
scientificae specimina quinque prima_. _Edidit Schrder_, 1835.

[63] S. auch eine Abhandlung Plckers, _Liouvilles Journ._ 1.

[64] _Mm. prs._ 1730-31-32.

[65] S. die in Note 54 citierte _Introductio_.

[66] Hierzu siehe Clebsch, _Vorlesungen ber Geometrie_, S. 352; Malet,
_Hermathema_, 1880; Pellet, _Nouv. Ann._ II., 20, 1881.

[67] Cayley, _Quart. Journ._ 7 und _Journ. fr Math._ 64; La Gournerie,
_Liouvilles Journ._ II, 14; Nther, _Math. Ann._ 9; Zeuthen, das. 10;
Halphen, _Comptes rendus_ 78, _Liouvilles Journ._ II, 2, _Mm. prs._ 26;
J. S. Smith, _Proc. math. Soc._ 6; Brill, _Math. Ann._ 16; Raffy, das. 23.
-- An diese Frage knpft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte zweier
Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte absorbiert
werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von Zeuthen,
_Acta math._ 1.

[68] _Journ. fr Math._ 40; vgl. Clebsch (das. 63).

[69] _Journ. fr Math._ 36, 40, 41.

[70] _Phil. Mag._ Oktoberheft 1858.

[71] _Phil. Trans._ 1859.

[72] z. B. Dersch, _Math. Ann._ 7.

[73] _A Treatise on higher plane curves_ (1852); ins Deutsche bertragen
durch Fiedler (Leipzig, 1873)

[74] _Gergonnes Ann._ 19.

[75] _Journ. fr Math._ 24. -- Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven
und Oberflchen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise von
Clifford (1845-1879) (_Proc. math. Soc._ 1868 oder _Mathematical Papers of
Clifford_, 1882, S. 115) und von Reye (_Journ. fr Math._ 72, 78)
verallgemeinert. De Paolis widmete ihr eine interessante Schrift, welche in
den _Lincei Mem._ 1885-1886 verffentlicht ist.

[76] _Comptes rendus_, 1853.

[77] _Essai sur la gnration des courbes gomtriques_, 1858 (_Mm. prs._
16). Vgl. Hrtenberger, _Journ. fr Math._ 58; Olivier das. 70, 71;
Schoute, _Nieuw Archief voor Wiskunde_, 4, und die allerneuesten
Untersuchungen von Jonquires ber die Maximalzahl der vielfachen Punkte,
die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (_Comptes rendus_
105).

[78] Verffentlicht im Jahre 1862 in den _Bologna Mem._ Mge es mir
gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, da der berhmte Cremona,
dessen Interesse fr die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt ist,
seine berhmten Schriften ber die Theorie der Kurven und Oberflchen durch
neue Ausgaben allen zugnglich machen wolle. -- Diese Schriften sind in
deutscher bersetzung von Curtze unter dem Titel: _Einleitung in eine
geometrische Theorie der ebenen Kurven_ (Greifswald, 1865), bez. _Grundzge
einer allgemeinen Theorie der Oberflchen in synthetischer Behandlung_
(Berlin, 1870) erschienen.

[79] Als Vorbereitung fr solche Untersuchungen sind die von Aronhold
(_Berliner Ber._ 1861) anzusehen, dann die von Brioschi (_Comptes rendus_,
1863, 64) ber die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen
Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters.

[80] _Journ. fr Math._ 58, 64. Die von Clebsch erhaltenen Resultate haben
sich infolge des schnen Werkes von Lindemann, welches den Titel trgt:
_Vorlesungen ber Geometrie von A. Clebsch_ (I. Bd. Leipzig, 1876) und von
dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewnscht wird, schnell
verbreitet.

[81] _ber die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der
Geometrie. Math. Ann._ 7.

[82] Zu den im Texte angefhrten Schriften mssen noch die von Brill
hinzugezogen werden (_Math. Ann._ 13), ferner die von Geiser (_Annali di
Matem._ II, 9) und die von Del Pezzo (_Napoli Rend._ 22) ber den
Zusammenhang, der zwischen den Singularitten einer Kurve und denen ihrer
Hesseschen Kurve besteht; ferner die von Laguerre (_Comptes rendus_ 40) und
Holst (_Math. Ann._ 11 und _Archiv for Mathematik og Naturvidenskab_ 7),
ber die metrischen Eigenschaften der Kurven.

[83] _De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus._

[84] Vgl. Salmon-Fiedler, _Hhere ebene Kurven_, 5. Kap.

[85] _Phil. Trans._ 1857; _Liouvilles Journ._ 9, 10.

[86] _Journ. fr Math._ 42.

[87] _Zeitschr. f. Math._ 17; _Prager Ber._ 1871. -- Man sehe auch das Buch
_Die ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von
Gent (_Zeitschr. f. Math._ 17).

[88] _Giorn. di Matem._ 2.

[89] _Journ. fr Math._ 90.

[90] _Prager Abh._ VI, 5.

[91] _Gttinger Nachr._ 1871 und 1872.

[92] _Journ. fr Math._ 78.

[93] Hierzu Harnack, _Math. Ann._ 9. Caporali, _Lincei Atti_, III, 1; Folie
und Le Paige, _Mmoires de l'Acadmie de Belgique_, 43. Halphen, _Math.
Ann._ 15; _Bull. Soc. math._ 9.

[94] _Siehe Giorn. di Matem._, _Lombardo Rend._, _Math. Ann._, _Wiener
Ber._ und _Prager Ber._

[95] Fr die Clebschschen Arbeiten sehe man die in Note 80 angefhrten
Bnde des _Journ. fr Math._ nach. ber die ebenen rationalen Kurven
dritter Ordnung sehe man die Arbeiten von Durge (_Math. Ann._ 1), Igel
(das. 6), Rosenow (Dissertation, Breslau, 1873), Schubert (_Math. Ann._
12), Dingeldey (das. 27, 28); ber die Kurven vierter Ordnung die von Brill
(Math. Ann. 12) und Nagel (das. 19); ber die fnfter Ordnung von Rohn
(das. 25), und ber die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die Schriften
von Haase (_Math. Ann._ 2), von Lroth (das. 9), Pasch (das. 18), Brill
(das. 20), von Weltzien (das. 26) und Garbieri (_Giorn. di Matem._ 16).

[96] _Journ. fr Math._ 47; _Comptes rendus_, 1871.

[97] _Journ. fr Math._ 53.

[98] Gfeldt, _Math. Ann._ 2; Laguerre, _Bull. Soc. math._ 7; Cremona und
Clebsch, _Journ. f. Math._ 64; Kiepert, _Zeitschr. f. Math._ 17; Frahm
ebendas. 18; Milinowski das. 19; Intrigila, _Giorn. di Matem._ 23; Kantor,
_Wiener Ber._ 1878 und _Bull. Sciences math._ II, 3.

[99] _Giorn. di Matem._ 15.

[100] _Journ. fr Math._ 65.

[101] _Math. Ann._ 4.

[102] _Bull. de la Socit philomathique_, VII, I.

[103] Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das
Quadrat des vermittelst einer primren Transformation ungerader Ordnung
transformierten Moduls und schlielich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende
Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F([alpha],
[beta], [gamma]) = 0. Siehe _Proc. math. Soc._ 9.

[104] _Journ. f. Math._ 65; vgl. Ed. Weyr das. 73; Hurwitz, _Math. Ann._
19.

[105] _Math. Ann._ 24.

[106] _Journ. fr Math._ 95, 99; siehe auch die Abhandlung von August,
_Grunerts Arch._ 59.

[107] _Transactions of the Royal Society of Edinburgh_ 25.

[108] _Math. Ann._ 5.

[109] _Math. Ann._ 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von Harnack in
der _Zeitschr. f. Math._ 22. Die hauptschlichsten von Durge und Schrter
auf synthetischem Wege gefundenen Lehrstze sind analytisch von Walter in
seiner Dissertation _ber den Zusammenhang der Kurven dritter Ordnung mit
den Kegelschnittscharen_ (Gieen, 1878) bewiesen. Den genannten Schriften
Schrters ber die Kurven dritter Ordnung knnen wir nun noch sein
neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch: _Die Theorie der
ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1888) hinzufgen.

[110] _Math. Ann._ 5.

[111] _Math. Ann._ 1, 13; vgl. Clebsch, _Journ. fr Math._ 59.

[112] _Irish Trans._ 1869.

[113] Siehe dessen Werk, _Sur une classe remarquable de courbes et surfaces
algbriques_ (Paris, 1873).

[114] _Journ. fr Math._ 57, 59, 66.

[115] _Tidsskrift for Mathematik_, IV, 3.

[116] _Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn_ 1879.

[117] Erschienen in den _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_
(Mailand, 1881).

[118] _Journ. fr Math._ 28, 34, 38.

[119] _Journ. fr Math._ 49, 55; vgl. auch Cayley (das. 58).

[120] _Journ. fr Math._ 49.

[121] _Berliner Ber._ 1864, sowie _Nouv. Ann._ II, 11.

[122] _Math. Ann._ 1; _Journ. fr Math._ 72.

[123] Vgl. Note 80.

[124] _Journ. fr Math._ 66. -- ber die Doppeltangenten einer Kurve
vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: Riemann, _Zur Theorie der
Abelschen Funktionen fr den Fall p=3_. _Gesammelte Werke_ (Leipzig, 1876),
S. 456-499; Nther, _Math. Ann._ 15; Cayley, _Journ. fr Math._ 94;
Frobenius (das. 99); Freyberg, _Math. Ann. _17; H. Weber (ebendas. 23).

[125] Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die Mongesche Schule an
der Schpfung der Theorie der Flchen zweiten Grades hatte, zu berzeugen,
gengt es, sich folgendes zu vergegenwrtigen: Ihr verdanken wir die
doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des
hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (Monge,
_Journ. c. polyt._ 1) und die Erzeugung aller Flchen zweiten Grades, mit
Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises
(Hachette, _lments de Gomtrie  trois dimensions_). Monge und Hachette
verdankt man den Beweis der Existenz der drei Hauptebenen einer Oberflche
zweiter Ordnung; Monge (_Correspondance sur l'cole polytechnique_) die
Entdeckung des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trider, deren
Kanten eine Flche zweiter Ordnung berhren, und Bobillier (_Gergonnes
Ann._ 18) die des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trider, deren
Seitenflchen eine Flche zweiter Ordnung berhren; Monge bestimmte die
Krmmungslinien des Ellipsoides (_Journ. c. polyt._ 2); Livet (das. 13)
und Binet (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrstze des Apollonius auf
den Raum aus, whrend Chasles (_Correspondance sur l'c. polyt._) andere
analoge Stze gab; Dupin (_Journ. c. polyt._ 14) machte einige
interessante Methoden zur Erzeugung solcher Oberflchen bekannt. Brianchon
(das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer Flche zweiten Grades
ebenfalls eine Flche zweiten Grades sei, u. s. w.

[126] _Journ. fr Math._ 12.

[127] _Irish Proc._ 2.

[128] _Aperu historique_, Note 25, 28, 31, 32; _Comptes rendus_, 1855;
_Liouvilles Journ._ 1860 u. s. w.

[129] _Journ. fr Math._ 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90.

[130] _Grunerts Arch._ 9.

[131] _Journ. fr Math._ 62. ber die Oberflchen zweiter Ordnung sehe man
auch die Abhandlungen von Townsend (_Cambridge Journ._ 3), von Darboux
(_Bull. Soc. Math._ 2), von Meray und Cremona (_Annali di matem._ I, 3)
u. s. w. und die _Gomtrie de direction_ (Paris, 1869) von P. Serret.

Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der Theorie der Flchen zweiten
Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer Punkte
gegeben sind. Dieselbe wurde von Seydewitz (_Grunerts Arch._ 9), Chasles
(_Comptes rendus_, 1855), Steiner (_Gesammelte Werke_, II. Bd.,
_Nachlass_), Schrter (_Journ. fr Math._ 62), Sturm (_Math. Ann._ 1) und
Dino (_Napoli Rend._ 1879) gelst. -- Daran knpft sich die Untersuchung
des achten Punktes, der allen Flchen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die
durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand wichtiger
Untersuchungen von Hesse (_Journ. fr Math._ 20, 26, 73, 75, 99), Picquet
(das. 73, 99), Caspary, Schrter, Sturm, Zeuthen (das. 99) und Reye (das.
100).

Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flchen zweiten
Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flchen zweiten Grades reziproke
Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von Battaglini
behandelt (_Lincei Atti,_ 1875), von d'Ovidio (_Giorn. di Matem._ 10) und
synthetisch von Thieme (_Zeitschr. f. Math._ 22).

ber einige Flchen zweiten Grades, welche besondere metrische
Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben
geschrieben: Steiner (_Journ. fr Math._ 2 und _Systematische
Entwickelung_), Chasles (_Liouvilles Journ._ 1 [1836]), Schrter (_Journ.
fr Math._ 85), Schnflie (_Zeitschr. fr Math._ 23, 24 und _Journ. fr
Math._ 99), Vogt (_Journ. fr Math._ 86) und Ruth (_Wiener Ber._ 80).

Zu den neuesten Studien ber die Flchen zweites Grades gehren die von
Zeuthen (_Math. Ann._ 19, 26) ber die Theorie der projektiven Figuren auf
einer solchen Flche; daran schlieen sich auch einige schne
Untersuchungen, welche Vo gemacht hat (_Math. Ann._ 25, 26), um gewisse
Resultate von Poncelet und Bruno (_Torino Atti_ 17) weiter auszudehnen.
Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie
bemerkenswert, welche Staude (_Math. Ann._ 20, 21, 25, 27) gemacht hat.

[132] Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen
Lehrbchern diesen Oberflchen gewidmet haben: Hesse (_Vorlesungen ber die
analytische Geometrie des Raumes_), Salmon (_Analytische Geometrie des
Raumes_), Cremona (_Preliminari di una teoria geometrica delle
superficie_), Reye (_Die Geometrie der Lage_) und Schrter (_Theorie der
Oberflchen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung_).

[133] _Mmoire de gomtrie sur deux principes gnraux de la science_
(Anhang zum _Aperu historique_).

[134] _Gergonnes Ann._ 17.

[135] _Mmoire sur la thorie gnrale des polaires rciproques_. (_Journ.
fr Math._ 4).

[136] _Cambridge Journ._ 2, 4; _Irish Trans._ 23.

[137] _Cambridge Journ._ 7, 8; _Phil. Trans._ 1869, 71 u. 72. Man sehe auch
die von Zeuthen in den _Math. Ann._ 4, 9, 10, von Jonquires in den _Nouv.
Ann._ 13 und von Halphen in den _Annali di Matem._ II, 9 verffentlichten
Abhandlungen.

[138] _Journ. fr Math._ 15.

[139] _Math. Ann._ 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von Padova im _Giorn. di
Matem._ 9, sowie eine von Valentiner, _Tidsskrift for Mathematik_ IV, 3.

[140] _Comptes rendus_ 45.

[141] _Preliminari di una teoria geometrica delle superficie_. (_Bologna
Mem._ II, 6, 7).

[142] _Wiener Ber._ 1877, 1882.

[143] _Math. Ann._ 27.

[144] _Journ. fr Math._ 49.

[145] _Cambridge Journ._ 4; _Quart. Journ._ 1; _Phil. Trans._ 1860.

[146] _Journ. fr Math._ 58, 63.

[147] _Journ. fr Math._ 72.

[148] _Math. Ann._ 10, 11, 12; _Abzhlende Geometrie_, 5. Abschnitt. S.
auch Krey, _Math. Ann._ 15.

[149] _Math. Ann._ 23.

[150] _Journ. fr Math._ 72, 78, 79, 82.

[151] _Geometry of three dimensions_; in deutscher bersetzung von Fiedler:
_Analytische Geometrie des Raumes in zwei Bnden_ (3. Auflage, 1879/80).

[152] _Preliminari_ etc. Vgl. Note 141.

[153] Vgl. die in Note 136 und 137 angefhrten Arbeiten.

[154] _Cambridge Journ._ 6.

[155] Auch im _Journ. fr Math._ 53 publiziert.

[156] Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von Cayley
und Salmon im Zusammenhange steht, ist eine von Schlfli (_Quart. Journ._
2), die besonders dadurch wichtig ist, da sie die erste ist, welche den
Begriff der Doppelsechs enthlt.

[157] _Journ. fr Math._ 62.

[158] _Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis_ (Berlin, 1862).

[159] _Journ. fr Math._ 68; ferner _Grundzge einer allgemeinen Theorie
der Oberflchen_ (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche bersetzung
der in Note 141 und 152 zitierten _Preliminari_ und diejenige dieser
Preisschrift (durch Curtze) vereinigt sind.

[160] _Synthetische Untersuchungen ber Flchen dritter Ordnung_. Leipzig,
1867.

[161] _Journ. fr Math._ 51; vgl. eine von Schrter (das. 96)
verffentlichte Abhandlung.

[162] Vgl. die in Note 158 zitierte Arbeit. -- Man sehe auch Schubert,
_Math. Ann._ 17.

[163] _Grunerts Arch._ 56.

[164] _Bull. soc. math._ 4.

[165] _Acta math._ 3.

[166] _Lombardo Rend._ Mrz 1871.

[167] _Grunerts Arch._ 56.

[168] _Math. Ann._ 23.

[169] _Lombardo Rend._ 1884; _Annali di Matem._ II, 12.

[170] _Math. Ann._ 13; _Lincei Mem._ 1876-1877.

[171] _Napoli Rend._ 1881.

[172] _Journ. fr Math._ 78.

[173] _Lombardo Rend._ 1879.

[174] _Acta math._ 5.

[175] _Phil Trans._ 1863; vgl. Cayley (das. 1869).

[176] _Math. Ann._ 14.

[177] _Lombardo Atti_, 1861.

[178] _Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde_ u. s. w. Leipzig, 1869;
_Geometrie der rumlichen Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde_, Leipzig,
1870.

[179] _ber die geradlinige Flche dritter Ordnung und deren Abbildung auf
eine Ebene._ (Dissertation. Straburg, 1876.)

[180] _Math. Ann._ 4.

[181] _Phil. Mag._ 1864.

[182] _Math. Ann._ 10.

[183] _Phil. Trans._ 150.

[184] _Journ. fr Math._ 58.

[185] _Math. Ann._ 5.

[186] _Lincei Mem._ 1880-1881. Man sehe auch eine Note von Brioschi in den
_Lincei Atti_ II, 3, in welcher bewiesen wird, da die 45 dreifach
berhrenden Ebenen einer Oberflche dritter Ordnung dreien Oberflchen
zehnter Klasse gemeinsam sind. Neuerdings fand Bauer (_Abh. der Bayr. Akad.
der Wiss._ 14, 1883) analytisch von neuem, was Sturm schon 1867 in seinen
_Synthetischen Untersuchungen ber Flchen dritter Ordnung_ erkannt hatte,
da die Schnittkurve einer Oberflche dritter Ordnung mit ihrer Hesseschen
Flche fr beide eine parobolische Kurve ist; ein bemerkenswertes Resultat,
weil es das Analogon im Raume zu einem bekannten Satze ber die ebene
kubische Kurve ist.

[187] _Liouvilles Journ._ II, 14; _Trait des substitutions et des
quations algbriques_ (Paris, 1870).

[188] _Trait des proprits projectives des figures_.

[189] _Comptes rendus_, 1862.

[190] Ebendas., 1861.

[191] _Phil. Trans._ 1864.

[192] _Bologna Mem._ 1868.

[193] _Berliner Ber._ 1864; _Journ. fr Math._ 64.

[194] _Nouv. Ann._ II, 5.

[195] Die Dupinsche Cyklide gehrt zu diesen.

[196] Vgl. _Comptes rendus_ 1864.

[197] Die Untersuchungen von Darboux finden sich in dem schon angefhrten
Buche: _Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algbriques_
(Paris, 1873) zusammengefat.

[198] S. die Aufzhlung der Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note
zitierten Werkes sich findet, und die _Notice sur la vie et les travaux de
M. Laguerre_, verffentlicht von Poincar in den _Comptes rendus_ 104.

[199] _Phil. Trans._ 1871.

[200] _Lombardo Rend._ 1871.

[201] _Journ. fr Math._ 70.

[202] _Math. Ann._ 4.

[203] _Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit_ (Kopenhagen, 1879).
Von dieser Abhandlung habe ich eine italienische bersetzung in den _Annali
di Matem._ II, 14 verffentlicht.

[204] _Journ. fr Math._ 69.

[205] _Math. Ann._ 1, 2, 3, 4.

[206] _Annali di Matem._ II, 13.

[207] _Leipziger Dissertation_ (Greifswald, 1885).

[208] _Math. Ann._ 19.

[209] _Torino Mem._ II, 36.

[210] _Math. Ann._ 24. Betreffend die Konstruktion einer Oberflche vierter
Ordnung mit Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von Bobek (_Wiener
Ber._ 11. und 18. Dez. 1884) und eine von Veronese (_Atti dell' Istituto
Veneto_, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe man eine
Abhandlung von Saltel (_Bull. Soc. math._ 3).

[211] Weierstra, _Berliner Ber._ 1863.

[212] Unter den Eigenschaften der rmischen Flche von Steiner verdient
eine hervorragende Stelle die (durch verschiedene Methoden von Cremona und
Clebsch nachgewiesene) Eigenschaft, da sie zu asymptotischen Kurven
(Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter Ordnung hat. Eine andere
Eigenschaft derselben wurde von Darboux (_Bull. sciences math._ II, 4)
entdeckt und besteht darin, da sie die einzige Flche ist, auer den
Flchen zweiten Grades und den Regelflchen dritten Grades, bei welcher
durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte gehen. Neuerdings hat
Picard (_Journ. fr Math._ 100) gezeigt, da sie die einzige nicht
geradlinige Oberflche ist, deren smtliche ebene Schnitte rationale Kurven
sind. Man sehe hierzu noch eine Note von Guccia in den _Rendiconti del
circolo matematico di Palermo_, 1. -- Lie machte (_Archiv for Math. og
Naturvidenskab._ 3) die interessante Bemerkung, da der Ort der Pole einer
Ebene in Bezug auf die Kegelschnitte einer Steinerschen Flche eine
ebensolche Flche ist.

[213] _Journ. fr Math._ 63; _Lombardo Rend._ 1867.

[214] _Journ. fr Math._ 64.

[215] _Math. Ann._ 3.

[216] _Journ. fr Math._ 64; _Proc. math. Soc._ 5.

[217] _Giorn. di Matem._ 1; _Bologna Mem._ 1879.

[218] _Journ. fr Math._ 67.

[219] _Math. Ann._ 5.

[220] _Nouv. Ann._ II, 11, 12; _Bull. Soc. math._ 1.

[221] _La superficie di Steiner studiata nella sua rappresentazione
analitica mediante le forme ternarie quadratiche_ (Torino, 1881).

[222] _Berliner Abh._ 1866 und _Berliner Ber._ 1864.

[223] Diese Oberflche hat eine fundamentale Bedeutung in der
mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist in der That bekannt, da die
Bestimmung der Ebenen, welche sie lngs Kreisen berhren, Hamilton zur
Entdeckung der konischen Refraktion fhrte, einer Erscheinung, welche der
Aufmerksamkeit der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler
interessanter Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen
verschiedener Gelehrten, insbesondere Mannheims (_Comptes rendus_, 78, 81,
85, 88, 90; _Association fran. pour l'avanc. des sciences_ 1874, 75, 76,
78), _Proc. Roy. Soc._ 1882; _Collectanea mathematica_ u. s. w.

[224] _Liouvilles Journ._ 11; _Journ. fr Math._ 87. Vgl. eine Abhandlung
von Segre im _Giorn. di Matem._ 21. Andere Spezialflle der Kummerschen
Flche wurden von Rohn und Segre (_Leipziger Ber._ 1884) studiert.

[225] Diese Eigenschaft der Kummerschen Flche veranlate eine Untersuchung
ber die Oberflchen beliebiger Ordnung, welche dieselbe besitzen, eine
Untersuchung, die schon von Kummer und Cayley unternommen ist, _Berliner
Ber._ 1878.

[226] _Berliner Ber._ 1870, oder _Math. Ann._ 23.

[227] _Journ. fr Math._ 97; vgl. Segre das. 98.

[228] _Journ. fr Math._ 83, 94; oder _Borchardts Gesammelte Werke_
(Berlin, 1888, S. 341); vgl. Brioschi und Darboux, _Compt. rend._, 1881.

[229] _Journ. fr Math._ 84.

[230] S. die in Note 207 zitierte Abhandlung, und fr die Geschichte der
Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche Oberflche
die Einleitung der Abhandlung von Rohn, _Math. Ann._ 15.

[231] _Journ. fr Math._ 70.

[232] _Mnchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15.

[233] Die anderen Oberflchen vierter Ordnung mit singulren Punkten wurden
von Cayley studiert (_Proc. math. Soc._ 1870, 1871), vollstndiger von Rohn
in einer sehr schnen Abhandlung, die von der Jablonowskischen Gesellschaft
krzlich prmiiert ist (vgl. _Math. Ann._ 29). Endlich wurden die von
Flchen zweiten Grades eingehllten Flchen vierter Ordnung von Kummer
untersucht, _Berliner Ber._ 1872.

[234] _On the quartic surfaces_ (+) (u, v, w)^2 = 0 (_Quart. Journ._ 10,
11); _On the quartic surfaces represented by the equation symmetrical
determinant_ = 0 (_Quart. Journ._ 14).

[235] Bekanntlich nennt man nach Cayley ein Monoid eine Oberflche n^{ter}
Ordnung mit einem (n-1)-fachen Punkte.

[236] _Math. Ann._ 24; vgl. auch die Dissertation von Lampe, Berlin, 1864.

[237] _Math. Ann._ 18, 17. Auer den im Texte zitierten Oberflchen wurden
noch andere spezielle Flchen studiert, die ich der Krze wegen bergehen
mu; der grere Teil derselben wurde vermittelst der Theorie der
Abbildungen entdeckt oder betrachtet, siehe  VI.

[238] _Correspondance mathmatique_ 9; _Liouvilles Journ._ 2.

[239] _Cambridge Journ._ 8 und _Irish Trans._ 23.

[240] _Phil. Trans._ 1863-1869. In den angefhrten Arbeiten haben Cayley
und Salmon die Regelflchen bearbeitet als die rter der Geraden, die drei
gegebene Kurven treffen, oder eine einmal und eine zweite zweimal treffen,
oder Trisekanten einer Kurve sind. Rupp hat neuerdings diese Betrachtungen
wieder aufgenommen, um auf eine andere Weise die Resultate zu erhalten und
zu modifizieren, zu denen jene Mathematiker gelangt waren (_Math. Ann._
18).

[241] _Annali di Matem._ II, 1.

[242] _Trait de gomtrie descriptive_, Art. 629 u. 635.

[243] _Math. Ann._ 8, 12, 13.

[244] _Comptes rendus_, 1862; vgl. d'Ovidio und Dino, _Giorn. di Matem._ 3.

[245] _Dissertation_, gedr. zu Berlin 1864, und _Journ. fr Math._ 67.

[246] _Recherches sur les surfaces rgles tetradrales symtriques_
(Paris, 1867). Ich bemerke, da ein Bschel von Oberflchen, die in Bezug
auf ein Tetraeder symmetrisch sind, mit einem projektiven Ebenenbschel
eine bemerkenswerte Flche erzeugt, die von Eckardt (_Zeitschr. f. Math._
20) bearbeitet ist und welche die allgemeine Oberflche dritter Ordnung in
sich schliet.

[247] _Math. Ann._ 5.

[248] _Annali di Matem._ II, 4.

[249] _Prager Abhandlungen_ VI, 5.

[250] _Mmoires de Bordeaux_ II, 3.

[251] _ber die Flchen, deren Gleichungen aus denen ebener Kurven durch
eine bestimmte Substitution hervorgehen. Math. Ann._ 7.

[252] _Lincei Mem._ 1878-1879.

[253] _Math. Ann._ 4.

[254] _Math. Ann._ 27, 29. S. auch eine Abhandlung von Eckardt (daselbst
7).

[255] _Math. Ann._ 3.

[256] das. 14, 15. S. auch eine Bemerkung von Dino, _Napoli Rend._ 19.

[257] _Comptes rendus_, 52.

[258] _Journ. fr Math._ 68.

[259] _Math. Ann._ 2.

[260] _Proc. math. Soc._ 4; _Comptes rendus_, 1861; vgl. Hungady _Journ.
fr Math._ 92.

[261] Klein und Lie, _Comptes rendus_, 70.

[262] Fouret, _Bulletin de la Socit philomatique_, VII, 1.

[263] Jung, _Lincei Rend._ 1885 und 1886. S. auch zwei Bemerkungen ber
denselben Gegenstand, verffentlicht von Visalli (ebendas. 1886).

[264] Goursat, _Ann. Ec. norm._ III, 4; Lecornu, _Acta math._ 10.

[265] Cfr. die bewunderungswerten _Vergleichenden Betrachtungen ber neuere
geometrische Forschungen_ von F. Klein (Erlangen, 1872).

[266] Verffentlicht im Jahre 1795 unter dem Titel: _Feuilles d'Analyse
applique  la Gomtrie_. Die letzte (fnfte) Ausgabe wurde von Liouville
im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr wertvoller Noten
bereichert.

[267] Der Kniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen
berreicht am 8. Oktober 1827 und abgedruckt im 6. Bande der
_Commentationes recentiores societatis Gottingensis_. Diese
_Disquisitiones_ stehen im 4. Bande der von der genannten Gesellschaft
herausgegebenen _Werke_ von Gau, ferner in franzsischer bersetzung in
der angefhrten Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von Monge.

[268] Wenn x = e(t), y = f(t), z = g(t) die Ausdrcke der Koordinaten der
Punkte dieser Kurve in Funktionen eines Parameters t sind und F(x, y, z) =
0 die Gleichung der gegebenen Oberflche, so ist die fragliche Enveloppe
die der Oberflche F{x + e(t), y + f(t), z + g(t)} = 0.

[269] ber solche Flchen sehe man die neue Arbeit von Lie (_Archiv for
Mathematik og Naturvidenskab_ 7).

[270] Vor Monge hatten sich schon Euler (_Histoire de l'Acadmie de
Berlin_, 1766) und Meunier (_Mmoires de l'Acadmie des sciences de Paris_
10, 1776) mit diesem Thema beschftigt.

[271] Unter den neueren Arbeiten ber die Krmmungslinien fhren wir nur
die von Hamilton, Frost und Cayley an, die sich als Aufgabe gestellt haben,
zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum verteilt sind (_Quart.
Journ._ 12).

[272] Vgl. hierzu eine von Cremona verffentlichte Arbeit in den _Bologna
Mem._ III, 1. Wir fhren hier auch einige Noten von Darboux an (_Comptes
rendus_, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Krmmungslinien einiger
spezieller bemerkenswerter Flchen zum Zwecke haben.

[273] Die Differentialgleichung der Minimalflchen verdanken wir Lagrange
(_Miscellanea Taurinensia_, 1760-1761); die geometrische Interpretation
derselben wurde ein wenig spter von Meunier gegeben (vgl. Note 270).

[274] An die in den  18 und 21 der _Application_ gemachten Untersuchungen
knpft sich eine Abhandlung von O. Rodrigues, die sich in der
_Correspondance sur l'cole polytechnique_ 3 findet.

[275] Auer den Krmmungs- und asymptotischen Linien auf einer Flche sind
noch diejenigen bemerkenswert, bei denen die Schmiegungskugel in einem
beliebigen ihrer Punkte die Oberflche selbst berhrt. Dieselben wurden von
Darboux (_Comptes rendus_ 83) und von Enneper (_Gttinger Nachrichten_,
1871) studiert.

[276] Dupin fand (_Applications de Gomtrie et de Mchanique_, 1822), da
die einzigen Oberflchen, bei denen smtliche Krmmungslinien Kreise sind,
die Kugel, der Rotations-Kegel und -Cylinder und die Cyklide sind, welch
letztere er schon als die Enveloppe einer Kugel erkannt hatte, die sich so
bewegt, da sie immer drei feste Kugeln tangiert.

[277] _Liouvilles Journ._ 13.

[278] _Journ. c. polyt._ 19, 35; _Comptes rendus_ 42.

[279] _Atti dell' Accademia dei Quaranta_, 1868-1869; _Annali delle
Universit toscane_, 1869; _Annali di Matem._ II, 1, 4.

[280] _Gttinger Abh._ 13, 16, 23; _Journ. fr Math._ 94.

[281] _Comptes rendus_, 96.

[282] das. 46.

[283] _Journ. c. polyt._ 53.

[284] _Journ. fr Math._ 94.

[285] _Gttinger Dissertation_, 1883.

[286] _Journ. fr Math._ 59.

[287] _Annali di Matem._ I, 8.

[288] _Archiv for Math. og Naturvidenskab_, 4; _Bull. Sciences math._ II,
4.

[289] _Journ. fr Math._ 62.

[290] _Berliner Ber._ 1840; _Journ. fr Math._ 24.

[291] _Berliner Ber._ 1866.

[292] _Abhandlungen der Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig_ 4;
_Journ. fr Math._ 13.

[293] _Liouvilles Journ._ II, 5.

[294] das. I, 11.

[295] _Gttinger Abh._ 13, _oder Gesammelte Werke_ S. 283 und 417.
Niewenglowski hat die Riemannschen Untersuchungen in elementarer Form
dargelegt in den _Ann. c. norm._ II, 9.

[296] _Berliner Ber._ 1867.

[297] _Math. Ann._ 1.

[298] _Akademiens Afhandlingar_, _Helsingfors_, 1883.

[299] _Journ. c. polyt._ 37.

[300] _Heidelberger Dissertation_, 1875.

[301] _Comptes rendus_ 41; vgl. Enneper, _Zeitschr. f. Math._ 7, 9.

[302] _Journ. c. polyt._ 39.

[303] _Bestimmung einer speziellen Minimalflche_ (Berlin, 1871). Vgl.
Cayley, _Quart. Journ._ 14.

[304] _Journ. fr Math._ 80.

[305] das. 87; _Comptes rendus_ 96.

[306] _Zeitschr. f. Math._ 14; _Gttinger Nachr._ 1866.

[307] _Liouvilles Journ._ II, 8.

[308] _Bologna Mem._ II, 7. Die wunderschne Einleitung dieser Abhandlung
enthlt die Geschichte der Theorie der Minimalflchen.

[309] _Archiv for Math. og Naturv._ 3, 4, 6; _Math. Ann._ 14, 15.

[310] _Journ. fr Math._ 81, 85.

[311] _Annali di Matem._ II, 9.

[312] _tude des lassoides. Mmoires couronns par l'Acadmie de Belgique_
44.

[313] _Giorn. di Matem._ 22.

[314] _Lombardo Rend._ 1876; _Giorn. di Matem._ 14.

[315] _Journ. fr Math._ 78.

[316] Das Studium der Krmmung einer Oberflche in einem singulren Punkte
wurde von Painvin im _Journ. fr Math._ 72 angestellt.

[317] Ein analoger Satz wurde neuerdings von Sturm entdeckt (_Math. Ann._
21).

[318] Einige Vervollkommnungen und Ergnzungen dieses Teiles der Gauischen
Abhandlung wurden von Liouville (_Journ. c. polyt._ 24), von Baltzer
(1818-1887) (_Leipziger Berichte_ 1872) und durch von Escherich (_Grunerts
Arch._ 57) vorgenommen.

[319] Der Satz von Gau: Damit eine Oberflche auf eine andere abwickelbar
sei, ist notwendig, da die Krmmung in den entsprechenden Punkten gleich
sei, wurde auf verschiedene Arten von Liouville (_Liouvilles Journ._ 12),
von Bertrand, Puiseux und Diguet (das. 13) bewiesen. Vgl. auch Minding,
_Journ. fr Math._ 19.

[320] _Annali di Matem._ II, 1.

[321] _Bologna Mem._ II, 8.

[322] _Math. Ann._ 1.

[323] _Comptes rendus_ 37.

[324] das. 44, 46, 57, 67.

[325] _Annali di Matem._ I, 7. -- Das allgemeinere Problem der Bestimmung
zweier Oberflchen, so da jedem Punkte der einen ein Punkt oder eine
Gruppe von Punkten der anderen entspricht, und da den geodtischen Linien
der einen geodtische Linien der anderen korrespondieren, wurde spter von
Dini behandelt. (_Annali di Matem._ II, 3).

[326] _Giorn. di Matem._ 6.

[327] _Comptes rendus_, 1865.

[328] _Archiv for Math. og Nat._ 4, 5.

[329] _Giorn. di Matem._ 16, 20, 21.

[330] _Lund rskrift_ 19.

[331] _Comptes rendus_ 96, 97.

[332] _Acta math._ 9.

[333] _Journ. fr Math._ 64.

[334] _Berliner Ber._ 1882-1883. -- Hieran schliet sich die Schrift von
Lilienthal's: _Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der krummen
Oberflchen und der geradlinigen Strahlensysteme_ (Bonn, 1886).

[335] _Journ. fr Math._ 26, 30. -- Joachimsthals Vorlesungen: _Anwendung
der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der
Flchen und der Linien doppelter Krmmung_ erschienen nach seinem Tode
(Leipzig, 2. Auflage, 1881).

[336] _Gttinger Nachr._ 1867.

[337] _Lombardo Atti_ II, 1.

[338] _Programm der Universitt von Christiania_, 1879.

[339] _Math. Ann._ 20.

[340] _Journ. fr Math._ 6, 18, 19.

[341] _Journ. c. polyt._ 39.

[342] _Mm. prs._ 27 (1879) (_Mmoire relatif  l'application des surfaces
les unes sur les autres_).

[343] _Journ. c. polyt._ 41, 42.

[344] _Berliner Abh._, 1869.

[345] _Journ. fr Math._ 94.

[346] _Berliner Ber._ 1882.

[347] _Mnchener Abh._ 14.

[348] _Journ. fr Math._ 6.

[349] _Irish Trans._ 22, I. T.

[350] _Giorn. di Matem._ 2.

[351] _Gttinger Nachr._ 1875.

[352] _Giorn. di Matem._ 21.

[353] _Journ. c. polyt._ 48.

[354] _Bologna Mem._ IV, 3.

[355] _Mm. prs._ 5; _Liouvilles Journ._ 2. -- Unter den vielen
Anwendungen, die man von den elliptischen Koordinaten gemacht hat, wollen
wir nur diejenigen anfhren, die Jacobi davon gemacht hat bei der
Bestimmung der geodtischen Linien (_Journ. fr Math._ 14; _Comptes rendus_
8; _Liouvilles Journ._ 6) und bei einigen Fragen der Dynamik. S.
_Vorlesungen ber Dynamik_, 1866 in erster, 1884 in zweiter Ausgabe als
Supplementband zu den _Gesammelten Werken_ erschienen.

[356] _Journ. c. polyt._ 23.

[357] _Liouvilles Journ._ 5.

[358] das. 4.

[359] das. 8.

[360] _Comptes rendus_ 48, 54; _Journ. fr Math._ 58; _Annali di Matem._ I,
6 und II, 1, 3, 5.

[361] _Annali di Matem._ II, 1.

[362] das. II, 1, 2, 4, 5.

[363] _Bologna Mem._ 1868-1869.

[364] _Ann. c. norm._ II, 7.

[365] _Ann. c. norm._ I, 4.

[366] _Journ. c. polyt._ 43.

[367] _Annales des mines_ VII, 5.

[368] _Liouvilles Journ._ 11.

[369] das. 12.

[370] _Comptes rendus_ 54.

[371] _Mmoires couronns par l'Acadmie de Belgique_, 32.

[372] _Comptes rendus_ 59.

[373] das. 59, 60, 67, 76; _Ann. c. norm._ I, 2; II, 3.

[374] _Comptes rendus_ 74, 75; _Phil. Trans._ 163. Vgl. Weingarten, _Journ.
fr Math._ 83.

[375] _Comptes rendus_ 76.

[376] _Journ. fr Math._ 85.

[377] das. 76; vgl. Darboux, _Comptes rendus_ 84.

[378] _Grunerts Arch._ 55, 56, 57, 58 und 63.

[379] _Giorn. di Matem._ 21, 22; _Annali di Matem._ II, 13; _Lincei Rend._
1886.

[380] _Mmoires de l'Acadmie de Toulouse_ VIII, 1.

[381] _Archiv for Math. og Naturv._ 7.

[382] _Gttinger Abh._ 19. -- Wenn u der Winkel der Normalen der Oberflche
in einem Punkte mit der z-Axe, und v der Winkel der Projektion derselben
auf die xy-Ebene mit der x-Axe ist, so nennt man nach Enneper Kurven, deren
Gleichungen u = _const._ oder v = _const._ sind, Meridiankurven.

[383] _Comptes rendus_ 74; _Proc. math. Soc._ 4.

[384] _Berliner Ber._ 1883.

[385] _Gttinger Dissertation,_ 1883.

[386] _Giorn. di Matem._ 17.

[387] _Mmoires de la socit scientifique de Bruxelles_ 5, 7, 8.

[388] _Ann. c. norm._ II, 3; _Journ. c. polyt._ 53.

[389] _Liouvilles Journ._ 9, 12.

[390] _Journ. c. polyt._ 30, 32; _Liouvilles Journ._ 14; _Comptes rendus_
54.

[391] Man sehe auch die _Thse_ (Dissertation) von Picart, _Essai d'une
thorie gomtrique des surfaces_ (Paris, 1863).

[392] _Liouvilles Journ._ II, 17 und III, 4; _Bull. Soc. math. _2, 5, 6;
_Comptes rendus_ 74, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88; _Proc. math. Soc._
12; _The Messenger of Mathematics_ II, 8.

[393] _Enumeratio linearum tertii ordinis_ (1706). Indem wir eine Bemerkung
von Bellavitis (1803-1880) verwerten (s.  107 der Schrift _Sulla
classificazione delle curve di terzo ordine, Memorie della Societ italiana
delle scienze residente in Modena_, Bd. 25, II. Teil S. 34), geben wir
dieses Resultat wieder, indem wir sagen, da jede Kurve dritter Ordnung
sich durch eine geeignete projektive Transformation auf eine der folgenden
Formen bringen lt: Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge und einem
Ovale (_parabola campaniformis cum ovali_), Kurve mit einem Doppelpunkte
(_parabola nodata_), Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge (_parabola
pura_), Kurve mit einem isolierten Punkte (_parabola punctata_), Kurve mit
einer Spitze (_parabola cuspidata_). Unter den Beweisen, die fr diesen
Satz gegeben sind, fhre ich den von Mbius an, der sich auf die Prinzipien
der analytischen Sphrik grndet (_Gesammelte Werke_, II. Bd. S. 89-176),
und den, der aus der Klassifikation von Bellavitis (s. oben) hervorgeht. An
Mbius schliet sich an: M. Baur, _Synthetische Einteilung der ebenen
Kurven III. Ordnung_ (Stuttgart, 1888). Dann bemerke ich noch hierzu, da
die Einteilungen, die von Mbius und Bellavitis (fast gleichzeitig, da die
erste 1852 verffentlicht wurde und die zweite 1851 geschrieben und 1855
verffentlicht wurde) vorgeschlagen sind, gemeinsam haben, da sie die
Kollineation als Grundlage der Bildung der Gattungen, die Affinitt zur
Grundlage der Bildung der Arten dieser Kurven nehmen. Plckers Einteilung
befindet sich im _System der analytischen Geometrie_. J. W. Newman hat der
_British Association for the Advancement of Science_ (vgl. Report
1869-1870) eine Diskussion der Formen der ebenen kubischen Kurven und eine
daraus sich ergebende Nomenklatur vorgelegt, die von der gewhnlich
blichen abweicht.

[394] _Aperu historique_, Note 20.

[395] _Journ. fr Math._ 75 und 76. Wir knnen hinzufgen, da Reye im
Anhange der 3. Auflage des ersten Teiles seiner _Geometrie der Lage_, der
vor wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur
Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einfhrt, indem er sie
als die Jacobischen Kurven von Kegelschnittnetzen auffate.

[396]  12, 13, 14, 15.

[397] _The Messenger of Mathematics_ II, 6.

[398] _Anwendung der Topologie auf die Gestalten der algebraischen Kurven,
speziell der rationalen Kurven vierter und fnfter Ordnung_ (Mnchener
Dissertation, 1878).

[399] _Irish Trans._ 1875.

[400] _Beitrge zur Theorie der Oskulationen bei ebenen Kurven dritter
Ordnung_ (Berliner Dissertation, 1884).

[401] _Math. Ann._ 7, 10. S. brigens die Abhandlung: _Almindelige
Egenskaber ved Systemer af plane Kurver_ (Abh. der Akad. der Wissensch. in
Kopenhagen V, 10).

[402] _Math. Ann._ 12; _Tidsskrift for Mathem._ IV, 1.

[403] _Math. Ann._ 10. Vgl. auch Perrin, _Bull Soc. math._ 6.

[404] _Theorie der algebraischen Kurven_ S. 249 flgg. -- Im Anschlu an
Plcker mgen noch Beers _Tabulae curvarum quarti ordinis symmetricarum_
(Bonn, 1862) erwhnt werden.

[405] Eine Kurve vom Geschlechte p kann hchstens aus p + 1 Zgen
bestehen. _Math. Ann._ 10. Der Spezialfall dieses Satzes, p = 0, ist seit
langer Zeit bekannt; schon Bellavitis hatte denselben in der vorher
angefhrten Abhandlung besprochen; er erklrt die Benennung _unicursal_,
die von Cayley den rationalen Kurven gegeben war, und die von vielen noch
heute gebraucht wird.

[406] _Gesammelte Werke_ 2, S. 433.

[407] _Math. Ann._ 12, 13; _Leipziger Ber._ 1884.

[408] _Math. Ann._ 6.

[409] _Annali di Matem._ II, 5 und 7.

[410] _Math. Ann._ 8.

[411] _Mnchener Ber._ 1883.

[412] _Quart. Journ._ 9.

[413] Siehe die schon zitierte Abhandlung: _Om Flader af fjerde Orden med
Doppeltkeglesnit_.

[414] _Om Flader af fjerde Orden med Tilbagegangskeglesnit_ (Kopenhagen,
1881).

[415] _Mnchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15, 18, 28, 29.

[416] Fr den, der sich mit der Konstruktion spezieller Oberflchen
befassen will, fhre ich die praktischen Regeln an, welche Hicks
(_Messenger of Mathematics_ II, 5) fr die Konstruktion der Wellenflche
gegeben hat.

[417] _Zeitschr. f. Math._ 25.

[418] _Modelle von Raumkurven- und Developpabelen-Singularitten_ (Lund,
Gleerup, 1881).

[419] Unter den von Steiner ausgesprochenen Stzen, nach deren Ursprung
wir, seine Nachfolger, vergebens suchen, finden sich einige derartige (s.
_Journ. fr Math._ 37, 45, 49; _Gesammelte Werke_, II. Bd. S. 389, 439 und
613), welche glauben lassen, da er eine Methode besessen habe, um einige
von den im Texte gekennzeichneten Problemen zu lsen. Etliche lassen sich
durch eine quadratische Transformation beweisen, wie Berner in seiner
Dissertation: _De transformatione secundi ordinis ad figuras geometricas
adhibita_ (Berlin, 1864) gezeigt hat. -- Jonquires (_Liouvilles Journ._
II, 6; _Comptes rendus_, 1864, 65 und 66) fand auch eine Weise, um zur
Lsung einiger Probleme dieser Art zu gelangen, aber der von ihm
eingeschlagene Weg (welcher der Hauptsache nach in einer Anwendung des
Bzoutschen Satzes besteht) fhrte ihn unbedingt zu Irrtmern wegen
uneigentlicher (fremder) Lsungen, die er nicht ausgeschieden hatte. Vgl.
die schne Abhandlung von Study in den _Math. Ann._ 27.

[420] _Comptes rendus_, 1864; vgl. auch Zeuthen, _Nyt Bidrag til Laeren om
Systemer af Keglesnit_ (Kopenhagen, 1865) oder _Nouv. Ann._ II, 5; Dino,
_Comptes rendus_, 1867. Die Bnde der _Comptes rendus_ von 1864 ab
enthalten eine ungeheuere Anzahl von Lehrstzen verschiedener Art, die von
Chasles aufgestellt sind und deren Beweis sich auf die Theorie der
Charakteristiken und auf das Korrespondenzprinzip sttzt. Unter diesen
Arbeiten ist eine der bemerkenswertesten diejenige, in welcher der
Verfasser mit Hilfe des Korrespondenzprinzips die Zahl der Schnitte zweier
Kurven in einer Ebene bestimmt (_Comptes rendus_ 75). Die dort angewandte
Beweisfhrung kann verallgemeinert werden und in vielen Fllen dazu dienen,
die Zahl der Lsungen eines bestimmten Systemes von algebraischen
Gleichungen zu finden. (S. Saltel, _Mmoires de l'Acadmie de Belgique_ 24;
_Comptes rendus_ 81; Fouret, _Bull. Soc. math._ 1, 2; _Comptes rendus_ 78.

[421] _Comptes rendus_ 61.

[422] Ebendas. 62. S. auch Salmon, _Quart. Journ._ 1866; Schubert, _Journ.
fr Math._ 71 und 73. -- Eine interessante Anwendung der Theorie der
Systeme von Flchen zweiter Ordnung auf das Studium der quadratischen
(vorletzten) Polaren der Punkte des Raumes in bezug auf eine beliebige
algebraische Flche wurde von Zeuthen gemacht (_Annali di Matem._ II. 4).

[423] Vgl. auch _Comptes rendus_ 74, 75.

[424] Paris, 1871.

[425] _Journ. fr Math._ 79, 80.

[426] _Gttinger Nachr._ 1874, 75; _Math. Ann._ 13.

[427] _Phil. Trans._ 1858.

[428] _Recherches sur les sries ou systmes de courbes et de surfaces
algbriques_ (Paris, 1866); _Comptes rendus_, 1866; _Journ. fr Math._ 66
u. s. w. Die eleganten analytischen Untersuchungen von Brill und Krey
(_Math. Ann._ und _Acta math._) haben zum Ziele die Auflsung von Problemen
aus der abzhlenden Geometrie, die sich auf Systeme von Kurven und
Oberflchen beziehen.

[429] _Annali di Matem._ II, 6; _Proc. math. Soc._ 5, 6, 8.

[430] _Math. Ann._ 1, 6, 12, 15.

[431] _Compt. rend._ 88. Bemerkenswert in dieser Abhandlung ist die
Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve auf Systeme von
Kurven.

[432] _Math. Ann._ 6.

[433] _Comptes rendus_ 78 und 86; _Bull. Soc. math._ 2 und 7.

[434] _Comptes rendus_ 79, 86.

[435] das. 82, 84.

[436] das. 80.

[437] das. 82.

[438] Andere Anwendungen dieses Prinzipes finden sich in den von Fouret
verffentlichten Arbeiten in den _Comptes rendus_ 83, 85, im _Bull. Soc.
math._ 6 und im _Bulletin de la Socit philomathique_ VI, 11. -- Wir
bemerken, da die geometrische Interpretation der Gleichung

    (   dz     dz     )     ( dz )     ( dz )
  L ( x -- + y -- - z ) - M ( -- ) - N ( -- ) + R = 0,
    (   dx     dy     )     ( dx )     ( dy )

wenn L, M, N, R lineare Funktionen sind, welche von Fouret in den _Comptes
rendus_ 83 gegeben ist, ihn zu gewissen Oberflchen fhrte, die zuerst von
Klein und Lie studiert worden waren (_Comptes rendus_ 70).

[439] Leipzig, 1879. In demselben sind die frheren Arbeiten von Schubert
vereinigt und befinden sich die Grundlagen seiner spteren Arbeiten.

[440] Das erste dieser Prinzipien wurde von Chasles fr die rationalen
Gebilde erster Stufe (_Comptes rendus_ 1864-1866) ausgesprochen und dann
von Cayley auf alle Gebilde erster Stufe ausgedehnt (_Comptes rendus_ 62,
_Proc. math. Soc._ 1866), und noch vollstndiger im _Second memoir on the
curves which satisfy given conditions_ (_Phil. Trans._ 158). Bewiesen wurde
das Cayleysche Prinzip von Brill (_Math. Ann._ 6 und 7), neuerdings wurde
es in einer sehr bemerkenswerten Weise von Hurwitz ausgedehnt (_Math. Ann._
28).

Saltel ergnzte das Chaslessche Korrespondenzprinzip, indem er die
Bestimmung der Zahl der Koinzidenzen, die ins Unendliche fallen, zeigte
(_Comptes rendus_ 80) und illustrierte seine Resultate durch mehrere
Beispiele (_Comptes rendus_ 80, 81, 82, 83, und _Bulletin de l'Acadmie de
Belgique_ II, 92).

Fr die rationalen Gebilde zweiter und dritter Stufe hat man auch ein
Korrespondenzprinzip, welches von Salmon (_Geometry of three dimensions_
II. Aufl.) und von Zeuthen (_Comptes rendus_ 78) entdeckt ist. Fr die
Gebilde hherer Stufe siehe eine Note von Pieri in den _Lincei Rend._ 1887.

[441] Betreffend andere bibliographische Einzelheiten ber diesen Zweig der
Geometrie vgl. man den Artikel von Painvin, der in dem _Bull. Sciences
math._ 3 verffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der _Bibliotheca
mathematica_ II, 2 (1888), S. 39, 67 verffentlichten Artikel _Notizie
storiche sulla geometria numerativa_.

[442] _Comptes rendus_ 67.

[443] _Math. Ann._ 6.

[444] _Vorlesungen ber Geometrie_ von A. Clebsch (herausgegeben von
Lindemann) (Leipzig, 1876) S. 399.

[445] _Gttinger Nachr._ 1876.

[446] _Comptes rendus_, 1876; _Journ. c. polyt._ 45; _Proc. math. Soc._ 9,
10; _Math. Ann._ 15.

[447] _Journ. c. polyt._ 45.

[448] Auch von dem Satze, den Cremona ausgesprochen hat (_Annali di Matem._
I, 6 und _Giorn. di Matem._ 3) ber die doppelt unendlichen Systeme von
Kegelschnitten, als Erweiterung des Satzes von Chasles, kann man eine
Anwendung machen, worber man das einsehen mge, was del Pezzo in seiner
interessanten Abhandlung _Sui sistemi di coniche_ (_Napoli Rend._ 1884)
auseinandergesetzt hat, und neuere Beobachtungen von Study (_Math. Ann._
27).

[449] _Mm. prs._ 1, 1806.

[450] das. (ltere Serie) 10, 1785, und die schon zitierte _Application_.

[451] _Mm. prs._ 9, 1781.

[452] _Journ. c. polyt._ 30.

[453] _Liouvilles Journ._ 17.

[454] das. 16.

[455] Man sehe die Noten zur _Application de l'Analyse  la Gomtrie_, 5.
Aufl. und _Liouvilles Journ._ 17.

[456] _Liouvilles Journ._ 15, 16.

[457] das. 7.

[458] _Forhandlingar i Videnskab-Selskabet i Christiania_, 1882.

[459] Eingehenderes findet man in der Note 65 der _Analytischen Geometrie
des Raumes_ von G. Salmon, deutsch bearbeitet von W. Fiedler, 3. Aufl.
1880, II. Teil S. 37. -- In Bezug auf eine synthetische Darstellung der
Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man Schell, _Allgemeine Theorie
der Kurven doppelter Krmmung in rein geometrischer Darstellung_ (Leipzig,
1859), und Paul Serret, _Thorie nouvelle gomtrique et mcanique des
courbes  double courbure_ (Paris, 1860).

[460] Vgl. Magnus, _Aufgaben und Lehrstze aus der analytischen Geometrie
des Raumes,_ 1837, S. 160.

[461] Die Existenz zweier Raumkurven vierter Ordnung wurde zuerst durch
Salmon im Jahre 1850 (_Cambridge Journ._ 5) und darauf von Steiner (_Journ.
fr Math._ 53) bekannt gemacht.

[462] Auf der kubischen Flche treten schon von der sechsten Ordnung ab
gegen die Geraden der Flche verschiedenartig sich verhaltende Kurven
derselben Ordnung auf, die in der Zahl der scheinbaren Doppelpunkte
bereinstimmen. Vgl. Sturm, _Math. Ann._ 21.

[463] _Liouvilles Journ._ 10, oder _Cambridge Journ._ 5. Dieser Abhandlung
folgte eine, die von Salmon in demselben Bande des _Cambr. Journ._
verffentlicht wurde, und zu ihrer Ergnzung wiederum dient eine von
Zeuthen, die in den _Annali di Matem._ II, 3 abgedruckt ist. -- An sie
schlieen sich ferner die Schriften, welche Cayley (_Phil. Trans._ 153),
Piquet (_Comptes rendus_ 77 und _Bull. Soc. math._ 1), und Geiser
(_Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_, Mailand, 1881)
geschrieben haben ber die Geraden, welche eine Raumkurve eine gewisse
Anzahl Male schneiden.

[464] _Comptes rendus_ 54 und 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man die
Dissertation von Ed. Weyr, _ber algebraische Raumkurven_ (Gttingen, 1873)
und andere Schriften desselben Verfassers (_Comptes rendus_ 76, _Wiener
Ber._ 69). Den zitierten Abhandlungen von Cayley mte ich noch eine dritte
hinzufgen (_Quart. Journ._ 3), in welcher der Autor sich die Aufgabe
gestellt hat, eine Kurve als Komplex ihrer Sekanten (im Sinne Plckers) zu
betrachten und sie daher mittelst einer einzigen Gleichung zwischen den
Koordinaten einer Geraden im Raume darzustellen, aber ich kann davon
absehen, da die Fruchtbarkeit einer solchen Betrachtung noch nicht
dargethan ist.

[465] Halphen, _Mmoire sur la classification des courbes gauches
algbriques_ (_Journ. c. polyt._ 52). Man sehe auch desselben Autors
Abhandlung _Sur les singularits des courbes gauches algbriques_ (_Bull.
Soc. math._ 9). -- Nther, _Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen
Raumkurven_ (_Berliner Abh._ 1883, _Journ. fr Math._ 93).

[466] _Comptes rendus_ 70; _Bull. Soc. math._ 1 und 2.

[467] _Math. Ann._ 7.

[468] _Math. Ann._ 6. Ein anderer Beweis desselben Satzes wurde von Halphen
gegeben, _Bull. Soc. math._ 5.

[469] Die Gerechtigkeit verlangt, da ich auch noch eine sehr schne Arbeit
von Valentiner anfhre: _Bidrag til Rumcurvener Theori_ (Kopenhagen, 1881)
(vgl. auch _Tidsskrift for Math._ IV, 5 und _Acta math._ 2), die fast zu
gleicher Zeit mit denen von Halphen und Nther erschienen ist und mit
diesen in den Methoden und den Resultaten bemerkenswerte Berhrungspunkte
hat. -- Ich will in dieser Note auch noch, da ich es im Texte nicht thun
konnte, einen Satz von Cremona anfhren (von Dino in den _Napoli Rend._
1879 bewiesen) und einige von Sturm (_Report of the British Association_,
1881; _Math. Ann._ 19), welche bemerkenswerte allgemeine Eigenschaften der
Raumkurven ausdrcken, sowie an die Untersuchungen von Cayley, Piquet und
Geiser ber eine Raumkurve mehrmals schneidende Geraden erinnern, von denen
in der Note 463 gesprochen wurde. Erwhnenswert ist auch die (von Hofeld
in der _Zeitschr. f. Math._ 29 gefundene) Thatsache, da die Rckkehrkurve
der zweien Oberflchen umbeschriebenen abwickelbaren Flche nicht der
vollstndige Schnitt zweier Oberflchen ist.

[470]

  Von anderen wird es lblich sein zu schweigen,
  Weil allzukurz die Zeit fr die Erzhlung.
  -- Dantes Gttliche Komdie; _Die Hlle_, 15. Gesang, Vers 104-105.

[471] _Der barycentrische Calcl_ (Leipzig, 1827).

[472] _Aperu historique,_ Note 33; _Liouvilles Journ._ 19 (1854).

[473] _Beitrge zur Geometrie der Lage_, 3. Heft (Nrnberg, 1860).

[474] _Grunerts Arch._ 10.

[475] _Journ. fr Math._ 56.

[476] _Journ. fr Math._ 58, 60, 63; _Nouv. Ann._ II, 1; _Annali di Matem._
I, 1, 2, 5; _Lombardo Rend._ II, 12.

[477] _Journ. fr Math._ 56; _Theorie der Oberflchen zweiter Ordnung und
der Raumkurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1880); _Math. Ann._ 25. Vgl. auch
eine Note von mir in den _Napoli Rend._, 1885.

[478] _Zeitschr. fr Math._, 1868; _Geometrie der Lage_.

[479] _Lombardo Rend._ 1871.

[480] _Journ. fr Math._ 79, 80; _Annali di Matem._ II, 3.

[481] _Math. Ann._ 20 und 30.

[482] _Torino Mem._ II, 32 und _Collectanea mathematica_. An diese
Abhandlungen schliet sich eine von Gerbaldi, _Sui sistemi di cubiche gobbe
o di sviluppabili di III. classe stabiliti col mezzo di due cubiche
punteggiate projettivamente_ (_Torino Mem._ II, 32).

[483] _Giorn. di Matem._ 17 (1879). Betreffend die ausgearteten Formen der
kubischen Raumkurve sehe man eine Note von Schubert (_Math. Ann._ 15). Die
Theorie der kubischen Raumkurven fhrt zu einer interessanten geometrischen
Darstellung der Theorie der binren algebraischen Formen, die von Laguerre
(_L'Institut_ 40), von Sturm (_Journ. f. Math._ 86) und von Appell (_Ann.
c. norm._ II, 5) bearbeitet wurde. Vgl. auch eine Note von J. Tannery
(_Bull. sciences math._ 11). Ferner sehe man in bezug hierauf die Note von
W. R. W. Roberts (_Proc. math. Soc._ 13) und das Buch von Franz Meyer,
_Apolaritt und rationale Kurven_ (Tbingen, 1883). Eine gute Darlegung der
Theorie der Raumkurven dritter Ordnung hat auch von Drach geliefert in der
Schrift _Einleitung in die Theorie der kubischen Kegelschnitte_ (Leipzig,
1867), infolge deren Beltrami interessante _Annotazioni_ geschrieben hat
(_Lombardo Rend._ II, 1).

[484] _Comptes rendus_ 53 (1861).

[485] _Annali di matem._ 4. -- Die Note von Story, _On the number of
intersections of curves traced on a scroll of any order_ (_Johns Hopkins
Baltimore University Circulars_ 2, 1883) enthlt eine Verallgemeinerung
eines sehr wichtigen Theoremes von Chasles.

[486] Poncelet machte im Jahre 1822 die bemerkenswerte Entdeckung, da
durch jede Raumkurve vierter Ordnung erster Art vier Kegel zweiten Grades
hindurchgehen. (S. _Trait des propriets projectives_ I, S. 385, 2. Aufl.)

[487] _Comptes rendus_ 54, 55.

[488] _Comptes rendus_ 54; _Bologna Mem._ 1861; _Lombardo rend._ II, 1.

[489] _Annali di Matem._ II, 2.

[490] _Gometrie de direction_ (Paris, 1869); _Comptes rendus_ 82.

[491] _Liouvilles Journ._ II, 15.

[492] _Journ. fr Math._ 97. -- Eine bemerkenswerte spezielle Raumkurve
vierter Ordnung erster Art hat Schrter untersucht: _Journ. fr Math._ 93.

[493] _Math. Ann._ 12, 13.

[494] _Zeitschr. f. Math._ 28.

[495] _Math. Ann._ 13. Vgl. Cayley (das. 25).

[496] _Comptes rendus_ 82.

[497] _Annali di Matem._ I, 4.

[498] _Giorn. di Matem._ 11, 12.

[499] _Lombardo rend._ 1872.

[500] _Wiener Ber._ 1871. ber die rationalen Kurven vierter Ordnung sehe
man auch Study (_Leipziger Sitzungsber._ 1886), die _Habilitationsschrift_
von Jolles (Aachen, 1886) und die Abhandlung von Roberts (_Proc. math.
Soc._ 14). -- Unter den rationalen Kurven vierter Ordnung ist eine sehr
bemerkenswerte diejenige, welche zwei stationre Tangenten hat. Die
eleganten Eigenschaften, welche dieselbe besitzt, wurden von Cremona
(_Lombardo Rend._ 1868), Em. Weyr (das. 1871) und Appell (_Comptes rendus_
83) entdeckt.

[501] _Comptes rendus_ 70.

[502] _Vierteljahrsschrift der naturf. Ges. in Zrich_ 20.

[503] Auer den zitierten _Synthetischen Untersuchungen_ sehe man _Journ.
fr Math._ 88 und _Math. Ann._ 21.

[504] S. Korndrfer und Brill, _Math. Ann._ 3; Saltel, _Comptes rendus_ 80;
Genty, _Bull. Soc. math._ 9.

[505] Siehe unter anderem die Bemerkung von Buchheim, _On the extension of
certain theories relating to plane cubics to curves of any deficiency_
(_Proc. math. Soc._ 13).

[506] _Collectanea mathematica_.

[507] _Journ. fr Math._ 99.

[508] Chasles, _Aperu historique_, 2. Aufl., S. 269; in der deutschen
bersetzung von Sohncke, S. 267.

[509] Diese Konstruktion, die von den Deutschen Steinersche Projektion
genannt wird, wurde im Jahre 1865 von neuem von Transon (1806-1876)
gefunden, der ihr den Namen _projection gauche_ gab (_Nouv. Ann._ II, 4
und 5).

[510] _Trait des proprits projectives_ (1. Aufl. 1822, S. 198).

[511] _Journ. fr Math._ 5.

[512] _Journ. fr Math._ 8, und _Aufgaben und Lehrstze aus der
analytischen Geometrie der Ebene_, 1833.

[513] _Torino Mem._ 1862.

[514] _Grunerts Arch._ 7.

[515] _Zeitschr. f. Math._ 11.

[516] _Liouvilles Journ_. 10, 12. Vorher hatten schon G. Bellavitis (_Nuovi
Saggi dell' Accademia di Padova_ 4 (1836) und Stubbs (_Phil. Mag._ 23,
1843) sich mit dieser Korrespondenz beschftigt. Man sehe auch Steiners
Aufsatz aus dem Jahre 1826: _Einige geometrische Betrachtungen_ (_Journ.
fr Math._ 1; _Gesammelte Werke_ Bd. I, S. 19) Nr. 20.

[517] Auf den Begriff der Inversion ist von Johnson (Analyst 4) eine neue
Einteilung der ebenen Kurven gegrndet worden. In derselben bedeutet der
Name Kreisgrad einer Kurve den Grad ihrer Gleichung (in rechtwinkligen
cartesischen Koordinaten) in x, y, r = x^2 + y^2; der Kreisgrad einer Kurve
wird durch die Inversion nicht verndert. Zwei Kurven, welche denselben
Grad haben, gehren zu derselben Kategorie. Diese Einteilung scheint jedoch
nicht von groer Wichtigkeit zu sein.

[518] _Sammlung von Aufgaben und Lehrstzen aus der analytischen Geometrie
der Ebene_, 1833.

[519] In den Jahren 1859 und 1860 studierte Jonquires die (nach seinem
Namen benannte) Transformation n^{ter} Ordnung, bei welcher jeder Geraden
eine Kurve n^{ter} Ordnung mit einem (n - 1)-fachen Punkte entspricht.
Einige seiner Resultate wurden im Jahre 1864 in den _Nouv. Ann._
verffentlicht, aber das vollstndige Werk, welches er dieser
Transformation widmete, erschien erst 1885 und zwar durch Guccia (s.
_Giorn. di Matem._ 23) herausgegeben. Wir bemerken auch, da schon 1834
Mbius (_Journ. fr Math._ 12; _Gesammelte Werke,_ 1) die eindeutige
Korrespondenz zwischen zwei Ebenen, bei denen die Flcheninhalte
entsprechender Figuren in einem konstanten Verhltnisse stehen, studiert
hat. Die Untersuchungen sind jedoch von ganz anderer Art als die im Texte
betrachteten.

[520] _Bologna Mem._ 2, 5 (1863 und 1865); _Giorn. di Matem._ 1 und 3; vgl.
auch Dewulfs Bearbeitung im _Bull. sciences math._ 5.

[521] _Proc. math. Soc._ 3.

[522] _Math. Ann._ 4.

[523] _Math. Ann._ 3, 5.

[524] _Journ. fr Math._ 73.

[525] _Proc. math. Soc._ 4.

[526] Hier will ich einen wichtigen Lehrsatz berhren, der gleichzeitig von
Clifford (_Proc. math. Soc._ 3), Nther (_Gttinger Nachr._ 1870; _Math.
Ann._ 3) und Rosanes (_Journ. fr Math._ 73) erhalten wurde, und fr einen
Augenblick die Wichtigkeit der Cremonaschen Transformation aufzuheben
schien: Jede eindeutige Transformation von hherer als erster Ordnung kann
man durch Wiederholung von quadratischen Transformationen erhalten. Dieser
Satz ist offenbar die Umkehrung desjenigen von Magnus, der vorhin im Texte
angefhrt wurde.

[527] _Bologna Mem._ 1877-1878.

[528] _Comptes rendus_, 1885; _Giorn. di Matem._ 24.

[529] _Annali di Matem._ II, 10.

[530] _Comptes rendus_, 1885; _Rendic. del Circolo Matematico di Palermo_
1.

[531] Man sehe die in den _Comptes rendus_, 1883, 1884, 1885, 1886 und in
_Liouvilles Journ._ 1885, 1886, 1887 verffentlichten Abhandlungen.

[532] _Annali di Matem_. 7, ferner _Giorn. di Matem_. 4.

[533] _Proc. math. Soc._ 2.

[534] _Math. Ann._ 26.

[535] _Bull. sciences math._ II, 6 und 7.

[536] Meistenteils wurden die geometrischen Transformationen auf das
Studium der algebraischen Kurven angewandt; jedoch fehlt es nicht an
Schriften, welche sich mit der Transformation transcendenter Kurven in
andere oder in sich selbst befassen: z. B. Magnus, _Sammlung von Aufgaben
und Lehrstzen aus der analytischen Geometrie der Ebene_, 1833, S. 320,
455, 457-459, 497; Klein und Lie, _Math. Ann._ 4.

[537] _Annali di Matem._ II, 8; _Lombardo Rend._ 1883. Vgl. auch Geiser,
_Journ. fr Math._ 67.

[538] _Napoli Rend._, 1879.

[539] Die neueste Form, welche die Bertinischen Untersuchungen infolge
dessen angenommen, machte es meinem Freunde Martinetti leichter, auf dem
von diesem Gelehrten vorgezeichneten Wege weiter zu schreiten und die
ebenen involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse zu
bestimmen (_Annali di Matem._ II, 12, 13). Die Theorie der ebenen
Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von
Kantor bereichern, welche von der Akademie zu Neapel gekrnt worden ist und
jetzt gedruckt wird. Einzelne Resultate finden sich in den _Wiener Ber._
1880 ausgesprochen, sowie in den _Wiener Denkschriften_ 46.

Saltel verdanken wir die Idee einer speziellen involutorischen
Transformation dritten Grades, die er schon 1872 unter dem Namen
_Transformation arguesienne_ nach Desargues benannt (s. die _Mmoires de
l'Acadmie de Belgique_ 12, _Bulletin de l'Acadmie de Belgique_ II, 24),
studiert hat. Man stellt dieselbe auf folgende Weise her: Gegeben sind in
einer festen Ebene [PI] zwei Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 und ein
fester Punkt O; man lt entsprechen einem Punkte P von [PI] seinen
konjugierten in der Involution, die auf der Geraden OP bestimmt wird durch
den Kegelschnittbschel, den [GAMMA]_1, und [GAMMA]_2 konstituieren. Es
sind fundamental der Punkt O und die Grundpunkte dieses Bschels. -- Wenn
jene beiden Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 zusammenfallen, so
reduziert sich diese Transformation offenbar auf die quadratische Inversion
von Hirst. -- Im Raume hat man eine hnliche Transformation. -- Eine andere
Transformation (_transformation hyperarguesienne_) wurde von demselben
Verfasser als Erweiterung der vorhergehenden eingefhrt (_Bulletin de
l'Acadmie de Belgique_ II, 12) und wird auf folgende Weise hergestellt:
Gegeben in einer Ebene [PI] drei Kegelschnitte [GAMMA]_1, [GAMMA]_2,
[GAMMA]_3 und ein fester Punkt O. Man lt einem Punkte P von [PI] seinen
homologen entsprechen in der Projektivitt, die bestimmt ist auf OP von den
drei Paaren von Punkten, in welchen diese Gerade von den drei
Kegelschnitten getroffen wird; jedoch ist diese Korrespondenz offenbar
nicht birational. -- Die erste der Saltelschen Transformationen kann zur
Lsung von Problemen aus der Theorie der Charakteristiken fr die Kurven
hherer als zweiter Ordnung dienen (_Bull. Soc. Math._ 2).

[540] _Bull. Soc. math._ 8; _Comptes rendus_ 94; _Nouv. Ann._ III, 1, 2.
Diese Transformation kann man, wie Laguerre selbst bemerkte, auf den Raum
ausdehnen (_Comptes rendus_ 92), jedoch ist die Art der Korrespondenz, die
man erhlt, keine neue; sie ist nach einer Bemerkung von Stephanos
(_Comptes rendus_ 92) dieselbe, vermittelst derer Lie die Geometrie der
Geraden mit der der Kugel verknpfte (_Math. Ann._ 5).

[541] Die verschiedenen Abhandlungen von Mbius ber diese Theorie finden
sich vereint im II. Bande seiner _Gesammelten Werke_ (Leipzig, 1886).

[542] _Journ. fr Math._ 55, 57, 59; _Grunerts Arch._ 33.

[543] _Grunerts Arch._ 42.

[544] _Bologna Mem._ 1870.

[545] _Journ. fr Math._ 69.

[546] Des Nheren siehe die Abhandlung: _Gometrie des polynomes_ (_Journ.
c. polyt._ 28).

[547] _Beitrge zur geometrischen Interpretation binrer Formen_ (Erlangen,
1875); vgl. _Math. Ann._ 9; _Studien im binren Wertgebiete_ (Karlsruhe,
1876); _Math. Ann._ 17; _Erlanger Berichte_, 1875.

[548] Siehe das Werk: _Einfhrung in die Theorie der isogonalen
Verwandtschaften_ (Leipzig, 1883).

[549] Zwischen drei geometrischen Gebilden kann man eine Korrespondenz
aufstellen, so da einem Paare von Elementen, das eine genommen in dem
einen, das andere in einem zweiten, eindeutig ein solches im dritten
Gebilde entspricht. Wenn unter Festhaltung eines Elementes die anderen
beiden projektive Systeme beschreiben, so nennt man die Korrespondenz
trilinear, und diese wurde im Falle der Gebilde erster Stufe von Rosanes
(_Journ. fr Math._ 1888) behandelt, sodann von Schubert (_Math. Ann._ 17
und _Mitteilungen der Math. Ges. in Hamburg_, 1881) und in einem
Spezialfalle von Benno Klein (_Theorie der trilinear-symmetrischen
Elementargebilde_, Marburg, 1881); im Falle der Gebilde zweiter Stufe von
Hauck (_Journ. fr Math._ 90, 97, 98), welcher einige Anwendungen derselben
auf die darstellende Geometrie machte, die von bemerkenswertem praktischen
Nutzen zu sein scheinen.

Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in denen
Le Paige mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die trilineare
Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man sehe die
_Essais de Gomtrie suprieure du troisime ordre_ (_Mm. de la Soc. des
sciences de Lige_ II, 10) und die Noten, welche im _Bulletin de l'Acadmie
de Belgique_ III, 5 und in den _Wiener Ber._ 1883 verffentlicht sind.
Derselbe Geometer beschftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung
(_Torino Atti_ 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen
Flchen und gewisse Flchen vierter Ordnung (_Bulletin de l'Acadmie de
Belgique_ III, 4; _Acta math._ 5).

Wir unterlassen nicht, zu erwhnen, da die duploprojektive Beziehung,
durch welche schon 1862 F. August die kubische Oberflche erzeugte
(_Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner Dissertation_),
eine trilineare Beziehung ist.

[550] Wenn z. B. ein Dreieck ABC gegeben ist, so sei P ein beliebiger Punkt
seiner Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt K, welcher die Seiten des
Dreieckes in den Punkten (PA, BC), (PB, CA), (PC, AB) berhrt. Lt man K
dem P entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte
angegebenen Art. hnlich erhlt man eine duale Korrespondenz. Beide wurden
von Montag in seiner Dissertation: _ber ein durch die Stze von Pascal und
Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem_ (Breslau, 1871)
studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus der Beobachtung
entnehmen, da jeder Punkt der Ebene ABC der Mittelpunkt eines
Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke ABC eingeschrieben ist, eines ihm
umgeschriebenen und eines solchen, fr welchen ABC ein Polardreieck ist.
hnlich: Gegeben ein Tetraeder ABCD; man kann jedem Punkte P des Raumes die
Flche zweiter Ordnung zuordnen, fr welche P das Zentrum ist und in bezug
auf welche ABCD ein Polartetraeder ist.

[551] _Math. Ann._ 6.

[552] Man sehe auerdem die Arbeiten von Godt (_Gttinger Dissertation_,
1873), Armenante (_Lincei Atti_, 1875), Battaglini (_Giorn. di Matem._ 19,
20), Peano (_Torino Atti_ 16) und von Amodeo (_Napoli Rend._ 1887). Die den
Konnexen analogen Figuren im Raume wurden von Krause behandelt (_Math.
Ann._ 14). Man sehe auch zwei Noten von Lazzeri, _Sulle reciprocit
birazionali nel piano e nello spazio_ (_Lincei Rend._ 1886).

[553] _Gauss' Werke_, 4. Bd. Eine italienische bersetzung wurde von
Beltrami in den _Annali di Matem_. 4 verffentlicht.

[554] Die Methoden, die geographischen Karten zu konstruieren, gehren in
die Anwendungen der Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter
denjenigen, deren Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen
daher den, der alle diejenigen kennen lernen will, welche angewandt worden
sind, auf die Schriften von Fiorini, _Le projezioni delle carte
geografiche_ (Bologna, 1881) und Zppritz, _Leitfaden der
Kartenentwurfslehre_ (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur machen mit
den Arbeiten von Tissot (_Comptes rendus_ 49; vgl. auch Dini, _Memoria
sopra alcuni punti della teoria delle superficie_ [Florenz, 1868]; _Journ.
c. polyt._ 37; _Nouv. Ann._ II, 17 flgg.), weil sie ein groes Interesse
auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben.

[555] Diese Abbildung, die man heute die sphrische nennt, wurde vor Gau
von O. Rodrigues im Jahre 1815 angegeben; jedoch hat dieser ihre ganze
Fruchtbarkeit nicht so in das Licht gestellt als der groe deutsche
Geometer.

[556] _Journ. fr Math._ 34.

[557] _Comptes rendus_, 53.

[558] _Phil. Mag._ 1861.

[559] _Journ. fr Math._ 68, oder _Grundzge einer allgemeinen Theorie der
Oberflchen_ (Berlin, 1870), III. T.

[560] _Journ. fr Math._ 65.

[561] _Math. Ann._ 1.

[562] S. _Journ. fr Math._, _Math. Ann._ und _Gttinger Nachr._ und _Abh._

[563] _Math. Ann._ 4; _Annali di Matem._ II, 1; _Gttinger Nachr._ 1871 und
viele andere Abhandlungen, welche in den _Lombardo Rend._ und den _Bologna
Mem._ stehen. In der Abhandlung in den _Annali_ studierte Cremona die
Regelflchen (m + n)^{ten} Grades, welche eine m-fache und eine n-fache
Leitlinie haben, und fand, da deren asymptotische Kurven im allgemeinen
algebraische Kurven von der Ordnung 2(m + n - 1) sind. Eine Konstruktion
dieser Kurven wurde spter von Halphen angegeben (_Bull. Soc. math._ 5).

[564] _Math. Ann._ 3; vgl. auch das. 21, dann ziehe man auch noch eine
Abhandlung von Brill hinzu (_Math. Ann._ 5).

[565] _Annali di Matem._ II, 1.

[566] _Math. Ann._ 4.

[567] _Math. Ann._ 1.

[568] _Annali di Matem._ II, 7.

[569] Z. B. sehe man Darboux (_Bull. Soc. math._ 2), Frahm (_Math. Ann._
7), Lazzeri (_Annali della Scuola nuova sup. di Pisa_, 6), Guccia
(_Association franaise pour l'avancement des sciences, Congrs de Reims_,
1880).

[570] Ein wichtiger Begriff, den Clebsch bei seinen Studien ber die
Abbildung der Regelflchen aufstellte (_Math. Ann._ 5), ist der des Typus
einer Flche. Zwei Flchen sind von demselben Typus, wenn bei der Abbildung
der einen auf die andere es keine Fundamentalpunkte giebt, z. B, ist die
rmische Flche von Steiner von demselben Typus mit der Ebene.

[571] S. die _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_.

[572] _Comptes rendus_, 1868.

[573] _Math. Ann._ 3.

[574] _Annali di Matem._ II, 5; _Gttinger Nachr._ 1871 und 1873.

[575] _Math. Ann._ 4, 9, 10.

[576] Die Flchen vierter Ordnung, von denen man die Abbildung auf eine
Ebene kennt, sind die rationalen Regelflchen, die rmische Flche, die
Oberflchen mit einer Doppelgeraden oder einem doppelten Kegelschnitte, die
Monoide und eine Oberflche, die einen uniplanaren Doppelpunkt hat (s. eine
Abhandlung von Nther in den _Gttinger Nachr._ 1871 und eine von Cremona
in den _Collectanea mathematica_). Wer die Abbildung einer Oberflche auf
einer anderen studieren will, darf die schnen Untersuchungen von Zeuthen
(s. die vorige Note und _Comptes rendus_, 1870) nicht bergehen und die
darauf folgenden von Krey (_Math. Ann._ 18) und Vo (_Math. Ann._ 27);
einen nicht geringen Nutzen kann er auch aus der von Kantor (_Journ. fr
Math._ 95) aufgestellten Korrespondenz ziehen, die zwischen den Punkten
einer gewissen kubischen Flche und gewissen Tripeln von Punkten einer
Ebene besteht.

[577] _Math. Ann._ 3.

[578] _Math. Ann._ 3.

[579] _Aperu historique_, Note 28.

[580] _Lincei Mem._ 1876, 1877, 1878. Vgl. eine Note von Nther in den
_Erlanger Sitzungsberichten_, 1878.

[581] _Aufgaben und Lehrstze aus der analyt. Geom. d. Raumes_, S. 403 flg.

[582] _Journ. fr Math._ 49.

[583] S. Note 563. Vgl. auch Sturm, _Math. Ann._ 19.

[584] _Proc. Math. Soc._ 3.

[585] _Math. Ann._ 3.

[586] _Lombardo Rend._ 1871; _Annali di Matem._ II, 5; _Bologna Mem._
1871-1872. Man sehe auch die neuesten Arbeiten desselben Geometers in den
_Transactions of Edinburgh_ 32, II. Th. und in den _Irish Trans._ 28 und
_Proc. math. Soc._ 15.

[587] _Aufgaben und Lehrstze aus der analyt. Geom. des Raumes_, 1837, S.
417-418, Anmerkung.

[588] Unter diesen fhre ich die Abhandlung von de Paolis an: _Sopra un
sistema omaloidico formato da superficie d'ordine_ n _con un punto_ (n -
1)_-plo (Giorn. di Matem._ 13) die spteren ber einige spezielle
involutorische Transformationen des Raumes von Martinetti (_Lombardo Rend._
1885) und von Paolis (_Lincei Trans._, 1885). -- Ich bemerke hier, was ich
im Texte nicht thun konnte, da es mglich ist, das Punktfeld auf einer
Geraden abzubilden und den Punktraum auf einer Ebene. Um erstere Abbildung
auszufhren, kann man jedem Punkte der Ebene ein Punktepaar der Geraden
entsprechen lassen (bertragungsprinzip von Hesse, _Journ. fr Math._ 66).
Bei der zweiten kann man einem Punkte des Raumes den Kreis zuordnen, der
den Fupunkt des von jenem auf die darstellende Ebene gefllten Lotes zum
Mittelpunkt und zum Radius die Lnge dieses Lotes hat, indem man hinzufgt,
da dieser Kreis in dem einen Sinne durchlaufen wird, wenn der Punkt auf
der einen (bestimmten) Seite der Ebene liegt, im entgegengesetzten Sinne,
wenn auf der anderen. Die Gesetze dieser Korrespondenz wurden von Fiedler
vereinigt, um die Cyklographie zu bilden (s. das Werk _Cyklographie_,
Leipzig, 1883, und die dritte Ausgabe der _Darstellenden Geometrie_) und
wurden von ihm zur Lsung einiger Probleme angewandt (s. einige
_Mitteilungen_ fr die naturforschende Gesellschaft in Zrich und _Acta
math._ 5). Vor ihm jedoch hatte schon Crone verwandte Fragen in einer
Dissertation behandelt, die sich in der _Tidsskrift for Mathematik_ 6
findet.

[589] Chasles, _Aperu historique_, 2. Ausg. S. 196.

[590] Magnus, _Sammlung von Aufgaben und Lehrstzen aus der anal. Geom. der
Ebene_, 1833, S. 188 und 198.

[591] Vo, _Math. Ann._ 13; Segre, _Torino Mem._ II, 37; Sturm, _Math.
Ann._ 26. In diesen Abhandlungen wird der Leser auch die weiteren
bibliographischen Einzelheiten finden.

[592] Sturm, a. a. O.; Montesano, _Lincei Mem._ 1886.

[593] Lroth, _Math. Ann._ 11, 13; Schrter (das. 20); Veronese, _Lincei
Mem._ 1881. S. auch einige der Abhandlungen, die sich in den _Gesammelten
Werken_ von Mbius 2 finden. Auch die Arbeiten von Rosanes fhren wir hier
an (_Journ. fr Math._ 88, 90, 95, 100), von Sturm (_Math. Ann._ 1, 6, 10,
12, 15, 19, 22, 28; _Proc. math. Soc._ 7), und von Pasch (_Math. Ann._ 23,
26), die verwandte Gegenstnde behandeln; dann noch die von Stephanos
(_Math. Ann._ 23), von H. Wiener (_Rein geometrische Theorie der
Darstellung binrer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden_, Darmstadt,
1885), von Segre (_Torino Mem._ II, 28 und _Journ. fr Math._ 100), von
Sannia (_Lezioni di geometria projettiva_, in Neapel im Drucke befindlich)
ber die Kollineationen und Korrelationen.

[594] _Math. Ann._ 3.

[595] _Giorn. di Matem._ 10.

[596] Man sehe die beiden von ihm 1884 zu Messina verffentlichten
Abhandlungen.

[597] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1885.

[598] _Die Geometrie der Lage._

[599] _Giorn. di Matem._ 21.

[600] _Lombardo Rend._ II, 14 und 15.

[601] _Journ. fr Math._ 94.

[602] _Lincei Mem._ 1884-1885.

[603] _Wiener Ber._ 1881; _Journ. fr Math._ 97.

[604] _Math. Ann._ 19 und 28.

[605] _Math. Ann._ 23.

[606] _Journ. fr Math._ 82, in dem Aufsatze ber reciproke Verwandtschaft
von F^2-Systemen und [Phi]^2-Geweben.

[607] ber das gemeine Nullsystem vergl. die Note 610 des nchsten
Abschnittes

[608] Bis in die neueren Zeiten stand die analytische Methode, wie sie
Cartesius geschaffen, sozusagen nur auf einem Fue. Plcker kommt die Ehre
zu, sie auf zwei gleiche Sttzen gestellt zu haben, indem er ein
ergnzendes Koordinatensystem einfhrte. Diese Entdeckung war daher
unvermeidlich geworden, nachdem einmal die Tiefblicke Steiners dem Geiste
der Mathematiker zugefhrt waren. Sylvester, _Phil. Mag_. III, 37, 1850,
S. 363. Vgl. _Jahrbuch ber die Fortschritte der Mathematik_ 2, S. 453.

[609] S. _Phil. Trans._, 1865, S. 725; 1866, S. 361.

[610] Es ist wohl zu beachten, da ein linearer Komplex ein reciprokes
Nullsystem veranlat und da dieses zuerst von Giorgini (_Memorie della
Societ italiana delle scienze_ 20, 1827), dann aber auch von Mbius
(_Lehrbuch der Statik_ I; vgl. auch _Journ. fr Math._ 10, 1833) und von
Chasles (_Aperu historique_, 1837) in ihren statischen und kinematischen
Untersuchungen und von demselben Chasles und Staudt bei der Bestimmung der
involutorischen reciproken Beziehungen gefunden wurde.

[611] _Cambridge Trans._ 11, Teil 2; _Quart. Journ._ 3.

[612] _Giorn. di Matem._ 6, 7, 10, 18. Wenn auch Battaglini seinen Studien
ber die quadratischen Komplexe eine Gleichung zu Grunde legte, die nicht
den allgemeinsten Komplex ihres Grades darstellt, so gelten doch viele von
den Schlssen, die er gemacht hat, -- man kann sagen alle, mit Ausnahme
derjenigen, welche sich auf die singulre Flche und die singulren
Strahlen des Komplexes beziehen -- fr allgemeine Komplexe, indem sie
unabhngig sind von der Gestalt dieser Gleichung. Auch die von ihm
aufgestellten Formeln passen sich mit leichten nderungen grtenteils dem
allgemeinen Falle an.

[613] Leipzig, 1868-1869.

[614] S. dessen _Examen des diffrentes mthodes_ etc.

[615] _Math. Ann._ 2, 5, 7, 22, 23 (darin der Wiederabdruck der 1868 in
Bonn erschienenen Dissertation: _ber die Transformation der allgemeinen
Gleichung des zweiten Grades zwischen Linienkoordinaten auf eine kanonische
Form_), 28. Auerdem enthalten viele Arbeiten von Klein ber Fragen der
hheren Algebra oder der hheren Analysis, die in den _Math. Ann._ und
sonst verffentlicht sind, ziemlich oft Betrachtungen, welche der Geometrie
der Geraden angehren.

[616] _Torino Mem._ II, 36.

[617] _Journ. fr Math._ 75, 76; _Habilitationsschrift_ (Gieen, 1870).

[618] _Math. Ann._ 1.

[619] _Math. Ann._ 2.

[620] _Lincei Mem._ 1884-1885.

[621] _Math. Ann._ 2, 5.

[622] _Math. Ann._ 7. Man kann es nur beklagen, da die in verschiedener
Beziehung so ausgezeichnete Arbeit von Weiler eine groe Zahl von
Ungenauigkeiten enthlt.

[623] _Math. Ann._ 8, 9, 10, 12, 13. S. auch Schubert das. 12 und dessen
_Abzhlende Geometrie_.

[624] _Comptes rendus_ 74, 75;_ Bull. Soc. math._ 1.

[625] _Gttinger Nachr._ 1869.

[626] _Gttinger Nachr._ 1869.

[627] _Lincei Mem._ 1877-1878.

[628] _Giorn. di Matem._ 8; _Lombardo Rend._ II, 12, 13, 14.

[629] _Math. Ann._ 5. Vgl. eine Abhandlung von Cremona, gelesen vor der
_Accademia dei Lincei_ (_Atti_ II, 3).

[630] _Journ. fr Math._ 98. Vgl. auch 95 und 97.

[631] _Liouvilles Journ._ 4.

[632] _Die Geometrie der Lage_, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von Reye
in dem _Journ. fr Math._ verffentlichten synthetischen Arbeiten ber die
Geometrie der Geraden vereinigt finden.

[633] _Zeitschr. f. Math._ 20.

[634] _Dissertation_ (Berlin, 1879) oder _Math. Ann._ 15.

[635] _Giorn. di Matem._ 17; _Lincei Rend._ 1879.

[636] _Torino Atti_, 1881.

[637] _Journ. fr Math._ 91, 92, 93, 94, 95, 97.

[638] _The Messenger of Mathematics_ II, 13.

[639] _Liouvilles Journ._ II, 17.

[640] S. Note 629.

[641] _Math. Ann._ 5.

[642] _Ann. c. norm._ II, 6; _Grunerts Arch._ 40.

[643] _Ann. c. norm._ III, 1.

[644] S. Note 628.

[645] _Nouv. Ann._ II, 2; _Liouvilles Journ._ II, 19.

[646] _Die Geometrie der Lage_.

[647] _Gttinger Nachr._ 1870.

[648] _Journ. fr Math._ 95; _Zeitschr. f. Math._ 24, 27.

[649] _Sugli enti geometrici dello spazio di rette generati dalle
intersezioni dei complessi correspondenti in due o pin fasci projettivi di
complessi lineari_ (Piazza Armerina, 1882).

[650] _Proc. math. Soc._ 10; _Collectanea mathematica_, 1881.

[651] _Math. Ann._ 13.

[652] _Mmoire de gomtrie vectorielle sur les complexes du second ordre,
qui ont un centre de figure_ (_Liouvilles Journ._ III, 8).

[653] _Sui complessi di rette di secondo grado generati da due fasci
projettivi di complessi lineari_ (Napoli, 1886), und _Napoli Rend._ 1886.

[654] _Math. Ann._ 23; _Giorn. di Matem._ 23; _Torino Atti_, 1884.

[655] _Applications de Gometrie et de Mechanique_, 1822.

[656] _Journ. c. polyt._ 14.

[657] _Comptes rendus_ 20.

[658] _Liouvilles Journ._ 15.

[659] _Journ. c. polyt._ 38.

[660] _Irish Trans._ 16, 1831.

[661] Bd. 57.

[662] Die Eigenschaften der unendlich dnnen Strahlenbndel, mit denen
Kummer sich in dieser Abhandlung beschftigt, gaben spter (1862) Stoff zu
einer schnen Arbeit von Mbius (_Leipziger Ber._ 14; _Werke_ 4), an welche
sich dann die von Zech (_Zeitschr. f. Math._ 17) verffentlichten
Untersuchungen knpfen; vgl. auch eine neuerliche Abhandlung von Hensel
(_Journ. fr Math._ 102).

[663] _Berliner Abh._ 1866.

[664] Von noch erschienenen Arbeiten, die man als eine Fortsetzung derer
von Kummer ansehen kann oder die auf anderem Wege zu dessen Resultaten
gefhrt haben, erwhne ich: Reye (_Journ. fr Math._ 86 und 93), Hirst
(_Proc. math. Soc._ 16), Stahl (s. Note 637), Caporali (_Napoli Rend._
1879), Loria (_Torino Atti_, 1884 und 1886) -- oder von solchen, die zu
diesen einige neue Formeln oder ein neues algebraisches Strahlensystem
hinzugefgt haben: Kummer (_Berliner Ber._ 1878), Masoni (_Napoli Rend._
22), Roccella (s. Note 649), Hirst (_Proc. math. Soc._ 16 und 17;
_Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo_ 1), Sturm (_Math. Ann._ 6;
_Journ. fr Math._ 101).

[665] Zum Beweise, da die Fragen, auf welche sich diese Arbeiten beziehen,
bei einigen Gelehrten jene Ruhe und Unparteilichkeit des Urteils, die immer
bei ihren Diskussionen walten sollte, aufgehoben haben, will ich hier zwei
Stellen anfhren, die eine von einem Schriftsteller, der allen, welche sich
mit Philosophie beschftigen, sehr wohl bekannt ist, die andere aus einer
Zeitschrift, die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: .... so gewi ist
es logische Spielerei, ein System von vier oder fnf Dimensionen noch Raum
zu nennen. Gegen solche Versuche mu man sich wahren; sie sind Grimassen
der Wissenschaft, die durch vllig nutzlose Paradoxien das gewhnliche
Bewutsein einschchtern und ber sein gutes Recht in der Begrenzung der
Begriffe tuschen (Lotze, _Logik_, S. 217). Die absolute oder
Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes und die
Lehre von n Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder
Krankheitserscheinungen der Mathematik (J. Gilles, _Bltter fr das
Bayrische Gymnasial- und Realschulwesen_ 28, S. 423). Man sehe auch die
heftigen uerungen Dhrings, die von Erdmann in seiner trefflichen
Abhandlung: _Die Axiome der Geometrie_ (Leipzig, 1877, S. 85) wiedergegeben
sind, ferner Kroman, _Unsere Naturerkenntnis_, deutsch von Fischer-Benzon
(Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die Kap. 13 und 14 des Werkes
von Stallo, _La matire et la physique moderne_ (Paris, 1884). Auf Vorwrfe
von der oben erwhnten Art erwidern wir mit d'Alembert: _Allez en avant,
et la foi vous viendra!_

[666] Als Litteraturnachweis fr diesen Teil der Geometrie sehe man die
Artikel von G. Bruce-Halsted, verffentlicht im _Amer. Journ._ 1 und 2.

[667] Es ist dieser Satz: Wenn bei einer Geraden, welche zwei andere
schneidet, die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner als
zwei Rechte ist, so schneiden sich letztere auf derselben Seite.
D'Alembert nannte diesen Satz: _l'cueil et le scandale des lments de la
gomtrie_.

[668] Eine Zeit lang glaubte man, da der fragliche Satz von Euklid unter
die Axiome gestellt sei; aber neuere historische Untersuchungen (s. Hankel,
_Vorlesungen ber komplexe Zahlen und ihre Funktionen_, S. 52) neigen zu
der Ansicht, da derselbe irrtmlicher Weise von den Abschreibern zu den
Axiomen geschrieben sei, whrend er im Originale unter den Postulaten
gestanden hatte.

[669] Vgl. _Die Elemente der Mathematik_ von Baltzer, 4. Teil, Planimetrie.

[670] Man erzhlt, Lagrange habe beobachtet, da die sphrische Geometrie
von dem Euklidischen Postulate unabhngig sei, und gehofft, aus dieser
Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu knnen, den Ungelegenheiten der
Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die ebene Geometrie als die
Geometrie auf einer Kugel mit unendlich groem Radius betrachtete.

[671] _Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher_, herausgegeben von
Peters, 6 Bnde (Altona, 1860-1865); die betreffenden Stellen dieses
Briefwechsels sind von Hoel ins Franzsische bersetzt und seiner 1866
erschienenen franzsischen bersetzung von Lobatschewskys _Geometrischen
Untersuchungen_ (vgl. Note 10) zugefgt.

[672] Vgl. die Gedchtnisschrift auf Gau von Schering in den _Gttinger
Abh._ 22 (1877).

[673] _Gttingische Gelehrte Anzeigen_, 1816 und 1822; oder _Gauss' Werke_
4 (1873), S. 364 und 368. Vgl. auch Sartorius von Waltershausen, _Gauss zum
Gedchtnis_ (Leipzig, 1856), S. 81. -- Mge es gestattet sein, hier die
Mitteilung anzuschlieen, da Gau das alte Problem der Kreisteilung, in
dem man seit zwei Jahrtausenden nicht vorwrts gekommen war, durch
Untersuchungen auf einem Gebiete wesentlich gefrdert hat, das ohne
Zusammenhang mit diesem Problem schien und auf welchem man solchen Gewinnst
fr die Geometrie nicht erwartete (_Disquisitiones arithmeticae_, Leipzig,
1801; _Werke_ 1; vgl. Bachmann, _Die Lehre von der Kreisteilung_, Leipzig,
1872), indem er zeigte, da die Teilung in n Teile mit Hilfe von Lineal und
Zirkel auch noch mglich ist, wenn n eine Primzahl von der Form 2^m +1 ist.
Man sehe hierzu auch Legendre, _lments de trigonomtrie_, Anhang;
Richelot, Staudt, Schrter, _Journ. fr Math._ 9, 24, 75; Affolter, _Math.
Ann._ 6.

[674] _Courier von Kasan_, 1829-1830; _Abhandlungen der Universitt Kasan_,
1835, 1836, 1837, 1838; _Geometrische Untersuchungen ber die Theorie der
Parallellinien_ (Berlin, 1810); _Journ. fr Math._ 17.

[675] Die Schrift von Johann Bolyai erschien als Anhang des Werkes von W.
Bolyai: _Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae .....
introducendi_, 2. Bd. (Maros-Vsrhely 1833), wurde dann ins Franzsische
bersetzt von Hoel _(Mmoires de Bordeaux)_, ins Italienische von
Battaglini (_Giorn. di Matem._ 5).

[676] Es ist das Verdienst Hoels (?--1886) und Battaglinis, die Werke von
Lobatschewsky und Bolyai durch bersetzungen und vorzgliche Kommentare (s.
Note 7 und 11 und _Giorn. di Matem._ 5 und 8) verbreitet zu haben. -- Heute
ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, da Flye S^{te}
Marie (_Etudes analytiques sur la thorie des parallles_, Paris, 1871),
Frischauf (_Elemente der absoluten Geometrie_, Leipzig, 1876) und de Tilly
(_Essai sur les principes fundamentaux de la gomtrie et de la mcanique_,
Bordeaux, 1879) methodische Bearbeitungen derselben geschrieben haben. In
England wurden die neuen Ideen ber die Prinzipien der Geometrie bearbeitet
und herrlich dargestellt von Clifford; man sehe die Schrift _Lectures and
Essays_, sowie die von Smith den _Mathematical Papers by W. K. Clifford_
(London, 1882) vorausgeschickte Einleitung.

[677] _Gttinger Abh._ 13 (1867), oder _Gesammelte Werke_ (Leipzig, 1876),
ins Franzsische bersetzt von Hoel (_Annali di Matem._ II, 3), ins
Englische von Clifford (_Nature_ 8 oder _Mathematical Papers_ S. 55).

[678] In der Abhandlung _ber die Thatsachen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen_ (_Gttinger Nachr._ 1868).

[679] Hierzu sehe man _Populre wissenschaftliche Vortrge_ von Helmholtz
(Braunschweig, 1871-1876); _Revue des cours scientifiques_, 9. Juli 1870
etc.

[680] _Giorn. di Matem._ 6. Dieser Artikel wurde ins Franzsische bersetzt
von Hoel und verffentlicht in den _Ann. c. norm._ 6, 1869.

[681] Man vergleiche hierzu die Worte, mit denen d'Alembert die Meinung
zurckwies, da die Wahrheiten der Mechanik experimentelle seien (_Trait
de Dynamique_, Paris, 1858, _Discours prliminaire_, S. XII), mit den
folgenden von Clifford (_The Common Sense of the Exact Sciences_, London,
1885, _International Scientific Series_ 51): In derselben Weise, wie wir,
um irgend einen Zweig der Physik zu schaffen, von der Erfahrung ausgehen
und auf unsere Experimente eine gewisse Anzahl von Axiomen sttzen, welche
solchergestalt die Grundlage desselben bilden, so sind die Axiome, die wir
als Grundlage der Geometrie nehmen, wenn auch weniger offenbar, in der That
ein Ergebnis der Erfahrung. Man sehe auch das Werk von Hoel, _Du rle de
l'exprience dans les sciences exactes_ (Prag, 1875), oder die bersetzung,
die davon in _Grunerts Arch._ 59 verffentlicht wurde.

[682] Ich bemerke, da, wer die _Ausdehnungslehre_ des groen deutschen
Geometers und Philologen Hermann Gramann liest, mit Erstaunen sehen wird,
da er schon 1844 zu Schlssen gelangt war, die von den im Texte
angegebenen nicht sehr verschieden sind. Aber wer wei nicht, da, um
geschtzt zu werden, dieses ausgezeichnete Werk ntig hatte, da andere auf
einem anderen Wege zu den uerst originellen Wahrheiten gelangten, die es
enthlt? -- Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine Erklrung zu
geben, welche zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser kurzen Geschichte
der Kmpfe, welche die Geometer in diesen letzten Zeiten ausgefochten
haben, traf es sich selten und nur flchtig, da ich Arbeiten von Gramann
zitierte, und ich glaube nicht, da ich noch Gelegenheit haben werde,
diesen Namen auszusprechen. Das heit nicht, da dieser Geometer nicht der
Erwhnung wrdig sei, da seine Entdeckungen und seine Methoden nicht
verdienten, bekannt zu werden; aber es liegt daran, da der Formalismus, in
den er seine Gedanken gekleidet, sie den meisten unzugnglich gemacht und
ihnen fast jede Mglichkeit genommen hat, irgend einen Einflu auszuben.
Gramann war whrend eines groen Teiles seines Lebens ein Einsiedler in
der Mathematik; nur whrend seiner letzten Jahre befate er sich damit,
etliche seiner Produktionen in modernem Gewande zu verffentlichen, um
deren Verwandtschaft mit denen seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe
_Math. Ann._ 10, 12; _Gttinger Nachr._ 1872; _Journ. fr Math._ 84); daher
ist es natrlich, da ihn zu nennen demjenigen selten widerfhrt, welcher
sich vornimmt, die Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten
Anstrengungen der modernen Geometer verdankt. -- Man vergleiche Peano,
_Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto
dalle operazioni della logica deduttiva_ (Turin, 1888). -- ber die
wissenschaftlichen Verdienste Gramanns sehe man einen Artikel von Cremona
in den _Nouv. Ann._ I, 19, dann den 14. Bd. der _Math. Ann._ und den 11.
Bd. des _Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze matematiche_.
Ein Vergleich zwischen den Methoden Gramanns und anderen moderneren wurde
von Schlegel in der _Zeitschr. f. Math._ 24 gemacht.

[683] _ber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie_ (_Math. Ann._ 4).

[684] _Nouv. Ann._ 12.

[685] _Phil. Trans._ 149; vgl. Clifford, _Analytical Metrics_ (_Quart.
Journ._ 1865, 1866 oder _Mathematical Papers_, S. 80).

[686] Eine sptere Abhandlung von Klein unter demselben Titel (_Math. Ann._
6) ist zur Ergnzung einiger Punkte der ersteren bestimmt. An dieselbe
knpfen sich die wichtigen Untersuchungen von Lroth und Zeuthen (_Math.
Ann._ 7), von Thomae (vgl. die 2. Aufl. der _Geometrie der Lage_ von Reye),
von Darboux (_Math. Ann._ 17), von Schur (das. 18), de Paolis (_Lincei
Mem._ 1880-1881) und von Reye (3. Aufl. der _Geometrie der Lage_) ber den
Fundamentalsatz der projektiven Geometrie.

[687] _tudes de mcanique abstraite_ (_Mmoires couronnes par l'Acadmie
de Belgique_ 21, 1870).

[688] _Bulletin de l'Acadmie de Belgique_ II, 36; _Torino Mem._ II, 29;
_Mem. de la societ italiana delle scienze_ III, 2.

[689] _Wiener Ber._ 1874. Man sehe auch die schne Abhandlung von Beltrami:
_Sulle equazioni generali dell' elasticit_, in den _Annali di Matem._ II,
10.

[690] _Sull' applicabilit delle superficie degli spazii a curvatura
costante_ (_Lincei Atti_ III, 2).

[691] _Lincei Rend._ 1873 und 1876.

[692] _Annali di Matem._ II, 6, 7; _Giorn. di Matem._ 13; _Torino Atti_,
1876; _Lincei Mem._ III, 3; _Lombardo Rend._ 1881.

[693] _Lincei Mem._ 1877-1878.

[694] _Lombardo Rend._ II, 14, 15.

[695] _Math. Ann._ 5.

[696] _Math. Ann._ 7.

[697] _Gttinger Nachr._ 1873.

[698] _Amer. Journ._ 2, 4, 5.

[699] _Die Massfunktionen in der analytischen Geometrie._ Programm (Berlin,
1873).

[700] _Math. Ann._ 10.

[701] _Quart. Journ._ 18.

[702] _On the theory of screws in elliptic space._ (_Proc. math. Soc._ 15
und 16).

[703] Die interessantesten von den mir bekannten sind die von Segre, _Sulle
geometrie metriche dei complessi lineari e delle sfere_, verffentlicht in
den _Torino Atti_, 1883.

[704] Das Produkt zweier Strecken ist eine Flche, das dreier ein Krper,
was ist das geometrische Bild des Produktes von vieren? -- Die analytischen
Geometer der Cartesischen Epoche bezeichneten dasselbe durch das Wort
sursolide (berkrperlich), welches sich in ihren Schriften findet; man
kann sie daher als diejenigen ansehen, welche zuerst die im Texte erwhnte
Richtung eingeschlagen haben.

[705] S. Cayley, _A memoir on abstract Geometry_ (_Phil. Trans._ 1870);
vgl. auch _Cambridge Journ._ 4, 1845.

[706] _Comptes rendus_, 1847.

[707] berdies scheint es auer Zweifel zu stehen, da Gau ausgedehnte und
bestimmte Ideen ber die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat;
vgl. Sartorius von Waltershausen, a. O. S. 81 (s. Note 673 des vor.
Abschn.).

[708] _Thorie des fonctions analytiques_ (Paris, an V, S. 223).

[709] Ich darf nicht verschweigen, da schon 1827 Mbius einen Einblick
hatte, wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes ein
unerklrlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume aufgehoben
wird; dieser Unterschied besteht darin, da, whrend man zwei in Bezug auf
eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung bringen kann, es
nicht mglich ist, zwei rumliche in Bezug auf eine Ebene symmetrische
Figuren zusammenfallen zu lassen. Spter bemerkte Zllner beilufig, wie
die Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse Bewegungen zulassen
wrde, die wir fr unmglich halten; die folgenden Resultate knnen als
Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: Newcomb zeigte (_Amer. Journ._ 1),
da, wenn es einen Raum von vier Dimensionen giebt, es mglich ist, die
beiden Seiten einer geschlossenen materiellen Flche umzuwechseln, ohne
dieselbe zu zerreien. Klein bemerkte (_Math. Ann._ 9), da bei dieser
Voraussetzung die Knoten nicht erhalten bleiben knnten, und Veronese
fhrte (in der 1881 an der Universitt zu Padua gehaltenen _Prolusione_)
die Thatsache an, da man dann aus einem geschlossenen Zimmer einen Krper
herausnehmen knne, ohne die Wnde desselben zu zerbrechen. Hoppe gab
(_Grunerts Arch._ 64) Formeln an, welche die Beobachtungen Kleins
illustrierten. Diese Formeln erforderten einige Modifikationen, die von
Durge angegeben wurden (_Wiener Ber._ 1880); vgl. auch _Grunerts Arch._ 65
und die synthetischen Betrachtungen von Schlegel, _Zeitschr. f. Math._ 28.

[710] _Annali di Matem._ II, 2 und 5.

[711] _Journ. fr Math._ 65; _Annali di Matem._ II, 5.

[712] _Journ. fr Math._ 83.

[713] _Amer. Journ._ 2.

[714] _Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung_,
Leipzig, 1885.

[715] _Math. Ann._ 27.

[716] _Annali di Matem._ II, 4.

[717] _Proc. math. Soc._ 7 oder _Mathematical Papers_, S. 236.

[718] _Bull. sciences math._ 11, 1876.

[719] _Comptes rendus_, 79.

[720] _Journ. fr Math._ 70 flgg., _Quart. Journ._ 12.

[721] _Proc. math. Soc._ 9.

[722] _Berliner Dissertation_, 1880.

[723] _Phil. Trans._ 175.

[724] _Journ. fr Math._ 98.

[725] Nach Lipschitz hatte Lejeune-Dirichlet (1805-1859) das allgemeine
Gravitationsgesetz im elliptischen Raume studiert. Diese Studien wurden
dann von Schering bearbeitet und in den _Gttinger Nachr._ 1870 und 1873
verffentlicht.

[726] _Comptes rendus_ 79.

[727] _Math. Ann._ 19.

[728] Hoppe machte analoge Untersuchungen fr die Kurven des
vierdimensionalen Raumes (_Grunerts Arch._ 64).

[729] _Amer. Journ._ 4.

[730] _Berliner Ber._ 1869.

[731] _Math. Ann._ 7; _Zeitschr. f. Math._ 20, 21, 24.

[732] _Journ. fr Math._ 70 und 72.

[733] _Journ. fr Math._ 70.

[734] _Math. Ann._ 24.

[735] _Bull. sciences math._ I, 4.

[736] _Math. Ann._ 26.

[737] _Collectanea mathematica; Annali di matem._ II, 10.

[738] _Gttinger Nachr._, 1871.

[739] _Math. Ann._ 5.

[740] _Journ. fr Math._ 81; _Comptes rendus_ 82.

[741] _Amer. Journ._ 4.

[742] _Journ. fr Math._ 74 oder _Quart. Journ._ 12. Ich fge noch hinzu,
da Salmon und Cayley sich der Rume von mehreren Dimensionen in ihren
Untersuchungen ber die Theorie der Charakteristiken ( IV) bedient haben,
da Mehler, _Journ. fr Math._ 84, eine Anwendung von der Betrachtung eines
vierdimensionalen Raumes fr Untersuchungen ber dreifache Systeme
orthogonaler Oberflchen, und da Lewis davon eine hnliche Anwendung
machte bei der Betrachtung einiger Trgheitsmomente (_Quart. Journ._ 16).
Dann fand Wolstenholme, da die Zahl der Normalen, die man von einem Punkte
eines d-dimensionalen Raumes an eine Oberflche von der n^{ten} Ordnung
ziehen kann,

    n
   --- { (n-1)^d - 1 }
   n-2

betrgt (_Educational Times_ 10).

[743] _Von den Elementen und Grundgebilden der synthetischen Geometrie_
(Bamberg, 1887).

[744] _Grunerts Arch._ 64.

[745] _Bull. Soc. math._ 10.

[746] _Grunerts Arch._ 70.

[747] _Amer. Journ._ 3.

[748] _Grunerts Arch._ 66, 67, 68, 69.

[749] _Nova Acta der Leopold.-Carol. Akademie_ 44.

[750] _Die polydimensionalen Grssen und die vollkommenen Primzahlen._

[751] _Von Krpern hherer Dimensionen_ (Kaiserslautern, 1882).

[752] _Wiener Ber._ 90.

[753] _Wiener Ber._ 89 und 90.

[754] Diese bilden eine der merkwrdigsten von den durch L. Brill in
Darmstadt verffentlichten Serien von Modellen.

[755] _Journ. fr Math._ 31, S. 213. Liest man die wenigen Seiten, welche
die Abhandlung von Cayley bilden, so gewinnt man die berzeugung, da er
schon 1846 einen klaren Einblick von der Ntzlichkeit hatte, welche der
gewhnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von mehreren
Dimensionen bringen knne.

[756] _Histoire de l'astronomie moderne_ 2, S. 60.

[757] _Phil. Trans._ 1878 oder _Mathematical Papers_ S. 305.

[758] _Math. Ann._ 19.

[759] Unter den in der Abhandlung von Veronese bearbeiteten Untersuchungen
sind die ber die Konfigurationen besonderer Erwhnung wert, ferner die
Formeln, welche -- als eine Erweiterung derer von Plcker und Cayley -- die
gewhnlichen Singularitten einer Kurve eines n-dimensionalen Raumes unter
einander verknpfen, die Erzeugung von in einem solchen Raume enthaltenen
Oberflchen durch projektive Systeme und die Anwendung derselben auf das
Studium einiger Oberflchen unseres Raumes; dann kann ich nicht
stillschweigend bergehen die Studien ber die in einem quadratischen
Gebilde von n Dimensionen enthaltenen linearen Rume, die Veronese gemacht
hat, um einige Stze von Cayley zu erweitern (_Quart. Journ._ 12), indem er
die von Klein (_Math. Ann._ 5) verallgemeinerte stereographische Projektion
anwandte, ferner nicht etliche wichtige Resultate ber die Kurven, von
denen brigens einige schon Clifford (_Phil. Trans._, 1878) auf einem
anderen Wege erhalten hatte.

[760] _Annali di Matem._ II, 11; _Lincei Mem._ 1883-1884; _Atti dell'
Istituto Veneto_ V, 8. Letztere Abhandlung ist der darstellenden Geometrie
des Raumes von 4 Dimensionen gewidmet und kann daher als die Ausfhrung
eines Gedankens angesehen werden, den Sylvester im Jahre 1869 in seiner
Rede vor der British Association angedeutet hat.

[761] _Torino Mem._ II, 36.

[762] _Lincei Mem._ 1883-1884; _Torino Mem._ II, 37; _Lincei Rend._ 1886.

[763] _Torino Atti_ 19.

[764] _Torino Atti_ 19, 20, 21; _Math. Ann._ 27.

[765] _Math. Ann._ 24.

[766] _Torino Atti_ 20.

[767] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1886. Man sehe auch desselben
Verfassers wichtige Note: _Sui sistemi lineari, Lombardo Rend._ 82.

[768] _Lombardo Rend._ 1885, 1886.

[769] _Napoli Rend._ 1885, 1886. Vgl. auch Rodenberg, _Math. Ann._ 26.

[770]

  Ich kann sie alle hier nicht wiederholen,
  Weil mich des Stoffes Flle so bedrngt,
  Da hinter dem Gescheh'nen oft das Wort bleibt.
  -- (Dantes _Divina Commedia_, der _Hlle_ 4. Ges. V. 145-147.)

[771] _Math. Ann._ 2, 8. Man sehe auch die Abhandlung von S. Kantor, _Sur
les transformations linaires successives dans le mme espace _ n
_dimensions_ (_Bull. Soc. math._ 8).

[772] _Bull. Soc. math._ 2. Unter den in dieser Arbeit erhaltenen
Resultaten heben wir folgendes hervor: Wenn man in einem Raume von r - 1
Dimensionen zwei algebraische Mannigfaltigkeiten vom Grade [mu] und [nu]
ins Auge fat, bezglich von m und n Dimensionen, so ist der Schnitt
derselben eine Mannigfaltigkeit von n + m - (r-1) Dimensionen und vom Grade
[mu][nu], wofern m + n >= r - 1, und die beiden Mannigfaltigkeiten nicht
eine solche von m + n - r + 2 oder mehr Dimensionen gemeinsam haben, um
den vollstndigen Beweis desselben anzufhren, den Nther in den _Math.
Ann._ 11 geliefert hat.

[773] _Lincei Mem._ 1876-1877; vgl. auch Jordan (_Bull. Soc. math._ 3). --
Hier will ich eine Notiz machen, die im Texte nicht Platz finden konnte:
Von vielen wurde behauptet, da in einem Raume von konstanter positiver
Krmmung zwei geodtische Linien, wenn sie sich treffen, im allgemeinen
zwei Punkte gemeinsam haben; das ist nun nicht wahr, und dieses wurde
zuerst von Klein beobachtet (_Jahrbuch ber die Fortschritte der
Mathematik_ 9, S. 313), dann von Newcomb (_Journ. fr Math._ 83) und von
Frankland (_Proc. math. Soc._ 8). ber dasselbe Thema sehe man eine
Abhandlung von Killing (_Journ. fr Math._ 86 und 89).

[774] _Math. Ann._ 26; _Acta math._ 8. -- Der Abhandlung von Veronese gehen
noch die Untersuchungen von Spottiswoode (1825-1883) voran, ber die
Darstellung der Figuren der Geometrie von n Dimensionen vermittelst
correlativer Figuren der gewhnlichen Geometrie (_Comptes rendus_ 81).

[775] _Mmoire de Gomtrie sur deux principes gnraux de la science._

[776] _Beitrge zur Geometrie der Lage,_  29.

[777] _Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft zu Zrich_ 15,
oder _Die darstellende Geometrie._

[778] Vgl. die interessante Abhandlung von Fiedler, _Geometrie und
Geomechanik_, erschienen in der genannten _Vierteljahrsschrift_, und in
franzsischer bersetzung in _Liouvilles Journ._ III, 4 verffentlicht.

[779] Den Nutzen, welcher der Geometrie durch die Annahme einiger Begriffe,
die man jetzt noch als der Mechanik angehrig betrachtet, erwachsen wrde,
bezeugen der _Expos gomtrique du calcul diffrentiel et intgral_
(Paris, 1861), von Lamarle (1806-1875) verfat, die von Mannheim der
kinematischen Geometrie gewidmeten Partien in seinem _Cours de gomtrie
descriptive_ (Paris, 1880) und das schne jngst verffentlichte Buch
meines Freundes Peano mit dem Titel: _Applicazioni geometriche del calcolo
infinitesimale_ (Turin, 1887).

[780] Man sehe die Anhnge der _Proc. math. Soc._ seit Bd. 14.

[781] _Nouv. Ann._ II, 1, 2; _Liouvilles Journ._ II, 7; _Berliner Abh._
1865, 1866; _Berliner Ber._ 1872 oder _Borchardts Gesammelte Werke_, S.
179, 201, 233.

[782] Insbesondere _Journ. fr Math._ 24 oder _Werke_, Bd. II, S. 177, 241.

[783] S. _Acta Societatis scientiarum Fennicae_, 1866; _Bull. de l'Acadmie
de St. Ptersbourg_ 14; _Math. Ann._ 2; _Nouv. Ann._ II, 10; _Zeitschr. f.
Math._ 11; _Gttinger Nachr._ 1882 oder _Bull. sciences math._ II, 7;
_Journ. fr Math._ 96, 97; _Gttinger Nachr._ 1884; _Grunerts Arch._ II, 2;
_Giorn. di Matem._ 26.

[784] _Mmoires de l'Acadmie de Berlin,_ 1761; vgl. Legendres _Elments de
Gometrie_, Note IV der lteren Auflagen.

[785] _Berliner Ber._ 1882; _Math. Ann._ 20; vereinfacht durch Weierstra,
_Berliner Ber._ 1885; man vgl. auch Rouch, _Nouv. Ann._ III, 2.

[786] Die einzigen rein synthetischen Untersuchungen ber die Kurven und
Oberflchen von hherer als zweiter Ordnung, die ich kenne, sind die von
Reye (_Geometrie der Lage_) ber die ebenen kubischen Kurven, einige von
Thieme (_Zeitschr. f. Math_ 24; _Math. Ann._ 20, 28), von Milinowski
(_Zeitschr. f. Math._ 21, 23; _Journ. fr Math._ 89, 97) und von Schur
(_Zeitschr. f. Math._ 24). Ihnen knnte man die beiden folgenden Arbeiten
hinzufgen, die im Jahre 1868 von der Berliner Akademie gekrnt sind:
H. J. S. Smith, _Mmoire sur quelques problmes cubiques et biquadratiques_
(_Annali di Matem._ II, 3); Kortum, _ber geometrische Aufgaben dritten und
vierten Grades_ (Bonn, 1869). Die Geometer erwarten ungeduldig die
Verffentlichung einer Schrift von E. Ktter, die 1886 von der Berliner
Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen erscheint, in das
Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der ebenen algebraischen
Kurven zu versetzen. (Sie ist whrend der Anfertigung der bersetzung
vorliegender Schrift in den _Berliner Abh._ 1887 unter dem Titel:
_Grundzge einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen
Kurven_ erschienen.)

[787] Die Angemessenheit des gleichzeitigen Gebrauches der Geometrie und
Analysis, auch in den Fragen der angewandten Mathematik, wurde ausdrcklich
von Lam mit folgenden Worten erklrt: _Quand on mdite sur l'histoire des
mathmatiques appliques, on est effectivement conduit  attribuer leurs
principales dcouvertes, leurs progrs les plus dcisifs  l'association de
l'analyse et de la gomtrie. Et les travaux, que produit l'emploi de
chacun de ces instruments, apparaissent alors comme des prparations, des
perfectionnements, en attendant l'poque qui sera fconde par leur
runion._ (_Leons sur les coordonnes curvilignes_, 1859, S. XIII und
XIV.)

[788] Poinsot, _Comptes rendus_ 6 (1838) S. 809.

       *       *       *       *       *


Corrections made to printed original.

page 17, "l'origine et le dveloppement": 'el dveloppement' in original.

Footnote 265, "geometrische.": 'geometrisehe' in original.






End of the Project Gutenberg EBook of Die hauptschlichsten Theorien der
Geometrie, by Gino Loria

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE HAUPTSCHLICHSTEN ***

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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
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Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

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