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% The Project Gutenberg EBook of Note sur une Méthode pour la Réduction   %
% d'Intégrales Définies, by D. (David) Bierens de Haan                    %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
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% Title: Note sur une Méthode pour la Réduction d'Intégrales Définies     %
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% Author: D. (David) Bierens de Haan                                      %
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% Language: French                                                        %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES ***
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\def\ebook{36334}
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%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
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%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Wide displayed equations have been reformatted freely.         %%
%%   Minor typographical corrections are marked with \DPtypo.       %%
%%   Changes made for typographical consistency are marked \DPchg.  %%
%%   Other changes are [** TN: noted] in the file.                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 65                                                    %%
%% PDF page size: A4                                                %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%%                                                                  %%
%% * 16 overfull hboxes (wide displayed equations)                  %%
%% * 3 underfull vboxes                                             %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% June, 2011: adhere (Andrew D. Hwang)                             %%
%%             texlive2007, GNU/Linux                               %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x2                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% June 2011: pglatex.                                              %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 36334-t.tex ..... TWO times                           %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}    % the language

\usepackage{calc}[2005/08/06]

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

% for running heads; no package date available
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[a4paper]{geometry}[2002/07/08]

\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Joshua Hutchison,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               Cornell University Historical Mathematical Monographs Collection},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
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  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=TwoPageRight,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=black]{hyperref}[2007/02/07]

\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing

% Set title, author here to avoid numerous hyperref warnings from accents
\hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook:%
    Note sur une \texorpdfstring{Méthode}{Methode} %
    pour la \texorpdfstring{Réduction}{Reduction} %
    d'Integrales \texorpdfstring{Définies}{Definies} %
    et sur son Application \texorpdfstring{à}{a} %
    Quelques Formules \texorpdfstring{Spéciales}{Speciales}},
  pdfauthor={David Bierens de Haan}}


%% Conditional compilation: Modernize notation?
\newboolean{ModernizeNotation}
% COMMENT the next line to revert to the book's notation
\setboolean{ModernizeNotation}{true}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

\newcommand{\TranscriberNote}{%
  \begin{minipage}{0.85\textwidth}
    \small
    \BookMark{0}{Note sur la Transcription}
    \subsection*{\centering\normalfont\scshape%
      \normalsize{Note sur la transcription}}%

    \raggedright

    Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell
    University Library: Historical Mathematics Monographs collection.
    \bigskip

    Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
    l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le
    fichier \LaTeX\ source contient des notes de ces corrections.
  \end{minipage}
}

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
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  \thispagestyle{empty}
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  \fancyhead[LE,RO]{\thepage}
}
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\newcommand{\BookMark}[2]{%
  \refstepcounter{PDFbkmk}
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  \pdfbookmark[#1]{#2}{\thePDFbkmk}
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\renewcommand{\phi}{\varphi}

\renewcommand{\ieme}{\textsuperscript{\textit{ième}}}

\newlength{\TmpLen}
\newcommand{\PadTo}[3][c]{%
  \settowidth{\TmpLen}{\ensuremath{#2}}%
  \makebox[\TmpLen][#1]{\ensuremath{#3}}%
}

\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}% For errors

% Definitions of "modernized" notation
\ifthenelse{\boolean{ModernizeNotation}}{%
  \newcommand{\OpName}[1]{#1}
  \DeclareMathOperator{\li}{\OpName{Li}}
  \DeclareMathOperator{\Lg}{log}
  \newcommand{\DPchg}[2]{#2}%  Changes made for stylistic consistency
  \DeclareInputMath{183}{\cdot}
  \newcommand{\Ibar}{\,\bigg]}
  \newcommand{\Sqrt}[2][]{\,\sqrt[#1]{#2}}
}{
  \newcommand{\OpName}[1]{\textit{#1}.}
  \DeclareMathOperator{\li}{\OpName{li}}
  \DeclareMathOperator{\Lg}{l}
  \newcommand{\DPchg}[2]{#1}
  \DeclareInputMath{183}{\mathbin{.}}
  \newcommand{\Ibar}{\,\bigg\}}
  \newcommand{\Sqrt}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{#2}}#2}
}

% Several instances of "Cr. Journ." not formatted consistently
\newcommand{\Cr}{\DPchg{\textit{Cr}}{\bsc{Cr}}}

\DeclareMathOperator{\Ei}{\OpName{Ei}}
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\DeclareMathOperator{\Cos}{\OpName{Cos}}
\DeclareMathOperator{\Sin}{\OpName{Sin}}

\DeclareMathOperator{\Arctg}{Arctg.}
\DeclareMathOperator{\Lim}{Lim.}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\Neg}{\phantom{-}}

%% Use \textstyle \sum throughout
\let\oldsum=\sum
\renewcommand{\sum}{\mathop{\textstyle\oldsum}}

%% Upright capital letters in math mode
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% Display math break with extra space
\newcommand{\dbreak}{\displaybreak[1] \\[4pt]}

%% "Thought breaks" -- Horizontal rules and vertical spacing
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\newenvironment{Théorème}[1]{%
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% Cross-referencing
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}

% Optional argument is interline skip
\newcommand{\HalfTitle}[1][\vfil]{%
\textbf{\Huge NOTE}
#1

\footnotesize SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION
#1

\textbf{\Huge D'INTÉGRALES DÉFINIES}
#1

\footnotesize ET SUR SON APPLICATION À
#1

\textbf{\Large QUELQUES FORMULES SPÉCIALES.}
#1

\footnotesize PAR
#1

\textbf{\itshape\large D. BIERENS DE HAAN.}
#1

\tb
#1
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\pagenumbering{alph}
\BookMark{-1}{Matiére Préliminaire}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\BookMark{0}{PG Boilerplate}
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Note sur une Méthode pour la Réduction
d'Intégrales Définies, by D. (David) Bierens de Haan

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.net


Title: Note sur une Méthode pour la Réduction d'Intégrales Définies
       et sur son Application à Quelques Formules Spécials

Author: D. (David) Bierens de Haan

Release Date: June 6, 2011 [EBook #36334]
Most recently updated: June 11, 2021

Language: French

Character set encoding: UTF-8     

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\clearpage
%%%% Credits and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson, and the
Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net
(This ebook was produced using images provided by the
Cornell University Library Historical Mathematics Monographs
collection.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\TranscriberNote
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frontmatter
\pagenumbering{Roman}
\pagestyle{empty}
%% -----File: 001.png---Folio 1-------
\iffalse
Production Note

Cornell University Library produced this volume to replace the
irreparably deteriorated original. It was scanned using Xerox
software and equipment at 600 dots per inch resolution and com-
pressed prior to storage using CCITT Group 4 compression. The
digital data were used to create Cornell's replacement volume
on paper that meets the ANSI Standard Z39.48-1984. The produc-
tion of this volume was supported in part by the Commission on
Preservation and Access and the Xerox Corporation. 1990.
\fi
%% -----File: 002.png---Folio 2-------
%[Blank Page]
%% -----File: 003.png---Folio 3-------
\iffalse
%[** TN: Library stamp]
CORNELL UNIVERSITY LIBRARY

BOUGHT WITH THE INCOME
FROM THE
SAGE ENDOWMENT FUND
THE GIFT OF
Henry W. Sage
1891
\fi
%% -----File: 004.png---Folio 4-------
%[Blank Page]
%% -----File: 005.png---Folio 5-------
% Title page
\begin{center}
\HalfTitle % [** TN: Macro prints the text below]
\iffalse
NOTE
SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION
D'INTÉGRALES DÉFINIES
ET SUR SON APPLICATION À
QUELQUES FORMULES SPÉCIALES.
PAR
D. BIERENS DE HAAN.
\fi

\textbf{\footnotesize Publié par l'Académie Royale des Sciences à Amsterdam.}
\vfil

% Decorative symbol
\vfil
\normalsize
AMSTERDAM,\\
C. G. VAN DER POST.\\
1855.
\end{center}
\cleardoublepage
%% -----File: 006.png---Folio 6-------
%[Blank Page]
%% -----File: 007.png---Folio 7-------
\mainmatter
\BookMark{-1}{Matière Principale}
\SetRunningHeads{%
  Note sur une Méthode pour la Réduction d'Intégrales Définies%
}{%
  et sur son Application à quelques Formules Spéciales.%
}
\begin{center}
\HalfTitle[\bigskip\bigskip]
\iffalse
NOTE
SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION
D'INTÉGRALES DÉFINIES
ET SUR SON APPLICATION À
QUELQUES FORMULES \DPtypo{SPECIALES}{SPÉCIALES}.
PAR
D. BIERENS DE HAAN.
\fi
\end{center}

\Par{1.} Je prends pour données les formules trouvées par MM. \bsc{Schlömilch}
et \bsc{Arndt}:
\begin{alignat*}{2}
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{x + q}
  &&= -e^{pq} \li(e^{-pq})
   = -e^{pq} \Ei(-pq) = a,
\Tag{(I)} \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{x - q}
  &&= -e^{-pq} \li(e^{pq})
   = -e^{-pq} \Ei(pq) = b,
\Tag{(II)} \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{x^{2} + q^{2}}
  &&= \frac{1}{q} \bigl\{
     \Ci(pq) \Sin pq - \Si(pq) \Cos pq + \tfrac{1}{2} \pi\Cos pq
   \bigr\}
   = \frac{c}{q},
\Tag{(III)} \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{x^{2} + q^{2}}
  &&= -\Ci(pq) \Cos pq - \Si(pq) \Sin pq + \tfrac{1}{2} \pi\Sin pq = d.
\Tag{(IV)}
\end{alignat*}

Sur les deux premières on peut voir: \bsc{Schlömilch} dans ses \textit{Beiträge zur
Theorie der bestimmten Integrale} III,~5; dans ses \textit{Analytische Studien} I,~§18,
II,~§20, et \bsc{Grunert}'s \textit{Archif}, Bd.~V, S.~204. --- \bsc{Arndt}.\ \bsc{Gr}.~\textit{Arch.}\ Bd.~X,
%% -----File: 008.png---Folio 8-------
S.~247. --- \bsc{Winkler}.\ \bsc{Crelle}'s \textit{Journal}, Bd.~XLV, S.~102. Et sur les
deux dernières: \bsc{Schlömilch} dans ses \textit{Anal.\ Stud.}\ II,~§21 et \Cr.~\textit{Journal}
Bd.~XXXIII, S.~325. --- \bsc{Arndt}.\ \bsc{Gr}.~\textit{Arch.}\ Bd.~X, S.~225.

En outre nous aurons besoin de deux autres formules connues, savoir:
\begin{alignat*}{2}
&\int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx
  &&= \frac{1}{p},
\Tag{(V)} \\
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{a}\, dx
  &&\DPtypo{}{=} \frac{1^{a/1}}{p^{a + 1}}
   = \frac{\Gamma(a + 1)}{p^{a + 1}}.
\Tag{(VI)}
\end{alignat*}

Sur la première, qui se déduit aisément par l'intégration indéfinie, voyez:
\bsc{Cisa de Grésy}.\ \textit{Mém.\ de Turin}, 1821, p.~209. II,~\no{45}. \bsc{Liouville}.\
\textit{Journal de Liouville}, T.~IV, p.~317. --- \bsc{Oettinger}.\ \Cr.~\textit{Journ.}\ Bd.~XXXV,
S.~13. --- Quant à la dernière, qui est due à Euler, on peut consulter ses
\textit{Instit.\ Calc.\ Int.}\ T.~IV, Supp.~V, p.~129,~sqq. --- \bsc{Legendre}.\ \textit{Exerc.\ de
Calcul Intégral}. P.~III, \no{31}. --- \bsc{Poisson}.\ \textit{Journal de l'École Polyt.}\ Cah.~XIX,
p.~404, \no{68}. --- \bsc{Binet}.\ \textit{Journ.\ de l'Éc.\ Pol.}\ Cah.~XXVII, p.~123. --- \bsc{Lejeune-Dirichlet}.\
\Cr.~\textit{Journ.}\ Bd.~XV, S.~258. --- \bsc{Oettinger}.\ \Cr.~\textit{Journ.}\
Bd.~XXXV, S.~13. --- \bsc{Schaar}.\ Mém.\ de Brux.~1848. --- \bsc{Lobatschewsky}.\
\textit{Mém.\ de Kasan}, 1835, p.~211 et 1836, p.~1, I~form.~(13).

La somme et la différence des formules \Eqref{(I)}~et~\Eqref{(II)} donnent:
\begin{alignat*}{2}
&\int_{0}^{\infty} \frac{ e^{-px}\, dx}{x^{2} - q^{2}}
  &&= \frac{b - a}{2q}
   = \frac{1}{2q} \left\{e^{pq} \Ei(-pq) - e^{-pq} \Ei(pq) \right\},
\Tag{(VII)} \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{x^{2} - q^{2}}
  &&= \frac{a + b}{2}
   = -\tfrac{1}{2} \left\{e^{pq} \Ei(-pq) + e^{-pq} \Ei(pq)\right\}.
\Tag{(VIII)}
\end{alignat*}

Ces formules ont été trouvées par \bsc{Schlömilch} dans ses \textit{Anal.\ Stud.}\ II,~§20
et par \bsc{Arndt}, \DPchg{\textit{Gr}}{\bsc{Gr}}.~\textit{Arch.}\ Bd.~X, S.~247.

Les signes $\li$, $\Ei$, $\Ci$ et~$\Si$ dénotent ici les fonctions transcendantes,
connues sous les noms de logarithme intégral, exponentielle intégrale, sinus
intégral et cosinus intégral, qui sont exprimées respectivement par les
équations
%[** TN: Original seems to use "1" (upright "l"?) for log, and has the
% peculiar (but mathematically-correct) \tfrac{1}{4} 1q^{4} instead of 1q.
% \Lg macro modernizes to "\log", otherwise sets upright "l".]
\begin{align*}
\li(q) &= \int_{0}^{q} \frac{dx}{\Lg x}
  = A + \DPtypo{\tfrac{1}{2} \Lg q^{2}}{\log\log q}
  + \frac{1}{1}\, \frac{\DPtypo{q}{\log q}}{1}
  + \tfrac{1}{2}\, \frac{\DPtypo{q^{2}}{(\log q)^{2}}}{1·2} + \dots, \\
%
\Ei(q) &= -\int_{-q}^{\infty} \frac{e^{-x}\, dx}{x}
  = A + \DPchg{\tfrac{1}{4} \Lg q^{4}}{\log q}
  + \frac{1}{1}\, \DPtypo{\frac{1}{q}}{\frac{q}{1}}
  + \tfrac{1}{2}\, \frac{q^{2}}{1·2} + \dots, \\
%
%% -----File: 009.png---Folio 9-------
\Si(q) &= \int_{0}^{q} \frac{\Sin x\, dx}{x}
  = \frac{1}{1}\, \frac{q}{1}
  - \tfrac{1}{3}\, \frac{q^{3}}{1·2·3}
  + \tfrac{1}{5}\, \frac{q^{5}}{1·2·3·4·5} - \dots, \\
%
\Ci(q) &= \int_{\infty}^{q} \frac{\Cos x\, dx}{x}
  = A + \DPchg{\tfrac{1}{4} \Lg q^{4}}{\log q}
  - \tfrac{1}{2}\, \frac{q^{2}}{1·2}
  + \tfrac{1}{4}\, \frac{q^{4}}{1·2·3·4} - \dots.
\end{align*}

La deuxième ne diffère de la première que dans le cas où $q$~soit imaginaire:
les deux dernières transcendantes sont introduites dans l'analyse par
MM. \bsc{Schlömilch} et \bsc{Arndt} en même temps. $A$~est la constante connue
$0,5772156\dots$ déterminée déjà par \bsc{Mascheroni}. En outre j'ai employé pour
les factorielles ou facultés numériques la notation de \bsc{Kramp}:
\[
p^{a/q} = \DPchg{
  p · p + q · p + 2q \cdots p + (a - 1) q
}{
  p · (p + q) · (p + 2q) \cdots \bigl(p + (a - 1) q\bigr)
}.
\]

\Par{2.} Cherchons à présent les intégrales
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{x + q} &= A_{h}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x + q)^{k}} &= C_{k}, \\
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{x - q} &= B_{h}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x - q)^{k}} &= D_{k}.
\end{align*}

Généralement on a
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h+1}\, dx}{x + q}
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h}\, dx
  - q\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{x + q}, \\
%
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h+1}\, dx}{x - q}
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h}\, dx
  + q\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{x - q};
\end{align*}
ou bien
\begin{align*}
A_{h + 1} &= \frac{1^{h/1}}{p^{h+1}} - q A_{h},
\Tag{(a)} \\
B_{h + 1} &= \frac{1^{h/1}}{p^{h+1}} + q B_{h}.
\Tag{(b)}
\end{align*}
En appliquant cette réduction, on obtient successivement
\begin{align*}
A_{1} &= -aq + \frac{1}{p}, \\
A_{2} &= +aq^{2} + \frac{1 - pq}{p^{2}}, \\
%% -----File: 010.png---Folio 10-------
A_{3} &= -aq^{3} + \frac{1·2 - pq + p^{2} q^{2}}{p^{3}}, \\
A_{4} &= +aq^{4} + \frac{1·2·3 - 1·2·pq + p^{2} q^{2} - p^{3} q^{3}}{p^{4}};
\intertext{donc en général}
A_{h} &= a(-q)^{h} + \frac{1}{p^{h}} \sum_{1}^{h} 1^{h - n/1}(-pq)^{n - 1};
\Tag{(1)}
\intertext{et de la même manière}
B_{h} &= b(q)^{h} + \frac{1}{p^{h}} \sum_{1}^{h} 1^{h - n/1} (pq)^{n - 1};
\Tag{(2)}
\end{align*}
ce qui s'accorde avec les formules de réduction générales.

Pour les deux intégrales $C$~et~$D$ le même chemin ne nous mène pas au
but: il faut avoir recours à une autre réduction, qui est, si je ne me trompe,
aussi féconde dans ses résultats, qu'elle est simple et surtout qu'elle est
sûre dans son application et dans sa déduction.

\Par{3.} La méthode connue d'intégration, dite par parties, est donnée par cette
formule
\begin{align*}
d_{x} \bigl\{f(x)·\phi(x)\bigr\}
  &= \phi(x)·d_{x} \bigl\{f(x)\bigr\}
   + f(x)·d_{x} \bigl\{\phi(x)\bigr\},
\intertext{d'où}
\phi(x)·d_{x} \bigl\{f(x)\bigr\}
  &= d_{x}\DPchg{·}{}\bigl\{f(x)·\phi(x)\bigr\}
   - f(x)·d_{x} \bigl\{\phi(x)\bigr\}.
\end{align*}
Intégrons cette formule entre les limites $a$ et $b$, nous obtiendrons
\[
\int_{a}^{b} \phi(x)·d_{x}\bigl\{f(x)\bigr\}\, dx
  = \int_{a}^{b} d_{x}\DPchg{·}{}\bigl\{f(x)·\phi(x)\bigr\}\, dx
  - \int_{a}^{b} f(x)·d_{x}\DPchg{·}{}\bigl\{\phi(x)\bigr\}\, dx.
\]
La deuxième de ces intégrales est facile à déterminer, puisque l'on n'a besoin
d'aucune intégration: elle est $f(b)·\phi(b) - f(a)·\phi(a)$, sans constante, parce
que celle-ci se détruit, lorsqu'on prend la différence des valeurs de l'intégrale
pour les deux limites, dans la supposition toutefois que les fonctions
$f(x)$~et~$\phi(x)$ restent continues entre ces deux limites. On a donc enfin
\[
\int_{a}^{b} \phi(x)·d_{x} \bigl\{f(x)\bigr\}\, dx
  = f(b)·\phi(b) - f(a)·\phi(a)
  - \int_{a}^{b} f(x)·d_{x} \bigl\{\phi(x)\bigr\}\, dx.
\Tag{(A)}
\]
%% -----File: 011.png---Folio 11-------

Quand les termes intégrés peuvent se déterminer exactement, sans rester
indéterminés, comme il peut arriver fréquemment, et que de plus la première
intégrale soit connue, la seconde s'en déduit directement, entre les mêmes
limites, qui valent pour la première. Il est de rigueur que les termes intégrés
aient une valeur déterminée: pour les cas ordinaires des limites $0$~et~$1$,
$0$~et~$\infty$, $1$~et~$\infty$~etc., il arrive souvent, que ces produits se trouvent sous
la forme indéterminée $0:0$,~$\infty:\infty$,~$0\DPtypo{.}{:}\infty$; mais dans ces cas l'on peut toujours
s'assurer par les règles ordinaires et connues, si leur valeur soit vraiment
indéterminée, ou si elle puisse se réduire à quelque valeur déterminée.
Il est presque superflu d'ajouter la remarque, que la discontinuité de la fonction~$f(x)·\phi(x)$
pour quelque valeur~$c$ de~$x$ entre les limites $a$~et~$b$ nécessite
la correction
\[
\Lim \bigl[f(c - \epsilon)\phi(c - \epsilon)
         - f(c + \epsilon)\phi(c + \epsilon)\bigr]
\]
pour la limite zéro de~$\epsilon$. Bien que ce cas de discontinuité ait lieu quelquefois
auprès des intégrales, que nous allons étudier, la valeur de cette correction
est toujours nulle: afin de ne pas troubler l'ordre du raisonnement à
chaque instant, la discussion rélative a été renvoyée à la fin.

Sous cette forme~\Eqref{(A)}, je dis que cette formule est capable de donner un
grand nombre d'intégrales définies, et premièrement qu'elle peut quelquefois
fournir des intégrales, que l'on cherche ordinairement par la méthode de la
différentiation par rapport à une constante sous le signe d'intégration définie;
méthode qui, dans son application usuelle, n'est certainement pas toujours
rigoureuse, et qui est exposée en outre à de graves inconvénients, que l'on
ne rencontre pas auprès de notre formule. En second lieu cette transformation
peut introduire une nouvelle fonction sous le signe d'intégration définie,
ce qui donne des résultats non moins intéressants.

Bien que quelquefois on ait fait usage d'une réduction semblable dans le
cours du calcul de quelque intégrale définie, je ne me rappelle pas, qu'on
en ait fait autant de cas, qu'elle semble mériter. Je vais tâcher de faire
voir dans la suite, qu'en effet elle donne beaucoup de formules utiles et surtout
générales d'intégrales définies. J'en ai fait un usage fréquent dans la
déduction de nouvelles intégrales définies dans les tables de ces fonctions,
que je suis occupé de rediger, sans toutefois avoir été aussi loin que dans
cette Note, et m'arrêtant le plus souvent, lorsque j'avais à recourir à des
sommations.
%% -----File: 012.png---Folio 12-------

On a donc le
\begin{Théorème}{I}
Si dans une intégrale définie $\ds\int_{a}^{b} F(x)·dx$, la fonction~$F(x)$
peut être mise sous la forme d'un produit, tel que l'un des facteurs
soit la différentielle d'une fonction connue quelconque, c'est-à-dire,
lorsqu'on a
\[
F(x) = \phi(x)·d_{x}\DPchg{·}{}\bigl\{f(x)\bigr\},
\]
on aura aussi l'équation
\[
\int_{a}^{b} \phi(x)·d_{x}\DPchg{·}{}\bigl\{f(x)\bigr\}\, dx
   = \phi(b)·f(b) - \phi(a)·f(a)
   - \int_{a}^{b} f(x)·d_{x}\DPchg{·}{}\bigl\{\phi(x)\bigr\}\, dx.
\]
\end{Théorème}%
Quoique dans le cours de cette Note on ne fera usage que de ce théorème,
il vaudra bien la peine pourtant d'en tirer un corollaire intéressant, en y
appliquant la méthode d'intégration par rapport à une constante sous le signe
d'intégration définie. A cet effet prenons $q$ pour la variable, le théorème
précédent nous fournira l'équation
\begin{align*}
\int_{\alpha}^{\beta} \phi(q, x)·d_{q}\DPchg{·}{}\bigl\{f(q, x)\bigr\}\DPchg{·}{\,}dq
  &= \phi(\beta, x)·f(\beta, x) - \phi(\alpha, x)·f(\alpha, x) \\
  &- \int_{\alpha}^{\beta} f(q, x)·d_{q}\DPchg{·}{}\bigl\{\phi(q, x)\bigr\}\DPchg{·}{\,}dq;
\end{align*}
tandis que la méthode mentionnée est comprise, dans le cas général, sous la
formule:
\[
\int_{\alpha}^{\beta} dy \int_{a}^{b} F(y, z)\, dz
  = \int_{a}^{b} dz \int_{\alpha}^{\beta} F(y, z)\, dy - \Delta,
\]
où $\Delta$ est la correction, qu'il faut ajouter en divers cas de discontinuité. Prenons
dans cette formule $q$ et $x$ au lieu de $y$ et $z$: nous aurons
\[
\int_{\alpha}^{\beta} dq \int_{a}^{b} F(q, x)\, dx
  = \int_{a}^{b}\, dx \int_{\alpha}^{\beta} F(q, x)\, dq - \Delta.
\]

Supposons en outre que $F(q, x)$ soit de la forme $\phi(q, x)·d_{q}\bigl\{f(q, x)\bigr\}$, et
nous trouverons enfin par la substitution de la première équation
\begin{align*}
\int_{\alpha}^{\beta} dq \int_{a}^{b} \phi(q, x)·d_{q} \bigl\{f(q, x)\bigr\}\, dx
  &= \int_{a}^{b} dx\,
       \bigl[\phi(\beta, x)·f(\beta,x) - \phi(\alpha, x)·f(\alpha, x)\bigr] \\
  &- \int_{a}^{b} dx
     \int_{\alpha}^{\beta} f(q, x)·d_{q} \DPchg{·}{}
       \bigl\{\phi(q, x)\bigr\}\, dq - \Delta.
\Tag{(B)}
\end{align*}
%% -----File: 013.png---Folio 13-------

Il s'en suit donc le
\begin{Théorème}{II}
Lorsque dans une intégrale définie $\ds\int_{a}^{b} F(q, x)\, dx$ la fonction
$F(q, x)$ peut être mise sous la forme d'un produit, tel que l'un des facteurs
soit la différentielle d'une fonction connue quelconque de $q$, c'est-à-dire,
lorsqu'on a
\[
F(q, x) = \phi(q, x)\DPchg{}{·} d_{q} \bigl\{f(q, x)\bigr\},
\]
on aura aussi l'équation
\begin{align*}
\llap{$\ds\int_{\alpha}^{\beta} dq$}
\int_{a}^{b} \phi(q, x)·d_{q}\DPchg{·}{}\bigl\{f(q, x)\bigr\}\, dx
  &= -\int_{a}^{b} dx
      \int_{\alpha}^{\beta} f(q, x)·d_{q} \bigl\{\phi(q, x)\bigr\}\, dq - \Delta \\
  &\quad +\int_{a}^{b} dx\,
      \bigl[\phi(\beta, x)·f(\beta, x) - \phi(\alpha, x)·f(\alpha, x)\bigr];
\end{align*}
où $\Delta$ est la correction nécessaire dans certains cas de discontinuité de
la fonction $F(a, x)$ --- pour des valeurs de~$q$ et de~$x$, qui tombent entre
les limites respectives incluses, $\alpha$~et~$\beta$, $a$~et~$b$, --- lors de l'application
de la méthode du changement dans l'ordre des intégrations. Toutefois
ce résultat ne peut valoir que sous la double condition, à laquelle ce
changement est soumis, savoir que
\[
y = \tfrac{1}{2} \Lim \epsilon \frac{d^{2}·F(q, x)}{dq^{2}}\quad \text{et}\quad
\Lim \int_{a}^{b} y\, dx
\]
soient toutes deux nulles.
%[** TN: Need blank line to end paragraph inside environment]

\end{Théorème}

Comme pour le \Theorem{I} il faut observer, qu'on a supposé que
$\phi(q, x)·f(q, x)$ soit continu entre les limites $\alpha$~et~$\beta$ de~$q$: lorsque cela ne
serait plus le cas, il faudrait ajouter au second membre de cette équation la
correction
\[
\Lim \int_{\alpha}^{\beta}
  \bigl[f(c - \epsilon)·\phi(c - \epsilon)
      - f(c + \epsilon)·\phi(c + \epsilon)\bigr].
\]

\Par{4.} A l'aide de cette méthode les intégrales $C$~et~$D$ se déduisent aisément.
Nous pouvons appliquer le théorème ici de trois manières différentes, savoir
\begin{gather*}
\begin{aligned}
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x + q)^{k}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x + q)^{k}}\, d·x \\
%[** TN: Added line break]
  &= \frac{xe^{-px}}{(x + q)^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} x
     \left\{\frac{-pe^{-px}\, dx}{(x + q)^{k}}
                  + e^{-px} \frac{-k\, dx}{(x + q)^{k+1}}\right\} \\
%
  &= \frac{xe^{-px}}{(x + q)^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx
     \left\{\frac{p}{(x + q)^{k-1}} + \frac{k - pq}{(x + q)^{k}}
         - \frac{kq}{(x + q)^{k+1}}\right\},
\end{aligned} \dbreak
%% -----File: 014.png---Folio 14-------
-p \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x + q)^{k}}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x + q)^{k}}\ d·e^{-px}
   = \frac{e^{-px}}{(x + q)^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx \frac{-k}{(x + q)^{k+1}}, \\
%
-k \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x + q)^{k+1}}
  = \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, d·\frac{1}{(x + q)^{k}}
   = \frac{e^{-px}}{(x + q)^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x + q)^{k}}·- pe^{-px}\, dx.
\end{gather*}
Ici, comme partout dans la suite, la notation:~$F(x)\Ibar_{a}^{b}$ signifie, que l'on doit
prendre la fonction~$F(x)$ entre les limites $a$~et~$b$. Voyons d'abord ce que
deviennent ici les termes déjà intégrés, dont les deux derniers sont égaux.
Pour la limite~$0$ de~$x$ ils sont
\[
\frac{x e^{-px}}{(x + q)^{k}} = \frac{0·1}{q^{k}} = 0
\quad\text{et} \quad
\frac{e^{-px}}{(x + q)^{k}} = \frac{1}{q^{k}}.
\]
Pour l'autre limite~$\infty$ de~$x$ ils s'offrent sous la forme
\[
\frac{x e^{-px}}{(x + q)^{k}} = \frac{\infty·0}{\infty^{k}} = 0,
\text{ pour $k \geqq 1$},\qquad
\frac{e^{-px}}{(x + q)^{k}} = \frac{0}{\infty} = 0,
\text{ pour $k > 0$}.
\]
Donc ces termes, quoiqu'on partie ils semblent indéterminés, sont en vérité
$0$~ou~$q^{-k}$. Donc les équations deviennent, après la séparation des intégrales,
réunies par les signes $+$~ou~$-$,
\[
C_{k} = pC_{k - 1} + (k - pq) C_{k} - kq C_{k + 1},
\]
ou bien
\[
kq C_{k + 1} = pC_{k - 1} - (pq - k + 1) C_{k},\quad k \geqq 1
\Tag{(c)}
\]
et
\[
\left.
\begin{alignedat}{2}
-pC_{k} &= -\frac{1}{q^{k}} + kC_{k + 1},\qquad && k > 0 \\
-kC_{k + 1} &= -\frac{1}{q^{k}} + pC_{k},\qquad && k > 0
\end{alignedat}
\right\}
\Tag{(d)}
\]
dont les deux dernières coincident. Dans l'application la formule~\Eqref{(d)} sera la
plus facile: en tous cas on trouve, parceque $C_{0} = \dfrac{1}{p}$, $C_{1} = a$:
\begin{align*}
C_{2} &= -ap + \frac{1}{q}, \\
C_{3} &= \frac{ap^{2}}{2} + \frac{1 - pq}{2q^{2}}, \\
%% -----File: 015.png---Folio 15-------
C_{4} &= -\frac{ap^{3}}{2·3}
  + \frac{2 - pq + p^{2} q^{2}}{2·3\DPchg{}{·}q^{3}}, \\
C_{5} &= \frac{ap^{4}}{2·3·4}
  + \frac{2·3 - 2pq + p^{2} q^{2} - p^{3} q^{3}}{2·3·4·q^{4}};
\end{align*}
donc en général
\[
C_{k} = \frac{(-p)^{k-1}}{1^{k-1/1}}\, a
  + \frac{1}{1^{k-1/1}\, q^{k-1}}
    \sum_{1}^{k-1} 1^{k - n - 1/1}\, (-pq)^{n - 1}
\Tag{(3)}
\]
en accord avec les deux formules générales de réduction. On trouverait
de même
\[
D_{k} = \frac{(-p)^{k-1}}{1^{k-1/1}}\, b
  + \frac{1}{1^{k-1/1}\, (-q)^{k-1}}
    \sum_{1}^{k-1} 1^{k - n - 1/1}\, (pq)^{n - 1}.
\Tag{(4)}
\]

\Par{5.} Restent encore les intégrales analogues
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{(x + q)^{k}} = E_{h, k},\qquad
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{(x - q)^{k}} = F_{h, k},
\]
qui ne sont pas aussi simples. En premier lieu notre méthode donne ici
d'un triple point de vue
\begin{align*}
(h + 1) \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{(x + q)^{k}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x + q)^{k}}\, d·x^{h+1}
   = \frac{e^{-px} x^{h+1}}{(x - q)^{k}} \Ibar_{0}^{\infty} \\
  &- \int_{0}^{\infty} x^{h+1}\left\{
    \frac{-pe^{-px}\, dx}{(x + q)^{k}}
      + e^{-px}\, \frac{-k\, dx}{(x + q)^{k+1}}
    \right\}; \dbreak
%
-p \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h+1}\, dx}{(x + q)^{k}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{h+1}}{(x + q)^{k}}\, d·e^{-px}
   = \frac{e^{-px} x^{h+1}}{(x + q)^{k}} \Ibar_{0}^{\infty} \\
  &- \int_{0}^{\infty} e^{-px} \left\{
    \frac{(h + 1) x^{h}\, dx}{(x + q)^{k}}
      + x^{h+1}\, \frac{-k\, dx}{(x + q)^{k+1} }
    \right\}; \dbreak
%
-k \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h+1}\, dx}{(x - q)^{k+1}}
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h+1}\, d·\frac{1}{(x + q)^{k}}
   = \frac{e^{-px} x^{h+1}}{(x + q)^{k}} \Ibar_{0}^{\infty} \\
  &- \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x + q)^{k}} \left\{
    -pe^{-px} x^{h+1}\, dx + (h + 1) x^{h} e^{-px}\, dx
  \right\}.
\end{align*}
Les termes déjà intégrés, qui ici sont les mêmes dans les trois formules,
%% -----File: 016.png---Folio 16-------
donnent pour la limite $x = 0$, $\dfrac{1·0}{q^{k}} = 0$; mais pour la limite supérieure
$x = \infty$, ils semblent indéterminés, vid.\ $\dfrac{0·\infty^{h+1}}{\infty^{k}}$.  Voyons ce qui en est
et mettons les sous la forme $\dfrac{x^{h+1}}{e^{px} (x + q)^{k}}$. Nous aurons
$\dfrac{x^{h+1}}{e^{px}(x + q)^{k}}
  = \dfrac{(h + 1) x^{h}}{e^{px} \bigl\{{p(x + q)^{k} + k(x + q)^{k-1}}\bigr\}}$.
Donc la puissance diminue de degré dans le numérateur, jusqu'à ce que l'on aura~$1^{h+1/1}$; dans le dénominateur on aura alors
\[
e^{px} \bigl\{p^{h} (x + q)^{k} + \cdots\cdots + \cdots (x + q)^{k - h}\bigr\}
\]
si $k > h$; dans le cas contraire le dernier terme est $(x + q)^{0}$. Ce polynome
est infini pour $x = \infty$, $e^{px}$~est de même infini: donc la fraction est devenue
$\dfrac{0}{\infty·\infty}$ bien certainement zéro. Les équations deviennent ainsi:
\begin{align*}
(h + 1) E_{h, k}
  &= pE_{h+1, k} + kE_{h+1, k+1}, \\
-pE_{h+1, k}
  &= -(h + 1) E_{h, k} + kE_{h+1, k+1}, \\
-kE_{h+1, k+1}
  &= pE_{h+1, k} - (h + 1)\DPtypo{,}{} E_{h, k}.
\end{align*}
Ces trois équations sont donc identiques, et l'on a en général
\[
(k - 1) E_{h, k} = -pE_{h, k-1} + hE_{h-1, k-1}.
\Tag{(e)}
\]
En application elle donne
\begin{align*}
E_{h,1} &= A_{h}, \\
E_{h,2} &= -pA_{h} + hA_{h-1}, \\
E_{h,3} &= \tfrac{1}{2} (-pE_{h, 2} + hE_{h-1, 2})
  = \tfrac{1}{2} \bigl(p^{2} A_{h} - 2p·hA_{h-1} + h·(h - 1) A_{h-2}\DPtypo{}{\bigr)}, \\
E_{h,4} &= \tfrac{1}{2\DPtypo{,}{·}3}(-pE_{h, 3} + hE_{h-1, 3}) \\
%[** TN: Re-breaking]
 &= \tfrac{1}{2\DPtypo{,}{·}3} \bigl(-p^{3} A_{h+3} p^{2} hA_{h-1}
     - 3 p·h(h - 1) A_{h-2}
     + h·(h - 1)(h - 2) A_{h-3}\bigr);
\end{align*}
donc en général
\[
E_{h, k+1} = \frac{1}{1^{k/1}} \sum_{0}^{k}
  1^{k-m/1} \binom{h}{k - m} \binom{k}{m} (-p)^{m} A_{h-k+m}
\Tag{(5)}
\]
où $\dbinom{x}{y}$ est la notation usuelle pour le coefficient à index~$y$ de la puissance~$x$\ieme.
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Mais cette formule a le grave inconvénient d'obliger à recourir à
$k + 1$ valeurs différentes de~$A$: l'on ne peut y remédier, qu'en perdant la
forme simple, obtenue jusqu'ici. Car en vertu de~\Eqref{(a)} on a
\[
qA_{h-1} = \frac{1^{h-1/1}}{p^{h}} - A_{h};
\]
\DPtypo{Substituons}{substituons} cette valeur dans l'équation pour~$E_{h, 2}$ et il ne reste que $A_{h}$ et
une quantité déterminée, non fonction de~$A_{h}$: donc tous les~$E_{h, k}$ peuvent se
déterminer de la même manière. Par le calcul on trouve en effet
\begin{align*}
E_{h,2}
  &= \frac{1^{h/1}}{p^{h}}\, \frac{1}{q} - \frac{pq + h}{q}\, A_{h}, \\
E_{h,3}
  &= -\frac{1^{h/1}}{p^{h}}\, \frac{pq + h - 1}{1·2·q^{2}}
   + \frac{p^{2} q^{2} + h·2pq + h·(h - 1)}{1·2·q^{2}}\, A_{h}, \\
E_{h,4}
  &= \frac{1^{h/1}}{p^{h}}\,
     \frac{pq + \bigl(p^{2} q^{2} + (h - 1)\DPchg{}{·}2pq + (h - 1)·(h - 2)\bigr)}
          {1·2·3·q^{3}} \\
%[** TN: Added line break]
  &\qquad
   - \frac{p^{3} q^{3} + h·3p^{2} q^{2} + h·(h - 1)\DPchg{}{·}3pq + h·(h - 1)(h - 2)}
          {1·2·3·q^{3}}\, A_{h}.
\intertext{L'acte de progression dans le coefficient de~$A_{h}$ est facile à saisir: nous ne
transcrirons donc dorénavant que le premier terme, comme suit:}
E_{h, 5}
  &= -\frac{1^{h/1}}{p^{h}}\,
      \frac{\left\{\begin{alignedat}{2}
          2pq (pq + h - 2)
          &+ \bigl(p^{3} q^{3} &&+ (h - 1)\DPchg{}{·}3p^{2} q^{2} \\
          &&&+  (h - 1)(h - 2)·3pq \\
          &&&+ (h - 1)·(h - 2)·(h - 3)\bigr)
        \end{alignedat}\right\}}
           {1·2·3·4·q^{4}} + \&c.
\dbreak
E_{h, 6}
  &= \frac{1^{h/1}}{p^{h}}\,
     \frac{\left\{\begin{aligned}
           2p^{2} q^{2}
           &+ 3pq \bigl(p^{2} q^{2} + (h - 2)·2pq + (h - 2)·(h - 3)\bigr) \\
           &+ \bigl(p^{4} q^{4} + (h - 1)·4p^{3} q^{3} + \text{etc.}\bigr)
         \end{aligned}\right\}}
           {1·2·3·4·5·q^{5}} - \&c.
\dbreak
E_{h, 7}
  &= -\frac{1^{h/1}}{p^{h}}\,
      \frac{\left\{\begin{alignedat}{2}
            &\rlap{$3·2\DPchg{}{·}p^{2} q^{2} (pq + h - 3)$} \\
            &\qquad+ 4pq \bigl(p^{3} q^{3} &&+ (h - 2)\DPchg{}{·}3p^{2} q^{2} \\
            &&&+ (h - 2)·(h - 3)\DPchg{}{·}3pq \\
            &&&+ (h - 2)·(h - 3)·(h - 4)\bigr) \\
            &\qquad+ \rlap{$(p^{5} q^{5} + \text{etc.})$}\end{alignedat}\right\}}
            {1·2·3·4·5·6·q^{6}} + \&c.
\dbreak
E_{h, 8}
  &= \frac{1^{h/1}}{p^{h}}\,
     \frac{\left\{\begin{alignedat}{2}
           2·3\DPchg{}{·}p^{3} q^{3}
           &+ 6·2\DPchg{}{·}p^{2} q^{2} \bigl(p^{2} q^{2} &&+ (h - 3)\DPchg{}{·}2pq \\
           &&&+ (h - 3)·(h - 4)\bigr) \\
           &\rlap{${}+ 5pq \bigl(p^{4} q^{4} + (h - 2)\DPchg{}{·}4p^{3} q^{3} + \text{etc.}\bigr)$} \\
           &\rlap{${}+ (p^{6} q^{6} + \text{etc.})$}\end{alignedat}\right\}}
          {1·2·3·4·5·6·7·q^{7}} - \&c.
\dbreak
E_{h, 9}
  &= -\frac{1^{h/1}}{p^{h}}\,
      \frac{\left\{\begin{aligned}
            &4·2·3\DPchg{}{·}p^{3} q^{3} (pq + h - 4) \\
            &\qquad+ 10·2\DPchg{}{·}p^{2} q^{2} \bigl(p^{3} q^{3} + (h - 3)\DPchg{}{·}3p^{2} q^{2}+ \text{etc.}\bigr) \\
            &\qquad+ 6pq \bigl(p^{5} q^{5} + (h - 2)\DPchg{}{·}5p^{4} q^{4} + \text{etc.}\bigr) \\
            &\qquad+ (p^{7} q^{7} + \text{etc.})\end{aligned}\right\}}
           {1·2·3·4·5·6·7·8·q^{8}} + \&c.
\end{align*}
d'où l'on pourra juger de l'acte de progression dans le premier terme: donc
on aura en général
\begin{align*}
E_{h, k+1}
  &= \frac{A_{h}}{1^{k/1}\, (-q)^{k}}
    \sum_{1}^{k} 1^{k-m/1} \binom{h}{k - m} \binom{k}{m} (pq)^{m} \\
%% -----File: 018.png---Folio 18-------
  &+ \frac{1}{p^{h} (-q)^{k}}\,
  \frac{1^{h/1}}{1^{k/1}}\biggl[
    \sum_{1}^{k} 1^{k-m/1} \binom{h - 1}{k - m} \binom{k - 1}{m - 1} (pq)^{m-1} \\
  &\qquad+ \binom{k - 2}{1} pq \sum_{3}^{k}
    1^{k-m/1} \binom{h - 2}{k - m} \binom{k - 3}{m - 3} (pq)^{m-3} \\
  &\qquad+ \binom{k - 3}{2} 1^{2/1} p^{2} q^{2} \sum_{5}^{k} 1^{k-m/1}
    \binom{h - 3}{k - m} \binom{k - 5}{m - 5} (pq)^{m-5} \\
  &\qquad+ \binom{\DPtypo{h}{k} - 4}{3} 1^{3/1} p^{3} q^{3} \sum_{7}^{k} 1^{k-m/1}
    \binom{h - 4}{k - m} \binom{k - 7}{m - 7} (pq)^{m-7} + \&c.\biggr]
\Tag{(6)}
\end{align*}
où les coefficients du binôme ne valent que pour des valeurs positives de
$k$--$l$: celles, où $k < l$, étant nulles.
\begin{align*}
\llap{$F_{h, k+1}$}
  &= \frac{1}{1^{k/1}} \sum_{0}^{k} 1^{k-m/1}
    \binom{h}{k - m} \binom{k}{m}(p)^{m} B_{h - k+m},
\Tag{(7)} \dbreak
%
\llap{$F_{h, k+1}$}
  &= \frac{B_{h}}{1^{k/1}\, q^{k}} \sum_{1}^{k} 1^{k-m/1}
          \binom{h}{k - m} \binom{k}{m} (-pq)^{m} \\
  &\qquad + \frac{1}{p^{h} q^{k}} \frac{1^{h/1}}{1^{k/1}} \biggl[
     \sum_{1}^{k} 1^{k-m/1} \binom{h - 1}{k - m} \binom{k - 1}{m - 1} (-pq)^{m-1} \\
  &\qquad\qquad- \binom{k - 2}{1} pq \sum_{3}^{k} 1^{k-m/1}
     \binom{h - 2}{k - m} \binom{k - 3}{m - 3} (-pq)^{m-3} \\
  &\qquad\qquad+ \binom{k - 3}{2} 1^{2/1} p^{2} q^{2} \sum_{5}^{k} 1^{k-m/1}
     \binom{h - 3}{k - m} \binom{k - 5}{m - 5} (-pq)^{m-5} - \&c.
     \biggr].
\Tag{(8)}
\end{align*}
En effet, on voit que les formules \Eqref{(6)},~\Eqref{(8)} ne sont pas aussi simples que
\Eqref{(5)},~\Eqref{(7)}, mais en révanche, elles ne contiennent que le seul $A_{h}$~ou~$B_{h}$, qui
se substitue aisément des formules \Eqref{(1)}~et~\Eqref{(2)}.

\Par{6.} Passons aux intégrales, dont le dénominateur est de la forme~$(x^{2} - q^{2})^{k}$.
L'équation de réduction
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{h+2} e^{-px}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{h} e^{-px}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  + q^{2} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{h} e^{-px}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
\]
nous apprend d'abord, que ces intégrales se divisent en deux classes, savoir
à exponent~$h$ pair ou impair, de telle sorte que les intégrales d'une de ces
classes se déterminent à l'aide d'intégrales de la même classe seulement.
Les intégrales, que nous avons à étudier, sont donc les suivantes:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} \PadTo{x^{2h+1}}{x^{2h}}\, dx}{x^{2} - q^{2}} &= G_{2h}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}} &= H_{k}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} \PadTo{x^{2h+1}}{x^{2h}}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}} &= K_{h, k}\DPchg{}{,} \\
%
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2h+1}\, dx}{x^{2} - q^{2}} &= G_{2h+1}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}} &= I_{k}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2h+1}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}} &= L_{h, k}.
\end{align*}
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Pour les deux premières on a
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{x^{2} - q^{2}}
  = \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h-2}\, dx
  + q^{2} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h-2}\, dx}{x^{2} - q^{2}}\DPchg{}{,}
\]
ou bien
\[
G_{2h} = \frac{1^{2h-2/1}}{p^{2h-1}} + q^{2} G_{2h-2},\qquad
G_{2h+1} = \frac{1^{2h-1/1}}{p^{2h}} + q^{2} G_{2h-1};
\Tag{(f)}
\]
ce qui donne en application
\begin{align*}
G_{0} &= \frac{1}{2q} (b - a),\qquad \text{Voir \Eqref{(VII)}} &
G_{1} &= \tfrac{1}{2} (a + b),\qquad \text{Voir \Eqref{(VIII)}} \\
%
G_{2} &= \frac{1}{p} + \tfrac{1}{2} q(b - a), &
G_{3} &= \frac{1}{p^{2}} + \tfrac{1}{2} q^{2} (a + b), \\
%
G_{4} &= \frac{1^{2/1}}{p^{3}} + \frac{q^{2}}{p} + \tfrac{1}{2} q^{3}(b - a), &
G_{5} &= \frac{1^{3/1}}{p^{4}} + \frac{q^{2}}{p^{2}} + \tfrac{1}{2} q^{4}(a + b), \\
%
G_{6} &= \frac{1^{h/1}}{p^{5}} + \frac{1^{2/1} q^{2}}{p^{3}}
       + \frac{q^{4}}{p} + \tfrac{1}{2} q^{5}(b - a), &
G_{7} &= \frac{1^{5/1}}{p^{6}} + \frac{1^{3/1} q^{2}}{p^{4}}
       + \frac{q^{4}}{p^{2}} + \tfrac{1}{2} q^{6} (a + b);
\end{align*}
donc en général
\begin{alignat*}{5}
&G_{2h} &&= \tfrac{1}{2} q^{2h-1} &&(b - a)
  + \frac{1}{p^{2h-1}} &&\sum_{1}^{h} 1^{2h-2n/1} &&(p^{2} q^{2})^{n-1},
\Tag{(9)} \\
%
&G_{2h+1} &&= \tfrac{1}{2} q^{2h} &&(b + a)
  + \frac{1}{p^{2h}} &&\sum_{1}^{h} 1^{2h-2n+1/1} &&(p^{2} q^{2})^{n-1},
\Tag{(10)}
\end{alignat*}
Quant à ces intégrales, on peut rémarquer, qu'on aurait pu les déduire des
formules \Eqref{(1)}~et~\Eqref{(2)} par les rélations:
\begin{alignat*}{6}
&A_{2h} &&+ B_{2h} &&= 2G_{2h+1},\qquad &
&B_{2h} &&- A_{2h} &&= 2q G_{2h}, \\
%
&A_{2h-1} &&+ B_{2h-1} &&= 2G_{2h}, &
&B_{2h-1} &&- A_{2h-1} &&= 2q G_{2h-1};
\end{alignat*}
d'où
\begin{alignat*}{7}
&G_{2h} &&= \frac{1}{2q} \biggl\{B_{2h} &&- A_{2h} &&\biggr\}
  = \tfrac{1}{2} \biggl\{B_{2h-1} &&+ A_{2h-1} &&\biggr\}, \\
%
&G_{2h+1} &&= \frac{1}{2q} \biggl\{B_{2h+1} &&- A_{2h+1} &&\biggr\}
  = \tfrac{1}{2} \biggl\{B_{2h} &&+ A_{2h} &&\biggr\}.
\end{alignat*}
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\Par{7.} Pour les deux suivantes $H_{k}$~et~$I_{k}$, il faut avoir recours au \Theorem{I}
de~\No{3}. Comme dans \No{4}, on aura ici
\begin{align*}
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\, d·x \\
  &\qquad= \frac{xe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} x
   \left\{
     \frac{-pe^{-px}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
     + e^{-px} \frac{-k·2x\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
   \right\}\\
%
  &\qquad= \frac{xe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx
   \left\{
       \frac{px}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
     + \frac{2k}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
     + \frac{2k q^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
   \right\},
\end{align*}
ou bien
\begin{gather*}
(1 - 2k) \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
  = \frac{xe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
  + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx
  \left\{
    \frac{px}{(x^{2} - q^{2})^{k}} + \frac{2k q^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  \right\}; \dbreak
%
\begin{aligned}
\int_{0}^{\infty} \frac{xe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\, \DPchg{d·x}{dx}
  &= \frac{x^{2} e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} x
   \left\{
     \frac{-pe^{-px} x + e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\, dx
     + xe^{-px}\, \frac{-k·2x\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
   \right\} \\
%
  &= \frac{x^{2} e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx
   \left\{
     \begin{aligned}%[** TN: Re-broken]
       & \frac{p}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}}
       + \frac{pq^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \\
       &\quad+ \frac{(2k - 1) x}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
       + \frac{2kq^{2} x}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
     \end{aligned}
   \right\}\DPtypo{:}{;}
\end{aligned}
\end{gather*}
si l'on voulait prendre $\ds2 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} x\, dx
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\, d·x^{2}$ ou retrouverait
la dernière équation elle-même.
\begin{align*}%[** TN: Add several line breaks]
-p \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\DPtypo{(x^{2} - q)^{2k-1}}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}}}\,
 d·e^{-px} \\
  &= \frac{e^{-px}}{\DPtypo{(x^{2} - q)^{2k-1}}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} e^{-px}\,
     \frac{-(k - 1) 2x\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}}, \dbreak
%
-p \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\, d·e^{-px} \\
  &= \frac{xe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx \left\{
     \frac{1}{(x^{2} - q^{2})^{k}} + x \frac{-k·2x}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
   \right\} \\
%
  &= \frac{xe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
  + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx
  \left\{
    \frac{2k - 1}{(x^{2} - q^{2})^{k}} + \frac{2k q^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  \right\}, \dbreak
%
-2k \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, d·\frac{1}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \\
  &= \frac{e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\, (-pe^{-px}\, dx), \dbreak
%
-2k \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  &= \int_{0}^{\infty} xe^{-px}\, d\DPchg{}{·}\frac{1}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \\
  &= \frac{xe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
   \biggl\{e^{-px} + x·(-pe^{-px})\biggr\}\, dx,
\intertext{mais aussi}
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  &= q^{2} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
   + \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}}.
\end{align*}
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Dans ces six équations on a des termes intégrés $\dfrac{e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{a}}$ et $\dfrac{x^{b} e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{a}}$.
Pour la limite inférieure $x = 0$, ils deviennent respectivement $\dfrac{1}{(-q^{2})^{a}}$~et~$0$.
Pour la limite supérieure $x = \infty$, le premier est $\dfrac{1}{e^{\infty}\, \infty^{a}} = \dfrac{1}{\infty} = 0$, et le
second semble être indéterminé de la forme~$\dfrac{\infty^{b}\, 0}{\infty^{a}}$: mais si on le met sous
la forme $\dfrac{x^{b}}{e^{+px}(x^{2} - q^{2})^{a}}$, et si l'on différentie le numérateur et le dénominateur
de cette fraction, il vient:
\[
\frac{bx^{b-1}}{pe^{px} (x^{2} - q^{2})^{a} + e^{\DPtypo{-}{}px} a(x^{2} - q^{2})^{a-1} 2x}
  = \frac{bx^{b-1}}{e^{px}(x^{2} - q^{2})^{a-1}\, (px^{2} + 2ax - \DPtypo{p^{2}}{p} q^{2})}.
%[**TN: Third factor not in denominator in the original]
\]
Le degré du numérateur s'est abaissé d'une unité, celui du dénominateur
n'a pas diminué: en réitérant cette différentiation, le numérateur devient à
la fin~$1^{b/1}$ et alors la fraction a la valeur
\[
\frac{1^{b/1}}{e^{\infty}·\infty^{a}} = \frac{1^{b/1}}{\infty·\infty} = 0.
\]
Ce raisonnement exige que $a$~soit~$\geqq 0$, c'est-à-dire~$k \geqq 1$.

A présent la première, la quatrième et la sixième des équations trouvées
donnent:
\[
0 = pI_{\DPtypo{h}{k}}
  + (2\DPtypo{h}{k} - 1) H_{k} + 2k q^{2} H_{k+1}\DPtypo{}{;}
\Tag{(g')}
\]
la seconde donne:
\[
pH_{k-1} + pq^{2} H_{k} + 2(k - 1) I_{k} + 2k q^{2} I_{k+1} = 0;
\]
la troisième et la cinquième enfin:
\[
\frac{1}{(-q^{2})^{k}} = pH_{k} + 2kI_{k+1}.
\Tag{(h')}
\]
Par la substitution de la dernière dans l'avant-dernière de ces formules on
obtient une équation identique. Il nous reste donc les deux autres, qui
doivent servir réciproquement à éliminer les~$I$ ou les~$H$: de sorte que nous
trouvons
%% -----File: 022.png---Folio 22-------
\begin{align*}
4q^{2}·k·\DPchg{k - 1}{(k - 1)}·H_{k+1}
  &= \frac{-p}{(-q^{2})^{k+1}} - 2·\DPchg{k - 1}{(k - 1)}·\DPchg{2k - 1}{(2k - 1)}·H_{k} + p^{2} H_{k-1}\DPchg{}{,}
\Tag{(g)} \\
%
4q^{2}·k·\DPchg{k - 1}{(k - 1)}·I_{k+1}
  &= \frac{-1}{(-q^{2})^{k+1}} - 2·\DPchg{k - 1}{(k - 1)}·\DPchg{2k - 3}{(2k - 3)}·I_{k} + p^{2} I_{k-1}.
\Tag{(h)}
\end{align*}
Or, nous avons
\[
H_{0} = \frac{1}{p},\qquad
H_{1} = \frac{b - a}{2q},\qquad\qquad
I_{0} = \frac{1}{p^{2}},\qquad
I_{1} = \frac{a + b}{2}.
\]
Donc il nous faut encore $H_{2}$~et~$I_{2}$ pour pouvoir faire usage des formules
\Eqref{(g)}~et~\Eqref{(h)}, qui valent seulement pour $k\geqq 1$. Les formules \Eqref{(g')}~et~\Eqref{(h')} nous
aideront ici en donnant pour $k = 1$:
\begin{align*}
-2q^{2} H_{2} &= 1·H_{1} + pI_{1}
  = \frac{b - a}{2q} + \frac{a + b}{2} p, \\
%
-2I_{2} &= \frac{1}{(-q^{2})^1} + pH_{1}
  = \frac{-1}{q^{2}} + \frac{b - a}{2a} p;
\end{align*}
donc
\[
H_{2} = \frac{b - a}{2q}\, \frac{1}{2(-q^{2})}
  + \frac{a + b}{2(-q^{2})}\, \frac{p}{2},\qquad
I_{2} = -\frac{1}{2(-q^{2})} - \frac{b - a}{2q}\, \frac{p}{2}.
\]

Le calcul de \Eqref{(g)}~et~\Eqref{(h)} nous donne à présent successivement:
\begin{align*}
H_{3} &= \frac{1}{4(-q^{2})^{2}} \left\{
  p + \frac{p^{2} q^{2} + 3}{(-q^{2})}\, \frac{b - a}{2q} + 3p(a + b)
\right\}, \\
%
H_{4} &= \frac{1}{24(-q^{2})^{3}} \left\{
  6p + \frac{6p^{2} q^{2} + 30}{(-q^{2})}\, \frac{b - a}{2q}
     + (p^{2} q^{2} + 15) p(a + b)
\right\}, \\
%
H_{5} &= \frac{1}{96(-q^{2})^{4}} \left\{
  p(p^{2} q^{2} + 88)
  + \frac{p^{4} q^{4} + 45p^{2} q^{2} + 210}{(-q^{2})}\,
    \frac{b - a}{2q}\, (10p^{2} q^{2} + 105) p(a + b)
\right\}, \\
\multispan{2}{\dotfill} \dbreak
I_{3} &= \frac{1}{2(-q^{2})} \left\{
  \frac{2}{(-q^{2})} - p^{2} \frac{(a + b)}{2} + p\frac{b - a}{2q}
\right\}, \\
%
I_{4} &= \frac{1}{12(-q^{2})^{2}} \left\{
  \frac{p^{2} q^{2} + 26}{-q^{2}} - 6p^{2} \frac{a + b}{2}
    - (p^{2} q^{2} - 12) p \frac{b - a}{2q}
\right\} \\
\multispan{2}{\dotfill}
\end{align*}
%% -----File: 023.png---Folio 23-------
Vu la complication des formules \Eqref{(g)}~et~\Eqref{(h)}, l'on ne pourra mettre la valeur
générale de $H_{k}$~et~$I_{k}$ sous une forme assez simple pour pouvoir en faire usage.

\Par{8.} Le \Theorem{I} du \No{3} nous fournira ensuite pour les intégrales
$K$~et~$L$ les formules suivantes:
\begin{align*}
h \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h-1}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\, d·x^{h} \\
  &= \frac{e^{-px} x^{h}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} x^{h} \left\{
     \frac{-pe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
     + e^{-px} \frac{-k·2x }{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
   \right\} dx, \\
%
-p \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} \PadTo{x^{h-1}}{x^{h}}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{h}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\, d·e^{-px} \\
  &= \frac{e^{-px} x^{h}}{(x^{2} - q^{2})^{k} } \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} e^{-px}\left\{
     \frac{hx^{h-1}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
     + x^{h} \frac{-k·2x}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
   \right\} dx, \\
%
-2k \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} \PadTo{x^{h-1}}{\DPtypo{xh}{x^{h}}}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h}\, d·\frac{1}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \\
  &= \frac{e^{-px} x^{h}}{(x^{2} - q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\left\{
     hx^{h-1} e^{-px} - pe^{-px} x^{h}
   \right\} dx.
\end{align*}
Le terme intégré étant zéro, comme on a vu au numéro précédent, ces
trois équations se réduisent à une seule. Mais en vertu de ce que l'on a
observé plus haut, il faut distinguer entre le cas où $h$~est pair et est impair.
Si l'on met $2h$~et~$2h + 1$ successivement au lieu de~$h$, on a respectivement:
\[
0 = 2hL_{h-1, k} + 2kL_{h, k+1} + pK_{h, k}\quad\text{et}\quad
0 = (2h + 1) K_{h, k} + 2kK_{h+1, k+1} + pL_{h, k}.
\Tag{(i')}
\]
On peut se servir de ces deux équations pour éliminer réciproquement les~$L$
ou les~$K$: de cette manière on obtient:
\[
\left.
\begin{aligned}
0 &= p^{2} K_{h, k} + (4h^{2} - 4hk - 2h - k)\DPchg{}{·}2q^{2} K_{h, k+2} \\
  &\qquad- (2h - 1)\DPchg{}{·}2hq^{4} K_{h-1, k+2}
    - 2(k - h)(2k - 2h + 1) K_{h+1, k+2}\DPchg{}{,} \\
%
0 &= p^{2} L_{h, k} + (4h^{2} - 4hk + 2h - 3k)\DPchg{}{·}2q^{2} L_{h, k+2} \\
  &\qquad- (2h + 1)\DPchg{}{·}2hq^{4} L_{h-1, k+2}
    - 2(k - h)(2k - 2h - 1) L_{h+1, k+2}\DPchg{}{.}
\end{aligned}
\right\}\DPchg{.}{}
\Tag{(i)}
\]
Afin de pouvoir en faire usage, il sera plus commode de les ramener au
même index partiel. En premier lieu, par exemple, au même~$k$: alors il
faut substituer les équations identiques
\begin{align*}
K_{h, k} &= K_{h+2, k+2} - 2q^{2} K_{h+1, k+2} + q^{4} K_{h, k+2}, \\
%
L_{h, k} &= L_{h+2, k+2} - 2q^{2} L_{h+1, k+2} + q^{4} L_{h, k+2};
\end{align*}
et l'on obtient, en diminuant~$k$ de deux unités après la réduction:
\[
%[** TN: Re-broken]
\left.
\begin{alignedat}{2}
0 &= p^{2} K_{h+1, k}
  &&- \bigl\{p^{2} q^{2} + (k - h - 1)(2k - 2h - 1)\bigr\}\DPchg{}{·}2K_{h, k} \\
  &&&+ \bigl\{p^{2} q^{2} + 2(4h^{2} - 4hk - 2h + 3k)\bigr\} q^{2} K_{h-1, k}  \\
  &&&- (h - 1)(2h - 3)\DPchg{}{·}2q^{4} K_{h-2, k}\DPchg{}{,} \\[4pt]
%
0 &= p^{2} L_{h+1, k}
  &&- \bigl\{p^{2} q^{2} + (k - h - 1)(2k - 2h - 3)\bigr\}\DPchg{}{·}2L_{h, k} \\
  &&&+ \bigl\{p^{2} q^{2} + 2(4h^{2} - 4hk + 2h - k)\bigr\} q^{2} L_{h-1, k} \\
  &&&- (h - 1)(2h - 1)\DPchg{}{·}2q^{4} L_{h-2, k}\DPchg{}{.}
\end{alignedat}
\right\}\DPchg{.}{}
\Tag{(k)}
\]
%% -----File: 024.png---Folio 24-------
Pour $k=1$, on a $K_{h, 1} = G_{2h}$, $L_{h, 1} = G_{2h+1}$; on a dans ce cas pour
ces formules:
\begin{align*}
%[** TN: Re-broken]
0 = p^{2} G_{2h+2} &- \bigl\{p^{2} q^{2} + h(2h - 1)\bigr\}\DPchg{}{·}2G_{2h} \\
  &+ \bigl\{p^{2} q^{2} + 2(4h^{2} - 6h + 3)\bigr\} q^{2} G_{2h-2} \\
  &- (h - 1)(2h - 3)\DPchg{}{·}2q^{4} G_{2h-4}, \\
%
0 = p^{2} G_{2h+3} &- \bigl\{p^{2} q^{2} + h(2h + 1)\bigr\}\DPchg{}{·}2G_{2h+1} \\
  &+ \bigl\{p^{2} q^{2} + 2(4h^{2} - 2h - 1)\bigr\} q^{2} G_{2h-1} \\
  &- (h - 1)(2h - 1)\DPchg{}{·}2q^{4} G_{2h-3},
\end{align*}
équations, qui sont identiques par la substitution des formules~\Eqref{(f)}, comme il
doit être.

Au contraire, l'on pourrait aussi ramener les formules~\Eqref{(i)} au même index~$h$:
dans ce cas on a les substitutions
\begin{align*}
\llap{$K_{h, k}$} &= K_{h-1, k-1} + q^{2} K_{h-1, k}, &
L_{h, k} &= L_{h-1, k-1} + q^{2} L_{h-1, k}, \\
%
\llap{$K_{h+1, k}$} &= K_{h-1, k-2} + 2q^{2} K_{h-1, k-1} + q^{4} K_{h-1, k},&
L_{h+1, k} &= L_{h-1, k-2} + 2q^{2} L_{h-1, k-1} + q^{4} L_{h-1, k}.
\end{align*}
A l'aide de ces formules, en diminuant~$k$ d'une unité, et en augmentant~$h$
d'une unité, après les substitutions diverses, on a enfin:
\[
\left.
\begin{aligned}
0 = &- k(k - 1)\DPchg{}{·}4q^{4} K_{h, k+1}
  + (4h - 4k + 5)(k - 1)\DPchg{}{·}2q^{2} K_{h, k} \\
    &+ \bigl\{p^{2} q^{2} - 2(k - h - 2)(2k - 2h - 3)\bigr\} K_{h, k-1}
     + p^{2} K_{h, k-2}, \\
%
0 = &- k(k - 1)\DPchg{}{·}4q^{4} L_{h, k+1}
  + (4h - 4k + 7)(k - 1)\DPchg{}{·}2q^{2} L_{h, k} \\
    &+ \bigl\{p^{2} q^{2} - 2(k - h - 2)(2k - 2h - 5)\bigr\} L_{h, k-1}
     + p^{2} L_{h, k-2}.
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(l)}
\]
Pour $h = 0$, on a $K_{0, k} = H_{k}$, $L_{0, k} = I_{k}$: donc ces formules donnent:
\begin{alignat*}{4}
\llap{$0 ={}$}&-k(k - 1)\DPchg{}{·}4q^{4} H_{k+1}
  &&- (4k - 5)(k - 1)\DPchg{}{·}2q^{2} H_{k}
  &&+ \bigl\{p^{2} q^{2} - 2(k - 2)(2k - 3)\bigr\} H_{k-1} &&+ p^{2} H_{k-2}, \\
%
\llap{$0 = {}$}&-k(k - 1)\DPchg{}{·}4q^{4} I_{k+1}
  &&- (4k - 7)(k - 1)\DPchg{}{·}2q^{2} I_{k}
  &&+ \bigl\{p^{2} q^{2} - 2(k - 2)(2k - 5)\bigr\} I_{k-1} &&+ p^{2} I_{k-2}.
\end{alignat*}
Ces derniers résultats doivent être identiques avec les formules \Eqref{(g)}~et~\Eqref{(h)};
en effet la substitution de ces dernières en \DPtypo{demontre}{démontre} la vérité.

Si les formules \Eqref{(g)}~et~\Eqref{(h)} étaient déjà trop compliquées pour se traduire en
expression générale, simple, à plus forte raison ces formules \Eqref{(i)},~\Eqref{(h)} ou~\Eqref{(l)}
ne permettent pas de chercher un tel résultat. Néanmoins elles sont propres
à déduire dans chaque cas spécial, pour des valeurs données de $h$~et~$k$, une
intégrale $K_{h, k}$~ou~$L_{h, k}$, soit par les formules \Eqref{(g)}~et~\Eqref{(h)}, soit par les équations
\Eqref{(9)}~et~\Eqref{(10)} en faisant usage respectivement des équations \Eqref{(k)}~ou~\Eqref{(l)}:
la dernière voie sera bien la plus aisée à suivre.
%% -----File: 025.png---Folio 25-------

\Par{9.} Quant aux intégrales au dénominateur $(x^{2} + q^{2})^{k}$, leurs valeurs et les
formules de réduction respectives se déduisent de la même manière, que pour
les précédentes, dont on s'est occupé dans les trois derniers numéros. Pour
celles-ci, si l'on met:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} \PadTo{x^{2h+1}}{x^{2h}}\, dx}{x^{2} + q^{2}} &= M_{2h}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{2} + q^{2})^{k}} &= N_{k}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} \PadTo{x^{2h+1}}{x^{2h}}\, dx}{(x^{2} + q^{2})^{k}} &= P_{h, k}, \\
%
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2h+1}\, dx}{x^{2} + q^{2}} &= M_{2h+1}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{(x^{2} + q^{2})^{k}} &= O_{k}, &
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2h+1}\, dx}{(x^{2} + q^{2})^{k}} &= Q_{h, k},
\end{align*}
on trouve, en ayant égard aux formules \Eqref{(III)}~et~\Eqref{(IV)}, savoir $M_{0} = \dfrac{1}{q} c$ et
$M_{1} = d$, au lieu des formules \Eqref{(9)}~et~\Eqref{(10)} les suivantes:
\[
\left.
\begin{alignedat}{4}
M_{2h} &= (-1)^{h} cq^{2h-1}
  &&+ \frac{1}{p^{2h-1}} &&\sum_{1}^{h} 1^{2h-2n/1} &&(-p^{2} q^{2})^{n-1}, \\
%
M_{2h+1} &= (-1)^{h} dq^{2h}
  &&+ \frac{1}{p^{2h}} &&\sum_{1}^{h} 1^{2h-2n+1/1} &&(-p^{2} q^{2})^{n-1}.
\end{alignedat}
\right\}
\Tag{(11)}
\]
De la même manière les formules \Eqref{(g)}~et~\Eqref{(h)} deviennent ici:
\[
\left.
\begin{aligned}
4q^{2}·k(k - 1) N_{k+1}
  &= \frac{p}{q^{2k-2}} + 2(k - 1)(2k - 1) N_{k} - p^{2} N_{k-1}, \\
%
4q^{2}·k(k - 1) O_{k+1}
  &= \frac{1}{q^{2k-1}} + 2(k - 1)(2k - 3) O_{k} - p^{2} O_{k-1}\DPtypo{.}{,}
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(m)}
\]
avec les cas spéciaux:
\begin{align*}
N_{0} &= \frac{1}{p}\qquad \text{Voir \Eqref{(V)}}, &
O_{0} &= \frac{1}{p^{2}}\qquad \text{Voir \Eqref{(VI)}}, \\
%
N_{1} &= \frac{1}{\DPtypo{p}{q}}c\qquad \text{Voir \Eqref{(III)}}, &
O_{1} &= d\qquad \text{Voir \Eqref{(IV)}}, \\
%
N_{2} &= \frac{1}{2q^{2}} \left(1N_{1} - pO_{1}\right)
  = \frac{1}{2q^{2}} \left(\frac{1}{q}c - pd\right), &
O_{2} &= -\tfrac{1}{2} \left(\frac{-1}{q^{2}} + pN_{1}\right)
  = \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{q^{2}} - \frac{p}{q} c\right), \\
%
&\qquad\qquad\text{etc.} && \qquad\qquad\text{etc.}
\end{align*}
tandis qu'\DPtypo{ }{}au lieu des équations de réduction \Eqref{(i)},~\Eqref{(k)} et~\Eqref{(l)}, il faut mettre
respectivement les suivantes:
%% -----File: 026.png---Folio 26-------
\begin{align*}
%[** TN: Re-broken]
&\left.
\begin{alignedat}{2}
0 &= p^{2} P_{h, k} &&- (4h^{2} - 4hk - 2h - k)\DPchg{}{·}2q^{2} P_{h, k+2} \\
  &&&- (2h - 1)\DPchg{}{·}2hq^{4} P_{h-1, k+2} \\
  &&&- 2(k - h)(2k - 2h + 1) P_{h+1, k+2}, \\
%
0 &= p^{2} Q_{h, k} &&- (4h^{2} - 4hk + 2h - 3k)\DPchg{}{·}2q^{2} Q_{h, k+2} \\
  &&&- (2h + 1)\DPchg{}{·}2hq^{4} Q_{h-1, k+2} \\
  &&&- 2(k - h)(2k - 2h - 1) Q_{h+1, k+2},
\end{alignedat}
\right\}
\Tag{(n)} \dbreak
%
&\left.
\begin{alignedat}{2}
0 &= p^{2} P_{h+1, k}
  &&+ \left\{p^{2} q^{2} - (k - h - 1)(2k - 2h - 1)\right\}\DPchg{}{·}2P_{h, k} \\
  &&&+\left\{p^{2} q^{2} - 2(4h^{2} - 4hk - 2h - 3k)\right\} q^{2} P_{h-1, k} \\
  &&&- (h - 1)(2h - 3)\DPchg{}{·}2q^{4} P_{h-2, k}, \\
%
0 &= p^{2} Q_{h+1, k}
  &&+ \left\{p^{2} q^{2} - (k - h - 1)(2k - 2h - 3)\right\}\DPchg{}{·}2Q_{h, k} \\
  &&&+\left\{p^{2} q^{2} - 2(4h^{2} - 4hk + 2h - k)\right\} q^{2} Q_{h-1, k} \\
  &&&- (h - 1)(2h - 1)\DPchg{}{·}2q^{4} Q_{h-2, k},
\end{alignedat}
\right\}
\Tag{(o)} \dbreak
%
&\left.
\begin{alignedat}{2}
0 &= k(k - 1)\DPchg{}{·}4q^{4} P_{h, k+1}
  &&+ (4h - 4k + 5)(h - 1)\DPchg{}{·}2q^{2} P_{h, k} \\
  &&&+ \left\{p^{2} q^{2} + 2(k - h - 2)(2k - 2h - 3)\right\} P_{h, k-1} \\
  &&&- p^{2} P_{h, k-2}, \\
%
0 &= k(k - 1)\DPchg{}{·}4q^{4} Q_{h, k+1}
  &&+ (4h - 4k + 7)(h - 1)\DPchg{}{·}2q^{2} Q_{h, k} \\
  &&&+ \left\{p^{2} q^{2} + 2(k - h - 2)(2k - 2h - 5)\right\} Q_{h, k-1} \\
  &&&- p^{2} Q_{h, k-2}.
\end{alignedat}
\right\}
\Tag{(p)}
\end{align*}
L'emploi de ces formules est restreint tout comme celui des formules analogues
\Eqref{(i)},~\Eqref{(k)} et~\Eqref{(l)}: c'est-à-dire, qu'elles peuvent fournir aisément des résultats
pour chaque cas spécial, sans toutefois être susceptibles de pouvoir
donner une valeur simple pour les intégrales générales $N_{k}$,~$O_{k}$, $P_{h,k}$,~$Q_{h,k}$.

\Par{10.} {\stretchyspace Puisque nous connaissons à présent les intégrales à dénominateur}
$(x^{2} - q^{2})^{k}$ et $(x^{2} + q^{2})^{k}$, dont on a traité respectivement dans les \No{6} à
8~et~9, nous pourrions en déduire les intégrales de même forme, mais à
dénominateur $(x^{4} - q^{4})^{k}$. L'équation de réduction
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h-4}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  - q^{4} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h-4}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
\]
nous montre d'abord, que nous avons à distinguer ici entre quatre classes
d'intégrales, où les valeurs de~$h$ sont respectivement de la forme
\[
4h,\qquad 4h + 1,\qquad 4h + 2,\qquad 4h + 3.
\]
En effet, si l'on nomme l'intégrale
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{x^{4} - q^{4}} = R_{h},
\]
%% -----File: 027.png---Folio 27-------
l'équation précédente mène aisément par le chemin du \Numero{2} aux formules
suivantes:
\[
\left.
\begin{alignedat}{2}
R_{4h} &= \frac{1^{4h-4/1}}{p^{4h-3}} + q^{4} R_{4h-4}
  &&= q^{4h} R_{0}
  + \frac{1}{p^{4h-3}} \sum_{1}^{h} 1^{4h-4n\DPtypo{}{/}1} (p^{4} q^{4})^{n-1}, \\
%
R_{4h+1} &= \frac{1^{4h-3/1}}{p^{4h-2}} + q^{4} R_{4h-3}
  &&= q^{4h} R_{1}
  + \frac{1}{p^{4h-2}} \sum_{1}^{h} 1^{4h-4n+1/1} (p^{4} q^{4})^{n-1}, \\
%
R_{4h+2} &= \frac{1^{4h-2/1}}{p^{4h-1}} + q^{4} R_{4h-2}
  &&= q^{4h} R_{2}
  + \frac{1}{p^{4h-1}} \sum_{1}^{h} 1^{4h-4n+2/1} (p^{4} q^{4})^{n-1}, \\
%
R_{4h+3} &= \frac{1^{4h-1/1}}{p^{4h}} + q^{4} R_{4h-1}
  &&= q^{4h} R_{3}
  + \frac{1}{\PadTo{p^{4h-1}}{p^{4h}}} \sum_{1}^{h} 1^{4h-4n+3/1} (p^{4} q^{4})^{n-1}.
\end{alignedat}
\right\}
\Tag{(q)}
\]
Ces formules font voir qu'il y a vraiment quatre classes distinctes et indépendantes,
et que pour la connaissance de ces intégrales générales il nous faut
auparavant la valeur des intégrales spéciales $R_{0}$,~$R_{1}$, $R_{2}$,~$R_{3}$. On peut
observer ici, que ces mêmes formules résulteraient soit de l'addition, soit
de la soustraction des équations \Eqref{(9)},~\Eqref{(10)} et~\Eqref{(11)}: remarque analogue à celle
faite à la fin du \No{6}, et qui donnerait des formules de réduction tout-à-fait
semblables à celles, que l'on a trouvées là.

Quant aux intégrales nécessaires $R_{0}$,~$R_{1}$, $R_{2}$,~$R_{3}$, la soustraction et l'addition
des formules \Eqref{(III)}~et~\Eqref{(VII)} nous fournissent:
\[
\left.
\begin{gathered}
R_{0} = \frac{1}{4q^{3}} (b - a - 2c), \qquad
R_{2} = \frac{1}{4q    } (b - a + 2c), \\
%
\makebox[0pt][c]{\makebox[\textwidth-1em][l]{comme celles des formules \Eqref{(IV)}~et~\Eqref{(VIII)} les suivantes:}} \\
%
R_{1} = \frac{1}{4q^{2}} (b + a-2d), \qquad
R_{\DPtypo{4}{3}} = \frac{1}{4} (b + a + 2d).
\end{gathered}
\right\}
\Tag{(12)}
\]
On a donc enfin:
\[
\left.
\begin{alignedat}{4}
R_{4h} &= \frac{-a + b - 2c}{4} q^{4h-3}
  &&+ \frac{1}{p^{4h-3}} &&\sum_{1}^{h} 1^{4h-4n/1} &&(p^{4} q^{4})^{n-1}, \\
%
R_{4h+1} &= \frac{\Neg a + b - 2d}{4} q^{4h-2}
  &&+ \frac{1}{p^{4h-2}} &&\sum_{1}^{h} 1^{4h-4n+1/1} &&(p^{4} q^{4})^{n-1}, \\
%
R_{4h+2} &= \frac{-a + b + 2c}{4} q^{4h-1}
  &&+ \frac{1}{p^{4h-1}} &&\sum_{1}^{h} 1^{4h-4n+2/1} &&(p^{4} q^{4})^{n-1}, \\
%
R_{4h+3} &= \frac{\Neg a + b + 2d}{4} q^{4h}
  &&+ \frac{1}{p^{4h}}   &&\sum_{1}^{h} 1^{4h-4n+3/1} &&(p^{4} q^{4})^{n-1}.
\end{alignedat}
\right\}
\Tag{(13)}
\]
%% -----File: 028.png---Folio 28-------

Suivent les intégrales
\[
\int_{0}^{\infty} \!\!\!\frac{e^{-px}\, dx}    {(x^{4} - q^{4})^{k}} = S_{k},\
\int_{0}^{\infty} \!\!\frac{e^{-px} x\, dx}  {(x^{4} - q^{4})^{k}} = T_{k},\
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}} = U_{k},\
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{3}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}} = V_{k},
\]
qui sont toutes distinctes par la même cause, qui fournissait les quatre valeurs
des~$R$, c'est-à-dire, que les exposants~$h$ des quatre formes mentionnées
précédemment ne peuvent se réduire l'un à l'autre, mais qu'ils sont
tout-à-fait indépendants.

Commençons à y appliquer le Théorème du \No{3}, afin d'obtenir des formules,
qui pourront servir à la réduction successive et indépendante de ces
quatre séries d'intégrales, et prenons à cette fin pour~$f(x)$ successivement
$x$,~$x^{2}$,~$x^{3}$,~$x^{4}$, ou~$e^{-px}$, ou encore~$(x^{4} - q^{4})^{-k}$, tout comme nous avons
fait auparavant, lorsque nous avions à étudier les intégrales à dénominateur
$(x ± q)^{k}$~etc.

La première supposition nous donne
\begin{align*}
\llap{$\ds\int_{0}^{\infty}$} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  &= \frac{xe^{-px}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
  - \int_{0}^{\infty} x\left\{
    \frac{-pe^{-px}}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
    + e^{-px}\, \frac{-k·4x^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  \right\} dx \\
%
  &= \frac{xe^{-px}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
  + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx \left\{
    \frac{px}{(x^{4} - q^{4})^{k}} + \frac{4k}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
    \DPtypo{-}{+} \frac{4kq^{4}}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  \right\};
%\end{align*}
\intertext{et de même}
%\begin{align*}
\llap{$\ds2 \int_{0}^{\infty}$} \frac{e^{-px} x\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  &= \frac{x^{2} e^{-px}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
  + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx \left\{
    \frac{px^{2}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} + \frac{4kx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
    + \frac{4k q^{4}x}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  \right\}, \\
%
\llap{$\ds3 \int_{0}^{\infty}$} \frac{e^{-px} x^{2}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  &= \frac{x^{3} e^{-px}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
  + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx \left\{
    \frac{px^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} + \frac{4kx^{2}}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
    + \frac{4k q^{4} x^{2}}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  \right\}, \\
%
\llap{$\ds4 \int_{0}^{\infty}$} \frac{e^{-px} x^{3}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  &= \frac{x^{4} e^{-px}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
  + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx \left\{
    \begin{aligned}%[** TN: Added line break]
      &\frac{p}{(x^{4} - q^{4})^{k-1}} + \frac{pq^{4}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \\
      &\quad + \frac{4k x^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
      + \frac{4k q^{4} x^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
    \end{aligned}
  \right\},
\end{align*}
ce qui revient à écrire --- à cause de la valeur zéro qu'obtient le terme intégré
d'après le même raisonnement que dans le \No{7}~---
\[
\left.
\begin{alignedat}{2}
S_{k} &= pT_{k} + 4kS_{k} + 4kq^{4} S_{k+1}, &\text{ ou }
0 &= \DPtypo{}{p}T_{k} + (4k - 1) S_{k} + 4kq^{4} S_{k+1}, \\
%
2T_{k} &= pU_{k} + 4kT_{k} + 4kq^{4} T_{k+1}, &\text{ ou }
0 &= \DPtypo{}{p}U_{k} + (4k - 2) T_{k} + 4kq^{4} T_{k+1}, \\
%
3U_{k} &= pV_{k} + 4kU_{k} + 4kq^{4} U_{k+1},\quad &\text{ ou }
0 &= \DPtypo{}{p}V_{k} + (4k - 3) U_{k} + 4kq^{4} \DPtypo{V}{U}_{k+1}, \\
%
4V_{k} & \begin{aligned}[t]
  &= pS_{k-1} + pq^{4} S_{k} \\ &+ 4kV_{k} + 4kq^{4} V_{k+1},
\end{aligned} &\text{ ou }
0 & \begin{aligned}[t]
  &= pS_{k-1} + pq^{4} S_{k} \\ &+ (4k - 4) V_{k} + 4kq^{4} V_{k+1}.
\end{aligned}
\end{alignedat}
\right\}
\Tag{(r')}
\]
%% -----File: 029.png---Folio 29-------

Encore a-t-on par la deuxième supposition pour~$f(x)$:
\begin{align*}
-p \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  &= \frac{e^{-px}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, \frac{-k·4x^{3}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
   \DPchg{}{,} \dbreak
%
-p \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  &= \frac{e^{-px} x}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} e^{-px} \left\{
     \frac{1}{(x^{4} - q^{4})^{k}} + x\frac{-k·4x^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
   \right\} dx \\
%
  &= \frac{e^{-px} x}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx \left\{
     \frac{4k - 1}{(x^{4} - q^{4})^{k}} + \frac{4kq^{4}}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
   \right\}\DPchg{.}{,} \dbreak
%
-p \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  &= \frac{e^{-px} x^{2}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} e^{-px} \left\{
     \frac{2x}{(x^{4} - q^{4})^{k}} + x^{2} \frac{-k·4x^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
   \right\} dx \\
%
  &= \frac{e^{-px} x^{2}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx \left\{
     \frac{(4k - 2) x}{(x^{4} - q^{4})^{k}} + \frac{4kq^{4} x}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
   \right\}\DPchg{.}{,} \dbreak
%
-p \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{3}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  &= \frac{e^{-px} x^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} e^{-px} \left\{
     \frac{3x^{2}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} + x^{3} \frac{-k·4x^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
   \right\} dx \\
%
  &= \frac{e^{-px} x^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   + \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dx\left\{
     \frac{(4k - 3) x^{2}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} + \frac{4kq^{4} x^{2}}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
   \right\}.
\end{align*}
Or pour la première de ces quatre équations, le terme intégré devient $\dfrac{1}{(-q^{4})^{k}}$
pour la limite inférieure~$0$ de~$x$, tandis qu'il devient pour la limite supérieure
$x = \infty$, $\dfrac{1}{\infty·\infty^{k}} = 0$: donc cette équation donne
\[
-p S_{k} = -\frac{1}{(-q^{4})^{k}} + 4kV_{k};
\Tag{(r'')}
\]
tandis que les trois équations suivantes sont absolument les mêmes que les
trois premières de celles, que l'on a trouvées en premier lieu: et cela parceque
les termes intégrés s'annulent ici par la même raison, qui avait lieu là.

Enfin on obtient par la troisième supposition:
\begin{align*}
-4k \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{3}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  &= \frac{e^{-px}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{4} - q^{4})^{k}} (-pe^{-px}\, dx), \\
%
-4k \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{4}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  &= \frac{e^{-px} x}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \left\{
     -pe^{-px} x + e^{-px}
   \right\} dx, \\
%% -----File: 030.png---Folio 30-------
-4k \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{5}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  &= \frac{e^{-px} x^{2}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{4} - q^{4})^{k}}\left\{
     -pe^{-px} x^{2} + 2xe^{-px}
   \right\} dx, \\
%
-4k \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{6}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  &= \frac{e^{-px} x^{3}}{(x^{4} - q^{4})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^{4} - q^{4})^{k}}\left\{
     -pe^{-px} x^{3} + 3x^{2} e^{-px}
   \right\} dx.
\end{align*}
En observant que d'un autre côté, on a identiquement:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{4}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  + q^{4} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}, \\
%
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{5}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  + q^{4} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}, \\
%
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{6}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k}}
  + q^{4} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2}\, dx}{(x^{4} - q^{4})^{k+1}},
\end{align*}
on voit facilement que ces quatre formules coincident directement avec les
quatre équations précédentes: de sorte que nous avons les cinq équations
différentes \Eqref{(r')}~et~\Eqref{(r'')} pour chercher des équations de réduction entre les
intégrales des quatre classes diverses séparément. Dans ce but substituons
la valeur de~$S_{k}$ de~\Eqref{(r'')} dans la première des équations~\Eqref{(r')}; la résultante
exprimera~$T_{k}$ en fonction de divers~$V$: substituons cette valeur dans la
deuxième de~\Eqref{(r')}, et l'intégrale~$U_{k}$ se trouve donnée par divers~$V$: enfin
éliminons les~$U$ entre cette dernière équation et la troisième des~\Eqref{(r')}: il en
résultera une équation de condition entre les~$V$ seulement; et maintenant
à l'aide des équations originales, on peut aisément obtenir des formules où
l'on ne rencontre que les seules intégrales $S$,~$U$, ou~$T$. Le résultat sera
enfin donné par les formules suivantes:
\[
\left.
\begin{aligned}
%[** TN: Extensively reformatted]
\llap{$0$} &= \frac{6}{(-q^{4})^{k}}
  - \left\{p^{4} - (4k - 3)(4k - 2)(4k - 1)\DPchg{}{·}4k\right\} V_{k} \\
  &\qquad + (16k^{2} + 1) k(k + 1)\DPchg{}{·}48 q^{4} V_{k+1} \\
  &\qquad + (2k + 1) k(k + 1)(k + 1)\DPchg{}{·}384 q^{8} V_{k+2} \\
  &\qquad + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)·256 q^{12} V_{k+3}, \\[4pt]
  %
\llap{$0$} &= \frac{6p}{(-q^{4})^{k}}
  + \left\{p^{4} - (4k - 3)(4k - 2)(4k - 1)\DPchg{}{·}4k\right\} (4k - 3) U_{k} \\
  &\qquad + \left\{p^{4} - (256k^{4} + 144k^{3} + 104k^{2} + 9k + 3) 4\right\} 4kq^{4} U_{k+1} \\
  &\qquad -(32k^{3} + 76k^{2} + 67k + 21) k(k + 1)\DPchg{}{·}192q^{8} U_{k+2} \\
  &\qquad -(16k^{2} + 51k + 39) k(k + 1)(k + 2)·256q^{12} U_{k+3} \\
  &\qquad -k(k + 1)(k + 2)(k + 3)^{2}\DPchg{}{·}1024 q^{16} U_{k+4}, \\[4pt]
%% -----File: 031.png---Folio 31-------
\llap{$0$} &= \frac{3p^{2}}{(-q^{4})^{k}}
  - \left\{p^{4} - (4k - 3)(4k - 2)(4k - 1)\DPchg{}{·}4k\right\}(4k - 3)(2k - 1) T_{k} \\
  &\qquad -\left\{p^{4}(8k - 1) - \DPtypo{}{(}640k^{5} + 256k^{4} + 584k^{3} + 64k^{2} + 24k + 3)\DPchg{}{\!·\!}8\right\} 2kq^{4} T_{k+1} \\
  &\qquad -\left\{p^{4} - (640k^{4} + 1632k^{3} + 2276k^{2} + 1239k + 39) 4\right\} k(k + 1)\DPchg{}{·}8q^{8} T_{k+2} \\
  &\qquad + (160k^{3} + 592k^{2} + 723k + 36) k(k + 1)(k + 2)\DPchg{}{·}128q^{12} T_{k+3} \\
  &\qquad + (20k^{2} + 77k + 45) k(k + 1)(k + 2)(k + 3)\DPchg{}{·}512q^{16} T_{k+4} \\
  &\qquad + k(k + 1)(k + 2)^{2} (k + 3)^{2}\DPchg{}{·}4096q^{20} T_{k+5}, \\[4pt]
%
\llap{$0$} &= \frac{p^{3}}{(-q^{4})^{k}}
  - \left\{p^{4} - (4k - 3)(4k - 2)(4k - 1)\DPchg{}{·}4k\right\} S_{k} \\
  &\qquad + (16k^{2} + 1) k^{2}\DPchg{}{·}48q^{4} S_{k+1} \\
  &\qquad + (2k + 1) k^{2}(k + 1)\DPchg{}{·}384q^{8} S_{k+2} \\
  &\qquad + k^{2}(k + 1)(k + 2)\DPchg{}{·}256q^{12} S_{k+3}.
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(s)}
\]

\Par{11.} On pourrait encore aller plus loin et déterminer généralement les intégrales
de la forme
\[
\int_{0}^{\infty}
  \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{(x + q)^{k} (x - q)^{l} (x^{2} + q^{2})^{m}},
\]
mais outre que les réductions deviennent de plus en plus compliquées, ces
intégrales ne sont plus aussi remarquables que les précédentes. Car, en
mettant successivement~$x$ au lieu de~$x^{2}$ et de~$x^{4}$ --- ce qui est évidemment
permis, puisque entre les mêmes limites ces fonctions de~$x$, savoir $x^{2}$~et~$x^{4}$,
restent continues, et n'ont ni un maximum ni un minimum --- les limites
de la nouvelle variable~$x$ restent les mêmes $0$~et~$\infty$. Dès-lors les formules
trouvées donneront aussi la valeur des intégrales suivantes:
\begin{alignat*}{4}
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}} x^{h}\, dx}{x - q^{2}} &&= 2G_{2h+1}, &
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}} x^{h}\, dx}{x - q^{2}}\, \Sqrt{x} &&= 2G_{2h+2}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}}\, dx}{(x - q^{2})^{k}} &&= 2I_{k}, &
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}}\, dx}{(x - q^{2})^{k}}\, \Sqrt{x} &&= 2H_{k+1}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}} x^{h}\, dx}{(x - q^{2})^{k}} &&= 2L_{h,k}, &
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}} x^{h}\, dx}{(x - q^{2})^{k}}\, \Sqrt{x} &&= 2K_{h+1, k}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}} x^{h}\, dx}{x + q^{2}} &&= 2M_{2h+1},\qquad &
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}} x^{h}\, dx}{x + q^{2}}\, \Sqrt{x} &&= 2M_{2h+2}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}}\, dx}{(x + q^{2})^{k}} &&= 2O_{k}, &
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}}\, dx}{(x + q^{2})^{k}}\, \Sqrt{x} &&= 2N_{k+1}, \\
%% -----File: 032.png---Folio 32-------
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}} x^{h}\, dx}{(x + q^{2})^{k}} &&= 2Q_{h, k}, &
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt{x}} x^{h}\, dx}{(x + q^{2})^{k}}\, \Sqrt{x} &&= 2P_{h+1, k}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt[4]{x}} x^{h}\, dx}{x - q^{4}} &&= 4R_{4h+3}, &
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt[4]{x}} x^{h}\, dx}{x - q^{4}}\, \Sqrt{x} &&= 4R_{4h+5}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt[4]{x}}\, dx}{(x - q^{4})^{k}} &&= 4V_{k}, &
&\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-p\Sqrt[4]{x}}\, dx}{(x - q^{4})^{k}}\, \Sqrt{x} &&= T_{k+1}.
\end{alignat*}
De ces deux séries d'intégrales semblables, la première peut être regardée
comme la suite de la série des intégrales \Eqref{(I)},~\Eqref{(1)}, \Eqref{(3)}, \Eqref{(5)} et~\Eqref{(II)}\DPtypo{}{,} \Eqref{(2)},
\Eqref{(4)},~\Eqref{(6)}: la différence consiste en ce que l'exponentielle~$e^{-px}$ est changée
ici en~$e^{-p\Sqrt{x}}$~et~$e^{-p\Sqrt[4]{x}}$.
\ctb

\Par{12.} Passons à un autre genre d'application du \Theorem{I}, démontré
dans le \No{3}. Jusqu' ici nous avions pris pour~$f(x)$ soit~$x^{h}$, soit~$(x ± q)^{-k}$,
$(x^{2} ± q^{2})^{-k}$, soit~$e^{-px}$, et nous avons vu que ces trois suppositions différentes
menaient généralement aux mêmes \DPtypo{resultats}{résultats} auprès des intégrales étudiées
plus haut. Maintenant prenons pour~$f(x)$ en premier lieu $\frac{1}{2} l·(q ± x)^{2}$
ou $\frac{1}{2} l·(q^{2} ± x^{2})^{2}$, forme à laquelle se prêtent les intégrales citées ou trouvées:
le résultat sera tout autre que celui qu'on vient d'obtenir, puisque,
outre les fonctions algébriques et exponentielles, on devra acquérir un logarithme
sous le signe d'intégration définie.

Commençons par les intégrales \Eqref{(I)},~\Eqref{(1)},~\Eqref{(3)},~\Eqref{(6)} et \Eqref{(II)},~\Eqref{(2)},~\Eqref{(4)},~\Eqref{(8)},
dont le dénominateur est respectivement $x + q$~et~$x - q$, et voyons d'abord,
si l'on peut déterminer la valeur du terme intégré entre les deux limites
$0$~et~$\infty$. L'expression la plus générale de ce terme est évidemment
\[
\frac{e^{-px} x^{h} l·(q ± x)^{2}}{(x ± q)^{k}}.
\]

Pour la limite $x = 0$, le facteur $e^{-px} l·(q ± x)^{2}·(x ± q)^{-k}$ est égal à
$l·q^{2} : (±q)^{k}$: il reste alors le facteur~$x^{h}$, dont la valeur est zéro pour $h > 0$:
pour $h = 0$ au contraire ce facteur n'existe pas; donc pour ces deux cas le
terme en question devient pour la limite inférieure
\[
0\quad\text{ou}\quad l·q^{2} : (±q)^{k},\quad
\text{selon que $h > $ ou $= 0$}.
\]
%% -----File: 033.png---Folio 33-------

Quant à l'autre limite $x = \infty$, il faut agir autrement: là la règle ordinaire
pour la détermination de la valeur indéterminée $\dfrac{e^{-\infty} \infty^{h} l·\infty}{\infty^{k}}$ donne pour la valeur
du terme:
\begin{align*}
\frac{l·(q ± x)^{2}}{e^{px} x^{-h} (x ± q)^{k}}
  &= \frac{±2 : (q ± x)}
    {pe^{px} x^{-h} (x ± q)^{k}
      - hx^{-h-1} e^{px} (x ± q)^{k}
      + k(x ± q)^{k-1} e^{px} x^{-h}} \\
%
  &= \frac{2x^{h+1}}{e^{px}\bigl[(px - h)(x ± q)^{k+1} + kx(x ± q)^{k}\bigr]} \\
%
  &= \frac{2x^{h+1}}
  {e^{px} \bigl[p(x ± q)^{k+2}
    - (pq + h - k)(x ± q)^{k+1}
    \mp kq(x ± q)^{k}\bigr]}.
\end{align*}

Si l'on poursuit la différentiation, on verra que le numérateur se réduit
enfin à~$1^{h+1/1}$, tandis que le dénominateur garde toujours la forme
\[
e^{px} \bigl[\dots (x ± q)^{k+2} + \dots\bigr];
\]
donc la fraction est toujours égale à~$\dfrac{1^{h+1/1}}{e^{\infty}·\infty} = 0$, sous la condition de $k > -2$:
ce qu'il s'agissait de chercher. On voit donc que le terme, déjà intégré,
a une valeur zéro dans les intégrales dérivées des équations \Eqref{(1)},~\Eqref{(2)}, \Eqref{(6)},~\Eqref{(8)}:
tandis que sa valeur pour les intégrales déduites des formules \Eqref{(I)},~\Eqref{(II)},~\Eqref{(3)}
et~\Eqref{(4)}, sera respectivement
\[
-l·q^{2},\quad
-l·q^{2},\quad
\frac{-l·q^{2}}{q^{k}},\quad
\frac{-l·q^{2}}{(-q)^{k}}.
\]

\Par{13.} Après ces observations préliminaires le théorème~I du \No{3} donnera
tout de suite par les intégrales \Eqref{(I)},~\Eqref{(II)}, \Eqref{(1)}, \Eqref{(2)}, \Eqref{(3)}, \Eqref{(4)}, \Eqref{(6)},~\Eqref{(8)} respectivement:
\begin{align*}
&2a = \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, d·l·(q + x)^{2}
  = -l·q^{2} - \int_{0}^{\infty} l·(q + x)^{2} (-pe^{-px}\, dx), \\
%
  &\qquad\qquad\therefore
  \int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2}\, dx = \frac{1}{p} (2a + l·q^{2})\DPchg{}{,}
\Tag{(14)} \\
%
&2b = \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, d·l·(q - x)^{2}
  = -l·q^{2} - \int_{0}^{\infty} l·(q - x)^{2} (-pe^{-px}\, dx), \\
%
  &\qquad\qquad\therefore
  \int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2}\, dx = \frac{1}{p} (2b + l·q^{2})\DPchg{}{,}
\Tag{(15)} \dbreak
%\end{align*}
%% -----File: 034.png---Folio 34-------
%\begin{align*}
&\left.
\begin{aligned}
2A_{h} &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h}·d·l·(q + x)^{2}
  = \int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2} \bigl\{px^{h} - hx^{h-1}\bigr\}\, dx\DPchg{}{,} \\
  %
2B_{h} &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h}·d·l·(q - x)^{2}
  = -\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2} \bigl\{px^{h} - hx^{h-1}\bigr\}\, dx\DPchg{}{,} \\
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(t')} \dbreak
&\left.
\begin{aligned}
%[** TN: Added line breaks]
2C_{k} &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x + q)^{k-1}}\, d·l·(q + x)^{2} \\
  &= -\frac{l·q^{2}}{q^{k-1}}
  - \int_{0}^{\infty} l·(q + x)^{2} \left\{
    \frac{-pe^{-px}}{(x + q)^{k-1}}
    + e^{-px} \frac{-(k - 1)}{(x + q)^{k} }
  \right\} dx\DPchg{}{,} \\
%
2D_{k} &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x - q)^{k-1}}\, d·l·(\DPtypo{q + x}{q - x})^{2} \\
  &= -\frac{l·q^{2}}{(-q)^{k-1}}
  - \int_{0}^{\infty} l·(q - x)^{2} \left\{
    \frac{-pe^{-px}}{(x - q)^{k-1}} + e^{-px} \frac{-(k - 1)}{(x - q)^{k}}
  \right\} dx\DPchg{}{,} \\
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(u')} \dbreak
&\left.
\begin{aligned}
2E_{h, k} &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}}{(x + q)^{k-1}}\, d·l·(q + x)^{2} \\
  &= -\int_{0}^{\infty} l·(q + x)^{2} \left\{
    \frac{-pe^{-px} x^{h} + hx^{h-1} e^{-px}}{(\DPtypo{x - q}{x + q})^{k-1}}
    + e^{-px} x^{h}\frac{-(k - 1)}{(\DPtypo{x - q}{x + q})^{k} }
  \right\} \DPtypo{}{dx}\DPchg{}{,} \\
%
2F_{h, k} &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}}{(x - q)^{k-1}}\, d·l·(q - x)^{2} \\
  &= -\int_{0}^{\infty} l·(q - x)^{2} \left\{
    \frac{-pe^{-px} x^{h} + hx^{h-1} e^{-px}}{(x - q)^{k-1}}
    + e^{-px} x^{h} \frac{-(k - 1)}{(x - q)^{k}}
  \right\} \DPtypo{}{dx}\DPchg{}{.}
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(v')}
\end{align*}

Les intégrales \Eqref{(t')}, \Eqref{(u')}, \Eqref{(v')} se présentent sous la forme d'une équation
de réduction. Tâchons de les ramener à une forme, où la valeur des intégrales
soit exprimée généralement. Si nous nommons:
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h}\, dx·l·(q + x)^{2} = A'_{h},\qquad
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h}\, dx·l·(q - x)^{2} = B'_{h},
\]
la première des équations \Eqref{(t')} donne:
\[
pA'_{h} - hA'_{h-1} = 2A_{h}\quad\text{ou}\quad
p^{h} A'_{h} = 2p^{h-1} A_{h} + hp^{h-1} A'_{h-1}.
\Tag{(t_{1})}
\]

Parceque $\DPtypo{A_{0}^{1}}{A'_{0}}$ n'est autre chose que l'intégrale~\Eqref{(14)} et qu'elle est connue
par conséquent, on trouve:
\begin{align*}
p   A'_{1} &= 2A_{1} + 1A'_{0}, \\
p^{2} A'_{2} &= p·2A_{2} + 2·2A_{1} + 1·2\DPchg{·}{}A'_{0}, \\
p^{3} A'_{3} &= p^{2}·3A_{3} + 3p·2A_{2} + 2·3·2A_{1} + 1·2·3\DPchg{·}{}A'_{0},
\intertext{donc en général}
p^{h} A'_{h}
  &= 1^{h/1} A'_{0} + 1^{h/1} \sum_{1}^{h} \frac{p^{m-1}}{1^{m/1}}\, 2A_{m},
\end{align*}
ou par la substitution de la valeur de~$A'_{0}$, tirée de l'équation~\Eqref{(14)},
\[
p^{h+1} A'_{h}
  = 1^{h/1} (2a + l·q^{2}) + 2·1^{h/1} \sum_{1}^{h} \frac{p^{m}}{1^{m/1}} A_{m}.
\Tag{(16)}
\]
%% -----File: 035.png---Folio 35-------

Mais si l'on veut éviter la sommation toujours difficile des diverses intégrales~$A_{h}$,
on peut substituer successivement dans chaque résultat précédent
les valeurs de~$A'_{h-1}$ trouvées par~\Eqref{(t_{1})}, et celles de~$A_{h}$ suivant la formule~\Eqref{(1)};
où l'on peut toujours prendre les intégrales $A'_{0}$~et~$A_{1}$ pour données. Alors
on trouvera l'équation:
\[
p^{h} A'_{h} = 1^{h/1} A'_{0}
  + 2^{h-1/1}\, 2A_{1} \sum_{0}^{h-1} 2^{n/1}(-pq)^{n}
  + \frac{2}{p}\, 3^{h-2/1} \sum_{0}^{h-2} \left\{
    \frac{(pq)^{n}}{3^{n/1}} \sum_{0}^{n} \frac{1^{m+1/1}}{(-pq)^{m}}
  \right\},
\]
donc par la substitution des valeurs connues de~$A'_{0}$ et de~$A_{1}$ on obtient enfin:
\begin{multline*}
%[** TN: Added line break]
p^{h+1} A'_{h} = 1^{h/1} (2a + l·q^{2})
  - 2(apq - 1) 2^{h-1/1} \sum_{0}^{h-1} 2^{n/1}(-pq)^{n} \\
  + \DPtypo{2}{\frac{2}{p}}·3^{h-2/1} \sum_{0}^{h-2} \left\{
    \frac{(pq)^{n}}{3^{n/1}}\sum_{0}^{n} \frac{1^{m+1/1}}{(-pq)^{m}}
  \right\}.
\Tag{(17)}
\end{multline*}

De même manière la seconde des équations~\Eqref{(t')} donnera respectivement,
en remarquant qu'ici $B'_{0}$~est donnée par l'équation~\Eqref{(15)}:
\begin{align*}
&pB'_{h} - hB'_{h-1} = 2B_{h},
\Tag{(t_{2})} \\
%
&p^{h+1} B'_{h}
  = 1^{h/1} (2b + l·q^{2}) + 2·1^{h/1} \sum_{1}^{h} \frac{p^{m}}{1^{m/1}} B_{m};
\Tag{(18)}
\end{align*}
d'où par la même méthode que ci-dessus, on trouve:
\begin{multline*}
%[** TN: Added line break]
p^{h+1} B'_{h}
  = 1^{h/1}(2b + l·q^{2})
  + 2(bpq + 1) 2^{h-1/1} \sum_{0}^{h-1} 2^{n/1}(pq)^{n} \\
  + 2·3^{h-2/1} \sum_{0}^{h-2} \left\{
    \frac{(-pq)^{n}}{3^{n/1}}\sum_{0}^{h}\frac{1^{m+1/1}}{(pq)^{m}}
  \right\}.
\Tag{(19)}
\end{multline*}

\Par{14.} Pour les intégrales qui suivent à présent, sav.
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} l·(q + x)^{2}}{(x + q)^{k}}\, dx = C'_{k},\qquad
%
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} l\DPchg{}{·}(q - x)^{2}}{(x - q)^{k}}\, dx = D'_{k},
\]
la première des équations~\Eqref{(u')} nous fournit d'abord:
\[
(k - 1) C'_{k} = \frac{l·q^{2}}{q^{k-1}} + 2C_{k} - pC'_{k-1}
\Tag{(u_{1})}
\]
formule, qui ne vaut que pour $k > 1$, comme l'on a remarqué au \No{12}.
Or on a par l'équation~\Eqref{(14)}
\[
%[** TN: Not displayed in the original]
C'_{0} = \frac{2a + l·q^{2}}{p};
\]
donc cette formule~\Eqref{(u_{1})} donne dans le cas de $k = 1$:
\[
0·C'_{1} = \frac{l·q^{2}}{q^{0}} + 2C_{1} - pC'_{0}
  = l·q^{2} + 2a - p \frac{2a + l·q^{2}}{p} = 0
\]
donc la valeur de~$C'_{1}$ est indéterminée ici, comme l'on pouvait s'y attendre
%% -----File: 036.png---Folio 36-------
d'avance, parceque la formule ne vaut plus pour ce cas; j'ai tâché en vain
de déterminer l'intégrale~$C'_{1}$ de quelque autre manière. Par suite de l'équation~\Eqref{(u_{1})}
toutes les intégrales~$C'_{k}$ restent indéterminées.

Tout de même nous aurons par la seconde des équations~\Eqref{(u')}:
\[
(k - 1) D'_{k} = \frac{l·q^{2}}{(-q)^{k-1}} + 2D_{k} - pD'_{k-1}
\Tag{(u_{2})}
\]
formule, qui, d'après la valeur de~$D'_{0}$ connue par l'intégrale~\Eqref{(15)}, ne donne
dans la supposition de $k = 1$, pour $D^{0}_{1}$ que~$0:0$, c'est-à-dire une valeur indéterminée;
donc on ne pourra déterminer ici aucune des intégrales~$D'_{k}$,
comme nous l'apprend l'équation~\Eqref{(u_{2})}.

Il est clair que les mêmes observations valent des intégrales contenues
dans les équations~\Eqref{(v')} où se trouve la même cause d'indétermination, savoir
le facteur~$k - 1$.

\Par{15.} Vient le tour des intégrales à dénominateur $q^{2} - x^{2}$, que l'on
pourra transformer par le \Theorem{I} du \No{3}, à l'aide de la supposition
$f(x) = \frac{1}{2} l·(q^{2} - x^{2})^{2}$. Ce sont les équations \Eqref{(VII)},~\Eqref{(VIII)}, \Eqref{(9)},~\Eqref{(10)},
\Eqref{(g)},~\Eqref{(h)},~\Eqref{(l)}. D'abord il faut chercher la valeur du terme déjà intégré, dont
la forme la plus générale sera:
\[
\frac{e^{-px} x^{h} l·(q^{2} - x^{2})^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}.
\]

Le facteur $e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}·(x^{2} - q^{2})^{-k}$ devient $\dfrac{2l·q^{2}}{(-q^{2})^{k}}$ pour la limite
inférieure~$0$ de~$x$: l'autre facteur~$x^{h}$ est zéro pour $h$~plus grand que zéro:
dans ce cas le terme sera nul; mais lorsqu'il n'y a pas de facteur~$x^{h}$, sa
valeur reste~$2l·q^{2}·(-q^{2})^{-k}$. Pour la limite supérieure~$\infty$ de~$x$, le terme
se présente sous la forme~$\dfrac{\infty·0·\infty}{\infty^{k}}$: donc il faut ici appliquer les règles
usuelles, comme suit:
\begin{align*}
%[** TN: Added line break]
&\frac{l(q^{2} - x^{2})^{2}}{e^{-px} x^{-h}(x^{2} - q^{2})^{k}} \\
  &\qquad= \frac{2·(-2x) : (q^{2} - x^{2})}
          {pe^{px} x^{-h}(x^{2} - q^{2})^{k} - hx^{-h-1}
            e^{px}(x^{2} - q^{2})^{k} + k·2x(x^{2} - q^{2})^{k-1} e^{px} x^{-h}} \\
%
  &\qquad= \frac{4x^{h+1}}{e^{px}
    \bigl[(p - hx)(x^{2} - q^{2})^{k+1} + 2kx(x^{2} - q^{2})^{k}\bigr]}.
\end{align*}

Tout comme au \No{12}, la valeur sera nulle, sous la condition de~$k \geqq 0$.
%% -----File: 037.png---Folio 37-------
Le terme intégré devient donc pour la suite des intégrales, suivant que dans
la numérateur de la fraction il y a le facteur~$x^{h}$ ou non:
\[
0\quad \text{et}\quad -\frac{2l·q^{2}}{(-q^{2})^{k}}.
\]

%[** TN: No parentheses arund equation numbers in the original]
Les intégrales \Eqref{(VII)}~et~\Eqref{(VIII)} donnent à présent par le \Theorem{I} du \No{3}:
\begin{align*}
%[** TN: Added line breaks]
4 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{x^{2} - q^{2}}
  &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{x}\, d·l·(q^{2} - x^{2})^{2} \\
  &= \frac{e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}}{x} \Ibar_{0}^{\infty}
  - \int_{0}^{\infty} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \left\{
    \frac{-pe^{-px}}{x} + e^{-px} \frac{-1}{x^{2}}
  \right\} dx, \\
%
4 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{x^{2} - q^{2}}
  &= \DPtypo{}{\int_{0}^{\infty}} e^{-px}\, d·l·(q^{2} - x^{2})^{2} \\
  &= e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \Ibar_{0}^{\infty}
  - \int_{0}^{\infty} l·(q^{2} - x^{2})^{2} (-pe^{-px})\, dx.
\end{align*}

Pour la première intégrale obtenue ici, le terme intégré ne tombe pas
sous la forme étudiée ci-dessus: pour $x = 0$, il sera~$\dfrac{e^{0} l·q^{4}}{0} = \infty$; donc ce
terme étant infini, cette équation ne peut rien nous apprendre. Pour la seconde,
au contraire, le terme déjà intégré est~$-2l·q^{2}$, ce qui donne
\[
2(a + b) = -2lq^{2} + p \int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}\, dx,
\]
ou bien
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}\, dx
  = \frac{2}{p} (a + b + l·q^{2});
\Tag{(20)}
\]
résultat, qui est une suite nécessaire des équations \Eqref{(14)}~et~\Eqref{(15)}.

Pour l'application aux formules \Eqref{(9)}~et~\Eqref{(10)}, nommons l'intégrale
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h} l·(q^{2} - x^{2})^{2}\, dx = G'_{\DPtypo{k}{h}};
\]
elles nous donnent les équations suivantes:
\begin{align*}
%[** TN: Re-broken]
4G_{2h} &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{2h-1}\, d·l·(q^{2} - x^{2})^{2} \\
  &= e^{-px} x^{2h-1} (l·q^{2} - x^{2})^{2} \Ibar_{0}^{\infty} \\
  &\qquad\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \left\{
    -pe^{-px} x^{2h-1} + (2h - 1) x^{2h-2} e^{-px}
  \right\} \\
%
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \left\{
    px^{2h-1} - (2h - 1) x^{2h-2}
  \right\}, \\
%% -----File: 038.png---Folio 38-------
4G_{2h+1} &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{2h}\, d·l·(q^{2} - x^{2})^{2} \\
  &= e^{-px} x^{2h} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \Ibar_{0}^{\infty}
  - \int_{0}^{\infty} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \left\{
    -pe^{-px} x^{2h} + 2h x^{2h-1} e^{-px}
  \right\} \\
%
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \left\{
    px^{2h} - 2hx^{2h-1}
  \right\},
\end{align*}
parceque les termes déjà intégrés ont une valeur nulle, d'après le raisonnement
précédent. On s'assure aisément, qu'ici il n'y a pas occasion de distinguer
entre les deux cas de $h$ pair et impair, puisque dans la même formule
on rencontre une~$G'$ à $h$~pair et une à $h$~impair. De plus, on peut
mettre ces équations sous la forme:
\[
4G_{2h} = pG'_{2h-1} - (2\DPtypo{k}{h} - 1) G'_{2h-2},\qquad
4G_{2h+1} = pG'_{2h} - 2hG'_{2h-1},
\]
d'où il suit que les deux équations sont identiques et qu'elles peuvent être
remplacées par la seule
\[
pG'_{h} = hG'_{h-1} + 4G_{h+1}.
\Tag{(w')}
\]

Puisque la valeur de~$G'_{0}$ revient à celle de l'intégrale~\Eqref{(20)}, on a successivement:
\begin{align*}
pG'_{1} &= 1·G'_{0}       + 4\DPchg{}{·}G_{2}, \\
p^{2} G'_{2} &= 1·2·G'_{0}   + 2·4\DPchg{}{·}G_{2}    + 4\DPchg{}{·}pG_{3}, \\
p^{3}G'_{3} &= 1·2·3·G'_{0} + 2·3·4·G_{2} + 3·4·pG_{3} + 4\DPchg{}{·}p^{2} G_{4},
\intertext{donc en général}
p^{h}G'_{h}
  &= 1^{h/1} G'_{0} + 4·1^{h/1} \sum_{1}^{h} \frac{p^{m-1}}{1^{m/1}}\, G_{m+1},
\end{align*}
ou bien, par la substitution de la valeur~\Eqref{(20)} au lieu de~$G'_{0}$,
\[
G'_{h} = \frac{2}{p^{h+1}} 1^{h/1} \left\{
  a + b + l·q^{2} + 2\sum_{1}^{h} \frac{p^{m}}{1^{m/1}}\, G_{m+1}
  \DPtypo{}{\right\}.}
\Tag{(21)}
\]

Dans ce cas-ci, on peut trouver pour les~$G'_{h}$, une autre valeur indépendante,
assez simple, sans avoir besoin pour cela de recourir aux intégrales~$G_{h}$.
Lorsqu'on substitue pour $G'_{1}$,~$G'_{2}$~etc.\ leurs valeurs successivement calculées,
pour~$G'_{0}$ la valeur de~\Eqref{(20)} et pour $G_{1}$,~$G_{2}$,~etc., leurs valeurs tirées des formules
\Eqref{(9)}~et~\Eqref{(10)}, on obtient successivement:
%% -----File: 039.png---Folio 39-------
\begin{align*}
\tfrac{1}{2} p G'_{1}
  &= \frac{1}{p}\, l·q^{2} + \frac{1}{p} (a + b) + q (b - a) + 2 \frac{1}{p}, \\
\tfrac{1}{2} p^{2} G'_{2}
  &= \frac{1·2}{p}\, l·q^{2}
   + \frac{2 + p^{2} q^{2}}{p} (a + b)
   + 2q (b - a) + 2\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p}\right), \\
\tfrac{1}{2} p^{3} G'_{3}
  &= \frac{1·2·3}{p}\, l·q^{2}
   + \frac{2·3 + 3p^{2} q^{2}}{p} (a + b) \\
  &\qquad+ (2·3\DPchg{·}{} + p^{2} q^{2}) q(b - a)
   + 2 \left\{2·3 \frac{1}{p} + \frac{1·2 + p^{2} q^{2}}{p} + 3·\frac{1}{p}\right\}, \\
\tfrac{1}{2} p^{4} G'_{4}
  &= \frac{1·2·3·4}{p}\, l·q^{2}
   + \frac{2·3·4 + 3·4p^{2} q^{2} + p^{4} q^{4}}{p} (a + b)
   + (2·3·4 + 4p^{2} q^{2}) q(b - a) \DPchg{+}{} \\
  &\qquad+ 2 \left\{2·3·4 \frac{1}{p} + 4 \frac{1·2 + p^{2} q^{2}}{p}
    + 3·4 \frac{1}{p} + \frac{1·2·3 + p^{2} q^{2}}{p}\right\}.
\end{align*}

L'inspection de la formation des termes fait voir assez aisément --- surtout
si l'on continue le calcul des~$G'$ suivantes, et si l'on fait attention à l'ordre
gardé dans le dernier terme, dont $2$~est le coefficient, --- qu'ici il y a de
nouveau différence entre les expressions de~$G'_{h}$ pour $h$~pair et impair: cette
différence a sa source dans celle entre les expressions de $G_{2h}$~et~$G_{2h+1}$. On
trouvera enfin les valeurs générales:
\begin{align*}
\tfrac{1}{2} p^{2h+1} G'_{2h}
  = 1^{2h/1} l·q^{2}
  &+ 1^{2h/1} a \sum_{0}^{2h-1} \frac{(-pq)^{n}}{1^{n/1}}
   + 1^{2h/1} b \sum_{0}^{2h-1} \frac{(pq)^{n}}{1^{n/1}} \\
  &+ 2^{2h-1/1} \sum_{1}^{h} \left\{
    \frac{1}{1^{2n/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m/1} (p^{2} q^{2})^{m}
  \right\} \\
  &+ 3^{2h-2/1} \sum_{1}^{h} \left\{
    \frac{1}{1^{2n-1/1}} \sum_{0}^{n-1} 2^{2n-2m-1/1} (p^{2} q^{2})^{m}
  \right\},
\Tag{(22)} \dbreak
%
\tfrac{1}{2} p^{2h+2} G'_{2h+1}
  = 1^{2h+1/1} l·q^{2}
  &+ 1^{2h+1/1} a \sum_{0}^{2h} \frac{(-pq)^{n}}{1^{n/1}}
   + 1^{2h+1/1} b \sum_{0}^{2h} \frac{(pq)^{n}}{1^{n/1}} \\
  &+ 2^{2h/1}     \sum_{1}^{h+1} \left\{
    \frac{1}{1^{2n/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m+1/1} (p^{2} q^{2})^{m}
  \right\} \\
  &+ 3^{2h-1/1}   \sum_{1}^{h} \left\{
    \frac{1}{1^{2n/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m/1} (p^{2} q^{2})^{m}
  \right\}.
\Tag{(23)}
\end{align*}

L'on voit que la différence entre ces deux expressions se trouve principalement
dans les deux dernières sommations, les trois autres termes ne changeant
pas de nature.

Quant à la formule~\Eqref{(g)}, elle est dans le même cas que~\Eqref{(VII)} et par la
%% -----File: 040.png---Folio 40-------
même raison ne donnerait rien: mais on peut pourtant l'employer à l'aide de
l'équation~\Eqref{(h)}, si l'on fait attention à la rélation identique
\[
H_{k-1} + q^{2} H_{k}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{2}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}};
\]
alors celle-ci, et l'équation~\Eqref{(h)} nous fourniront pour les intégrales
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
  = H'_{k}
\quad \text{et}\quad
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2} x\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
  = I'_{k}
\]
les formules suivantes:
\[
\left.
\begin{aligned}
%[** TN: Re-breaking]
&4I_{k}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}}\, d·l·(q^{2} - x^{2})^{2}
   = \frac{e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}} \Ibar_{0}^{\infty} \\
  &\qquad\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \left\{
    \frac{-pe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}}
    + e^{-px} \frac{-(k - 1) 2x}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
  \right\} dx, \\[4pt]
%
&4\{H_{k-1} + q^{2} H_{k}\} \\
  &\qquad= \int_{0}^{\infty} \frac{xe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}}\, d·l·(q^{2} - x^{2})
  = \frac{xe^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}} \Ibar_{0}^{\infty} \\
  &\qquad\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \left\{
    \frac{e^{-px} - pe^{-px} x}{(x^{2} - q^{2})^{k-1}}
    + xe^{-px}\frac{-(k - 1) 2x}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
  \right\} dx.
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(x')}
\]

La valeur des termes intégrés est ici, d'après ce que l'on a dit à ce sujet,
$-\dfrac{2lq^{2}}{(-q^{2})^{k}}$~et~$0$ respectivement. On a donc les équations:
\[
\left.
\begin{aligned}
4I_{k} &= \frac{2·lq^{2}}{(-q^{2})^{k-1}} + pH'_{k-1} + 2(k - 1) I'_{k}, \\
4(H_{k-1} + q^{2} H_{k})
  &= -H'_{k-1} + pI'_{k-1} + 2(k - 1) \{H'_{k-1} + q^{2} H'_{k}\} \\
  &= (2k - 3) H'_{k-1} + 2(k - 1) q^{2} H'_{k} + pI'_{k-1}.
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(x'')}
\]

Mais si l'on élimine par la première de ces formules soit les~$I'$, soit les~$H'$
de la seconde, et que l'on augmente~$k$ d'une unité dans le premier résultat,
on obtient à l'aide des équations \Eqref{(g')}~et~\Eqref{(h')}:
\begin{multline*}
4k(k - 1) q^{2} H'_{k+1} + 2(k - 1)(2k - 1) H'_{k} - p^{2} H'_{k-1} \\
  = 4(4k - 3) H_{k} + 8(2k - 1) q^{2} H_{k+1}
  - \frac{2pl·q^{2}}{(-q^{2})^{k-1}}\DPchg{.}{,}
\Tag{(x_{1})}
\end{multline*}
\begin{multline*}
4k(k - 1) q^{2} I'_{k+1} + 2(k - 1)(2k - 3) I'_{k} - p^{2} I'_{k-1} \\
  = 4(4k - 5) I_{k} + 8(2k - 1) q^{2} I_{k+1}
  - \frac{2l·q^{2}}{(-q^{2})^{k-1}}.
\Tag{(x_{2})}
\end{multline*}
%% -----File: 041.png---Folio 41-------

Dans le cas de $k = 1$, elles donnent bien, comme il doit être:
\begin{align*}
H'_{0} &= \frac{2}{p} (a + b + l·q^{2}), \qquad\text{Voyez \Eqref{(20)}} \\
I'_{0} &= G'_{1} = \frac{2}{p} \bigl\{2 + a + b + (b - a) pq + l·q^{2}\bigr\};
\end{align*}
mais le coefficient de~$H'_{k}$ et de~$I'_{k}$ devient zéro: de même, pour $k = 0$, les
coefficients de~$H'_{\DPtypo{k+2}{k+1}}$ et de~$I'_{\DPtypo{k+2}{k+1}}$ s'annulent aussi: donc la valeur des intégrales
$H'_{1}$~et~$I'_{1}$ ne saurait être tirée des équations \Eqref{(x_{1})}~et~\Eqref{(x_{2})}, qui la laissent
indéterminée. Donc les~$H'_{k}$ et les~$I'_{k}$ restent indéterminées de même. On aurait
pu s'attendre à ce résultat en vertu de ce que l'on a observé à l'égard des
équations \Eqref{(u_{1})}~et~\Eqref{(u_{2})}.

\Par{16.} Passons à la transformation d'intégrales à dénominateur $x^{2} + q^{2},$
savoir \Eqref{(III)},~\Eqref{(IV)}, \Eqref{(11)}, \Eqref{(m)} et~\Eqref{(p)}. De premier abord nous pouvons exclure
les quatre intégrales \Eqref{(m)}~et~\Eqref{(p)} de nos recherches, parce qu'elles ne
donneraient qu'un résultat indéterminé, d'après ce qu'on a observé au sujet
des intégrales précédentes. Encore l'équation~\Eqref{(III)} est dans le cas de~\Eqref{(VII)},
et ne pourrait offrir qu'une formule indéterminée, où l'un des termes a une
valeur infinie. Restent donc les intégrales \Eqref{(IV)}~et~\Eqref{(11)}.

L'application du \Theorem{I} de \No{3} donnera ici pour le terme déjà intégré
soit $e^{-px} l·(x^{2} + q^{2})^{2}$, soit $e^{-px} x^{h} l·(x^{2} + q^{2})^{2}$\DPtypo{}{.}

Un raisonnement, tout-à-fait analogue à celui du \No{15}, fera voir que,
entre les limites $0$~et~$\infty$ de~$x$, la valeur de ces termes est respectivement
$-2l. q^{2}$~et~$0$. Donc le théorème cité donnera ici immédiatement par
l'équation~\Eqref{(IV)}:
\[
4 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{x^{2} + q^{2}}
  = \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, dl·(x^{2} + q^{2})^{2}
  = -2l·q^{2} - \int_{0}^{\infty} l·(q^{2} + x^{2})^{2}(-pe^{-px})\DPtypo{}{\, dx},
\]
d'où
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} + x^{2})^{2}\, dx
  = \frac{2}{p}(l·q^{2} + 2d).
\Tag{(24)}
\]
Les équations~\Eqref{(11)} donnent de plus pour l'intégrale, que nous nommerons:
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h} l·(q^{2} + x^{2})^{2}\, dx = M'h
\]
à l'aide toujours du même Théorème et d'après les observations précédentes
sur le terme intégré:
%% -----File: 042.png---Folio 42-------
\begin{align*}
4M_{2h} &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{2h-1}\, d·l·(q^{2} + x^{2})^{2} \\
  &= -\int_{0}^{\infty} l·(q^{2} + x^{2})^{2} \left\{
    -pe^{-px} x^{2h-1} + (2h - 1) x^{2h-2} e^{-px}
  \right\}, \\
4M_{2h+1} &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{2h}\, d·l·(q^{2} + x^{2})^{2} \\
  &= -\int_{0}^{\infty} l·(q^{2} + x^{2})^{2} \left\{
    -pe^{-px} x^{2h} + 2hx^{2h-1} e^{-px}
\right\}.
\end{align*}
La distinction entre le cas de $h$ pair et impair s'évanouit ici, parce que dans
la même formule on rencontre une~$M'$ à $h$~pair et une à $h$~impair; de plus
ces deux équations deviennent alors identiques, et l'on retombe sur la seule:
\[
4\DPtypo{M}{M'}_{h} = pM'_{h-1} - (h - 1) M'_{h-2} \quad\text{ou bien}\quad
pM'_{h} = hM'_{h-1} + 4M'_{h+1}
\Tag{(y')}
\]
lorsqu'on augmente le $h$ d'une unité. Puisque $M'_{0}$ est donnée par l'équation~\Eqref{(24)},
on trouve par l'application successive de cette formule de réduction~\Eqref{(y')}
enfin l'équation générale
\[
p^{h} M'_{h}
  = 1^{h/1} M'_{0} + 4·1^{h/1} \sum_{1}^{h} \frac{p^{m-1}}{1^{m/1}} M_{m+1},
\]
ou bien par substitution de la valeur de~$M'_{0}$,
\[
p^{h+1} M'_{h}
  = 2·1^{h/1} \bigl[l·q^{2} + 2d + 2 \sum_{1}^{h} \frac{p^{m}}{p^{m/1}} M_{m+1}\bigr].
\Tag{(25)}
\]
Mais lorsqu'on ne veut pas dépendre d'une sommation des diverses intégrales~$M_{h}$,
on peut suivre le même chemin, comme pour les formules \Eqref{(22)}~et~\Eqref{(23)};
on obtiendra alors des formules analogues, où de nouveau l'on doit
distinguer entre les cas de $h$ pair et impair:
\begin{align*}
\tfrac{1}{2} p^{2h+1} M'_{2h}
  &= 1^{2h/1} l·q^{2}
  + 1^{2h/1} 2d \sum_{0}^{h} \frac{(-p^{2} q^{2})^{n}}{1^{2n/1}}
  + 1^{2h/1} 2c \sum_{1}^{h} \frac{(pq)^{2n-1}}{1^{2n-1/1}} \DPchg{+}{} \\
  &+ 2^{2h-1/1} \sum_{1}^{h} \left\{
    \frac{1}{1^{2n/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m/1} (-p^{2} q^{2})^{m}
  \right\} \DPchg{+}{} \\
  & +3^{2h-2/1} \sum_{1}^{h} \left\{
    \frac{1}{1^{2n-1/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m/1} (-p^{2} q^{2})^{m}
  \right\},
\Tag{(26)} \\
%
\tfrac{1}{2} p^{2h+2} M'_{2h+1}
  &= 1^{2h+1/1} l·q^{2}
  + 1^{2h+1/1} 2d \sum_{1}^{h} \frac{(-p^{2} q^{2})^{n}}{1^{2n/1}}
  + 1^{2h+1/1} 2c \sum_{1}^{h+1} \frac{(pq)^{2n-1}}{1^{2n-1/1}} \DPchg{+}{} \\
  &+ 2^{2h/1} \sum_{1}^{h+1} \left\{
    \frac{1}{1^{2n+1/1}} \sum_{1}^{n-1} 1^{2n-2m+1/1} (-p^{2} q^{2})^{m}
  \right\} \DPchg{+}{} \\
  &+ 3^{2h-1/1} \sum_{1}^{h} \left\{
    \frac{1}{1^{2n/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m/1} (-p^{2} q^{2})^{m}
  \right\}.
\Tag{(27)}
\end{align*}
%% -----File: 043.png---Folio 43-------

\Par{17.} Pour les intégrales au dénominateur $q^{4} - x^{4}$, nous avons les formules
\Eqref{(12)}~et~\Eqref{(13)} à transformer. Des quatre formules dans~\Eqref{(12)} on ne peut
employer que la~$R_{3}$, puisque la transformation par le \Theorem{I} du \No{3}
des trois premières donnerait des termes intégrés à dénominateur $x^{3}$,~$x^{2}$ et~$x$
successivement, lesquelles donc pour la limite inférieure~$0$ de~$x$ deviendraient
nécessairement infinies, ce qui rendrait le résultat indéterminé. Cette circonstance
n'a pas lieu auprès de la quatrième, car on aura:
\[
8 R_{3}
  = \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, d·l·(x^{4} - q^{4})^{2}
  = e^{-px} l·(x^{4} - q^{4})^{2} \Ibar_{0}^{\infty}
  - \int_{0}^{\infty} l·(x^{4} - q^{4})^{2}(-pe^{-px}\, dx),
\]
donc, puisque l'on voit aisément que le terme déjà intégré se réduit nécessairement
à~$-4l·q^{2}$, on obtient en réduisant:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{4} - x^{4})^{2}\, dx
  &= \frac{2}{p}(b + a + 2d) + \frac{4}{p}\, l·q^{2} \\
  &= \frac{2}{p}(b + a + 2d + 2l·q^{2}).
\Tag{(28)}
\end{align*}
Ajoutons, que l'on aurait trouvé ce résultat de même par l'addition des \DPtypo{forles}{formules}
\Eqref{(20)}~et~\Eqref{(24)}.

Lorsque nous nommons l'intégrale
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h} l·(q^{4} - x^{4})^{2}\, dx = R'_{h},
\]
les quatre équations~\Eqref{(13)} donnent:
\begin{align*}
8R_{4h}
  &=  \int_{0}^{\infty} x^{4h-3} e^{-px}\, d·l·(q^{4} - x^{4})^{2} \\
  &= -\int_{0}^{\infty} l·(q^{4} - x^{4})^{2} \left\{
    -pe^{-px} x^{4h-3} + (4h - 3) x^{4h-4} e^{-px}
  \right\} dx, \\
%
8R_{4h+1}
  &=  \int_{0}^{\infty} x^{4h-2} e^{-px}\, d·l·(q^{4} - x^{4})^{2} \\
  &= -\int_{0}^{\infty} l·(q^{4} - x^{4})^{2} \left\{
    -pe^{-px} x^{4h-2} + (4h - 2) x^{4h-3} e^{-px}
  \right\} dx, \\
%
8R_{4h+2}
  &=  \int_{0}^{\infty} x^{4h-1} e^{-px}\, d·l·(q^{4} - x^{4})^{2} \\
  &= -\int_{0}^{\infty} l·(q^{4} - x^{4})^{2} \left\{
    -pe^{-px} x^{4h-1} + (4h - 1) x^{4h-2} e^{-px}
  \right\} dx, \\
%
8R_{4h+3}
  &=  \int_{0}^{\infty} x^{4h} e^{-px}\, d·l·(q^{4} - x^{4})^{2} \\
  &= -\int_{0}^{\infty} l·(q^{4} - x^{4})^{2} \left\{
    -pe^{-px} x^{4h} + 4h x^{4h-1} e^{-px}
  \right\} dx.
\end{align*}
Les termes intégrés sont de suite omis dans ces formules-ci, parcequ'ils ont
évidemment une valeur nulle, d'après un raisonnement tout-à-fait égal à
celui pour les cas précédents. Pour chaque forme de~$h$, c'est-à-dire pour
%% -----File: 044.png---Folio 44-------
les $R_{4h}$,~$R_{4h+1}$,~$R_{4h+2}$,~$R_{4h+3}$, ces équations donnent précisément la même
chose, savoir:
\begin{align*}
8R_{h+3}
  &= -\int_{0}^{\infty} l·(q^{4} - x^{4})^{2} \left\{
    -pe^{-px} x^{h} + hx^{h-1} e^{-px}
  \right\} dx;
\intertext{donc}
8R_{h+3}
  &= pR'_{h} - h R'_{h-1} \quad\text{ou}\quad
     pR'_{h} = hR'_{h-1} + 8R_{h+3};
\Tag{(z')}
\end{align*}
ce qui donne en application, attendu que la valeur de l'intégrale~$R'_{0}$ est
donnée par la formule~\Eqref{(28)}, les expressions suivantes:
\begin{align*}
p R'_{1}
  &= 1\DPchg{·}{}R'_{0}     + 8R_{4}, \\
p^{2} R'_{2}
  &= 1·2R'_{0}    + 2·8R_{4}   + 8pR_{5},\\
\DPtypo{p_{3}}{p^{3}} R'_{3}
  &= 1·2·3\DPchg{·}{}R'_{0} + 2·3·8R_{4} + 3·8pR_{5} + 8p^{2} R_{6},
\intertext{donc en général}
p^{h} R'_{h}
  &= 1^{h/1} R'_{0} + 8·1^{h/1} \sum_{1}^{h} \frac{p^{m-1}}{1^{m/1}} R_{m+3},
\intertext{ou bien, lorsqu'on remplace~$R'_{0}$ par sa valeur~\Eqref{(28)},}
p^{h+1} R'_{h}
  &= 2·1^{h/1} \left\{
    b + a + 2d + 2l·q^{2} + 4 \sum_{1}^{h} \frac{p^{m}}{1^{m/1}} R_{m+3}
  \right\}.
\Tag{(29)}
\end{align*}
Si l'on préfère d'éviter la sommation des~$R_{h}$, il faut observer d'abord que
nécessairement il y aura différence entre les divers résultats pour les cas où
$h$~est de la forme $4h$,~$4h + 1$, $4h + 2$,~$4h + 3$, puisque déjà les premiers
termes des valeurs de~$R_{h}$ diffèrent entre eux, en ce qu'ils dépendent de
$b - a$~et~$a + b$, de $c$~et~$d$ alternativement. Il vaudra donc mieux de faire
d'abord cette distinction et de chercher la formule générale pour chaque cas
en particulier. A cet effet l'on doit tenir les huit termes, qui appartiennent
aux diverses valeurs de $R_{4h}$,~$R_{4h+1}$, $R_{4h+2}$,~$R_{4h+3}$ respectivement, soigneusement
séparés, et alors seulement on pourra en déduire les actes de progression,
auxquels ces huit sommations sont assujetties, chacune pour soi,
tant les quatre sommations simples que les quatre autres sommations
doubles; et cela pour chacune des formes de~$h$ en particulier. Vu la complication
nécessaire des résultats, nous ne transcrirons ici que les trois premières
valeurs:
%% -----File: 045.png---Folio 45-------
\[
\left.
\begin{aligned}
p^{2} R'_{1}
  &= 1·4l·q^{2} + 2(a + b) + 2pq(b - a) - 4pqc + 4d + 8, \\[4pt]
p^{3}R'_{2}
  &= 1·2·4l·q^{2} + (1·2 + p^{2} q^{2}) 2(a + b) + 2pq(b - a) \\
  &\qquad - 2·4pqc + (1·2 - p^{2} q^{2}) 4d + 8·3, \\[4pt]
p^{4}R'_{3}
  &= 1·2·3·4l·q^{2} + (1·2·3 + 3p^{2} q^{2}) 2(a + b)
  + (2·3 + p^{2} q^{2}) 2pq(b - a) \\
  &\qquad- (2·3 - p^{2} q^{2}) 4pqc
  + (1·2·3 - 3p^{2} q^{2}) 4d + 8·11.
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(30)}
\]
\iffalse
%[** TN: Code below more-or-less duplicates the original]
\[
\left.
\begin{alignedat}{4}
p^{2} R'_{1}
  &=& 1·4l·q^{2} &{}+& 2(a + b) &{}+& 2pq(b - a) & \\
  &&{}- 4pqc &{}+& 4d &&+ 8, & \\[4pt]
p^{3}R'_{2}
  &=& 1·2·4l·q^{2} &{}+& (1·2 + p^{2} q^{2}) 2(a + b) &{}+& 2pq(b - a) & \\
  &&{}- 2·4pqc &{}+& (1·2 - p^{2} q^{2}) 4d &&+ 8·3, & \\[4pt]
p^{4}R'_{3}
  &=& 1·2·3·4l·q^{2} &{}+& (1·2·3 + 3p^{2} q^{2}) 2(a + b)
  &{}+{}& (2·3 + p^{2} q^{2}) 2pq(b - a) & \\
  &{}-& (2·3 - p^{2} q^{2}) 4pqc &{}+& (1·2·3 - 3p^{2} q^{2}) 4d &&+ 8·11. & \\
\end{alignedat}
\right\}
\Tag{(30)}
\]
\fi

\Par{18.} Ici l'on pourra faire la même remarque qu'au \No{11}, c'est-à-dire
que par la substitution de~$x$ pour $x^{2}$~et~$x^{4}$ --- ce qui est évidemment permis
à cause des mêmes raisons, discutées dans le Numéro cité --- on connait
aussi la valeur des intégrales suivantes:
\begin{alignat*}{6}
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt{x}} &&l·(q^{2} - x)^{2}\, dx &&= 2G'_{1}, &
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt{x}} &&l·(q^{2} - x)^{2}\, dx·\Sqrt{x} &&= 2G'_{2}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt{x}} x^{h} &&l·(q^{2} - x)^{2}\, dx &&= 2G'_{2h+1},\quad &
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt{x}} x^{h} &&l·(q^{2} - x)^{2}\, dx·\Sqrt{x} &&= 2G'_{2h + 2}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt{x}} &&l·(q^{2} + x)^{2}\, dx &&= 2M'_{1}, &
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt{x}} &&l·(q^{2} + x)^{2}\, dx·\Sqrt{x} &&= 2M'_{2}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt{x}} x^{h} &&l·(q^{2} + x)^{2}\, dx &&= 2M'_{2h+1}, &
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt{x}} x^{h} &&l·(q^{2} + x)^{2}\, dx·\Sqrt{x} &&= 2M'_{2h+2}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt[4]{x}} &&l·(q^{4} - x)^{2}\, dx &&= 4R'_{3}, &
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt[4]{x}} &&l·(q^{4} - x)^{2}\, dx·\Sqrt{x} &&= 4R'_{5}, \\
%
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt[4]{x}} x^{h} &&l·(q^{4} - x)^{2}\, dx &&= 4R'_{4h+3}, &
&\int_{0}^{\infty} e^{-p\Sqrt[4]{x}} x^{h} &&l·(q^{4} - x)^{2}\, dx·\Sqrt{x} &&= 4R'_{4h+5}.
\end{alignat*}
De ces deux séries, la première est la suite des intégrales analogues, trouvées
dans les équations \Eqref{(14)},~\Eqref{(17)} et \Eqref{(15)},~\Eqref{(19)}.

Toutes les intégrales, calculées dans les \Nos{13} jusqu'ici, sont de la même
forme: les intégrales sont entières, à un facteur exponentiel et un facteur
logarithmique, et souvent encore à un troisième facteur algébrique; tandis que
les intégrales analogues, à facteur algébrique de forme fractionnaire semblent
être indéterminées. Mais au lieu de la fonction logarithmique, que l'on a fait
entrer sous le signe d'intégration définie, l'on peut aussi quelquefois y introduire
une fonction circulaire inverse par la même méthode.
\ctb
%% -----File: 046.png---Folio 46-------

\Par{19.} Parce que l'on a $d_{x}·\Arctg\dfrac{x}{q} = \dfrac{q}{q^{2} + x^{2}}$, la supposition de
$f(x) = \Arctg\dfrac{x}{q}$ peut offrir au \Theorem{I} de \No{3} une application non
moins intéressante, que celle qu'on a étudiée précédemment; parmi les formules
citées et trouvées jusqu'ici, ils se trouvent qui se \DPtypo{prètent}{prêtent} à une telle
transformation, savoir \Eqref{(III)},~\Eqref{(IV)}, \Eqref{(11)}, \Eqref{(m)} et~\Eqref{(p)}: voyons ce qui en résulte.

Les deux premières formules donnent:
\begin{align*}
%[** TN: Added two line breaks]
q \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{x^{2} + q^{2}}
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px}\, d·\Arctg\frac{x}{q} \\
  &= e^{-px} \Arctg\frac{x}{q} \Ibar_{0}^{\infty}
     - \int_{0}^{\infty} \Arctg\frac{x}{q} \left\{-pe^{-px}\, dx \right\}, \\
q \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{x^{2} + q^{2}}
  &= \int_{0}^{\infty} xe^{-px}\, d·\Arctg\frac{x}{q} \\
  &= xe^{-px} \Arctg\frac{x}{q} \Ibar_{0}^{\infty}
     - \int_{0}^{\infty} \Arctg\frac{x}{q} \left\{-pe^{-px} + e^{-px}\right\} dx.
\end{align*}
Quant aux termes déjà intégrés, pour la limite inférieure~$0$ de~$x$ la valeur
en est $1·0$~et~$0·1·0$: donc zéro dans les deux cas. Pour l'autre limite
supérieure~$\infty$ de~$x$, ils deviennent, puisque $\Arctg\infty = \frac{1}{2}\pi$, soit~$\frac{\pi}{2}:\infty$ soit
$\infty·\frac{\pi}{2}:\infty$: donc la première valeur est nulle, tandis que la seconde est donnée
sous une forme indéterminée. Il faut donc y appliquer les règles usuelles;
pour cela on peut ôter le facteur~$\Arctg\dfrac{x}{q}$, parcequ'il est~$\frac{1}{2}\pi$, constant: il
reste donc:
\[
\frac{x}{e^{px}} = \frac{1}{pe^{-px}} = \frac{1}{\infty} = 0.
\]
Les termes s'évanouissent donc dans les deux cas entre les limites de~$x$, $0$~et~$\infty$,
et l'on obtient, lorsqu'on substitue le premier résultat dans la seconde
équation:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} \Arctg\frac{x}{q}\, dx
  &= \frac{1}{p}·q·\frac{c}{q}
   = \frac{c}{p},
\Tag{(31)} \dbreak
\int_{0}^{\infty} e^{-px} \Arctg\frac{x}{q}·x\, dx
  &= \frac{1}{p} \left(qd + \frac{c}{p}\right)
   = \frac{1}{p^{2}}(pqd + c).
\Tag{(32)}
\end{align*}

Les intégrales~\Eqref{(4)} ensuite nous donnent ici par la même méthode:
\begin{align*}
%[** TN: Re-breaking]
qM_{2h}
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{2h}\, d·\Arctg\frac{x}{q} \\
  &= e^{-px} x^{2h} \Arctg\frac{x}{q} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \Arctg\frac{x}{q} \left\{
     -pe^{-px} x^{2h} + 2hx^{2h-1} e^{-px}
   \right\} dx, \\
%% -----File: 047.png---Folio 47-------
qM_{2h+1}
  &= \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{2h+1}\, d·\Arctg\frac{x}{q} \\
  &= e^{-px} x^{2h+1} \Arctg\frac{x}{q} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} \Arctg\frac{x}{q}\left\{
     -pe^{-px} x^{2h+1} + (2h + 1) x^{2h} e^{-px}
   \right\} dx.
\end{align*}
Quant au terme intégré, pour la limite inférieure de~$x$, il devient~$1·0·0$,
donc zéro, et pour la limite supérieure~$0·\infty·\frac{\pi}{2}$ donc de forme indéterminée.
En ôtant le facteur~$\Arctg\frac{x}{q}$, constant dans ce cas et égal à~$\frac{1}{2}\pi$, on a par
la règle ordinaire
\[
\frac{x^{h}}{e^{px}} = \frac{hx^{h-1}}{pe^{px}}
  = \cdots = \frac{1^{h/1}}{p^{h} e^{px}}
\]
donc pour la limite~$\infty$ de~$x$ ce terme devient $\dfrac{1^{h/1}}{p^{h}\infty} = 0$: donc les termes
s'évanouissent pour les deux limites de~$x$. Lorsqu'on nomme l'intégrale
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h} \Arctg\frac{x}{q}\, dx = M''_{h},
\]
on voit clairement, que les deux équations précédentes coincident et reviennent
à la seule formule
\[
qM_{h} = p M''_{h} - hM''_{h-1}\DPtypo{,}{.}
\Tag{(aa)}
\]
Or, puisque $M''_{0}$ est exprimée par intégrale~\Eqref{(31)}, on a successivement:
\begin{align*}
pM''_{1}
  &= 1M''_{0}      + qM_{1}, \\
p^{2}M''_{2}
  &= 1·2·M''_{0}   + 2·qM_{1} + pqM_{2}, \\
p^{3}M''_{3}
  &= 1·2·3·M''_{0} + 2·3·qM_{1} + 3pqM_{2} + p^{2} qM_{3},
\intertext{donc en général:}
p^{h} M''_{h}
  &= 1^{h/1} M''_{0} + 1^{h/1} q \sum_{1}^{h} \frac{p^{n-1}}{1^{n/1}} M_{n},
\intertext{ou bien, en vertu de la valeur calculée de $M''_{0}$}
p^{h+1}M''_{h}
  &= 1^{h/1}\left\{c + pq \sum_{1}^{h} \frac{p^{n-1}}{1^{n/1}} M_{n}\right\}.
\Tag{(33)}
\end{align*}
Lorsqu'au contraire on veut exprimer les~$M''_{h}$, sans avoir recours aux~$M_{h}$,
il faut substituer les valeurs calculées des~$M''_{h}$ par l'équation~\Eqref{(aa)} et celles
de~$M_{h}$ calculées par~\Eqref{(11)} successivement. A cause de la différence entre
$M_{2h}$~et~$M_{2h+1}$, on doit ici aussi distinguer entre les intégrales $M''_{2h}$~et~$M''_{2h+1}$
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non seulement, mais encore on doit tenir séparées les parties des
expressions obtenues, que l'on doit à la substitution des~$M_{2h}$ de celles que
l'on acquiert par les~$M_{2h+1}$. De telle sorte enfin on trouvera les formules
suivantes:
\begin{align*}
p^{2h+1}M''_{2h}
  &= 1^{2h/1}c \sum_{0}^{h} \frac{(-p^{2} q^{2})^{n}}{1^{2n/1}}
   + 1^{2h/1} pqd \sum_{0}^{h-1} \frac{(-p^{2} q^{2})^{n}}{1^{2n+1/1}} \\
  &\qquad+ 3^{2h-2/1} pq \sum_{1}^{h} \left\{
    \frac{1}{1^{2n/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m/1}(-p^{2} q^{2})^{m}
  \right\} \\
  &\qquad+ 4^{2h-3/1} pq \sum_{1}^{h} \left\{
    \frac{1}{1^{2n/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m-1/1}(-p^{2} q^{2})^{m}
  \right\},
\Tag{(34)} \dbreak
%
p^{2h+2}M''_{2h+1}
  &= 1^{2h+1/1}c \sum_{0}^{h} \frac{(-p^{2} q^{2})^{n}}{1^{2n/1}}
   + 1^{2h+1/1} pqd \sum_{0}^{h} \frac{(-p^{2} q^{2})^{n}}{1^{2n+1/1}} \\
  &\qquad+ 3^{2h-1/1} pq \sum_{1}^{h+1} \left\{
    \frac{1}{1^{2n+1/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m+1/1}(-p^{2} q^{2})^{m}
  \right\} \\
  &\qquad+ 4^{2h-2/1} pq \sum_{1}^{h} \left\{
    \frac{1}{1^{2n/1}} \sum_{0}^{n-1} 1^{2n-2m/1}(-p^{2} q^{2})^{m}
  \right\}.
\Tag{(35)}
\end{align*}

Les intégrales~\Eqref{(m)} se transforment de la même manière dans les équations:
\[
\left.
\begin{aligned}
&qN_{k+1}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{(x^{2} + q^{2})^{k}}\, d·\Arctg\frac{x}{q} \\
  &\quad= \frac{e^{-px} \Arctg\frac{x}{q}}{(x^{2} + q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
  - \int_{0}^{\infty} \Arctg\frac{x}{q} \left\{
    \frac{-pe^{-px}}{(x^{2} + q^{2})^{k}}
    + e^{-px} \frac{-k·2x}{(x^{2} + q^{2})^{k+1}}
  \right\} dx, \\
%
&qO_{k+1}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{(x^{2} + q^{2})^{k}}\, d·\Arctg\frac{x}{q} \\
  &\qquad= \frac{e^{-px} x\Arctg\frac{x}{q}}{(x^{2} + q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty}
  - \int_{0}^{\infty} \Arctg\frac{x}{q} \left\{
    \frac{e^{-px} - pe^{-px} x}{(x^{2} + q^{2})^{k}}
    + xe^{-px} \frac{-k·2x}{(x^{2} + q^{2})^{k+1}}
  \right\} dx\DPtypo{,}{} \\
  &\qquad= \frac{e^{-px} x\Arctg\frac{x}{q}}{(x^{2} + q^{2})^{k}} \Ibar_{0}^{\infty} \\
  &\qquad\qquad\qquad- \int_{0}^{\infty} e^{-px} \Arctg\frac{x}{q}\, dx \left\{
    \frac{1 - 2k}{(x^{2} + q^{2})^{k}}
    - \frac{px}{(x^{2} + q^{2})^{k}}
    + \frac{2kq^{2}}{(x^{2} + q^{2})^{k+1}}
  \right\}.
\end{aligned}
\right\}
%[** TN: Manually force tag into the margin]
%\Tag{(bb)}
\rlap{$(bb)$}
\label{eqn:(bb)}
\]
Voyons d'abord ce que deviennent les fonctions déjà intégrées ici. Pour la
limite inférieure $x = 0$, elles sont respectivement égales à $\dfrac{1·0}{q^{2k}}$ et $\dfrac{1·0·0}{q^{2k}}$,
toutes deux zéro. Mais pour la limite supérieure $x = \infty$, elles deviennent
$\dfrac{\frac{1}{2}\pi}{\infty·\infty}$ et $\dfrac{\infty·\frac{1}{2}\pi}{\infty·\infty}$: donc la première est nulle, et la seconde se présente sous
une forme indéterminée; mais à raison du calcul précédent pour un cas parfaitement
analogue, elle s'annulle de même: donc les termes intégrés s'évanouissent
et pour les intégrales
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\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} \Arctg\frac{x}{q}\frac{dx}{(x^{2} + q^{2})^{k}}
  = N''_{k},\quad
\int_{0}^{\infty} e^{-px} \Arctg\frac{x}{q}\frac{x\, dx}{(x^{2} + q^{2})^{k}}
  = O''_{k},
\]
les équations précédentes peuvent s'écrire comme suit:
\[
\left.
\begin{aligned}
qN_{k+1} &= pN''_{k} + 2kO''_{k + 1}\DPchg{}{,} \\
qO_{k+1} &= (2k - 1)N''_{k} + pO''_{k} - 2kq^{2}N''_{k+1}\DPchg{}{.}
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(cc)}
\]
Par l'élimination de $O''$~et~$N''$ alternativement de la seconde équation à l'aide
de leurs valeurs, tirées de la première, on obtient, après avoir diminué~$k$
d'une unité dans le second résultat:
\[
\left.
\begin{aligned}
&4k(k - 1)N''_{k+1} - 2(k - 1)(2k - 1)N''_{k} + p^{2}N''_{k-1}
  = pqN_{k} - 2(k - 1) qO_{k+1}\DPchg{}{,} \\
&4k(k - 1)O''_{k+1} - 2(k - 1)(2k - 3)O''_{k} + p^{2}O''_{k-1} \\
  &\qquad\qquad= 2(k - 1) q^{3}N_{k+1} - (2k - 3) qN_{k} + pqO_{k}\DPchg{}{.}
\end{aligned}
\right\}
\Tag{(dd)}
\]
Tant pour la supposition de $k = 0$ que pour $k = 1$, ces formules ne donnent
pour $N''_{1}$~et~$O''_{1}$ que~$\frac{0}{0}$, valeur indéterminée. Ces intégrales sont parsuite
dans le même cas, dont on a traité ci-dessus, par ex.\ au \No{14}.
\ctb

\Par{20.} Quoique d'un côté nous soyons parvenus à des résultats remarquables,
et que d'un autre côté nous étions forcés de nous arrêter à quelques résultats
indéterminés --- le but principal de cette note était de faire valoir la
fécondité du théorème déduit au \No{3}, dans un cas spécial. Et comme ici
des intégrales \Eqref{(I)},~\Eqref{(II)},~\Eqref{(III)},~\Eqref{(IV)} nous avons déduit nombre d'autres, il y
a beaucoup de formules d'intégration définie auxquelles on peut appliquer le
même Théorème, pourvu seulement, que les termes intégrés aient une valeur
déterminée.

Mais on peut encore par le même chemin trouver des rélations entre diverses
intégrales définies. Voyez ici quelques unes de ces formules déduites
de ce que l'on a trouvé plus haut:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q ± x)^{2} \frac{2\, dx}{x ± q}
  &= e^{-px}\bigl[l·(q ± x)^{2}\bigr]^{2} \Ibar_{0}^{\infty} \\
  &- \int_{0}^{\infty} l·(q ± x)^{2} \left\{
    -pe^{-px} l·(q ± x)^{2} + e^{-px} \frac{2}{x ± q}
  \right\}, \\
%
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} ± x^{2})^{2} \frac{4x\, dx}{x^{2} ± q^{2}}
  &= e^{-px} \bigl[l·(q^{2} ± x^{2})^{2}\bigr]^{2} \Ibar_{0}^{\infty} \\
  &- \int_{0}^{\infty} l·(q^{2} ± x^{2})^{2} \left\{
    -pe^{-px} l·(q^{2} ± x^{2})^{2} + e^{-px} \frac{2·2x}{x^{2} ± q^{2}}
  \right\}.
\end{align*}
%% -----File: 050.png---Folio 50-------
Or les termes intégrés deviennent pour la limite inférieure de~$x:1·(l·q^{2})^{2}$
et $1·(l·q^{4})^{2}$, et pour la limite supérieure~$0·\infty$. La règle ordinaire
donne ici:
\begin{align*}
\frac{\bigl[l·(q ± x)^{2}\bigr]^{2}}{e^{px}}
  &= \frac{2·l·(q ± x)^{2} \dfrac{±2}{q ± x}}{pe^{px}}
   = \frac{4}{p}\, \frac{l·(q ± x)^{2}}{e^{px}(q ± x)}
   = \frac{4}{p}\, \frac{\dfrac{±2}{q ± x}}{pe^{px}(x ± q) + e^{px}} \\
  &= \frac{±8}{pe^{px}(q ± x) \{px ± pq + 1\}}, \dbreak
%
\frac{\bigl[l·(q^{2} ± x^{2})^{2}\bigr]^{2}}{e^{px}}
  &= \frac{2·l·(q^{2} ± x^{2})^{2} \dfrac{±2·2x}{q^{2} ± x^{2}}}{pe^{px}}
   = \frac{8}{p}\, \frac{l·(q^{2} ± x^{2})^{2}}{e^{px}(x ± q^{2} x^{-1})} \\
  &= \frac{8}{p}\, \frac{\dfrac{±2·2x}{q^{2} ± x^{2}}}
       {pe^{px}(x ± q^{2} x^{-1}) + e^{px} \DPchg{\{}{(}1 \mp q^{2} x^{-2}\DPchg{\}}{)}}
   = \frac{32}{p}\, \frac{x^{3}}{e^{px} \bigl\{px(x^{2} ± q^{2})^{2} + x^{4} - q^{4}\bigr\}}.
\end{align*}
Quant à la première valeur, elle est évidemment nulle, et la seconde devient
aussi zéro après trois différentiations successives, qui feront disparaître l'élément~$x$
du numérateur, et le rendront égal à~$32·1·2·3$, tandis que la dénominateur
reste du même degré, outre le facteur~$e^{px}$. Donc on a
\begin{alignat*}{3}
&p \int_{0}^{\infty} e^{-px} \bigl[l·(q ± x)^{2}\bigr]^{2}\, dx
  &&- 4 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} l·(q ± x)^{2}\, dx}{x ± q}
  &&= (l·q^{2})^{2}\DPchg{}{,}
\Tag{(36)} \\
%
&p \int_{0}^{\infty} e^{-px} \bigl[l·(q^{2} ± x^{2})^{2}\bigr]^{2}\, dx
  &&- 8 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} l·(q^{2} ± x^{2})^{2}\, dx}{x^{2} ± q^{2}}
  &&= (l·q^{4})^{2}\DPchg{}{;}
\Tag{(37)}
\end{alignat*}
équations, qui peuvent s'écrire aussi:
\begin{alignat*}{3}
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q ± x)^{2}\,
  &&\frac{p(x ± q) \DPtypo{l·(q ± x)}{\DPtypo{(l·q ± x)}{l·(q ± x)}}^{2} - 4}{x ± q}
  &&= (l·q^{2})^{2}\DPchg{}{,}
\Tag{(38)} \\
%
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} ± x^{2})^{2}\,
  &&\frac{p(x^{2} ± q^{2}) l·(q^{2} ± x^{2})^{2} - 8}{x^{2} ± q^{2}}
  &&= (l·q^{4})^{2}\DPchg{}{.}
\Tag{(39)}
\end{alignat*}
Encore on aurait par un procédé analogue
\begin{multline*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} \Arctg\frac{x}{q} \frac{q\, dx}{q^{2} \DPtypo{±}{+} x^{2}} \\
  = e^{-px} \left[\Arctg\frac{x}{q}\right]^{2} \Ibar_{0}^{\infty}
  - \int_{0}^{\infty} \Arctg\frac{x}{q} \left\{
    -pe^{-px} \Arctg\frac{x}{q} + e^{-px} \frac{q}{q^{2} \DPtypo{±}{+} x^{2}}
  \right\} dx,
\end{multline*}
%% -----File: 051.png---Folio 51-------
ou, parceque le terme intégré est nécessairement zéro pour les deux limites
de~$x$,
\[
p \int_{0}^{\infty} e^{-px} \left[\Arctg\frac{x}{q}\right]^{2}\, dx
  = 2q \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\Arctg\frac{x}{q}\, dx}{q^{2} + x^{2}}\DPchg{}{,}
\Tag{(40)}
\]
ou bien
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} \Arctg\frac{x}{q}\,
  \frac{p(x^{2} + q^{2}) \Arctg\frac{x}{q} - 2q}{x^{2} + q^{2}}\, dx = 0.
\Tag{(41)}
\]

\Par{21.} Bien que nous ne soyons pas venus à bout de trouver des valeurs
déterminées pour les intégrales $C'_{k}$,~$D'_{k}$, $H'_{k}$,~$I'_{k}$, $N''_{k}$,~$O''_{k}$, nous pourrons
facilement obtenir des formules qui leur ressemblent.

Car en premier lieu les équations \Eqref{(u')}~et~\Eqref{(v')} peuvent s'écrire comme suit:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2} \frac{px + (pq + k - 1)}{(x + q)^{k}}\, dx
  &= 2C_{k} + \frac{l·q^{2}}{q^{k-1}}\DPchg{}{,}
\Tag{(42)} \\
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2} \frac{px + (pq + k - 1)}{(x - q)^{k}}\, dx
  &= 2D_{k} + \frac{l·q^{2}}{(-q)^{k-1}}\DPchg{}{,}
\Tag{(43)}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px}·x^{h-1} l·(q + x)^{2} \frac{px^{2} + (pq - h + k - 1) x - hq}{(x + q)^{k}}\, dx
  &= 2E_{h, k}\DPchg{}{,}
\Tag{(44)} \\
\int_{0}^{\infty} e^{-px}·x^{h-1} l·(q - x)^{2} \frac{px^{2} + (pq - k + h - 1) x + hq}{(x - q)^{k}}\, dx
  &= 2F_{h, k}\DPchg{}{.}
\Tag{(45)}
\end{align*}
Les deux premières formules nous donnent pour $k = 2$ un résultat spécial,
dont nous aurons besoin dans la suite, savoir:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2} \frac{px + pq + 1}{(x + q)^{2}}\, dx
  &= 2C_{2} + \frac{l·q^{2}}{q} = -2ap + \frac{1}{q} (2 + l·q^{2})\DPchg{}{,}
\Tag{(46)} \\
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2} \frac{px - pq + 1}{(x - q)^{2}}\, dx
  &= 2D_{2} - \frac{l·q^{2}}{q} = -2bp - \frac{1}{q} (2 + l·q^{2})\DPchg{}{.}
\Tag{(47)}
\end{align*}
Pour $k = 1$ les deux dernières équations \Eqref{(44)}~et~\Eqref{(45)} au contraire, donnent
un résultat identique avec les formules \Eqref{(16)}~et~\Eqref{(19)} respectivement,
attendu que dans cette supposition la forme fractionnaire devient entière,
mais pour $k = 2$ on obtient, en ôtant de la fraction la fonction entière qui
s'y trouve comprise, et eu égard par rapport à cette forme entière aux intégrales
\Eqref{(16)}~et~\Eqref{(19)}, les équations suivantes:
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\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h-1} l·(q + x)^{2}\,
  \frac{(pq + h - 1) x + (hq + pq^{2})}{(x + q)^{2}}\DPtypo{}{\, dx}
  &= \Neg pA'_{h-1} - 2E_{h, 2},
\Tag{(48)} \\
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h-1} l·(q - x)^{2}\,
  \frac{(pq - h + 1) x + (hq - pq^{2})}{(x - q)^{2}}\DPtypo{}{\, dx}
  &= -pB'_{h-1} + 2F_{h, 2}.
\Tag{(49)}
\end{align*}
Tout de même les équations~\Eqref{(x')} se transforment analoguement dans les deux
formules suivantes:
\begin{alignat*}{2}
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}\,
  \frac{px^{2} + (k - 1) 2x - pq^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\DPtypo{}{\, dx}
  &&= 4I_{k} + \frac{2l·q^{2}}{(-q^{2})^{k}},
\Tag{(50)} \\
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}\,
  \frac{px^{3} + (2k - 3) x^{2} - pq^{2} x + q^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}\DPtypo{}{\, dx}
  &&= 4(H_{k-1} + q^{2} H_{k}).
\Tag{(51)}
\end{alignat*}
Comme on a trouvé précédemment la valeur des intégrales $E_{h, k}$,~$F_{h, k}$, $H_{k}$,~$I_{k}$,
$A'_{h}$,~$B'_{h}$, ou du moins que l'on a indiqué le chemin de les calculer, nous pouvons
les regarder ici comme données, quoique nous n'en transcrivons pas les
expressions, afin de ne pas devenir trop longs. Cette remarque regarde en
même temps les valeurs qui suivent plus bas.

Mais en second lieu, on peut encore obtenir d'autres résultats, de la même
manière, qu'au \No{13}, par l'application du même théorème aux intégrales
\Eqref{(VII)},~\Eqref{(VIII)}, \Eqref{(9)},~\Eqref{(10)}, \Eqref{(g)},~\Eqref{(h)},~\Eqref{(l)}, c'est-à-dire en y supposant que
$f(x)$ soit égale à~$l·(q + x)^{2}$ ou à~$l·(q - x)^{2}$. Cela nous mènera pour les
formules \Eqref{(VII)}\DPtypo{,}{}~et~\Eqref{(VIII)} aux équations suivantes:
\begin{align*}
%[** TN: Added four lines breaks]
&2 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{x^{2} - q^{2}}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{x - q}\, d·l·(q + x)^{2} \\
  &\qquad= \frac{e^{-px} l·(q + x)^{2}}{x - q} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} l·(q + x)^{2} \left\{
     \frac{-pe^{-px}}{x - q} + e^{-px}\frac{-1}{(x - q)^{2}}
   \right\} dx, \dbreak
&2 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}\, dx}{x^{2} - q^{2}}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{x + q}\, d·l·(q - x)^{2} \\
  &\qquad= \frac{e^{-px} l·(q - x)^{2}}{x + q} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} l·(q - x)^{2} \left\{
     \frac{-pe^{-px}}{x + q} + e^{-px}\frac{-1}{(x + q)^{2}}
   \right\} dx, \dbreak
&2 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{x^{2} - q^{2}}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x}{x - q}\, d·l·(q + x)^{2} \\
  &\qquad= \frac{e^{-px} xl·(q + x)^{2}}{x - q} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} l·(q + x)^{2} \left\{
     \frac{e^{-px} - pe^{-px} x}{x - q} + e^{-px} x\frac{-1}{(x - q)^{2}}
   \right\} dx, \dbreak
&2 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x\, dx}{x^{2} - q^{2}}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x}{x + q}\, d·l·(q - x)^{2} \\
  &\qquad= \frac{e^{-px} xl·(q - x)^{2}}{x + q} \Ibar_{0}^{\infty}
   - \int_{0}^{\infty} l·(q - x)^{2} \left\{
     \frac{e^{-px} - pe^{-px} x}{x + q} + e^{-px} x\frac{-1}{(x + q)^{2}}
   \right\} dx.
\end{align*}
Lorsqu'on prend la peine de reprendre la discussion du \No{12}, on voit
%% -----File: 053.png---Folio 53-------
tout de suite qu'elle s'applique nécessairement au cas actuel: de sorte que
nous trouvons après quelque réduction:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2} \frac{px - pq + 1}{(x - q)^{2}}\, dx
  &= \frac{b - a}{q} - \frac{l·q^{2}}{q}
   = \frac{1}{q} \left\{b - a - l·q^{2}\right\},
\Tag{(52)} \\
%
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2} \frac{px + pq + 1}{(x + q)^{2}}\, dx
  &= \frac{b - a}{q} + \frac{l·q^{2}}{q}
   = \frac{1}{q} \left\{b - a + l·q^{2}\right\},
\Tag{(53)}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2} \frac{px^{2} - pqx + q}{(x - q)^{2}}\, dx &= a + b, \\
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2} \frac{px^{2} + pqx - q}{(x + q)^{2}}\, dx &= a + b.
\end{align*}
Ces deux dernières ne sont qu'une conséquence nécessaire des formules \Eqref{(14)}~et~\Eqref{(52)},
\Eqref{(15)}~et~\Eqref{(53)} respectivement. On peut prendre encore la somme
de \Eqref{(46)}~et~\Eqref{(53)}, de \Eqref{(47)}~et~\Eqref{(52)}, savoir:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \frac{px + pq + 1}{(x + q)^{2}}\, dx
  &= \frac{1}{q} \left\{2 + 2l·q^{2} + b - a - 2apq\right\},
\Tag{(54)} \\
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2} \frac{px - pq + 1}{(x - q)^{2}}\, dx
  &= \frac{1}{q} \left\{-2 - 2l·q^{2} + b - a - 2bpq\right\}.
\Tag{(55)}
\end{align*}
Quant aux autres intégrales mentionnées, \Eqref{(9)},~\Eqref{(10)}, \Eqref{(g)},~\Eqref{(h)},~\Eqref{(l)} on obtient
de la même manière, en prenant pour~$f(x)$ tantôt~$l·(q + x)^{2}$, tantôt~$l·(q - x)^{2}$:
\begin{align*}
%[** Re-breaking]
&2G_{h} = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}}{x - q}\, d·l·(q + x)^{2}
  = \frac{e^{-px} x^{h} l·(q + x)^{2}}{x - q} \Ibar_{0}^{\infty} - \\
  &\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q + x)^{2} \left\{
     \frac{-pe^{-px} x^{h} + hx^{h-1} e^{-px}}{x - q}
     + e^{-px} x^{h} \frac{-1}{(x - q)^{2}}
   \right\} dx, \\
%
&2G_{h} = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}}{x + q}\, d·l·(q - x)^{2}
  = \frac{e^{-px} x^{h} l·(q - x)^{2}}{x + q} \Ibar_{0}^{\infty} - \\
  &\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q - x)^{2} \left\{
     \frac{-pe^{-px} x^{h} + hx^{h-1} e^{-px}}{x + q}
     + e^{-px} x^{h}\frac{-1}{(x + q)^{2}}
   \right\} dx, \dbreak
%
&2H_{k+1} = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)}\, d·l·(q + x)^{2}
  = \frac{e^{-px} l·(q + x)^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)} \Ibar_{0}^{\infty} - \\
  &\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(x + q)^{2} \left\{
     \frac{-pe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)}
     + e^{-px} \left(\frac{-1}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)^{2}}
       + \frac{-k·2x}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x - q)}\right)
   \right\} dx, \\
%% -----File: 054.png---Folio 54-------
&2H_{k+1} = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)}\, d·l·(q - x)^{2}
  = \frac{e^{-px} l·(q - x)^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)} \Ibar_{0}^{\infty} - \\
  &\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q - x)^{2} \left\{
     \frac{-pe^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)}
     + e^{-px} \left(\frac{-1}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)^{2}}
       + \frac{-k·2x}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x + q)}\right)
   \right\} dx, \dbreak
%
&\\
&2I_{k+1} = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)}\, d·l·(q + x)^{2}
  = \frac{e^{-px} x·l·(q + x)^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)} \Ibar_{0}^{\infty} - \\
  &\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q + x)^{2} \left\{
    \frac{-pe^{-px} x + e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)}
    + e^{-px} x \left(\frac{-1}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)^{2}}
      + \frac{-k·2x}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x - q)}\right)
  \right\} dx, \\
%
&2I_{k+1} = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)}\, d·l·(q - x)^{2}
  = \frac{e^{-px} x·l·(q - x)^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)} \Ibar_{0}^{\infty} - \\
  &\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q - x)^{2} \left\{
     \frac{-pe^{-px} x + e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)}
     + e^{-px} x \left(\frac{-1}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)^{2}}
       + \frac{-k·2x}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x + q)}\right)
   \right\} dx, \dbreak
%
&\\
&2 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)}\, d·l·(q + x)^{2}
  = \frac{e^{-px} x^{h} l·(q + x)^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)} \Ibar_{0}^{\infty} - \\
  &\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q + x)^{2} \left\{
    \begin{gathered}
      \frac{-pe^{-px} x^{h} + hx^{h-1} e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)} \\
      + e^{-px} x^{h} \left(\frac{-1}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x - q)}
      + \frac{-k·2x}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x - q)}\right)
  \end{gathered}
  \right\} dx, \\
%
&2 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)}\, d·l·(q - x)^{2}
  = \frac{e^{-px} x^{h} l·(q - x)^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)} \Ibar_{0}^{\infty} - \\
  &\qquad- \int_{0}^{\infty} l·(q - x)^{2} \left\{
    \begin{gathered}
      \frac{-pe^{-px} x^{h} + hx^{h-1} e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)} \\
      + e^{-px} x^{h} \left(\frac{-1}{(x^{2} - q^{2})^{k}(x + q)}
        + \frac{-k·2x}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x + q)}\right)
    \end{gathered}
  \right\} dx.
\end{align*}
Pour la limite inférieure~$0$ de~$x$ les termes intégrés dans les deux premières
et les quatres dernières de ces équations ont pour valeur zéro, dans les deux
autres au contraire: $\dfrac{l·q^{2}}{(-1)^{k+1} q^{2k+1}}$ et $\dfrac{l·q^{2}}{(-1)^{k} q^{2k+1}}$ respectivement. Pour la
limite supérieure~$\infty$ tous les termes se présentent sous forme indéterminée,
et il faut avoir recours aux règles ordinaires dans ce cas. Quant au terme
intégré dans la troisième et la quatrième équation, il revient alors à
\begin{align*}
&\frac{l·(q ± x)^{2}}{e^{px}(x^{2} - q^{2})^{k}(x \mp q)} \\
  &\qquad= \frac{±2 : (q ± x)}{pe^{px}(x^{2} - q^{2})^{k}(x \mp q)
    + k2x (x^{2} - q^{2})^{k-1} e^{px}(x \mp q)
    + e^{px}(x^{2} - \DPtypo{^{2}q}{q^{2}})^{k}} \\
  &\qquad= \frac{±1}{e^{px}(x^{2} - q^{2})^{k-1}(x ± q) \left\{
      px^{3} + (2k \mp p + 1) x^{2} - (pq ± 2k) qx ± pq^{3} - q^{2}
    \right\}},
\end{align*}
%% -----File: 055.png---Folio 55-------
donc la valeur en est zéro. Pour les six autres équations on peut mettre le
terme sous la valeur générale:
\begin{align*}
&\frac{l·(q ± x)^{2}}{e^{px} x^{-h}(x^{2} - q^{2})^{k}(x \mp q)} \\
  &\qquad= \frac{±2 : (q ± x)}{\left\{
      \begin{aligned}%[** TN: Re-formatted]
        &pe^{px} x^{-h}(x^{2} - q^{2})^{k} (x \mp q)
    \DPtypo{+}{-} hx^{-h-1}(x^{2} - q^{2})^{k}(x \mp q) e^{\DPtypo{-}{}px} \\
    &\qquad+ k·2x(x^{2} - q^{2})^{k-1} e^{px} x^{-h}(x \mp q)
    + e^{\DPtypo{-}{}px} x^{-h}·(x^{2} - q^{2})^{k}
  \end{aligned}
\right\}} \\
%
  &\qquad= \frac{2x^{h+1}}{\left\{
      \begin{aligned}
        &e^{px}(x^{2} - q^{2})^{k-1}(x ± q) \\
        &\quad\DPchg{}{·}
          \bigl\{px^{4} + (2k - h + 1 \mp p) x^{3} - (pq ± 2k \mp h) qx^{2}
          + (h - 1 ± pq) q^{2} x \mp hq^{3}\bigr\}
    \end{aligned}
  \right\}}.
\end{align*}
Si l'on continue à présent la différentiation, le numérateur se réduit enfin à
$1^{h+1/1}$: donc le terme est nul pour la limite~$\infty$ de~$x$. Donc les équations
précédentes deviennent:
\begin{align*}
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h-1} l·(q + x)^{2} \frac{px^{2} - (pq + h - 1) + hq}{(x - q)^{2}}\, dx = 2G_{h},
\Tag{(56)} \\
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h-1} l·(q - x)^{2} \frac{px^{2} + (pq - h + 1) - hq}{(x + q)^{2}}\, dx = 2G_{h},
\Tag{(57)} \dbreak
%
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2}
  \frac{px^{3} - (pq - 2k - 1) x^{2} - (pq + 2k) qx + pq^{3} - q^{2}}
       {(x^{2}-q^{2})^{k+1}(x - q)^{2}}\, dx \\
  &\qquad= 2H_{k+1} + (-1)^{k+1} \frac{l·q^{2}}{q^{2k+1}},
\Tag{(58)} \\
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2}
  \frac{px^{3} + (pq + 2k + 1) x^{2} - (pq - 2k) qx - pq^{3} - q^{2}}
       {(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x + q)^{2}}\, dx \\
  &\qquad= 2H_{k+1} + (-1)^{k+1} \frac{l·q^{2}}{q^{2k+1}},
\Tag{(59)} \dbreak
%
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2}
  \frac{px^{4} - pqx^{3} - (pq^{2} - q - 2k) x^{2} + (pq^{2} - 2k) qx - q^{3}}
       {(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x - q)^{2}}\, dx
  = 2I_{k+1},
\Tag{(60)} \\
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2}
  \frac{px^{4} + pqx^{3} - (pq^{2} + q - 2k) x^{2} - (pq^{2} - 2k) qx + q^{3}}
       {(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x + q)^{2}}\, dx
  = 2I_{k+1},
\Tag{(61)} \dbreak
%
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2}
  \frac{px^{4} - (pq + k - 1) x^{3} - (pq^{2} - hq - 2k) x^{2} + (pq^{2} - hq - q-2k) qx - hq^{3}}
       {(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x - q)^{2}}\, dx \\
  &\qquad= 2 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}},
\Tag{(62)} \\
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2}
  \frac{px^{4} - (pq - k + 1) x^{3} - (pq^{2} + hq - 2k) x^{2} - (pq^{2} - hq + q - 2k) qx + hq^{3}}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}(x + q)^{2}}\, dx \\
  &\qquad= 2 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}\, dx}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}.
\Tag{(63)}
\end{align*}
%% -----File: 056.png---Folio 56-------
Dans les intégrales \Eqref{(56)}~et~\Eqref{(57)} nous avons expressément omis de faire
attention à la différence entre les $G_{2h}$~et~$G_{2h+1}$, parceque la réduction ne
change pas pour ces deux cas; la même observation vaut des intégrales \Eqref{(62)},~\Eqref{(63)},
qui pour $h$ de la forme $2h$ ou $2h + 1$ sont respectivement égales à
$K_{h, k+1}$~et~$L_{h, k+1}$. Nous pouvons en déduire des résultats un peu plus simples
en prenant la différence de \Eqref{(60)}~et~\Eqref{(58)} et \DPtypo{le}{la} somme de \Eqref{(59)}~et~\Eqref{(61)},
c'est-à-dire après quelques réductions:
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q + x)^{2}
  \frac{px^{2} + 2kx - pq^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}\, dx
  &= 2I_{k+1} - 2qH_{k+1} + (-1)^{k} \frac{2l·q^{2}}{q^{2k}},
\Tag{(64)} \\
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q - x)^{2}
  \frac{px^{2} + 2kx - pq^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}\, dx
  &= 2I_{k+1} + 2qH_{k+1} + (-1)^{k} \frac{2l·q^{2}}{q^{2k}};
\Tag{(65)}
\end{align*}
dont la somme donne de nouveau
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} l·(q^{2} - x^{2})^{2}
  \frac{px^{2} + 2kx - pq^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}\, dx
  = 4I_{k+1} + (-1)^{k} \frac{4l·q^{2}}{q^{2k}}.
\Tag{(66)}
\]

\Par{22.} Observons encore que les équations~\Eqref{(bb)} peuvent s'écrire:
\begin{alignat*}{2}
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} \Arctg\frac{x}{q}\,
  \frac{px^{2} + 2kx + pq^{2}}{(x^{2} + q^{2})^{k+1}}\, dx
  &&= qN_{k+1},
\Tag{(67)} \\
&\int_{0}^{\infty} e^{-px} \Arctg\frac{x}{q}\,
  \frac{px^{3} + (2k - 1) x^{2} + pq^{2} x - q^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{k+1}}\, dx
  &&= qO_{k+1}.
\Tag{(68)}
\end{alignat*}
Enfin lorsqu'on applique la transformation du \No{19} aux intégrales~$R_{h}$, on
aura, sans faire attention aux diverses formes de~$h$, ce qui n'est d'aucune
influence sur la réduction actuelle:
\begin{multline*}
qR_{h} = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}}{x^{2} - q^{2}}\, d·\Arctg\frac{x}{q}
  = \frac{e^{-px} x^{h} \Arctg\frac{x}{q}}{x^{2} - q^{2}} \Ibar_{0}^{\infty} \DPchg{}{-} \\
  - \int_{0}^{\infty} \Arctg\frac{x}{q} \left\{
    \frac{-pe^{-px} x^{h} + hx^{h-1} e^{-px}}{x^{2} - q^{2}}
    + e^{-px} x^{h} \frac{-2x}{(x^{2}-q^{2})^{2}}
  \right\}.
\end{multline*}
Le terme intégré est nul tout comme ci-dessus, pour les deux limites de~$x$
et l'on a par suite:
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h-1} \Arctg\frac{x}{q}\,
  \frac{px^{3} -(h - 2) x^{2} - pq^{2} x + hq^{2}}{(x^{2} - q^{2})^{2}}\, dx
  = qR_{h}.
\Tag{(69)}
\]
%% -----File: 057.png---Folio 57-------
Par le procédé suivant on peut acquérir des formules analogues un peu plus
simples. Il est évident que
\[
R_{h+1} \mp qR_{h}
  = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-px} x^{h}}{x ± q}\, \frac{dx}{x^{2} + q^{2}};
\]
cette formule, assujettie à la même transformation que la précédente donnera
un terme déjà intégré, qui sera nul par un raisonnement analogue: donc on
trouve de suite
\begin{multline*}
\int_{0}^{\infty} \Arctg\frac{x}{q} \left\{
  \frac{hx^{h-1} e^{-px} - pe^{-px} x^{h}}{x ± q}
  + e^{-px} x^{h} \frac{-1}{(x ± q)^{2}}
\right\} dx \\
  = \int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h-1} \Arctg \frac{x}{q}\,
  \frac{px^{2} + (±pq - h + 1) \mp hq}{(x ± q)^{2}}\, dx
  = qR_{h+1} \mp q^{2}R_{h},
\end{multline*}
ou, en introduisant l'intégrale~$M''_{h}$, connue par la formule~\Eqref{(33)},
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-px} x^{h-1} \Arctg\frac{x}{q}\,
  \frac{(±pq + h - 1) x + (pq^{2} ± hq)}{(x ± q)^{2}}\, dx
  = M''_{h-1} - qR_{h+1} ± q^{2} R_{h}.
\Tag{(70)}
\]

\Par{23.} \textit{Remarque}. Au \No{3} on a observé qu'on étudierait quelques intégrales,
où il y aurait discontinuité pour la fonction déjà intégrée entre les
limites de la variable: mais aussi, que la correction introduite par cette discontinuité,
serait nulle dans tous les cas: --- il faudra démontrer cet énoncé.

Commençons par les intégrales $C_{k}$,~$F_{k, h}$; le terme intégré a pour forme
générale:
\[
\frac{x^{h} e^{-px}}{(x - q)^{k}}
  = e^{-px} x^{h} (x - q)^{-k}
  = x^{h} e^{-px - \frac{1}{2} kl·(x - q)^{2}}.
\]
La correction à ajouter serait donc:
\begin{align*}
\Delta'
  &= \Lim \bigl[(q - \epsilon)^{h} e^{-p(q - \epsilon) - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}
  - (q + \epsilon)^{h} e^{-p(q + \epsilon) - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}\bigr] \\
  &= e^{-pq} \Lim \bigl[(q - \epsilon)^{h} e^{p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}
  - (q + \epsilon)^{h} e^{-p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}\bigr] \\
  &= e^{-pq} \Lim \biggl[
    \left\{q^{h} - \binom{h}{2} q^{h-2} \epsilon^{2} + \dots\right\}
    \left(e^{p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}
    - e^{-p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}\right) \\
  &\qquad- \epsilon \left\{
    \binom{h}{1} q^{h-1} + \binom{h}{3} q^{h-3} \epsilon^{2} + \dots
  \right\}
    \left(e^{p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}
    + e^{-p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}\DPtypo{}{\right)}\biggr];
\end{align*}
%% -----File: 058.png---Folio 58-------
or, on sait que
\begin{align*}
e^{p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}
  &= 1 + \frac{p\epsilon - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2}}{1}
    + \frac{(p\epsilon - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2})^{2}}{1·2}
    + \frac{(p\epsilon - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2})^{3}}{1·2·3}
    + \dots\DPchg{}{,} \\
e^{-p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}
  &= 1 + \frac{-p\epsilon - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2}}{1}
    + \frac{(-p\epsilon - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2})^{2}}{1·2}
    + \frac{(-p\epsilon - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2})^{3}}{1·2·3}
    + \dots\DPchg{}{;}
\end{align*}
donc
\begin{align*}
e^{p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}} -
e^{-p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}
  &= \frac{2p\epsilon}{1} + \frac{-2p\epsilon kl\epsilon^{2}}{1·2} + \dots
  = 2\epsilon\left\{\frac{p}{1} - \frac{pkl\epsilon^{2}}{1·2}
    + \ldots \right\}, \\
e^{p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}} +
e^{-p\epsilon - \frac{1}{2} kl·\epsilon^{2}}
  &= 2 - \frac{kl\epsilon^{2}}{2}
  + \tfrac{1}{2}\, \frac{4p^{2}\epsilon^{2} + k^{2}(l\epsilon^{2})^{2}}{1·2}
  - \dots\DPchg{}{;}
\end{align*}
de sorte que l'on a
\begin{multline*}
\Delta' = e^{-pq} \Lim 2\epsilon \biggl[
  \left\{q^{h} + \binom{h}{2} q^{h-2}\epsilon^{2} + \dots\right\}
  \left\{\frac{p}{1} - \frac{pkl\epsilon^{2}}{1·2} + \dots \right\} \DPchg{-}{}\\
- \left\{\binom{h}{1} q^{h-1} + \binom{h}{3} q^{h - 3}\epsilon^{2} + \dots\right\}
  \left\{1 - \tfrac{1}{2}\, \frac{kl\epsilon^{2}}{1}
    + \tfrac{1}{4}\, \frac{4p^{2}\epsilon^{2} + k^{2}(l\epsilon^{2})^{2}}{1·2}
    - \dots \right\}
\biggr].
\end{multline*}
Or, je dis que cette limite est zéro, car il n'y entre que des termes de la
forme $q^{l}\epsilon$,~$q^{l}\epsilon^{m}$,~$q^{l}\epsilon^{m} (l\epsilon)^{n}$. La limite des deux premières expressions est
évidemment zéro: mais aussi c'est la limite nécessaire de la dernière, qui ce
présente sous la forme indéterminée~$0^{m}·\infty^{n}$: car l'on a suivant la règle
ordinaire
\[
\epsilon^{m}(l\epsilon)^{n}
  = \frac{(l\epsilon)^{n}}{\epsilon^{-m}}
  = \frac{n(l\epsilon)^{n-1}}{-m\epsilon^{-m-1}}\, \tfrac{1}{\epsilon}
  = \frac{-n}{m}\, \frac{(l\epsilon)^{n-1}}{\epsilon^{-m}}
\]
donc en continuant la différentiation $n - 1$~fois: $\dfrac{1^{n/1}}{(-m)^{n}}\, \dfrac{1}{\epsilon^{-m}} = \dfrac{1^{n/1}}{(-m)^{n}}\, \epsilon^{m}$
d'où l'on conclut que, cette limite étant zéro, on aura aussi
\[
\Delta' = 0
\]
ce qu'il fallait démontrer.

Pour les intégrales $G$,~$H$,~$I$, $K$~et~$L$, le terme intégré a la forme générale;
\[
\frac{x^{h} e^{-px}}{(x^{2} - q^{2})^{k}}
  = x^{h} e^{-px - \frac{1}{2} kl(x + q)^{2} - \frac{1}{2} kl(x - q)^{2}}
\]
%% -----File: 059.png---Folio 59-------
on a donc ici de la même manière que plus-haut
\begin{multline*}
\llap{$\Delta' = e^{-pq}$} \Lim \biggl[
  \left\{\DPtypo{q_{h}}{q^{h}} + \binom{h}{2} q^{h-2}\epsilon^{2} + \dots\right\}
  \biggl\{e^{p\epsilon - \frac{1}{2} kl·(2q - \epsilon)^{2} - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2}}
    - e^{-p\epsilon - \frac{1}{2} kl·(2q + \epsilon)^{2} - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2}}\biggr\} - \\
  -\epsilon\left\{\binom{h}{1} q^{h-1} + \binom{h}{3} q^{h-3}\epsilon^{2} + \dots\right\}
  \biggl\{e^{p\epsilon - \frac{1}{2} kl·(2q - \epsilon)^{2} - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2}}
    + e^{-p\epsilon - \frac{1}{2} kl·(2q + \epsilon)^{2} - \frac{1}{2} kl\epsilon^{2}}\biggr\}
  \biggr];
\end{multline*}
or on a
\begin{align*}
p\epsilon - kl·(2q - \epsilon) - kl\epsilon
  &= r = p\epsilon
  - k\frac{-\epsilon^{2} + 2q\epsilon - 1}{1}
  + k\frac{(-\epsilon^{2} + 2q\epsilon - 1)^{2}}{1·2} - \dots, \\
-p\epsilon - kl·(2q - \epsilon) - kl\epsilon
  &= s = p\epsilon
  - k\frac{+\epsilon^{2} + 2q\epsilon - 1}{1}
  + k\frac{(\epsilon^{2} + 2q\epsilon - 1)^{2}}{1·2} - \dots;
\end{align*}
donc
\begin{align*}
e^{r} - e^{s}
  &= 1 - 1 + \frac{r - s}{1} + \frac{r^{2} - s^{2}}{1·2}
    + \frac{r^{3} - s^{3}}{1·2·3} + \dots \\
  &= (r - s)\left(1 + \frac{r + s}{1·2} + \frac{r^{2} + 2rs + s^{2}}{1·2·3}
     + \dots\right) \\
  &= 2p\epsilon - k\frac{-2\epsilon^{2}}{1}
  + k\frac{4\epsilon (2q\epsilon - 1)}{1·2} - \ldots \biggl\{1 + \ldots\biggr\},\\
e^{r} + e^{s}
  &= 2 + \frac{r + s}{1} + \dots
   = 2 - 2k\frac{-q\epsilon - 1}{1} + \ldots,
\end{align*}
d'où enfin
\begin{multline*}
\Delta' = e^{-pq} \Lim 2\epsilon\biggl[
  \left\{q^{h} + \binom{h}{2} q^{h-2}\epsilon^{2} + \dots\right\}
  \bigg\{p + k\epsilon + k\epsilon(2q\epsilon - 1) + \dots \bigg\} \\
  + \left\{\binom{h}{1} q^{h-1} + \binom{h}{3} q^{h-3}\epsilon^{2} + \dots\right\}
  \bigg\{1 - k(2q\epsilon - 1) + \dots \bigg\}
\bigg],
\end{multline*}
et l'on voit qu'ici de même $\Delta'$ a zéro pour limite. Un raisonnement tout-à-fait
analogue donnerait le même résultat pour le cas des intégrales $S$,~$T$,
$U$,~$V$ à dénominateur~$(x^{4} - q^{4})^{k}$.

Quant aux formules des \Nos{12} à~\Noref{18}, on trouve en outre sous le signe
d'intégration définie le facteur $l·(q + x)^{2}$, $l·(q - x)^{2}$, $l·(q^{2} - x^{2})^{2}$, $l·(q^{2} + x^{2})^{2}$,
$l·(q^{4} - x^{4})^{2}$ dont le premier et le quatrième ne deviennent pas discontinues;
les trois autres au contraire
\begin{align*}
&l·(q - x)^{2}, \quad l·(q^{2} - x^{2})^{2} = l·(q + x)^{2} + l·(q - x)^{2}, \\
&l·(q^{4} - x^{4})^{2} = l·(q^{2} + x^{2})^{2} + l·(q + x)^{2} + l·(q - x)^{2}
\end{align*}
%% -----File: 060.png---Folio 60-------
sont bien dans ce cas, et toutes par la fonction $l·(q - x)^{2}$ seulement. Celle-ci
fait entrer sous la limite les deux termes $l·\epsilon^{2}$~et~$l·(-\epsilon)^{2} = l·\epsilon^{2}$ comme
facteurs: le raisonnement reste donc le même, ainsi que la discussion sur
la valeur des termes, qui se présentent sous une forme indéterminée: et la
limite devient encore zéro.

Les mêmes observations valent aussi pour les autres intégrales, déduites
aux \Nos{20}---\Noref{22}, parceque le raisonnement continue toujours de manière
analogue.

Il est donc démontré, que la correction s'annulle ici, qui est nécessairement
due à la discontinuité du terme intégré auprès de quelques-uns des
résultats que nous avons déduits, et par suite qu'elle n'a pas d'influence:
pour les intégrales, dont il n'a pas été fait mention ici, ce cas de discontinuité
n'a pas lieu.
\vfil
\ctb

\FlushRunningHeads
\BookMark{-1}{Matière Supplémentaire}
\SetRunningHeads{License}{License}
\BookMark{0}{Project Gutenberg License}

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Note sur une Méthode pour la Réduction
d'Intégrales Définies, by D. (David) Bierens de Haan

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES ***

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     has agreed to donate royalties under this paragraph to the
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in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
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work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including including checks, online payments and credit card
donations.  To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.net

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Note sur une Méthode pour la Réduction
% d'Intégrales Définies, by D. (David) Bierens de Haan                    %
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% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES ***
%                                                                         %
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Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
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* Local config file frenchb.cfg used
*
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LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
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For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
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\@emptytoks=\toks16
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\c@parentequation=\count101
\dspbrk@lvl=\count102
\tag@help=\toks17
\row@=\count103
\column@=\count104
\maxfields@=\count105
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen110
\alignsep@=\dimen111
\tagshift@=\dimen112
\tagwidth@=\dimen113
\totwidth@=\dimen114
\lineht@=\dimen115
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip47
\multlinetaggap=\skip48
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip49
\f@ncyO@elh=\skip50
\f@ncyO@erh=\skip51
\f@ncyO@olh=\skip52
\f@ncyO@orh=\skip53
\f@ncyO@elf=\skip54
\f@ncyO@erf=\skip55
\f@ncyO@olf=\skip56
\f@ncyO@orf=\skip57
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks21
)
\Gm@cnth=\count106
\Gm@cntv=\count107
\c@Gm@tempcnt=\count108
\Gm@bindingoffset=\dimen116
\Gm@wd@mp=\dimen117
\Gm@odd@mp=\dimen118
\Gm@even@mp=\dimen119
\Gm@dimlist=\toks22
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen120
\Hy@linkcounter=\count109
\Hy@pagecounter=\count110
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count111
\Field@Width=\dimen121
\Fld@charsize=\dimen122
\Choice@toks=\toks23
\Field@toks=\toks24
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count112
\c@Item=\count113
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count114
)
\c@PDFbkmk=\count115
\TmpLen=\skip58
(./36334-t.aux)
\openout1 = `36334-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 350.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 350.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 350.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 350.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 350.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 350.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 350.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 350.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 350.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 350.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 350.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 350.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 350.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 350.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 350.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 350.
-------------------- Geometry parameters
paper: a4paper
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 71.70166pt, 0.7\paperwidth , 107.55254pt (default)
v-parts: 101.40665pt, 0.7\paperheight , 152.11pt (default)
hmarginratio: 2:3
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: --
includefoot: --
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  597.50787pt
\paperheight 845.04684pt
\textwidth  418.25368pt
\textheight 591.5302pt
\oddsidemargin  -0.56833pt
\evensidemargin 35.28255pt
\topmargin  -2.73714pt
\headheight 15.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count116
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count117
\scratchdimen=\dimen123
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count118
\nofMParguments=\count119
\everyMPshowfont=\toks25
\MPscratchCnt=\count120
\MPscratchDim=\dimen124
\MPnumerator=\count121
\everyMPtoPDFconversion=\toks26
)))
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 350.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count122
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 350.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 350.
(./36334-t.out) (./36334-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `36334-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 359.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 382.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 382.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1

] [2

] [1

] [2] [3] [4] [5] [6]
Overfull \hbox (2.69081pt too wide) in paragraph at lines 835--835
[] 
 []

[7] [8] [9]
Underfull \vbox (badness 1715) has occurred while \output is active []

[10] [11] [12]
Overfull \hbox (18.43031pt too wide) in paragraph at lines 1219--1219
[] 
 []

[13] [14] [15]
Overfull \hbox (8.75203pt too wide) in paragraph at lines 1389--1389
[] 
 []

[16]
Overfull \hbox (10.4287pt too wide) in paragraph at lines 1465--1465
[] 
 []

[17]
Overfull \hbox (23.9317pt too wide) in paragraph at lines 1493--1493
[] 
 []

[18] [19] [20]
Overfull \hbox (6.00612pt too wide) detected at line 1708
[][]    [] \OT1/cmr/m/n/10.95 = S[]\OML/cmm/m/it/10.95 ;  [][]   [] \OT1/cmr/m/
n/10.95 = T[]\OML/cmm/m/it/10.95 ;  [][] [] \OT1/cmr/m/n/10.95 = U[]\OML/cmm/m/
it/10.95 ;  [][] [] \OT1/cmr/m/n/10.95 = V[]\OML/cmm/m/it/10.95 ;
 []


Overfull \hbox (6.11826pt too wide) in paragraph at lines 1761--1761
[] 
 []

[21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36]
[37]
Overfull \hbox (1.63449pt too wide) in paragraph at lines 2747--2747
[] 
 []

[38] [39]
Overfull \hbox (12.21608pt too wide) in paragraph at lines 2819--2819
[] 
 []

[40]
Overfull \hbox (12.14133pt too wide) detected at line 2919
[] [][]
 []

[41]
Overfull \hbox (14.50407pt too wide) in paragraph at lines 2987--2987
[] 
 []

[42]
Overfull \hbox (21.31264pt too wide) in paragraph at lines 3005--3005
[] 
 []

[43] [44] [45]
Overfull \hbox (72.09756pt too wide) in paragraph at lines 3257--3257
[] 
 []

[46]
Underfull \vbox (badness 7099) has occurred while \output is active []

[47]
Overfull \hbox (8.27182pt too wide) in paragraph at lines 3295--3295
[] 
 []


Overfull \hbox (41.23555pt too wide) in paragraph at lines 3336--3336
[] 
 []


Underfull \vbox (badness 1688) has occurred while \output is active []

[48] [49] [50]
Overfull \hbox (8.71394pt too wide) detected at line 3521
 []$[] \OMS/cmsy/m/n/10.95 ^^@ \OML/cmm/m/it/10.95 " [] []e[] \OT1/cmr/m/n/10.9
5 + \OML/cmm/m/it/10.95 e[][][]\OT1/cmr/m/n/10.95 ;  $ 
 []

[51] [52] [53] [54

]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[55]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[56]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[57]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[58]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[59]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[60] [61] (./36334-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
supp-pdf.tex
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 36334-t.out
 36334-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 5601 strings out of 94074
 70461 string characters out of 1165154
 147428 words of memory out of 1500000
 8386 multiletter control sequences out of 10000+50000
 24780 words of font info for 62 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,22n,43p,258b,497s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi9.p
fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf
-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmr9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb
></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy9.pfb></usr/share/texmf-t
exlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/
cm-super/sfbi1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pf
b></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/
fonts/type1/public/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/c
m-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1200.pfb
></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/f
onts/type1/public/cm-super/sfrm0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm
-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb>
</usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fo
nts/type1/public/cm-super/sfti0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-
super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb>
Output written on 36334-t.pdf (65 pages, 620542 bytes).
PDF statistics:
 1217 PDF objects out of 1440 (max. 8388607)
 415 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 249 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

